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Le chaos quantique

samedi 8 novembre 2008, par Robert Paris

Extraits de "Entre le temps et l’éternité" de Prigogine et Stengers :

"La raison du chaos quantique est l’apparition des résonances. (...) Ces résonances, qui caractérisent l’ensemble des situations fondamentales de la mécanique quantique, correspondent à des interactions entre champs (c’est-à-dire aussi aux interactions matière-lumière). On peut affirmer que notre accès au monde quantique a pour condition l’existence des systèmes chaotiques quantiques. (...)

« Nous avons surtout souligné les dimensions négatives du chaos dynamique, la nécessité qu’il implique d’abandonner les notions de trajectoire et de déterminisme. Mais l’étude des systèmes chaotiques est également une ouverture ; elle crée la nécessité de construire de nouveaux concepts, de nouveaux langages théoriques. Le langage classique de la dynamique implique les notions de points et de trajectoires, et, jusqu’à présent, nous-mêmes y avons eu recours alors même que nous montrions l’idéalisation – dans ce cas illégitime – dont elles procèdent. Le problème est maintenant de transformer ce langage, de sorte qu’il intègre de manière rigoureuse et cohérente les contraintes que nous venons de reconnaître.

Il ne suffit pas, en effet, d’exprimer le caractère fini de la définition d’un système dynamique en décrivant l’état initial de ce système par une région de l’espace des phases, et non par un point. Car une telle région, soumise à l’évolution que définit la dynamique classique, aura beau se fragmenter au cours du temps, elle conservera son volume dans l’espace des phases. C’est ce qu’exprime un théorème général de la dynamique, le théorème de Liouville. Toutes les tentatives de construire une fonction entropie, décrivant l’évolution d’un ensemble de trajectoires dans l’espace des phases, se sont heurtées au théorème de Liouville, au fait que l’évolution d’un tel ensemble ne peut être décrite par une fonction qui croîtrait au cours du temps. Or, un argument simple permet de montrer l’incompatibilité, dans le cas d’un système chaotique, entre le théorème de Liouville et la contrainte selon laquelle toute description définit le « pouvoir de résolution » de nos descriptions ; il existera toujours une distance r telle que nous ne pourrons faire de différence entre des points plus proches l’un de l’autre (…) La nouvelle description des systèmes dynamiques chaotiques substitue au point un ensemble correspondant à un fragment de fibre contractante. Il s’agit d’une description non locale, qui tient compte de la contrainte d’indiscernabilité que nous avons définie. Mais cette description n’est pas relative à notre ignorance. Elle donne un sens intrinsèque au caractère fini de nos descriptions : dans le cas où le système n’est pas chaotique, où l’exposant de Lyapounov est de valeur nulle, nous retrouvons la représentation classique, ponctuelle, et les limites mises à la précision de nos mesures n’affectent plus la représentation du système dynamique.

Cette nouvelle représentation brise également la symétrie temporelle. (…) Là où une seule équation d’évolution permettait de calculer l’évolution vers le passé ou vers le futur de points eux-mêmes indifférents à cette distinction, nous avons maintenant deux équations d’évolution différentes. L’une décrirait l’évolution d’un système vers un équilibre situé dans le futur, l’autre décrirait l’évolution d’un système vers un équilibre situé dans le passé.

L’un des grands problèmes de l’interprétation probabiliste de l’évolution vers l’équilibre était que la représentation probabiliste ne donne pas sens à la distinction entre passé et futur. (…) La nouvelle description dynamique que nous avons construite incorpore, en revanche, la flèche du temps (…) Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n’avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l’objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n’est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd’hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l’imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C’est en 1892, avec la découverte d’un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l’image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables. Comment comprendre cet énoncé ? Depuis les travaux de Hamilton, on sait qu’un même système dynamique peut être représenté de différentes manières équivalentes par une transformation dite canonique (ou unitaire) (…) L’hamiltonien du système est la grandeur qui détermine son évolution temporelle. Parmi toutes les transformations unitaires, il en existe une qui permet d’aboutir à une représentation privilégiée du système. C’est celle qui fait de l’énergie, c’est-à-dire de l’hamiltonien, une fonction des seuls moments, et non plus des positions. Dans une telle représentation, les mouvements des différentes particules du système sont décrits comme s’ils ne dépendaient plus des positions relatives des particules, c’est-à-dire comme si elles n’étaient plus en interaction. (…) Les mouvements possibles de tels systèmes ont donc la simplicité des mouvements libres. (…)

Or, en 1892, Poincaré montra qu’en général il est impossible de définir la transformation unitaire qui ferait des « actions » des invariants du système. La plupart des systèmes dynamiques n’admettent pas d’invariants en dehors de l’énergie et de la quantité de mouvement, et dès lors ne sont pas intégrables.

La raison de l’impossibilité de définir les invariants du mouvement qui correspondent à la représentation d’un système dynamique intégrable tient à un mécanisme de résonance. (…) Le mécanisme de résonance peut être caractérisé comme un transfert d’énergie entre deux mouvements périodiques couplés dont les fréquences sont entre elles dans un rapport simple.

Ce sont ces phénomènes de résonance – mais, cette fois, entre les différents degrés de liberté qui caractérisent un même système dynamique – qui empêchent que ce système soit mis sous une forme intégrable. La résonance la plus simple entre les fréquences se produit quand ces fréquences sont égales, mais elle se produit aussi à chaque fois que les fréquences sont commensurables, c’est-à-dire chaque fois qu’elles ont entre elles un rapport rationnel. Le problème se complique du fait que de manière générale les fréquences ne sont pas constantes. (…) Ce qui fait que, dans l’espace des phases d’un système dynamique, il y aura des points caractérisés par une résonance, alors que d’autres ne le seront pas. L’existence des points de résonance interdit en général la représentation en termes de variables cycliques, c’est-à-dire une décomposition du mouvement en mouvements périodiques indépendants.

Les points de résonance, c’est-à-dire les points auxquels les fréquences ont entre elles un rapport rationnel, sont rares, comme sont rares les nombres rationnels par rapport aux nombres irrationnels. Dès lors, presque partout dans l’espace des phases, nous aurons des comportements périodiques de type habituel. Néanmoins, les points de résonance existent dans tout le volume fini de l’espace des phases. D’où le caractère effroyablement compliqué de l’image des systèmes dynamiques telle qu’elle nous a été révélée par la dynamique moderne initiée par Poincaré et poursuivie par les travaux de Kolmogoroff, Arnold et Moser.

Si les systèmes dynamiques étaient intégrables, la dynamique ne pourrait nous livrer qu’une image statique du monde, image dont le mouvement du pendule ou de la planète sur sa trajectoire képlérienne constituerait le prototype. Cependant l’existence des résonances dans les systèmes dynamiques à plus de deux corps ne suffit pas pour transformer cette image et la rendre cohérente avec les processus évolutifs étudiés précédemment. Lorsque le volume reste petit, ce sont toujours les comportements périodiques qui dominent. (…)

Cependant, pour les grands systèmes, la situation s’inverse. Les résonances s’accumulent dans l’espace des phases, elles se produisent désormais non plus en tout point rationnel, mais en tout point réel. (…) Dès lors, les comportements non périodiques dominent, comme c’est le cas dans les systèmes chaotiques. (…) Dans le cas d’un système de sphères dures en collision, Sinaï a pu démontrer l’identité entre comportement cinétique et chaotique, et définir la relation entre une grandeur cinétique comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions) et le temps de Lyapounov qui caractérise l’horizon temporel des systèmes chaotiques. (…)

Or, l’atome en interaction avec son champ constitue un « grand système quantique » auquel, nous l’avons démontré, le théorème de Poincaré peut être étendu. (…) La « catastrophe » de Poincaré se répète dans ce cas : contrairement à ce que présupposait la représentation quantique usuelle, les systèmes caractérisés par l’existence de telles résonances ne peuvent être décrits en termes de superposition de fonctions propres de l’opérateur hamiltonien, c’est-à-dire d’invariants du mouvement. Les systèmes quantiques caractérisés par des temps de vie moyens, ou par des comportements correspondants à des « collisions », constituent donc la forme quantique des systèmes dynamiques au comportement chaotique (…) L’abandon du modèle des systèmes intégrables a des conséquences aussi radicales en mécanique quantique qu’en mécanique classique. Dans ce dernier cas, il impliquait l’abandon de la notion de point et de loi d’évolution réversible qui lui correspond. Dans le second, il implique l’abandon de la fonction d’onde et de son évolution réversible dans l’espace de Hilbert. Dans les deux cas, cet abandon a la même signification : il nous permet de déchiffrer le message de l’entropie. (…)

La collision, transfert de quantité de mouvement et d’énergie cinétique entre deux particules, constitue, du point de vue dynamique, un exemple de résonance. Or, c’est l’existence des points de résonance qui, on le sait depuis Poincaré, empêche de définir la plupart des systèmes dynamiques comme intégrables. La théorie cinétique, qui correspond au cas d’un grand système dynamique ayant des points de résonance « presque partout » dans l’espace des phases , marque donc la transformation de la notion de résonance : celle-ci cesse d’être un obstacle à la description en termes de trajectoires déterministes et prédictibles, pour devenir un nouveau principe de description, intrinsèquement irréversible et probabiliste. C’est cette notion de résonance que nous avons retrouvée au cœur de la mécanique quantique, puisque c’est elle qu’utilisa Dirac pour expliquer les événements qui ouvrent un accès expérimental à l’atome, l’émission et l’absorption de photons d’énergie spécifique, dont le spectre constitue la véritable signature de chaque type d’atome. (…) Le temps de vie, qui caractérise de manière intrinsèque un niveau excité, dépend, dans le formalisme actuel de la mécanique quantique, d’une approximation et perd son sens si le calcul est poussé plus loin. Dès lors, la mécanique quantique a dû reconnaître l’événement sans pouvoir lui donner de sens objectif. C’est pourquoi elle a pu paraître mettre en question la réalité même du monde observable qu’elle devait rendre intelligible. (…)

Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l’hypothèse d’un champ induit par l’atome et entrant en résonance avec lui. Le système fini que représente l’atome isolé n’est donc qu’une abstraction. L’atome en interaction avec son champ est, lui, un « grand système quantique », et c’est à son niveau que se produit la « catastrophe de Poincaré ».

L’atome en interaction avec le champ qu’il induit ne constitue pas, en effet, un système intégrable et ne peut donc pas plus être représenté par l’évolution de fonction d’onde qu’un système classique caractérisé par des points de résonance ne peut être caractérisé par une trajectoire. C’est là la faille que recélait l’édifice impressionnant de la mécanique quantique. (…) Il est significatif que, partout, nous ayons rencontré la notion de « brisement de symétrie ». Cette notion implique une référence apparemment indépassable à la symétrie affirmée par les lois fondamentales qui constituent l’héritage de la physique. Et, en effet, dans un premier temps, ce sont ces lois qui ont guidé notre recherche. (…) La description à symétrie temporelle brisée permet de comprendre la symétrie elle-même comme relative à la particularité des objets autrefois privilégiés par la physique, c’est-à-dire de situer leur particularité au sein d’une théorie plus générale. »

« Entre le temps et l’éternité » d’Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

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Des physiciens ont mis en évidence l’existence de phénomènes chaotiques à l’échelle microscopique.

De la météorologie au mouvement des planètes, en passant par les cours de la Bourse et la dynamique des populations..., les comportements chaotiques sont omniprésents. Pour autant, ils ont rarement pu être observés de manière concluante à l’échelle quantique. Au point que plusieurs théoriciens ont nié leur existence. Des physiciens américains soutiennent toutefois le contraire. Et pour cause, ils viennent d’observer avec une précision inégalée que certains atomes présentaient, eux aussi, des comportements chaotiques [1] .

Selon la définition qu’en donnent les physiciens, de tels comportements résultent de l’hypersensibilité d’un système aux conditions initiales, autrement dit des variations, même très fines, de certains paramètres définissant l’état du système. Celui-ci devient alors imprévisible à plus ou moins longue échéance.

Des phénomènes chaotiques ont été observés dans de très nombreux systèmes macroscopiques. Se manifesteraient-ils aussi à l’échelle quantique ? Plusieurs arguments ont été avancés pour prétendre que non. On sait, par exemple, que les systèmes chaotiques sont régis par un certain type d’équations, qualifiées de « non linéaires ». Or l’équation fondamentale de la mécanique quantique - l’équation de Schrödinger - ne présente pas cette caractéristique : elle est linéaire.

Ceux qui supposaient, pour leur part, l’existence d’un chaos quantique, ont mis l’accent sur un argument d’ordre « ontologique ». De toutes les théories physiques la mécanique quantique est en effet la plus fondamentale, celle qui décrit les constituants ultimes de la matière. Puisque le chaos se manifeste à l’échelle macroscopique, on devrait donc en trouver la trace, et même l’origine, au niveau quantique.

Poul Jessen et son équipe de l’université de l’Arizona, à Tucson, donnent aujourd’hui raison à cet argument. Ils ont d’abord refroidi des atomes de césium à une température proche du zéro absolu. Ces atomes sont caractérisés par une propriété quantique fondamentale, appelée « spin », qui fait qu’ils se comportent comme de petits aimants pointant dans une direction spécifique de l’espace. Un laser a été utilisé pour faire tourner les atomes autour de l’axe formé par cette direction - un peu comme une toupie. Puis une série de petits chocs a été délivrée aux atomes à l’aide de champs magnétiques.

Simulations

Ces chocs modifient la direction de l’axe de rotation des « toupies quantiques ». Des simulations numériques réalisées il y a plusieurs années prévoyaient que le mouvement de cet axe devrait entrer dans un régime chaotique. C’est exactement ce que les physiciens américains ont observé à l’aide d’une technique d’imagerie.

Ils attribuent l’apparition de ce régime chaotique à l’existence de fortes corrélations entre l’état quantique des noyaux et celui des électrons qui gravitent autour. « D’autres expériences, réalisées notamment avec d’autres atomes, seront toutefois nécessaires pour valider cette hypothèse, précise Dominique Delande, du laboratoire Kastler-Brossel de l’ENS. Avec, comme point de mire, une compréhension plus fine des limites qui séparent le monde classique du monde quantique. »

Franck Daninos

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  • Le chaos quantique 9 janvier 2010 11:35

    Des physiciens ont mis en évidence l’existence de phénomènes chaotiques à l’échelle microscopique.

    De la météorologie au mouvement des planètes, en passant par les cours de la Bourse et la dynamique des populations..., les comportements chaotiques sont omniprésents. Pour autant, ils ont rarement pu être observés de manière concluante à l’échelle quantique. Au point que plusieurs théoriciens ont nié leur existence. Des physiciens américains soutiennent toutefois le contraire. Et pour cause, ils viennent d’observer avec une précision inégalée que certains atomes présentaient, eux aussi, des comportements chaotiques [1] .

    Selon la définition qu’en donnent les physiciens, de tels comportements résultent de l’hypersensibilité d’un système aux conditions initiales, autrement dit des variations, même très fines, de certains paramètres définissant l’état du système. Celui-ci devient alors imprévisible à plus ou moins longue échéance.

    Des phénomènes chaotiques ont été observés dans de très nombreux systèmes macroscopiques. Se manifesteraient-ils aussi à l’échelle quantique ? Plusieurs arguments ont été avancés pour prétendre que non. On sait, par exemple, que les systèmes chaotiques sont régis par un certain type d’équations, qualifiées de « non linéaires ». Or l’équation fondamentale de la mécanique quantique - l’équation de Schrödinger - ne présente pas cette caractéristique : elle est linéaire.

    Ceux qui supposaient, pour leur part, l’existence d’un chaos quantique, ont mis l’accent sur un argument d’ordre « ontologique ». De toutes les théories physiques la mécanique quantique est en effet la plus fondamentale, celle qui décrit les constituants ultimes de la matière. Puisque le chaos se manifeste à l’échelle macroscopique, on devrait donc en trouver la trace, et même l’origine, au niveau quantique.

    Poul Jessen et son équipe de l’université de l’Arizona, à Tucson, donnent aujourd’hui raison à cet argument. Ils ont d’abord refroidi des atomes de césium à une température proche du zéro absolu. Ces atomes sont caractérisés par une propriété quantique fondamentale, appelée « spin », qui fait qu’ils se comportent comme de petits aimants pointant dans une direction spécifique de l’espace. Un laser a été utilisé pour faire tourner les atomes autour de l’axe formé par cette direction - un peu comme une toupie. Puis une série de petits chocs a été délivrée aux atomes à l’aide de champs magnétiques.

    Simulations

    Ces chocs modifient la direction de l’axe de rotation des « toupies quantiques ». Des simulations numériques réalisées il y a plusieurs années prévoyaient que le mouvement de cet axe devrait entrer dans un régime chaotique. C’est exactement ce que les physiciens américains ont observé à l’aide d’une technique d’imagerie.

    Ils attribuent l’apparition de ce régime chaotique à l’existence de fortes corrélations entre l’état quantique des noyaux et celui des électrons qui gravitent autour. « D’autres expériences, réalisées notamment avec d’autres atomes, seront toutefois nécessaires pour valider cette hypothèse, précise Dominique Delande, du laboratoire Kastler-Brossel de l’ENS. Avec, comme point de mire, une compréhension plus fine des limites qui séparent le monde classique du monde quantique. »

    Franck Danino

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