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Le discret en sciences

dimanche 10 novembre 2013, par Robert Paris

Vide quantique, particules, noyaux, atomes, molécules, grains, cailloux, planètes et jusqu’aux étoiles et galaxies sont discrets... Cela ne veut pas dire qu’ils ne veulent pas se faire remarquer mais qu’ils sont comme des points séparés et ne peuvent constituer un continuum qu’à une certaine échelle, en apparence...

Les systèmes dynamiques non-linéaires (quasiment tous en somme) sont à la base de phénomènes discrets.

Nous sommes habitués à imaginer des phénomènes dans lequel l’attracteur soit continu (une courbe continue, une surface) mais c’est loin d’être le cas le plus simple. Il se peut que les points attracteurs constituent une figure mais sans que les points se succèdent de manière continue.

Un attracteur signifie que la dynamique a tendance à être attirée par lui. Par exemple, le fleuve est un attracteur du bassin fluvial.

Attracteur étrange signifie que la forme de cet attracteur n’est pas une courbe ni une surface et n’est même pas continue mais reconstituée point par point de manière discontinue par la dynamique qui, bien qu’apparemment désordonnée, reconstitue ce type spécial d’ordre.

Attracteur étrange de Lorentz du climat Attracteur de Ikéda Attracteur de Hénon Une image discrète de la matière

Le discret en sciences

Le discret en physique ne signifie nullement que la matière soit modérée, réservée, effacée, pudique et retenue, comme le signifie ce terme en matière de comportement humain.

Et pourtant, de nombreux scientifiques emploie ce terme de « discret » et de « discrétion » en sciences et même pour décrire l’état de la matière, éventuellement l’espace et le temps, et le passage d’un état à un autre.

En termes de matière, la discrétion est la négation de l’accrétion qui signifie que la matière s’agrège, que chaque morceau suivant vient se coller avec les précédents. Elle suppose la formation d’une continuité. A l’inverse, la discrétion suppose des éléments ou des points successifs sans contact entre eux.

Le concept de discret est visualisé en géométrie par le point. En effet, il ne peut pas y avoir deux points en contact. En Arithmétique, on le trouve par exemple dans la succession des nombres entiers. On saute en effet d’un entier au suivant sans contact entre ces nombres.

Discrétion et accrétion s’opposent donc comme discontinuité et continuité.

Ce n’est pas un hasard ni un paradoxe si l’expression de la rupture s’est appelée « solution de continuité. Le terme de « solution » en la matière signifie la dissolution. La continuité s’est dissoute brutalement. Un os qui casse, une fracture, est appelé par les médecins « solution de continuité ».

La solution de continuité est une discontinuité brutale qui intervient dans un contexte de continuité globale. On trouve ce type de situation dans une transition, dans une interaction non-linéaire, dans un choc, etc…

Cependant, il y a une autre situation discontinue possible : celle où la base même du réel est déjà discontinue : si le temps est par exemple discret. On peut croire qu’il est évident que le temps serait continu mais on ne le sait pas en fait. Et, de toutes les manières, dans nombre de phénomènes le seul temps qui intervient réellement est discret car il est physiquement impossible d’interagir ou de mesurer en continu.

Un système est discret si son état n’est en action ou n’est en interaction qu’à des temps discontinus. Tout ce qui ne peut pas interagir en permanence peut donc être concerné par l’étude des systèmes discrets.

Cependant, les sciences ont considérablement progressé en appuyant leurs travaux sur la modélisation des transformations se basant sur l’étude de fonctions mathématiques fondées sur la continuité : celle des nombres dits réels et celle de la fonction dite « réelle de variable réelle ». Employer le terme réel suppose une idée de continuité des valeurs, continuité du temps par exemple, continuité de l’espace et aussi continuité de l’évolution de valeurs comme l’énergie, la vitesse, la position, etc…

Le succès de l’emploi des fonctions continues de variables réelles provient non pas du fait qu’elles modélisent bien ou mal le réel mais du fait qu’elles permettent bien plus que les fonctions discrètes de variable discrètes de traduire une transformation par ce que l’on appelle des équations différentielles. Elles se servent pour cela de la dérivation et de l’intégration, des méthodes fondées sur le changement infiniment petit, changement par définition impossible lorsqu’il s’agit de cas discrets puisque dans ce cas on saute d’une valeur à une autre.

Bien sûr, on peut se dire que, si la mathématique du continu ne convenait pas pour décrire le réel, on s’en serait aperçus depuis le temps puisque cette méthode date de Newton et Leibniz ! Mais ce n’est pas aussi simple.

Il est en fait extrêmement difficile de distinguer le discret du continu quand les intervalles entre valeurs sont extrêmement petits au regard des tailles des phénomènes ou des objets.

Par exemple, nous sommes capables de mesurer ou de percevoir des intervalles de temps d’une certaine taille. Si les ruptures sont beaucoup plus petites, le discret peut parfaitement ressembler à du continu…

Cependant, dans le domaine du réel matériel non simplement mathématique, dans le réel physique, il est loin d’apparaître une telle continuité.

En physique, la mesure n’a rien d’un calcul exact. En temps limité, l’interaction est la seule information possible entre matières via les photons. En procédant ainsi on ne peut rien connaître avec une précision infinie. L’apparence réelle de segment n’est qu’une série de points discrets régulièrement alignés. Il n’y a aucune continuité d’un point à un autre. Il y a une infinité de points mais il y a toujours des trous entre eux. Et dans ces trous, si on observe de plus près, on trouve encore des points. Donc pas plus de continuité des trous que de continuité des points.

La physique quantique en est un exemple frappant. Un certain nombre d’observables, par exemple l’énergie émise par un atome lors d’une transition entre états excités, sont quantifiés, c’est-à-dire qu’ils ne peuvent prendre leur valeur que dans un ensemble discret de résultats. A contrario, la mécanique classique prédit le plus souvent que ces observables peuvent prendre continûment n’importe quelle valeur. La notion de quanta (des grains en nombre entier qui ne sont pas des grains d’énergie mais des grains d’action - l’action étant le produit d’une énergie et d’un temps est du même type qu’un moment cinétique de rotation) est un des fondements de cette physique qui suppose donc que le discontinu et le discret soient des caractéristiques de la nature de la matière.

Dans « La Nature et les Grecs », le physicien Erwin Schrödinger expose comment la physique quantique rejoint la notion de discontinu et de discret :

« En partant de nos expériences à grande échelle, en partant de notre conception de la géométrie et de notre conception de la mécanique – en particulier de la mécanique des corps célestes -, les physiciens en étaient arrivés à formuler très nettement l’exigence à laquelle doit répondre une description vraiment claire et complète de tout événement physique : elle doit nous informer de façon précise de ce qui se passe en chaque point de l’espace à chaque moment du temps (…) Nous appelons cette exigence « le postulat de la continuité de la description ». C’est ce postulat de la continuité qui apparaît ne pas pouvoir être satisfait ! Il y a pour ainsi dire des lacunes (des trous) dans notre représentation. (…) Si j’observe une particule ici et maintenant, et si j’observe une particule un instant plus tard et à un endroit qui est très proche de l’endroit précédent, non seulement je ne peut être assuré qu’il s’agit de « la même » particule, mais un tel énoncé n’a aucune signification. (...) Nous supposons – en nous conformant à une habitude de pensée qui s’applique aux objets palpables – que nous aurions pu maintenir notre particule sous une « observation continue » et affirmer ainsi son identité. C’est une habitude de pensée que nous devons rejeter. Nous ne pouvons pas admettre la possibilité d’une observation continue. Les observations doivent être considérés comme des événements discrets, disjoints les uns des autres. Entre elles, il y a des lacunes que nous ne pouvons combler. Il y a des cas où nous bouleverserions tout si nous admettions la possibilité d’une observation continue. C’est pourquoi j’ai dit qu’il vaut mieux ne pas regarder une particule comme une entité permanente, mais plutôt comme un événement instantané. Parfois ces événements forment des chaînes qui donnent l’illusion d’être des objets permanents, mas cela n’arrive que dans des circonstances particulières et pendant une période temps extrêmement courte dans chaque cas particulier. (…) L’idéal naïf du physicien classique ne peut être réalisé : (…) il nécessite de concevoir une information à propos de chaque point de l’espace à chaque moment du temps. L’effondrement de cet idéal comporte une conséquence très immédiate. Car, à l’époque où cet idéal de la continuité de la description n’était pas mis en doute, les physiciens avaient l’habitude de formuler le principe de causalité à l’usage de leur science sous une forme extrêmement claire et précise. (…) Cette forme du principe de causalité inclut le principe de l’ « action proche » (ou de l’absence d’action à distance) (…) ou encore, en termes plus simples, quoique moins précis, ce qui arrive quelque part à un moment donné dépend seulement, et cela de façon non ambiguë, de ce qui s’est passé dans le voisinage immédiat « juste un instant plus tôt ». La physique classique reposait entièrement sur ce principe. (…) Evidemment, si l’idéal d’une représentation continue, « sans lacunes », s’écroule cette formulation précise du principe de causalité s’écroule également. (…) Quelque pénible que puisse être la perte de cet idéal, en le perdant nous avons probablement perdu quelque chose qu’il valait vraiment la peine de perdre. Il nous paraissait simple parce que l’idée de continu nous paraît simple. Nous avons un peu perdu de vue les difficultés qu’elle implique. (…) L’idée d’un « domaine continu », si familière aux mathématiques d’aujourd’hui, est tout à fait exorbitante, elle représente une extrapolation considérable de ce qui nous est réellement accessible. Prétendre que l’on puisse réellement indiquer les valeurs exactes de n’importe quelle grandeur physique – température, densité, potentiel, valeur d’un champ, ou n’importe quelle autre – pour tous les points d’un domaine continu, c’est là une extrapolation hardie. Nous ne faisons jamais rien d’autre que déterminer approximativement la valeur de la grandeur considérée pour un nombre très limité de points et ensuite « faire passer une courbe continue par ces points. » Ce procédé nous suffit parfaitement dans la plupart des problèmes pratiques, mais du point de vue épistémologique, du point de vue de la théorie de la connaissance, il s’agit là de tout autre chose que d’une description continue soi-disant exacte. (…) Notre désir d’obtenir des descriptions continues fut renforcé par le fait que les mathématiciens prétendent être capables de donner des descriptions continues simples de certaines de leurs constructions mentales simples. (…) Les faits observés (au sujet des particules et de la lumière, des différentes espèces de rayonnement et de leurs interactions mutuelles) paraissent n’être guère compatibles avec l’idéal classique d’une description continue dans l’espace et dans le temps. Permettez-moi de m’expliquer à l’égard du physicien en évoquant un exemple : dans sa fameuse théorie des raies spectrales, qu’il proposa en 1913, Bohr fut amené à supposer que l’atome passe brusquement d’un état à l’autre, et que au cours d’une telle transition, il émet un train d’ondes lumineuses de plusieurs pieds de long, contenant des centaines de milliers d’ondes et exigeant pour sa formation un temps considérable. On ne peut donner aucune information sur l’atome au cours de cette transition. Les faits observés ne peuvent donc pas être mis en accord avec une description continue dans l’espace et le temps ; cela parait impossible, du moins dans la plupart des cas. (…) La méthode qui a été adoptée à l’heure actuelle peut vous paraître surprenante. Elle revient à ceci. : nous donnons effectivement une description complète, continue dans l’espace et dans le temps, sans omissions ni lacunes, conformément à l’idéal classique – c’est la description de « quelque chose ». Mais nous ne prétendons pas que ce « quelque chose » s’identifie aux faits observés ; et nous prétendons encore moins que nous décrivons ainsi ce que la nature (C’est-à-dire la matière, le rayonnement, etc.) est réellement. En fait nous utilisons cette description (la description dite ondulatoire » Max Planck résumait ainsi : "La manifestation des phénomènes énergétiques, s’effectuant par sauts ou paliers, est essentiellement discontinue". « Admettant que les phénomènes physiques se déroulaient dans l’espace à trois dimensions tel qu’il est défini par la géométrie euclidienne, adoptant presque sans discussion la notion de temps absolu de Newton, (la physique) représentait l’évolution du monde par des équations différentielles ou aux dérivées partielles qui traduisaient la continuité de cette évolution et son caractère inéluctable. Max Planck changea toute cette orientation. L’une des idées maîtresse était celle d’une sorte de discontinuité générale et essentielle des processus naturels. Contrairement au vieil adage de Leibniz, la nature apparaissait comme effectuant sans cesse des sauts, les transitions quantiques, où l’action varie d’un quantum. La représentation traditionnelle des phénomènes par des équations différentielles s’en trouvait profondément ébranlée, et avec elle la conception des faits observables qui, du point de vue mathématique, était fondée sur l’unicité des solutions des équations différentielles ou aux dérivées partielles quand on connaît certaines données initiales. » écrit Claude Delmas dans « La bombe atomique »

Jean-Paul Auffray décrit ainsi la question dans son ouvrage intitulé « L’atome » : « Planck se demanda d’abord s’il ne rêvait pas : « Ou bien toute ma série de déductions n’était qu’un simple artifice de calcul... Ou bien le quantum d’action représentait quelque chose d’insoupçonné jusqu’alors... destiné à révolutionner une pensée physique basée sur la notion de continuité elle-même. » John Archibald Wheeler écrit ainsi à ce propos : "Il n’y a pas de continu. La logique mathématique moderne nie l’existence du continu conventionnel des nombres. La physique ne fait rien d’autre que de confirmer cela. Aucune voie naturelle n’est offerte pour procéder autrement que de tout fonder sur des phénomènes quantiques élémentaire (…) Difficulté numéro un : Si le monde est basé sur le discret, pourquoi faut-il que sa description de chaque jour s’appuie sur le continu ? (…) Il n’existe pas et il ne peut exister quelque chose de pareil au temps continu, il faut nous attendre à un principe plus profond le remplaçant. Des événements, oui ; une continuité d’événements, non." "Contrairement à ce que l’on entend souvent dire, le discontinu que Planck découvre ici (avec les quanta) affecte non la matière, mais les interactions. (...) Les calculs de Planck montrent que les échanges d’énergie électromagnétique sont portés par des grains, alors qu’on les croyait continus. (...) Ce que Planck découvre, c’est que dans toute interaction il y a échange et, de plus, qu’il existe un échange minimum au-dessous duquel il n’y a plus d’interaction. (...) C’est à Planck que revient le mérite d’avoir porté le premier "une-deux" contre la continuité. En 1905, Einstein conclut le "une-deux" de Planck par un uppercut décisif : il attribue au rayonnement lui-même, et non plus seulement aux échanges d’énergie, une structure corpusculaire. Le rayonnement, essentiellement discontinu, est, d’après lui, formé d’un ensemble de corpuscules transportant chacun un quantum d’énergie. (...) Le rayonnement n’est pas émis d’une manière continue." écrit Etienne Klein dans "Regards sur la matière".

Erwin Schrödinger écrit dans « Physique quantique et représentation du monde » : « En partant de nos expériences à grande échelle, en partant de notre conception de la géométrie et de notre conception de la mécanique – en particulier de la mécanique des corps célestes -, les physiciens en étaient arrivés à formuler très nettement l’exigence à laquelle doit répondre une description vraiment claire et complète de tout événement physique : elle doit nous informer de façon précise de ce qui se passe en chaque point de l’espace à chaque moment du temps – bien entendu à l’intérieur du domaine spatial et de la portion de temps couverts par les événements physiques que l’on désire décrire. Nous pouvons appeler cette exigence « le postulat de la continuité de la description ». C’est ce postulat de la continuité qui apparaît ne pas pouvoir être satisfait ! Il y a, pour ainsi dire, des lacunes dans notre représentation. (…) Si j’observe une particule ici et maintenant, et si j’observe une particule identique un instant plus tard et à un endroit qui est très proche de l’endroit précédent, non seulement je ne peux pas être assuré qu’il s’agit de « la même » particule, mais un énoncé de ce genre n’aurait aucune signification absolue. Ceci paraît être absurde. Car nous sommes habitués de penser que, à chaque instant, entre les deux observations, la première particule doit avoir été « quelque part », qu’elle doit avoir suivi une « trajectoire », que nous connaissions celle-ci ou non. Et de même nous sommes habitués de penser que la seconde particule doit être venue de quelque part, doit avoir « été » quelque part au moment de notre première observation. (…) En d’autres termes, nous supposons – en nous conformant à une habitude de pensée qui s’applique aux objets palpables (note de matière et révolution : c’est ce que croyait Schrödinger avant que l’on montre que nous ne voyons rien en continu, même à notre échelle) – que nous aurions pu maintenir notre particule sous une observation « continue » et affirmer ainsi son identité. C’est cette habitude de pensée que nous devons rejeter. Nous ne devons pas admettre la possibilité d’une observation continue. Les observations doivent être considérées comme des événements discrets, disjoints les uns des autres. Entre elles il y a des lacunes que nous ne pouvons combler. Il y a des cas où nous bouleverserions tout si nous admettions la possibilité d’une observation continue. C’est pourquoi j’ai dit qu’il vaut mieux ne pas regarder une particule comme une entité permanente, mais plutôt comme un événement instantané. Parfois ces événements forment des chaînes qui donnent l’illusion d’être des objets permanents, mais cela n’arrive que dans des circonstances particulières et pendant une période de temps extrêmement courte dans chaque cas particulier. (…) L’idée d’un « domaine continu », si familière aux mathématiques d’aujourd’hui, est tout à fait exorbitante, elle représente une extrapolation considérable de ce qui est réellement accessible. Prétendre que l’on puisse « réellement » indiquer les valeurs exactes de n’importe quelle grandeur physique – température, densité, potentiel, valeur d’un champ, ou n’importe quelle autre – pour « tous » les points d’un domaine continu, c’est là une extrapolation hardie. » Il ne faut pas croire que l’aspect discret ne concernerait que la microphysique quantique : le physicien Georges Lochak rappelait que cela n’est pas exact : « Ce serait une grave erreur de croire que la propriété que possède un atome de n’apparaître que dans un ensemble discret d’états physiques et de sauter brusquement d’un état à un autre au cours d’une perturbation est l’apanage des systèmes microphysiques et est étrangère à la mécanique habituelle. » (dans l’article « Vers une microphysique de l’irréversible » de la « Revue du Palais de la Découverte » de mai 1977).

Dans le domaine des transitions de phase, on note la même discontinuité.

L’astrophysicien Michel Cassé souligne à ce propos dans « Du vide et de la création » que « Les transitions de phase marquent des réorganisations radicales de structure. (...) L’Univers épouse une succession d’états dynamiques. Il est emporté par le changement. (...) L’histoire du refroidissement de l’Univers sera scandé par les transitions fondamentales qui font apparaître sous une forme radicalement nouvelle la matière ou bien les forces qui gouverne son comportement, c’est-à-dire les brisures de symétrie. »

Or, la matière est sans cesse en transition, au niveau fondamental (quantique) comme au niveau macroscopique.

D’autre part, l’introduction des systèmes dynamiques a profondément modifié l’utilisation du discret. La loi des trois corps de Poincaré et les espaces de phases ont montré que l’on sautait d’un point à un autre de la dynamique. Les attracteurs dits étranges qui en résultent sont construits point par point et ne sont nullement continus. Il y a un déterminisme du chaos mais il ne correspond nullement à la continuité.

D’autres domaines de la physique réintroduisent aussi le discret. Par exemple les tentatives de physique quantique et relativiste. La théorie de la Gravitation quantique à boucles prédit que l’espace est discontinu, c’est-à-dire que les résultats possibles de la mesure expérimentale d’un volume sont contenus dans un ensemble discret de valeurs. Dans cette conception, l’espace-temps est discontinu et décrit par des réseaux et par des mousses de spins. L’espace y est défini par la géométrie discrète du réseau de spins, le temps est défini par la séquence des différents sauts qui président au réarrangement du réseau. De cette façon, le temps apparaît, lui aussi, discret : il ne s’écoule pas tel un flot continu mais comme les "tic" et les "tac" d’une horloge, chacun durant à peu près un temps de Planck (la longueur de Planck divisée par la vitesse de la lumière), soit 10-43 seconde.

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  • Le discret en sciences 10 novembre 2013 10:23, par Robert

    « La grande révolution de la théorie des quanta fut que des caractères de discontinuités furent découverts dans le Livre de la Nature, dans un contexte où tout autre chose que la continuité apparaissait comme absurde d’après les vues admises jusqu’à ce moment. »

    Le physicien Erwin Schrödinger dans « Qu’est-ce que la vie ? »

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