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A nouveau sur la philosophie des mathématiques et celle des sciences

dimanche 2 janvier 2011

PHILOSOPHIE DES MATHS ET DES SCIENCES

Les mathématiques partent d’axiomes, alors que les sciences partent des phénomènes considérés comme paradigmatiques, comme le pendule pour la périodicité ou le déplacement d’un véhicule pour la mécanique. Ce sont ces phénomènes qui sont modélisés en sciences. La démarche est très différente dès le départ. Les modèles des sciences sont souvent mathématisés ? Mais les mathématiques n’interviennent là qu’après la conceptualisation du paradigme scientifique en question.

La démarche mathématique est différente elle aussi. En mathématiques comme en sciences, on utilise des fonctions, mais les mathématiques pures n’ont pas à définir le statut des variables. Inversement, en sciences, le premier pas n’a pas encore été fait tant que le statut des paramètres et leur validité pour l’expérience n’ont pas été explicités.

Les mathématiques sont fondées sur le démontrable. Ce n’est pas le cas des sciences. Les mathématiques suivent des cheminements logiques. Ce n’est pas toujours le cas en sciences. Par exemple, la physique quantique, ça marche, ça colle avec l’expérience mais on ne sait pas pourquoi. Ce n’est pas toujours rigoureux. On a utilisé la méthode de renormalisation bien avant d’avoir la moindre explication des raisons de sa validité, raisons qui sont encore en discussion.

La validité des théories scientifique n’est pas nécessairement démontrable. Il existe extrêmement peu de faits absolument avérés dans les théories scientifiques. Bien sûr, l’indémontrable peut exister dans certains énoncés mathématiques. Mais, en sciences, c’est de démontrable qui est rare. Et même, la démonstration mathématique est-elle du même ordre de preuve que la démonstration scientifique ? Pas nécessairement. Il y a des énoncés scientifiques qui n’ont aucune traduction mathématique. Et même ceux qui s’expriment mathématiquement, et plus encore ceux qui sont fondés sur des calculs, ne se ramènent pas nécessairement à de simples calculs. En effet, on ne doit jamais oublier que les sciences portent sur des interactions donc sur des propriétés de la matière.

La matière ne peut être ramenée seulement à des nombres. Trois n’est pas identique à trois électrons ou trois molécules d’hydrogène. Trois ne possède qu’une propriété numérique, soit un plus un plus un. On ne peut rien dire dessus de plus que « trois ». Par contre, trois électrons ne sont pas seulement un électron plus un électron plus un électron. Ils possèdent des propriétés d’interactions entre électrons ainsi qu’avec le reste de l’environnement. De même trois planètes ou trois étoiles. Une conclusion mathématique peut être purement numérique mais pas une conclusion scientifique. On ne pourra jamais ramené la nature à un simple examen de nombres ou d’autres abstractions mathématiques, même si ces dernières sont d’une grande utilité. Il n’est pas dit que les grandeurs physiques soient de même nature que les nombres des mathématiques, qu’ils soient entiers, décimaux ou « réels ». En effet, les nombres mathématiques sont fixes, exactement déterminés, toujours identiques à eux-mêmes.

Les mesures physiques ne possèdent pas de telles propriétés. Une grandeur mathématique peut avoir une incertitude, une valeur approchée par exemple, mais pas d’incertitude fondamentale. Par contre, une mesure physique peut fondamentalement être incertaine. Il ne s’agit pas seulement d’approximations mais de phénomènes qui ne sont pas fondés sur le certain ou même de phénomènes qui sont fondés sur l’aléatoire. Comme le rapporte Ilya Prigogine dans « Les lois du chaos », « ce qui nous intéresse aujourd’hui, ce n’est pas nécessairement ce que nous pouvons prédire avec certitude. La physique classique s’intéressait avant tout aux horloges, la physique d’aujourd’hui plutôt aux nuages. » D’ailleurs, la notion de certitude de la logique formelle et mathématique n’est nécessairement pas identique à la notion de certitude dans l’étude des lois de la nature. La philosophie logique n’admet pas la contradiction, et accepte par contre le principe du tiers exclus. Ce n’est pas le cas en physique. L’exemple bien connu de la dualité onde/particule signifie qu’une particule possède à la fois des propriétés contradictoires.

La partie mathématisable d’un phénomène n’est pas la totalité de celui-ci. C’est plutôt sa part d’ordre mais il ne faut jamais omettre qu’il y a également une part de désordre sans laquelle ce phénomène serait déconnecté du reste de l’univers, ne pourrait pas changer d’état, la loi n’étant valable que pour un seul état. L’équation physique n’est jamais indépendante du reste de l’univers et ne peut jamais, contrairement à l’équation mathématique, être conçue comme une réponse isolée, une solution à un problème.

Les mathématiques partent du désincarné (le nombre, la variable, la courbe, la fonction…) et arrivent également au désincarné (propriétés de la fonction, de la courbe, de la moyenne, …). Elles passent parfois, en intermédiaire, par des faits réels qui étaient le choix des fonctions, des outils mathématiques (les matrices pour la physique quantique, l’espace à quatre dimensions pour la relativité,…). Inversement, les sciences partent des faits réels et concluent sur des jugements sur ces faits réels. Une conclusion purement mathématique en sciences n’aurait aucun sens. Les mathématiques n’y sont qu’un intermédiaire, un outil. Le calcul, même s’il joue un rôle essentiel de démonstration, n’est pas un élément de réalité et ne remplace pas la vérification réelle, ce dont les mathématiques se passent fort bien. On peut imaginer tous les outils mathématiques que l’on veut sans prouver qu’ils fonctionnent sur des objets réels. Ils ont seulement besoin de cohésion logique interne. Les outils physiques peuvent être acceptés par les scientifiques même s’il leur manque une cohésion logique, ce qui est le cas par exemple pour la physique quantique. Les sciences n’ont pas besoin de cohésion logique d’ensemble pour continuer d’avancer. Par exemple, les divers domaines des sciences ne sont pas cohérents comme la quantique et la relativité ou la microphysique et l’astrophysique.

Le statut des nombres n’est pas le même en mathématiques et en sciences. Le nombre est égal à lui-même en mathématiques mais il n’en va pas de même en sciences. Un c’est un. Une particule, cela peut être deux particules ou zéro particules. Le nombre de particules n’est pas un invariant de la physique quantique. Les créations et annihilations amènent ce type de situations invraisemblables dans le monde macroscopique. Pire, le nombre de particules dites « réelles » dépend de l’observateur et de son accélération. On ne raisonne plus sur un nombre d’objets. La mesure, elle aussi, n’est pas un nombre au sens mathématique. En effet, une mesure est influencée par d’autres mesures, corrélées, en physique quantique. On ne peut pas dire d’un paramètre qu’il vaut telle ou telle valeur. Le nombre fixe n’a donc pas cours et il ne peut s’agit non plus d’une évolution régulière d’une mesure du type d’une fonction. Il n’y a tout simplement pas une valeur attachée à la particule mesurée…

Et ce n’est pas seulement le cas en physique quantique. C’est la situation qui prévaut également à chaque fois que l’on passe du désordre à l’ordre. La fonction mathématique ne décrit que l’ordre d’un état mais pas le passage d’un état à un autre état. En sciences, il n’existe jamais un état qui ne peut pas passer à un autre état, qualitativement. Et cette dernière expression signifie justement que la description quantitative ne suffit pas.

La loi mathématique, c’est l’ordre. Bien sûr, à partir de ces lois mathématiques, on peut produire des descriptions du désordre comme celles du hasard, des « vols de Lévy », des lois du mouvement brownien, de la percolation, des lois du type de Mandelbrot, des lois du chaos déterministe… Mais elles consistent toujours à passer de l’ordre au désordre alors que la démarche de la science est toujours de montrer comment le désordre a pu produire un ordre. C’est ce que l’on constate dans l’ordre du cristal, dans l’apparition d’un magnétisme, la formation d’une étoile, d’un nuage, etc… Dans chacun de ces cas, les sciences montrent que l’ordre est issu du désordre. Les mathématiques savent modéliser les symétries mais elles ont beaucoup plus de mal à modéliser des symétries qui sont très légèrement brisées comme c’est le cas général en sciences.

Einstein écrit dans « La géométrie et l’expérience » :

« Parmi toutes les sciences, les mathématiques jouissent d’un prestige particulier qui tient à une raison unique : leurs propositions ont un caractère de certitude absolue et incontestable, alors que celles de toutes les autres sciences sont discutables jusqu’à un certain point et risquent toujours d’être réfutées par la découverte de faits nouveaux. Le chercheur d’une autre discipline n’aurait pas lieu pour autant d’envier le mathématicien si les propositions de ce dernier ne portaient que sur de purs produits de notre imagination et non sur des objets réels. Il n’est pas étonnant en effet que l’on parvienne à des conclusions logiques concordantes, une fois que l’on s’est mis d’accord sur les propositions fondamentales (axiomes) ainsi que sur les méthodes à suivre pour déduire de ces propositions fondamentales d’autres propositions ; mais le prestiges de mathématiques tient, par ailleurs, au fait que ce sont également elles qui confèrent aux sciences exactes de la nature un certain degré de certitude, que celles-ci ne pourraient atteindre autrement.

Ici surgit une énigme qui, de tout temps, a fortement troublé les chercheurs. Comment est-il possible que les mathématiques, qui sont issues de la pensée humaine indépendamment de toute expérience, s’appliquent si parfaitement aux objets de la réalité ? La raison humaine ne peut-elle donc, sans l’aide de l’expérience, par sa seule activité pensante, découvrir les propriétés des choses réelles ?

Il me semble qu’à cela on ne peut répondre qu’une seule chose : pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et, pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. (…) Interprétation ancienne : tout le monde sait ce qu’est une droite et ce qu’est un point. (…) Interprétation nouvelle : la géométrie traite d’objets qui sont désignés au moyen de termes « droite », « point », etc. On ne présuppose pas une quelconque connaissance ou intuition de ces objets, mais seulement la validité d’axiomes (…) Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. (…) Ce sont les axiomes qui définissent en premier lieu les objets dont traite la géométrie. (…) Pourquoi Poincaré et d’autres chercheurs rejettent-ils l’équivalence naturelle entre le corps pratiquement rigide de l’expérience et le corps de la géométrie ? Tout simplement parce qu’un examen un peu précis révèle que les corps solides réels de la nature ne sont pas rigides, étant donné que leur comportement géométrique, c’est-à-dire les diverses positions relatives qu’ils peuvent occuper, est fonction de la température, des forces extérieures, etc. »

Dans « L’évolution des idées en physique », Einstein et Infeld remarquaient : « Les ouvrages scientifiques sont remplis de formules mathématiques compliquées. Mais c’est la pensée, ce sont les idées qui sont à l’origine de toute théorie physique. »

La suite...

Messages

  • Diderot dans "Pensées sur l’interprétation de la nature" :

    1. C’est de la nature que je vais écrire. Je laisserai les pensées se succéder sous ma plume, dans l’ordre même selon lequel les objets se sont offerts à ma réflexion, parce qu’elles n’en représenteront que mieux les mouvements et la marche de mon esprit. Ce seront ou des vues générales sur l’art expérimental, ou des vues particulières sur un phénomène qui paraît occuper tous nos philosophes, et les diviser en deux classes. Les uns ont, ce me semble, beaucoup d’instruments et peu d’idées ; les autres ont beaucoup d’idées et n’ont point d’instruments. L’intérêt de la vérité demanderait que ceux qui réfléchissent daignassent enfin s’associer à ceux qui se remuent, afin que le spéculatif fût dispensé de se donner du mouvement ; que la manœuvre eût un but dans les mouvements infinis qu’il se donne ; que tous nos efforts se trouvassent réunis et dirigés en même temps contre la résistance de la nature ; et que, dans cette espèce de ligue philosophique, chacun fit le rôle qui lui convient.

    2. Une des vérités qui aient été annoncées de nos jours avec le plus de courage et de force, qu’un bon physicien ne perdra point de vue, et qui aura certainement les suites les plus avantageuses, c’est que la région des mathématiciens est un monde intellectuel, où ce que l’on prend pour des vérités rigoureuses perd absolument cet avantage quand on l’apporte sur notre terre. On en a conclu que c’était à la philosophie expérimentale à rectifier les calculs de la géométrie, et cette conséquence a été avouée, même par les géomètres. Mais à quoi bon corriger le calcul géométrique par l’expérience ? N’est-il pas plus court de s’en tenir au résultat de celle-ci ? d’où l’on voit que les mathématiques, transcendantes surtout, ne conduisent à rien de précis sans l’expérience ; que c’est une espèce de métaphysique générale où les corps sont dépouillés de leurs qualités individuelles ; et qu’il resterait au moins à faire un grand ouvrage qu’on pourrait appeler l’Application de l’expérience à la géométrie, ou Traité de l’aberration des mesures.

    3. Je ne sais s’il y a quelque rapport entre l’esprit du jeu et le génie mathématicien ; mais il y en a beaucoup entre un jeu et les mathématiques. Laissant à part ce que le sort met d’incertitude d’un côté, ou le comparant avec ce que l’abstraction met d’inexactitude de l’autre, une partie de jeu peut être considérée comme une suite indéterminée de problèmes à résoudre, d’après des conditions données. Il n’y a point de questions de mathématiques à qui la même définition ne puisse convenir, et la chose du mathématicien n’a pas plus d’existence dans la nature que celle du joueur. C’est, de part et d’autre, une affaire de conventions. Lorsque les géomètres ont décrié les métaphysiciens, ils étaient bien éloignes de penser que toute leur science n’était qu’une métaphysique. On demandait un jour : “ Qu’est-ce qu’un métaphysicien ? ” Un géomètre répondit : “ C’est un homme qui ne sait rien ”. Les chimistes, les physiciens, les naturalistes, et tous ceux qui se livrent à l’art expérimental, non moins outrés dans leur jugement, me paraissent sur le point de venger la métaphysique et d’appliquer la même définition au géomètre. Ils disent : “ A quoi servent toutes ces profondes théories des corps célestes, tous ces énormes calculs de l’astronomie rationnelle, s’ils ne dispensent point Bradley ou Le Monnier d’observer le ciel ? ” Et je dis : heureux le géomètre en qui une étude consommée des sciences abstraites n’aura point affaibli le goût des beaux-arts, à qui Horace et Tacite seront aussi familiers que Newton, qui saura découvrir les propriétés d’une courbe et sentir ]es beautés d’un poète, dont l’esprit et les ouvrages seront de tous les temps, et qui aura le mérite de toutes les académies ! Il ne se verra point tomber dans l’obscurité ; il n’aura point à craindre de survivre à sa renommée.

  • Salut Robert, j’espère que tu vas bien. Moi, ça roule. Je me permets de commenter le texte que je trouve très intéressant, avec lequel je suis d’accord, mis à part quelques détails.

    "Mais les mathématiques n’interviennent là qu’après la conceptualisation du paradigme scientifique en question."

    Oui et non ... conceptualiser, c’est déjà faire des mathématiques à mon sens. Faire de mathématiques, c’est conceptualiser, manipuler des outils abstraits pour résoudre des cas réels.

    "les mathématiques pures n’ont pas à définir le statut des variables".

    Oui et non. Au contraire, dans une proposition mathématique, il y a toujours une condition nécessaire que l’on peut considérer comme le statut de la variable. Justement,on s’efforce toujours de définir les objets que l’on manipule et d’expliciter le domaine dans lequel on travaille, pour éliminer toutes déconvenues.

    "La matière ne peut être ramenée seulement à des nombres. Trois n’est pas identique à trois électrons ou trois molécules d’hydrogène. Trois ne possède qu’une propriété numérique, soit un plus un plus un. On ne peut rien dire dessus de plus que « trois ». Par contre, trois électrons ne sont pas seulement un électron plus un électron plus un électron. Ils possèdent des propriétés d’interactions entre électrons ainsi qu’avec le reste de l’environnement."

    Ben si justement, trois est identique à trois électrons car trois est justement par définition ce qu’il y a de commun entre trois électrons et trois vaches.

    Cela dit, modéliser qu’avec des nombres une aile d’avion et travailler son aérodynamisme est d’une efficacité redoutable. Les mathématiques n’ont pas la prétention de comprendre le monde, ni de donner un sens à la vie, mais juste de travailler avec logique, d’entretenir des outils fiables et précis pour travailler en sciences, et de faire mumuse intellectuellement.

    Mais en effet, on ne peut pas tout faire dire à des nombres, il y a des phénomènes difficilement quantifiables. Cela dit, mettre du nombre dans un phénomène est un concept puissant pour en comprendre certaine dimension.

    "Le calcul, même s’il joue un rôle essentiel de démonstration, n’est pas un élément de réalité et ne remplace pas la vérification réelle, ce dont les mathématiques se passent fort bien."

    Je pense que les mathématiciens se fichent d’une certaine façon de la réalité, c’est leur avantage sur les autres sciences, l’abstraction. Réciproquement, les phénomènes physiques sont une muse pour le mathématicien.

    Les outils mathématiques sont d’une puissance incomparable pour modéliser la réalité. C’est justement ce qu’on peut reprocher aux mathématiques ("les mathématiques pures n’ont pas à définir le statut des variables" ) qui en fait sa force.

    "On peut imaginer tous les outils mathématiques que l’on veut sans prouver qu’ils fonctionnent sur des objets réels. Ils ont seulement besoin de cohésion logique interne."

    En effet, d’ailleurs, à mon sens, les mathématiques sont un jeu intellectuel, qui se suffit à lui même. C’est pour cela que les mathématiques sont fertiles, parce qu’elles sont désintéressées. La théorie des nombres n’avait quasiment aucune utilité à l’époque d’Euclide, on en voit les retombées que depuis quelques décennies. De la même façon, on a pas inventé l’électricité en essayant d’améliorer la bougie.

    • « trois est justement par définition ce qu’il y a de commun entre trois électrons et trois vaches. » dis-tu.

      Mais c’est malheureusement une description qui ignore les interactions et ne fait que totaliser.

      Un atome d’hydrogène n’est absolument pas un proton plus un électron au sens additif.

      Le monde n’est additif du tout.

      Personne ne veut nier l’intérêt des mathématiques. Il s’agit seulement d’en nier la conception idéaliste qui ne récuse pas le caractère conceptuel mais en voit le côté contradictoire..

      Le concept ne décrit pas la réalité mais est dans une contradiction dialectique avec elle.

      Voir : L’abstraction, processus dynamique dialectiquement contradictoire indispensable à la pensée humaine

    • Tes deux phrases :

      – Les outils mathématiques sont d’une puissance incomparable pour modéliser la réalité.
      – les mathématiques sont un jeu intellectuel, qui se suffit à lui même.
      Montrent déjà que les mathématiques sont un élément de la contradiction dialectique entre pensée et réalité.

      Du coup, il y a une philosophie idéaliste et une philosophie matérialiste de la question, une conception dialectique et une conception métaphysique aussi.

      Il n’y a pas juste une vision pratique et sympathique des mathématiques comme si elles ne posaient pas un vrai problème.

      Ce n’est pas nous qui imaginons un tel problème mais les scientifiques et les mathématiciens eux-mêmes.

  • Galilée et Newton ont marqué les sciences en affirmant que le monde était mathématique mais cela n’est pas étonnant : tous deux étaient des professeurs de mathématiques et non des chercheurs en sciences...

  • B. Russell :

    « Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu’on dit est vrai. »

  • Le physicien quantique Mark Silverman écrit ainsi dans « And yet it moves » (Et pourtant il bouge) :

    « Pour celui qui n’est pas accoutumé à l’application des mathématiques à la physique, il peut sembler surprenant qu’une analyse bien conduite puisse mener à des résultats ambiguës. L’image populaire (imméritée) de la physique est d’être une science mathématiquement rigoureuse qui impliquerait qu’une fois données les équations du mouvement d’un système, on pourrait toujours en principe (pas forcément facilement) permettre de les résoudre – et, que si les équations étaient correctes, alors leurs solutions permettraient de décrire précisément le système. Et pas deux possibilités pour celui-ci ! Malheureusement, la situation est rarement aussi simple. Les équations qui gouvernent les systèmes physiques – et qui sont généralement des équations différentielles mettant en relation les rythmes temporels et spatiaux de changement de la dynamique quantitative – donnent généralement plus d’une solution, peut-être une infinité de solution, qui se distinguent par le choix des conditions initiales (en spécifiant un état du système à un moment donné) ou des conditions restrictives (en spécifiant un état du système à un endroit donné). »

  • Evariste Galois, « Écrits et mémoires mathématiques » :

    « La science progresse par une série de combinaisons, [...], sa vie est brute et ressemble à celle des minéraux qui croissent par juxtaposition. [...] En vain les analystes voudraient-ils se le dissimuler : ils ne déduisent pas, ils combinent, ils composent : toute immatérielle qu’elle est l’analyse n’est pas plus en notre pouvoir que d’autres ; il faut l’épier, la sonder, la solliciter. Quand ils arrivent à la vérité, c’est en heurtant de ce côté et d’autre qu’ils y sont tombés. »

  • En résumé, qu’est-ce qui distingue mathématiques et sciences ?

  • L’nfiniment petit et l’infiniment grand existent en mathématiques et pas en sciences.

    La preuve par la logique pure sans contradiction dialectique existe en mathématiques et pas en sciences.

    La démonstration purement formelle sans nécessité de vérification expérimentale par rapport à une réalité existe en mathématiques et pas en sciences.

    Le point de départ des axiomes existe en mathématiques et pas en sciences.

    La possibilité de plusieurs systèmes logiques aussi valables l’un que l’autre mais de manière séparée existe en mathématiques et pas en sciences.

    Les propositions définitivement indécidables existent en mathématiques et pas en sciences.

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