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Accueil du site > 02 - Livre Deux : SCIENCES > Le chaos déterministe > Qu’est-ce que la turbulence ?

Qu’est-ce que la turbulence ?

mercredi 28 octobre 2009, par Faber Sperber, Robert Paris

Volutes

Polluant transporté par un écoulement turbulent

Laboratoire de la Côte d’Azur

L’évolution des idées sur la turbulence, Marie Farge

Chaos dans les mouvements des fluides, le film

La turbulence, le film

La physique des tourbillons, le film

La mécanique des fluides

LA TURBULENCE

Extraits de "Universalité et fractales" de Bernard Sapoval :

"C’est dans le cadre très général des systèmes dynamiques non linéaires que se situe le phénomène si familier mais si diffcile à élucider de la turbulence (...) Rien n’est plus commun que d’observer les tourbillons dans l’écoulement d’un fluide. Ce fluide peut être aussi bien un liquide comme l’eau d’un torrent, un gaz telle la sortie de vapeur d’un tuyau de cheminée. ce phénomène est si courant qu’il est difficle d’ne mesurer toute la complexité. On sait que ce phénomène ne peut avoir lieu (apparition de tourbillons ou "turbulence") que si la vitesse du fluide autour d’un objet est suffisante. La turbulence apparaît aussi quand un fluide est soumis à une différence de température suffisante. C’est ce que l’on observe lorsque l’eau d’une casserole sur le feu est mise en mouvement à partir du moment où une différence de température suffisante existe entre le fond de la casserole et la surface de l’eau. une des démonstrations les plus étonnantes de l’existence d’une universalité du troisième type est l’expérience de Libchaber et Maurer sur l’approche de la turbulence chaotique à travers un chemin de bifurcations très proche de celui de l’application logistique. (...) Les exemple de turbulence sont nombreux dans la nature, ne serait-ce que quelques gouttes de lait versées dans une tasse de thé. La turbulence peut se décrire schématiquement comme un processus dissipatif dans lequel l’énergie cinétique du fluide est progressivement transférée depuis des tourbillons de grande taille vers les processus microscopiques de dissipation liés à la viscosité. Ce transfer se produit au moyen d’une cascade de tourbillons de taille plus petites. C’est à cette cascade qu’on pourra appliquer le concept de géométrie fractale."

CYCLONE KATRINA

ATTRACTEUR ÉTRANGE DE LA TURBULENCE

NUAGES, STRUCTURE AUTO-ORGANISEE, DISSPATIVE ET INSTABLE, INTERFACE DYNAMIQUE ET FRACTALE DES PHASES GLACE, LIQUIDE ET VAPEUR D’EAU DANS L’AIR

« Le type de nuages convectifs connus sous le nom de cumulus sont produits par les vents verticaux qui ont lieu dans des régions d’air chaud et humide, par le principe d’Archimède. Ce soulèvement rapide a comme conséquence l’expansion adiabatique et le refroidissement de l’air, et la formation conséquente de gouttelettes d’eau. Leur distribution irrégulière disperse la lumière du soleil géometriquement dans toutes les directions, produisant l’aspect blanc lumineux typique de la neige, évoluant en nuances de gris de par leur épaisseur optique. Chaque nuage est de vie courte, durant environ 15 minutes en moyenne. » Tiré de : 1. H. R. Pruppacher, J. D. Klett, “Microphysics of clouds and precipitation“, Springer (1997) ; R. A. Houze, “Cloud Dynamics“, Academic Press (1994) 2. Sarah Robinson, Flow Visualization Course, University of Colorado

La turbulence et les phénomènes non-linéaires

Université de tous les savoirs

Uriel Frisch

La turbulence

« Le sujet est très interdisciplinaire et touche, comme vous le verres, aussi bien à la physique, à la mécanique des fluides, à la météorologie et à l’astrophysique. (…) Le mot « turbulence » signifiait à l’origine « mouvement désordonné de foule » (en latin tuba signifie foule). Au Moyen Âge « turbulences » était utilisé comme synonyme de « troubles ». (…) Tout d’abord, la turbulence fait partie de l’expérience quotidienne : nul besoin d’un microscope ou d’un télescope pour observer les volutes de la fumée d’une cigarette, les gracieuses arabesques de la crème versée dans le café, ou les enchevêtrements de tourbillons dans un torrent de montagne. Ce que nous voyons est très complexe, très désordonné, mais c’est très loin d’être le désordre total. Quand on regarde un écoulement turbulent, même en instantané, sur une photo, ce que l’on voit est autrement plus fascinant que le chaos total obtenu, par exemple, en projetant une poignée de sable sec sur une feuille de papier. La turbulence, quand vous l’observez, est pleine de structures, en particulier de « tourbillons », entités connues depuis l’Antiquité, étudiées et peintes par Léonard de Vinci (qui fut sans doute le premier à utiliser le mot de turbulence – torbolenza en italien – pour décrire les mouvements complexes de l’eau ou de l’air). Je crois que c’est ce mélange intime d’ordre et de désordre qui en fait à la fois le charme et, il faut bien le dire, une des principales difficultés.

Il est très facile d’obtenir de la turbulence. En fait, chaque fois qu’un fluide s’écoule autour d’un obstacle, par exemple dans le sillage d’un bateau, et si la vitesse est suffisante, on aura de la turbulence. On en trouve donc un peu partout : la circulation du sang à l’intérieur des vaisseaux sanguins, les écoulements de l’air autour d’une automobile ou d’un avion – responsable des fameuses « turbulences » pour lesquelles on nous demande d’attacher nos ceintures -, ou encore les mouvements de l’atmosphère en météorologie, les mouvements du gaz constituant les étoiles comme notre Soleil et enfin les fluctuations de densité de l’Univers primitif donnant naissance ultérieurement aux grandes structures de l’Univers actuel, comme les amas de galaxies. (…)

Les équations qui gouvernent les mouvements des fluides qu’ils soient turbulents ou non, ont été écrites pour la première fois par Claude Navier en 1823. Elles sont souvent appelées équations de Navier-Stockes en raison des perfectionnements apportées ultérieurement par George Stokes. En fait, il s’agit essentiellement des équations de Newton, qui relient la force et l’accélération, équations qu’il faut appliquer à chaque parcelle de fluide ce qui fut fait pour la première fois par Leonard Euler il y a trois siècles. L’apport crucial de Navier a été d’ajouter aux équations d’Euler un terme de friction entre les diverses couches de fluide proportionnel au coefficient de viscosité et aux variations de vitesse. Ces équations, que l’on sait par exemple résoudre avec l’ordinateur, comprennent encore des défis majeurs sur lesquels je vais revenir.

La turbulence est devenue une science expérimentale vers la fin du 19ème siècle quand l’Anglais Osborne Reynolds a pu observer la transition du régime laminaire au régime turbulent. Vous savez que, dans un tuyau, si l’eau passe lentement, on aura des filets bien réguliers, c’est-à-dire un écoulement laminaire. Si elle va trop vite, il apparaît un grand nombre de tourbillons et les pertes de charge dans le tuyau vont être très différentes. Reynolds a pu mettre en évidence des lois assez simples relatives à n’importe quel tuyau pour cette transition vers la turbulence ; il introduisit un nombre appelé depuis nombre de Reynolds, qui n’est autre que le produit du diamètre du tuyau et de la vitesse moyenne d’écoulement dans le tuyau, le tout divisé par la viscosité du fluide. (…) Reynolds a montré que lorsque ce nombre dépasse une certaine valeur critique, de l’ordre de quelques milliers, l’écoulement devient turbulent tout d’un coup. Des transitions analogues mais plus spectaculaires s’observent dans des écoulements ouverts derrière un cylindre. Léonard de Vinci avait déjà vu le phénomène d’allée tourbillonnaire et l’avait représenté de façon presque correcte.

Une caractéristique très importante de ces écoulements turbulents, qui apparaît dès la transition, est leur caractère chaotique. De façon plus précise, les écoulements turbulents apparaissent comme non prévisibles. Qu’est-ce que cela veut dire, non prévisibles ? Supposons que l’on connaisse de façon détaillée la configuration de l’écoulement à un instant donné. Alors, bien que cet écoulement soit régi par des équations bien déterminées, déterministes comme on dit, dans la pratique il n’est pas possible de prédire l’évolution ultérieure pour des temps longs. (…)

En géophysique et en astrologie, des nombres de Reynolds gigantesques de centaines de millions et bien au-delà sont monnaie courante. Un point très intéressant est que, lorsqu’on augmente le nombre de Reynolds, ce qui peut se faire par exemple en diminuant la viscosité, il apparaît de plus en plus de tourbillons de petite taille (…) que l’on appelle des « degrés de liberté ». Lorsqu’il y a beaucoup de degrés de liberté, c’est ce que l’on appelle le régime de turbulence développée. (…) Dans un problème à grand nombre de Reynolds, les effets de frottement visqueux sont limités aux plus petits tourbillons (…) On ne sait pas alors si l’équation de Navier-Stokes pose bien le problème. (…) Le fluide pourrait se conduire comme un mobile dont l’accélération serait proportionnelle au carré de la vitesse, hypothèse qui conduit à une augmentation catastrophique de la vitesse. (…)

Bien que ces phénomènes soient parfaitement décrits par la mécanique de Newton, sans qu’il soit nécessaire de faire intervenir la mécanique quantique ou la mécanique relativiste, (…) cette physique classique comporte encore quelques grands mystères. »

SITE Matière et Révolution : www.matierevolution.fr

Pourquoi ce site mêle révolution, sciences, philosophie et politique ?


Pourquoi parler de révolution en sciences ?

La nature en révolution

Simulation de la turbulence sur ordinateur

La turbulence

Cyclone

POUR LIRE SUR LE THEME Qu’est-ce que la turbulence par Uriel Frisch :

Conférence de tous les avoirs sur "la turbulence"

Qu’est-ce que la turbulence

Marie Farge :

Extraits de « Evolution des théories sur la turbulence développée », article de l’ouvrage collectif « Chaos et déterminisme » :

« La mécanique hamiltonienne ne traite que des états stables, ou au voisinage de l’équilibre, et ne décrit que des phénomènes conservatifs donc réversibles, alors que les écoulements turbulents sont hautement instables et dissipatifs, donc irréversibles ; de plus, la dynamique classique a toujours raisonné à partir de systèmes composés de peu d’éléments en interaction et non d’un très grand nombre de degrés de liberté comme c’est le cas en turbulence développée. Si on regarde du côté des mathématiques, alors que la résolution d’équations différentielles linéaires ne pose guère de problèmes, elles n’ont pas le moyen de résoudre analytiquement les équations aux dérivées partielles non linéaires décrivant l’évolution des écoulements turbulents, ni même en général celui de prouver l’existence et l’unicité de leurs solutions. Enfin, pour comprendre les phénomènes physiques, la méthode suivie jusqu’à présent est le plus souvent réductionnisme, tandis que l’étude de la turbulence développée demande probablement une vision plus globale, dans la mesure où l’on ne peut plus dans ce cas isoler le comportement d’une partie de celui de l’ensemble. (…) Si l’écoulement est laminaire, c’est-à-dire non turbulent, son évolution est prévisible et l’information décrivant l’état du système au temps t est en principe suffisante pour connaître l’état de celui-ci pour tout temps. Le seul problème reste alors le fait que pour connaître l’état de l’écoulement au temps t, c’est-à-dire la position et la vitesse de tous les éléments fluides qui le composent, la quantité d’information est énorme et hors d’atteinte de nos appareils de mesure. Cette limitation de nos facultés d’observation n’a cependant pas de conséquence sur la prédictibilité de l’écoulement si celui-ci est laminaire. En effet, dans ce cas, si au temps t, on fait une erreur quant à la description de l’état du système, cette erreur reste la même pour tout temps, ou n’évolue que très lentement, car la dynamique d’un écoulement laminaire est stable. Elle n’amplifie pas exponentiellement l’erreur initiale et n’est donc pas « sensible aux conditions initiales ». Si, par contre, l’écoulement est turbulent, il en va tout autrement : le système est devenu très instable et sensible aux conditions initiales. »


MOTS CLEFS :

dialectiquediscontinuitéphysique quantiquerelativitéchaos déterministeatomesystème dynamiquestructures dissipativespercolationnon-linéaritéquantaémergenceinhibitionboucle de rétroactionrupture de symétrie - turbulencemouvement brownienle temps - contradictionscrisetransition de phasecriticalité - attracteur étrangerésonanceauto-organisationvide - révolution permanente - Zénon d’Elée - Antiquité - Blanqui - Lénine - TrotskyRosa LuxemburgPrigogine - Barta - Gould - marxisme - Marx - la révolution - l’anarchisme - le stalinisme - Socrate


Détails de la turbulence simulée sur une surface magnétique. En haut, les perturbations se noient dans le « bruit numérique ». En bas, de nouvelles méthodes numériques de filtrage ont permis d’éliminer ce comportement non physique. Images : L. Villard

La turbulence dans les plasmas

Sur la turbulence

Turbulence et déterminisme

Article paru sur www.larecherche.fr :

(1980) David Ruelle

Les attracteurs étranges (texte intégral)

Nombreux sont les phénomènes naturels dont l’évolution temporelle peut être décrite par des équations différentielles déterminées. Résoudre ces dernières doit nous permettre de répondre à la question : que devient le système au bout d’un temps assez long ? Dans certains cas, son comportement dynamique devient chaotique et le traitement informatique des mesures effectuées permet alors de visualiser un attracteur étrange. Cet objet mathématique, abstrait, formé par une infinité de feuillets ou d’anneaux et repliés sur eux-mêmes, devrait nous aider à élucider les mécanismes fondamentaux de la turbulence, les réactions chimiques, les prévisions météorologiques, la génétique des populations bactériennes, etc.

On rencontre fréquemment en physique, en chimie, et en biologie des populations par exemple, des systèmes dont l’évolution dans le temps présente un aspect irrégulier, non périodique, « chaotique ». Que l’on pense par exemple à la fumée s’élevant au-dessus d’une cigarette : à une certaine hauteur apparaissent des oscillations compliquées, qui semblent défier la compréhension. Les lois qui régissent l’évolution temporelle du système (l’ensemble des particules de fumée en suspension dans l’air plus ou moins chaud) sont bien définies et déterministes, mais le système parait mû par une volonté propre qui lui fait adopter un comportement fantaisiste et complexe.

Des physiciens, des chimistes, des biologistes, et aussi des mathématiciens, ont cherché à comprendre cette situation ; ils ont été aidés par le concept d’attracteur étrange et par l’utilisation des ordinateurs.

Le temps découpé en tranches.

Les attracteurs étranges sont des objets mathématiques abstraits, auxquels les ordinateurs ont donné de la vie et un visage. Ils sont nés d’un désir très ancien : comprendre le comportement des systèmes naturels. Pour ce faire, l’approche consiste à essayer de modéliser les phénomènes physiques, chimiques ou biologiques, en définissant les états d’un système par un certain nombre de paramètres. Ces paramètres (que nous notons xi, x2, ... xn dans un formalisme mathématique) correspondraient, en chimie par exemple, aux concentrations des différents réactifs mis en jeu dans le système.

Nous savons qu’au cours d’une réaction les réactants sont consommés, alors que des produits nouveaux se forment. Dans le temps, les concentrations de toutes ces substances varient donc continûment et leur connaissance à un instant donné définit parfaitement l’état du système. Supposons maintenant que ces données soient transmises à un enregistreur ayant pour but de représenter graphiquement l’évolution temporelle du système. Si l’information consiste en deux concentrations seulement, l’enregistreur peut marquer sur une feuille de papier un point dont les coordonnées sont ces deux concentrations. Ce point décrit un état instantané du système. Si, pour une raison quelconque, le système adopte un comportement chaotique, alors on pourra voir apparaître sur la feuille de papier un attracteur étrange à deux dimensions. N’allons pas imaginer que la forme de cet attracteur a la moindre ressemblance avec l’une quelconque des figures observées dans l’expérience. Par exemple, celui que nous dessinerons à propos de la turbulence des fluides n’a rien à voir avec les tourbillons visualisés par l’expérimentateur. L’objet attracteur étrange consiste en une infinité de points, chacun d’eux représentant un état du système chaotique considéré, mais il n’a pas de réalité physique. Dans le cas de la turbulence atmosphérique l’attracteur ressemble à des ailes de papillon. En fait l’ordinateur ne trace qu’un nombre fini de points, suffisamment grand toutefois, pour visualiser l’attracteur. Quiconque a accès à un ordinateur pourra voir des attracteurs étranges, en reproduisant certaines des expériences décrites dans le texte. Nous verrons que, du point de vue purement mathématique, les paramètres n’ont pas besoin d’avoir, au départ, une signification particulière ; on peut créer des attracteurs étranges simplement en résolvant des équations.

Le premier problème auquel se trouve confronté le mathématicien désireux de décrire l’évolution d’un système est la variation continue du temps. Cependant, pour nous simplifier la vie, en un premier stade, nous ne considérerons que des valeurs entières du temps t (exprimées en dixièmes de secondes ou en années). Pour rendre compte de la dynamique d’un système, il nous suffit d’écrire les lois de variation dans le temps de chacun de ses paramètres. Ce sont des fonctions bien déterminées (Fi) qui nous permettent, connaissant les valeurs des paramètres à un instant t, d’en déduire celles de l’instant ultérieur t + 1. Ainsi [1]

xi (t + 1) = Fi (x1 (t), x2 (t),

xm (t + 1)= Fm (x1 (t), x2 (t), .... xm (t)).

Si nous connaissons les valeurs initiales des paramètres au temps t = 0, nous pouvons calculer successivement tous les xi (t) pour les temps t entiers positifs. Ainsi donc, si l’état du système dynamique au temps zéro est connu, nous pourrons calculer son état au temps t.

Pour rendre ces hypothèses plus concrètes, je souhaiterais revenir sur un exemple qui a une valeur historique puisque ce fut le premier attracteur étrange discuté en détail par un chercheur français, Michel Hénon, de l’observatoire de Nice. Son calcul avait des ambitions très modestes, et la première fois qu’il l’effectua, il disposait, en tout et pour tout, d’une calculatrice de poche programmable.

Ensuite, il est passé à une machine plus puissante. Dans les deux cas, il est parti d’un système à deux paramètres x et y et de deux équations permettant de calculer x(t+1), y(t+1) en fonction de x(t) et y(t) qui sont :

x(t+1) = y(t) +1 - a x2(t)

y(t+1) = bx(t) [1’]

S’étant donnés les valeurs initiales x(0), y(0) et a=1,4 et b=0,3, il a pu calculer x(t) et y(t) pour t=1, 2, .... 10 000 en gardant partout une précision de seize chiffres significatifs. Fait « à la main » ce calcul prendrait de nombreux mois et, comme son intérêt n’est pas évident (pas d’application immédiate à l’étude d’un système naturel) personne ne l’a entrepris. Pour un ordinateur, cette tâche fastidieuse et répétitive est sans problème et s’il est muni d’une table traçante, il peut marquer en un temps assez bref les 10 000 points de coordonnées x(t), y(t). De manière inattendue, les points viennent se placer sur un système de lignes de structure complexe (fig. 1). A l’origine de ce résultat, il y avait un choix, celui du point initial défini par x(O) et y(O), d’où la deuxième idée de M. Hénon : que se passe-t-il lorsqu’on change [x(0), y (0)] ? Eh bien, si ce couple initial est mal choisi, le point [x(t), y(t)] s’éloignera vers l’infini (et sortira en particulier du cadre de la feuille). Si on le choisit « bien », alors [x(1), y(1)], [x(2), y(2)], ... se rapprocheront rapidement d’un « tas de spaghetti » (1) (fig. 1A) dont l’aspect général sera reproduit quand on aura marqué quelques milliers de points. Ce « tas de spaghetti » est précisément l’attracteur de Hénon. Il est étrange. Entre autres curiosités, notons que, si l’on change un peu a et b, l’attracteur peut disparaître ou changer de nature. Prenons par exemple a=1,3 et b=0,3, alors lorsque t devient très grand les points ne se rapprochent plus du tas de spaghetti mais d’un ensemble de sept points (fig. 1 D). Nous n’osons plus parler d’attracteur étrange, et l’attracteur est alors dit périodique (de période 7), car les points dessinés aux instants t, t+7, t+14, viennent se superposer. Ce résultat est quelque peu gênant du point de vue mathématique. En effet, n’ayant pas encore pu démontrer que l’application qui définit l’attracteur de Hénon n’avait pas que des attracteurs périodiques, rien ne nous permet d’affirmer que le premier attracteur est bel et bien étrange. Son existence est donc, pour l’instant, une croyance basée sur des calculs d’ordinateur !

Un boudin dont on connaît la recette.

Un autre exemple d’attracteur étrange vaut sûrement la peine d’être décrit. Il est tout d’abord, esthétiquement, plus intéressant car il se développe dans l’espace à trois dimensions (n=3). Mais il est surtout bien compris sur le plan mathématique grâce aux travaux de Steve Smale (2) de Berkeley. Cette fois, nous n’écrivons pas les équations de passage de x(t) à x(t+1), mais nous définissons géométriquement les passages du système, d’un état au suivant. En fait, nous supposons que la transformation (F) prend l’anneau A (le tore solide de la fig. 2A) l’étire, le comprime transversalement, et l’enroule de manière que le résultat, c’est-à-dire l’image F(A), soit contenu dans A et fasse maintenant deux fois le tour du trou central. Partant d’un point X0 dans l’anneau A, on peut marquer les points X1, X2, ... jusqu’à X5000 et l’on voit alors se dessiner un nouvel attracteur étrange. Il est assez fascinant d’observer la table traçante sur laquelle est exécuté le dessin. A chaque seconde à peu près, un nouveau point est marqué, avec un clic sonore et de manière apparemment erratique. Ce n’est qu’au bout d’un temps assez long que l’on peut deviner la forme finale de la figure. Cet attracteur a été appelé solénoïde. Il fait en effet penser à un enroulement de fils autour d’un axe. Pour expliquer son aspect, il faut noter que le solénoïde en question est non seulement contenu dans l’anneau A, mais aussi dans ses images successives qui sont des « boudins » très minces qui tournent de nombreuses fois autour du trou central.

Dans les deux exemples que nous avons décrits, on constate qu’une petite erreur (ou incertitude) sur les données initiales [x (0), y(0)] ou X0 entraîne une erreur sur les valeurs ultérieures [x(t), y(t)) ou Xt qui croît rapidement avec t ; mais la question cruciale qui se pose alors est : comment les erreurs croissent-elles avec le temps ?

Rappelons-nous que les paramètres x1(t) x2(t) .... xm(t) doivent décrire un système physique, chimique ou biologique au temps t ; on suppose que le système a une évolution temporelle déterministe définie par des équations. Avec quelle précision pourrons-nous prédire l’évolution si les valeurs initiales sont entachées d’une petite erreur comme c’est toujours le cas pour des données expérimentales ? Comment l’erreur va-t-elle croître (ou décroître) quand t augmentera ? La réponse pourra bien sûr dépendre des équations et des valeurs initiales.

Tout dépend du temps zéro.

Pour le solénoïde, un raisonnement simple conduit à affirmer que l’erreur croît exponentiellement avec le temps. L’expérience montre que cette affirmation est encore valable pour l’attracteur de Hénon. On dit que les deux systèmes dynamiques considérés ont une dépendance sensitive par rapport aux conditions initiales (« dépendance SCI »).

Jusqu’à présent nous avons essayé d’appréhender le concept d’attracteur étrange sans trop introduire de mathématiques. La raison en est simple : la théorie mathématique des attracteurs étranges est difficile et encore peu développée, nous n’essaierons donc pas de donner une définition mathématique de ces objets. En pratique, cependant, si l’application répétée d’une transformation F produit des points X1, X2,... qui s’accumulent sur un ensemble A, et s’il y a dépendance SCI, on dira que A est un attracteur étrange.

La première publication contenant l’expression « attracteur étrange » semble être un article dont je suis coauteur (Ruelle et Takens). Mais l’expression avait été utilisée oralement avant cela. Je ne sais pas qui l’a inventée, c’est un beau nom, bien approprié pour ces objets étonnants et que nous comprenons si mal.

A côté des attracteurs étranges et bien mieux connus, il ne faudrait pas oublier les attracteurs non étranges. Par exemple le point fixe attractif : c’est un point A tel que le point Xt de coordonnées x1(t), x2(t)..., xm(t) s’approche indéfiniment de A quand t augmente à condition toutefois d’avoir choisi le point de départ X0 dans un voisinage de A. Dans ce cas, les erreurs ne peuvent que décroître quand t augmente. Les points fixes attractifs font partie des attracteurs périodiques que nous avons déjà rencontrés. Un attracteur périodique est quant à lui formé d’un nombre fini de points.

Les points fixes attractifs sont connus depuis longtemps, ils décrivent une situation asymptotiquement stationnaire. En d’autres termes, lorsque t devient très grand, Xt n’en dépend pratiquement plus. De même les attracteurs périodiques décrivent une situation asymptotiquement périodique. On s’était habitué à l’idée que les phénomènes naturels ont un comportement asymptotique, soit stationnaire, soit périodique. Ce n’est que récemment qu’on s’est intéressé au comportement « chaotique », avec dépendance SCI, de nombreux phénomènes naturels.

Une part de modélisation.

Les physiciens, chimistes et biologistes décrivent les systèmes auxquels ils ont affaire comme des systèmes dynamiques régis par des équations du type [1] (ou des équations différentielles dans cas d’une évolution temporelle continue). Cette description comporte une part de modélisation qu’il ne faut pas sous-estimer : certains paramètres sont choisis comme variables x1, .... xm, d’autres sont ignorés, les mesures faites sont entachées d’erreurs, etc. Néanmoins, une telle modélisation est à la base de toute science, et un chercheur consciencieux doit montrer que le système qu’il considère obéit à des lois déterministes du type [1], avec une bonne approximation. On peut alors voir si des attracteurs étranges apparaissent, soit par l’étude directe des résultats expérimentaux, soit par simulation sur ordinateur. De cette manière le « chaos » qui apparaît dans certains phénomènes devient compréhensible, et l’on peut espérer que cette compréhension donnera lieu à des applications pratiques. Pour le moment l’étude des évolutions temporelles chaotiques ou « turbulentes » dans les phénomènes naturels n’en est qu’à ses débuts, et progresse lentement. La lenteur du progrès est due aux difficultés expérimentales d’une part, aux insuffisances théoriques d’autre part. En l’absence d’une théorie mathématique satisfaisante, les ordinateurs jouent un rôle de premier plan dans l’interprétation des données.

Nous allons maintenant discuter quelques exemples de phénomènes chaotiques, en particulier de turbulence des fluides, mais il faudra pour cela que nous utilisions un temps continu, et non plus « discret ».

Les battements d’ailes de l’attracteur de Lorenz.

Tout comme il existait des équations définissant une évolution temporelle déterministe avec un temps discret, il en existe pour le temps continu, ce sont les équations différentielles. Vous n’avez pas besoin de les connaître pour comprendre l’attracteur qui doit son nom à Edward Lorenz, professeur au département de météorologie du MIT. Il fut le premier à écrire et à étudier les équations (3) de cet attracteur. Il souhaitait alors donner une description approchée d’une couche horizontale de fluide chauffée par le bas. Le fluide chaud formé à la base de la couche, étant plus léger, a tendance à s’élever en créant des courants de convection, comme l’a démontré Bénard au XIXe siècle. Si le chauffage est assez intense, la convection se fait de manière désordonnée, turbulente. L’attracteur de Lorenz décrit cette convection turbulente . Puisqu’un tel phénomène se produit dans l’atmosphère terrestre, et qu’il a une dépendance sensitive (SCI) par rapport aux conditions initiales, on comprend que le météorologiste ne puisse prédire l’état de l’atmosphère avec précision, longtemps à l’avance. E. Lorenz a donc bien mérité de la météorologie en donnant une justification raisonnable aux errements des prévisions du temps.

Les prévisions météorologiques sont malaisées, car les phénomènes de turbulence des fluides sont mal connus. La turbulence est un des grands problèmes non résolus de la physique théorique. Elle est pourtant facilement observable, il vous suffit d’ouvrir en grand le robinet de la cuisine ou de la salle de bains. La nature de la turbulence est cependant encore fort mystérieuse et controversée.

On peut en principe décrire l’évolution temporelle d’un fluide visqueux à l’aide d’équations. Le premier problème qui se pose à nous, et nous ne considérons que celui-ci, consiste à prendre un nombre infini de paramètres ; car l’état du fluide à un instant donné nécessite une infinité de variables pour sa description. Mathématiquement nous écrivons X(t) et G au lieu de x1(t), x2(t).... et G1, G2.... Les équations prennent alors la forme compacte

dt X(t) = Gm (X(t)) [2]

dt

Le paramètre m est là pour indiquer avec quelle intensité nous agissons sur le fluide. Dans l’exemple du robinet, m pourrait correspondre au degré d’ouverture du robinet. Dans les problèmes d’hydrodynamique, le rôle de m est tenu par un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds.

Si m = 0, c’est-à-dire si l’on n’agit pas sur le fluide, celui-ci tendra (à cause de sa viscosité) vers un état de repos X(t) = X. Cela correspond à un point fixe attractif X0 pour notre système dynamique. Pour m petit on observe encore un état stationnaire X(t) = X m (régime laminaire). Souvent quand m augmente on observe ensuite des oscillations périodiques dans le fluide. Cette situation correspond à un attracteur périodique pour un temps continu, c’est-à-dire à un cercle ou « cycle limite attractif ». Quand on augmente encore m, le mouvement du fluide devient irrégulier, chaotique : c’est la turbulence.

Quand j’ai commencé à m’intéresser la turbulence, vers 1970, l’article de Lo.renz de 1963 n’était pas connu des physiciens et mathématiciens. La théorie la plus acceptée était celle de Lev D. Landau (4) de Moscou. D’après cette théorie pour un fluide turbulent on a

X(t) = fk (w1t, w2 t, ... wkt)

où fk est une fonction périodique de période 2p et w1, w2 sont des fréquences indépendantes. La fonction X(t) que nous utilisons pour dessiner l’attracteur est, elle, quasi périodique elle a bien l’aspect non périodique et irrégulier qui correspond à la turbulence, mais une petite erreur sur les conditions initiales remplace simplement w1t, w2 t, ... wkt par w1t + a1, ... wkt + ak avec a1.... ak petits, on n’a donc pas de dépendance SCI.

Au lieu d’utiliser un attracteur quasi périodique (ici un tore à k dimensions) pour interpréter la turbulence, il était tentant de faire appel aux attracteurs étranges. D’autant plus que ces derniers ne sont pas « fragiles » au sens que le mathématicien René Thom, fondateur de la théorie des catastrophes, donne à cet adjectif. C’est-à-dire qu’ils ne risquent pas de disparaître brusquement sous l’action d’un stimulus même très petit. Attiré par cette remarque, je démontrai qu’une petite perturbation de l’équation [2] pouvait faire disparaître l’attracteur quasi-périodique et que si k est supérieur ou égal à 3, on obtenait alors un attracteur étrange qui, lui, persistait. J’ai publié ce résultat en 1971 avec Floris Takens, de Gronigen. (5) Dans cet article, nous avions proposé l’idée que la turbulence est décrite par des attracteurs étranges.

Restait à confirmer que les attracteurs étranges donnent une meilleure description de la turbulence que les attracteurs quasi périodiques. On ne peut malheureusement pas directement tester la dépendance SCI en hydrodynamique. On peut par contre analyser, en fréquences, la vitesse du fluide en un point, considérée comme fonction du temps, et tracer le spectre de fréquence du fluide (fig. 4). S la fonction du temps est quasi périodique, le spectre de fréquence sera formé de pics discrets aux fréquences w1 ... wk et, par contre, si l’évolution temporelle est gouvernée par un attracteur étrange, on peut obtenir un spectre de fréquence continu.

On savait que le spectre de fréquence d’un fluide turbulent est continu, mais on attribuait la chose à l’accumulation d’un grand nombre de fréquences indépendantes w1 ... wk simulant, à la limite, un spectre continu. Récemment (1974-75), des expériences délicates effectuées en particulier par Guenter Ahlers du Bell Labs (Murray Hill, N.J.) et par Jerry Gollub et Harry Swinney au City College, à New York (6), ont montré qu’il en était autrement. Quand on augmente le paramètre m décrivant le système, l’installation du spectre continu caractéristique de la turbulence se fait rapidement et sans accumulation de nombreuses fréquences discrètes indépendantes. Ainsi donc il semble bien que l’apparition de la turbulence corresponde à l’apparition d’attracteurs étranges.

De la turbulence un peu partout.

Ce n’est pas parce que la turbulence peut être interprétée à l’aide d’attracteurs étranges qu’il faut en déduire que tous les systèmes mécaniques donnent lieu à des attracteurs. Les systèmes mécaniques sans frottement (conservatifs) ne feront jamais appel à des attracteurs quels qu’ils soient, bien que certains d’entre eux présentent une dépendance SCI.

En effet, un théorème de mécanique (le théorème de Liouville) affirme que l’élément de volume, dans l’espace des phases, est conservé pendant l’évolution temporelle, et cela empêche la contraction de volume que l’on observe dans le voisinage d’un attracteur.

Les systèmes physico-chimiques qui donnent lieu à des attracteurs étranges sont les systèmes dissipatifs, c’est-à-dire ceux pour lesquels une forme « noble » d’énergie (énergie mécanique, chimique, électrique, etc.) se transforme en chaleur, énergie « dégradée » disent certains. Ces systèmes ne présentent d’ailleurs un comportement intéressant que s’ils ont une source constante d’énergie noble (sinon ils tendent vers le repos).

Je demandai en 1971 à un chimiste compétent en la matière s’il pensait que l’on découvrirait des réactions chimiques à comportement temporel chaotique (on connaît des réactions chimiques périodiques : voir l’encadré). Il me répondit que si un expérimentateur obtenait un tracé chaotique dans l’étude d’une réaction, il jetterait l’enregistrement à la poubelle, disant que l’expérience était ratée. Les choses, heureusement, ont changé. Des réactions chimiques non périodiques sont maintenant connues : la réaction de Zhabotinski-Belloussov dont on aurait modifié les conditions opératoires, par exemple. Correspondent-elles à un attracteur étrange ou à un attracteur quasi périodique ? Ce n’est pas encore clair.

Le magnétisme terrestre fournit peut-être un exemple d’attracteur étrange. On sait en effet que le champ magnétique de la Terre se renverse à des intervalles irréguliers, cela s’est produit au moins seize fois dans les quatre derniers millions d’années (la Recherche n’ 97, p. 180, février 1979). Les géophysiciens ont écrit des « équations dynamo » dont les solutions chaotiques rendent compte des changements de direction du champ. Il n’existe cependant pas encore de théorie quantitativement satisfaisante.

Les écologistes ont étudié des modèles non périodiques en dynamique des populations. Si m espèces ont, en l’an t+1, des populations x1(t+1), ..., xm(t+1) déterminées par des équations, en fonction des populations de l’an t, on peut s’attend re à trouver des attracteurs étranges.

On imagine sans peine que les attracteurs étranges puissent aussi jouer un rôle en économie où les processus périodiques (cycles) sont bien connus.

L’application des idées que nous avons discutées pose souvent de sérieux problèmes méthodologiques. Comment maintenir les conditions expérimentales constantes et faire des mesures précises ? La reconnaissance du rôle des attracteurs étranges dans de nombreux problèmes est cependant un grand progrès conceptuel. Les fluctuations non périodiques d’un système n’indiquent pas nécessairement une expérience « gâchée » par de mystérieuses forces aléatoires, mais souvent un système dynamique avec un attracteur étrange, que l’on peut essayer de comprendre.

Je n’ai pas parlé de l’attrait esthétique des attracteurs étranges. Ces systèmes de courbes, ces nuages de points évoquent parfois des galaxies, ou des feux d’artifice, et parfois de bien étranges et inquiétantes floraisons. C’est tout un monde de formes qui restent à explorer, et d’harmonies qui restent à découvrir.

David Ruelle

On connaît depuis une vingtaine d’années une réaction chimique périodique dans le temps. Plus exactement elle présente des oscillations, avec une période de l’ordre de la minute, qui se poursuivent pendant peut-être une heure, jusqu’à épuisement des réactants. Si l’on fournissait les réactants de manière continue, en enlevant les produits de réaction, les oscillations continueraient indéfiniment. La réaction est, en gros, l’oxydation de l’acide malonique par un bromate, catalysée par du cérium. L’expérience est assez facile à réaliser : voici la recette.

Acide malonique 0,3 M

Nitrate céreux 0,005 - 0,01 M

Acide sulfurique 3,0 M

Bromate de sodium 0,05 - 0,1 M

Ferroïne un peu

M signifie « molaire », par exemple l’acide sulfurique apparaît à la concentration de trois moles par litre. La ferroïne est un indicateur d’oxydo-réduction (obtenu en mettant dans de l’eau un peu d’ophénanthroline et de sulfate ferreux). En pratique on prépare deux solutions, une avec certains réactants, l’autre avec les autres, et l’on mélange quand on veut voir le phénomène.

Après dilution de l’acide sulfurique il faut attendre que la solution qui le contient refroidisse, sinon les oscillations seraient tellement rapides que l’on ne verrait rien du tout. Les oscillations sont visualisées par la ferroïne qui vire du bleu au rouge en passant par le violet. Pendant ce temps l’ion cérium vire (avec un certain décalage) du jaune pâle à l’incolore. On en voit donc de toutes les couleurs.

La réaction de Beloussov-Zhabotinski, que nous venons de décrire, a fort étonné les chimistes quand ils l’ont découverte. On connaît maintenant d’autres réactions chimiques périodiques, en particulier dans des systèmes d’origine biologique (filtrats de cellules). On ne sait pas si ces dernières réactions ont une signification physiologique.

L’article de Ruelle-Takens sur la turbulence

Ruelle, le film

La turbulence et les phénomènes non-linéaires

Turbulence et climat

MOTS CLEFS :

dialectiquediscontinuitéfractales - physique quantiquerelativitéchaos déterministeatomesystème dynamiquestructures dissipativespercolationirréversibiliténon-linéaritéquantaémergenceinhibitionboucle de rétroactionrupture de symétrie - turbulencemouvement brownienle temps - contradictionscrisetransition de phasecriticalité - attracteur étrangerésonancepsychanalyse - auto-organisationvide - révolution permanente - Zénon d’Elée - Antiquité - Blanqui - Lénine - TrotskyRosa LuxemburgPrigogine - Barta - Gould - marxisme - Marx - la révolution - l’anarchisme - le stalinisme - Socrate - socialisme - religion

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7 Messages de forum

  • Qu’est-ce que la turbulence ? 17 mai 2009 10:48, par moshé

    La turbulence désignant l’état d’un fluide liquide ou gaz, dans lequel la vitesse présente en tout point un caractère tourbillonnaire : tourbillons dont la taille, la localisation et l’orientation varient constamment. Les écoulements turbulents se caractérisent donc par une apparence très désordonnée, un comportement difficilement prévisible et l’existence de nombreuses échelles spatiales et temporelles. De tels écoulements apparaissent lorsque la source d’énergie cinétique qui met le fluide en mouvement est relativement intense devant les forces de viscosité que le fluide oppose pour se déplacer. À l’inverse, on appelle laminaire le caractère d’un écoulement régulier.....donc je voulais savoir,
    quelle est la source de la turbulence ???
    peut-on parler une situation géographique en parlant de la turbulence ???
    l’ouragan n’est-il pas issu de la turbulence ??? s de bko..

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    • Qu’est-ce que la turbulence ? 19 mai 2009 20:21, par Robert Paris

      La turbulence est une discontinuité de l’écoulement de l’air, qui se manifeste par une rafale, c’est à dire par un brusque changement en intensité ou direction du vent.
      Une masse d’air instable favorise le passage à un écoulement du type turbulent.

      Les types de turbulence sont multiples :

      la turbulence dynamique d’obstacle, observée sous le vent d’un obstacle mal profilé, c’est à dire non " aérodynamique ", les remous pouvant se propager en aval sur une distance égale à plusieurs fois la hauteur de l’obstacle

      la turbulence dynamique de pente, présente dans les pentes exposées au vent aux cassures de terrain, dans toutes les pentes sous le vent, des tourbillons d’axe horizontal du type " rotor " de faible diamètre ou " rouleau " de plus grand diamètre peuvent alors apparaître

      la turbulence de surface, observée lorsqu’une masse d’air s’écoule sur un sol plat et provoque des tourbillons de surface, lorsque la masse d’air est froide et instable, le sol humide, une couche soudée de stratus, stratocumulus, altocumulus, ou cirrocumulus, peut se former

      la turbulence de vallée, observée lorsque le vent soufflant perpendiculairement à l’axe d’une vallée forme d’intenses tourbillons, observée aussi au contact des parois de la vallée, le vent descendant étant alors le plus turbulent

      la turbulence par effet Venturi, observée lorsque le vent passant le sommet d’une pente accélère au niveau de ce resserrement de relief, par conservation du débit d’air dans l’écoulement

      la turbulence de nuage, se manifeste dans un tourbillon à axe horizontal, où la partie ascendante donne naissance à un nuage, ces nuages se rencontrant le plus souvent sous le vent des reliefs, au centre des vallées ou en situation de foëhn, dans la partie turbulente de ciel ondulatoire

      la turbulence thermique, due à des différences locales de température entre masse d’air

      la turbulence de cisaillement, due à un brusque changement du vent en direction ou en intensité

      la turbulence de sillage, constituée surtout de tourbillons contrarotatifs, correspond aux turbulences laissées par le passage de tout aéronef, son intensité est d’autant plus importante que l’appareil est lourd et l’incidence de vol élevée

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    • Qu’est-ce que la turbulence ? 20 mai 2009 15:07, par Robert Paris

      La turbulence est un des phénomènes caractéristique des systèmes dynamiques non-linéaires. Ils posent des problèmes multiples qui font que les scientifiques ont encore à se pencher sur eux. Ils sont dissipatifs et cela entraîne une particularité importante : ils sont sensibles aux conditions initiales et imprédictibles.

      La turbulence est présente dans beaucoup d’exemples de la vie courante et dans de nombreuses situations industrielles. Elle reste pourtant aujourd’hui un problème majeur de la physique fondamentale classique et un enjeu capital en matière de modélisation numérique. La turbulence dissipe l’énergie cinétique. L’équation de la dynamique des fluides contient effectivement une non-linéarité qui produit des solutions complexes et sensibles aux conditions initiales. Les tourbillons sont des structures qui ont des mouvements dont les extensions spatiales sont finies. Des structures tourbillonnaires en nappes et en tubes sont génériques en turbulence. La turbulence produit les petites échelles et produit la dissipation.

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      • Qu’est-ce que la turbulence ? 2 juin 2009 12:06, par S DE BKO.

        bonsoir, ça fait une semaine ou plus que vous ne m’écrivé pas sur le site je voulais et je n’ai pas vu la réponse à mes problèmes posés.sur le site ......

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        • Qu’est-ce que la turbulence ? 2 juin 2009 19:41, par Robert Paris

          N’aurais-tu pas vu les deux messages précédents ou y aurait-il des questions non résolues ? Bien entendu, la turbulence pose de des problèmes qui ne sont pas résolus. Mais la question que tu posais, j’ai bien cru y répondre...

          amitiés

          Robert Paris

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        • Qu’est-ce que la turbulence ? 3 juin 2009 10:25, par REPONSE DE MOSHE A S DEBO

          REPONSE A S DE BKO .oui tout tes problèmes posés on été répondu mais souvent ça défile vite donc si tu veut voir tes réponses il sufit devant ton ordi tu va sur le moteur de recherche et tu tapes par exemple les turbulences et en bat tu veras tes réonses et sur le problème de la relativité et sur le srilanka et sur les turbulanses.mais je te proposes de lire en entier les textes des problemes que tu poses.porte toi bien .

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