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Qu’est-ce que les inégalités de Bell et quelles en sont les implications ?

jeudi 31 mai 2018, par Robert Paris

Qu’est-ce que les inégalités de Bell et quelles en sont les implications ?

John Bell démontra en 1964 une batterie de trois théorèmes qui posent chacun une série de trois prémisses (la conception classique de l’univers : causalité, localité et réalisme), à partir desquelles il est possible de déduire des inégalités dont on peut montrer qu’elles sont violées par des prédictions vérifiées de la mécanique quantique. Ainsi il est possible d’en apprendre beaucoup car ces prémisses ne peuvent alors pas être conservées ensembles. En 1966, J.S. Bell énonçait un théorème qui en est, peut-on dire, le fondement ; le voici, dans sa belle abstraction : « il ne saurait exister de théorie de la réalité affirmant que des événements séparés soient indépendants sans entrer en contradiction avec la physique quantique ».

Le raisonnement de Bell se place dans la même lignée que le théorème EPR, philosophiquement en se fixant un but similaire -prouver l’incomplétude de la mécanique quantique. Bell étant de ces physiciens soucieux de retrouver une description du monde plus proche de ce que peut nous procurer notre intuition, c’est en travaillant à ce projet qu’il découvrit ses inégalités. Les théorèmes de Bell posent les mêmes prémisses que celles d’Einstein, localité et réalité, ainsi que d’autres toutes aussi simples comme le libre choix de la mesure par l’expérimentateur et la validité du raisonnement par induction. Par des raisonnements par l’absurde du même type que celui de l’article EPR.

Les inégalités de Bell montrent essentiellement que la mécanique quantique, comme toute autre théorie visant à reproduire les mêmes prévisions, doit soit abandonner le critère de réalité soit la localité. Les inégalités de Bell impliquent que toute tentative de description du réel tel qu’il est à l’échelle quantique, donc à objectivité forte, doit admettre une non-localité.

Jusqu’à présent, l’expérience démontre que les inégalités de Bell sont systématiquement violées, nous forçant à renoncer à une des trois hypothèses suivantes sur lesquelles sont fondées les inégalités de Bell :

• Le principe de localité : deux objets distants ne peuvent avoir une influence instantanée l’un sur l’autre, ce qui revient à dire qu’un signal ou une influence ne peut se propager à une vitesse plus grande qu’une vitesse limite, qui se trouve être la vitesse de la lumière dans le vide.

• La causalité : l’état des particules est déterminé uniquement par leur expérience, c’est-à-dire leur état initial et l’ensemble des influences reçues dans le passé.

• Le réalisme qui, dans l’esprit de l’article original de Bell, signifie que les particules individuelles sont des entités qui possèdent des propriétés propres, véhiculées avec elles.

John Bell, cité par Maurice Jacob dans « Au cœur de la matière » :

« Ce que je voulais obtenir était une démonstration claire et sans faille et non pas justifier une conception particulière du monde. Selon ce que je connais de mon propre caractère, qui est celui d’un homme assez obstiné, je suis souvent plus concerné par la conduite logique d’un débat que par la vérité profonde des choses… Les gens commencèrent à faire des expériences. Les résultats confirmèrent la théorie quantique et infirmèrent donc les espoirs d’Einstein. Il y eut alors de plus en plus de publicité. »

Et Maurice Jacob commente ainsi :

« Prenons par exemple la fonction d’onde décrivant l’orientation des spins de deux particules. Ces deux orientations vont être liées si ces deux particules sont issues de la désintégration d’une même particule mère. L’observation de l’orientation d’un spin (on dit la « polarisation ») implique donc une information immédiate sur l’orientation de l’autre, encore non mesurée, et cela bien que ces particules puissent être très éloignées. Considérons, pour préciser les choses, une particule initiale de spin nul s’étant désintégrée en deux particules de spin ½ avec un moment angulaire nul. Si un spin pointe en haut, l’autre doit pointer en bas, la somme des deux spins étant nulle. On a dans ce cas des probabilités égales de trouver un des spins en haut ou en bas, sans pouvoir prédire cependant le résultat de chaque mesure individuelle. Mais, même si le résultat d’une mesure ne peut pas être prédit, il y a une corrélation stricte entre deux mesures effectuées séparément sur les deux particules. Si un spin est trouvé vers le haut, on sait qu’une mesure effectuée sur l’autre particule doit le trouver vers le bas. Mais l’autre observateur ne peut pourtant pas savoir ce que le premier a trouvé car celui-ci n’a pas eu le temps de lui transmettre ses résultats, même à la vitesse de la lumière. On peut être troublé par le fait que bien que les deux détecteurs soient éloignés l’un de l’autre, l’un dévoile ce que va trouver l’autre. Les choses sont en fait encore plus curieuses car la théorie quantique nous dit que l’un des spins décrit par la fonction d’onde ne pointe en fait ni en haut, ni en bas. Son orientation est inconnue avant que la mesure soit faite. C’est la première mesure seule qui va préciser son orientation. Mais elle précise alors aussi l’autre orientation, à des kilomètres de là ! On ne peut échapper au fait qu’une mesure effectuée sur un détecteur implique le résultat trouvé sur l’autre, comme si l’information avait été immédiatement transmise à distance. C’était pourtant ce que soutenait Bohr. Cette action immédiate à distance a de quoi heurter notre sens commun mais nous décrivons des choses très nouvelles et comme le disait John Bell, un des grands penseurs récents de la théorie quantique : « Quand nous raisonnons sur des systèmes qui nous entraînent loin de notre expérience courante, ce que l’on appelle « là-bas » et « vraiment-là » perdent leurs dénominations habituelles ». Einstein voulait nier une superposition ordonnée (cohérente) à grande distance et voyait dans la superposition des états quantiques un reflet de notre ignorance d’une réalité sous-jacente plus complexe. Ne se peut-il pas que, si nous avions toute l’information possible, nous saurions que les informations trouvées avaient été en fait choisies au moment de la production des deux particules ? Une mécanique déterminée fixerait ce choix à notre insu. La prédiction possible n’est que probabiliste mais les deux particules ont déjà choisi bien avant qu’une mesure soit faite. Il est facile de visualiser le rôle que peuvent avoir de telles variables cachées. Supposons qu’au lieu de parler de l’orientation des spins de deux particules, nous parlions de deux boules dans une boîte, une rouge et une noire. Une personne prend une des boules sans la regarder. Une autre personne prend celle qui reste sans la regarder et elles s’éloignent l’une de l’autre. Un peu plus tard, une des personnes regarde sa boule, la trouve rouge et sait immédiatement que l’autre personne a une boule noire. La probabilité d’avoir une boule rouge était ½. L’expérience étant faite, on connaît immédiatement la couleur de l’autre boule à des kilomètres de là. Il n’y a rien de plus naturel bien que la couleur joue ici le rôle de variable cachée. Mais c’est beaucoup trop simple ! La situation est plus complexe pour un spin (ou toute variable dynamique) car on dispose d’un libre choix sur la mesure à faire. On peut choisir de mesurer son orientation selon un autre axe que l’axe vertical (haut et bas) et l’autre observateur peut aussi choisir de faire la mesure que nous pensons pouvoir prédire en utilisant une autre direction encore. Pour chaque particule nous restons libres jusqu’au dernier moment du choix de l’axe selon lequel nous allons mesurer la composante du spin et c’est donc beaucoup plus complexe que l’observation de la couleur d’une boule. On peut quand même pousser cette analogie. Il y aurait toujours une boule rouge et une boule noire dans une boîte mais aussi une boule bleue et une boule jaune dans une autre boîte. Les deux personnes mettent la boule de l’une des boîtes dans leur main droite et la boule de l’autre dans leur main gauche. Une fois éloignées, elles ouvrent une main. Elles peuvent maintenant prédire la couleur trouvée par la même main ou l’autre main mais à condition de savoir si celle-ci a décidé d’ouvrir la même main ou l’autre main alors que rien n’a été convenu au départ : maintien du libre choix de la mesure à faire oblige ! Les deux personnes partagent une information mais cette information ne peut être décodée que s’il y a une communication ultérieure précisant la parité de la main qui a été choisie. On voit sur cette métaphore comment l’effet immédiat à distance n’est peut-être pas un problème majeur car il faut raisonner en termes d’information acquise. Dans ce cas, l’observation ne devient information que s’il y a en plus transfert d’une information complémentaire dont la rapidité est limitée par la vitesse de la lumière. On voit aussi comment ces corrélations, qui calquent mieux les corrélations quantiques, peuvent servir en pratique de codage. Les deux personnes savent qu’elles partagent un même secret quand elles peuvent faire des mesures sur les deux éléments d’un système quantique, ce qui est maintenant facile avec des fibres optiques de photons polarisés. Elles ne peuvent cependant le connaître qu’après la transmission d’un code qui, dans la métaphore choisie, est la parité de la main ouverte. La fonction d’onde précise toutes les corrélations attendues en mécanique quantique et fournit les probabilités pour que des mesures en général différentes et effectuées séparément sur les deux particules donnent des résultats identiques ou différents et en tout cas corrélés. Peut-on prédire de telles corrélations à partir de variables cachées qui les auraient prédéterminées ? C’est plus difficile que pour nos boules de couleurs différentes mais c’est possible. C’est là qu’apparaît un résultat remarquable dû à John Bell et qui date de 1964. Belle a montré qu’il y a une différence entre les corrélations mesurables suivant le choix des axes sur lesquels on va mesurer chacune des orientations du spin, selon qu’on se limite à l’information contenue dans la fonction d’onde, avec une cohérence brisée seulement par la première mesure, ou que l’on fasse appel à des variables cachées prédéterminant la corrélation. Des inégalités entre des combinaisons de corrélations doivent être violées dans un cas et satisfaites dans l’autre. Dans une très belle série d’expériences faites à Orsay au début des années 1980, Alain Aspect a montré pour la première fois que les inégalités de Bell n’étaient pas satisfaites et qu’une corrélation déterministe fondée sur des variables cachées n’était pas tenable. Les corrélations observées étaient par contre en parfait accord avec les prédictions probabilistes tirées de la fonction d’onde. »

Bernard d’Espagnat dans « Qu’est-ce que la réalité au sens de la physique ? » (ouvrage collectif « Dictionnaire de l’ignorance ») :

« L’avancée majeure, dans la problème qui nous occupe ici, fut l’établissement (1964) par John Bell du théorème qui porte son nom. De ce théorème il existe plusieurs versions dont, par souci de brièveté, on ne décrira qu’une seule. Le théorème s’inscrit – et n’a de sens que – dans une vision réaliste et plus précisément à l’intérieur du réalisme conventionnel dont il était question plus haut et qui, rappelons-le, est la conception du sens commun.

Notons d’abord une notion qui est inhérente à ce réalisme. Il s’agit de celle de conditionnel. La chose est évidente mais, en vue de la suite, elle mérite d’être explicitée. Dans le cas, par exemple, où il y a une table dans la pièce à côté, selon le réalisme conventionnel la proposition : « Si je levais la main, il y aurait une table dans la pièce à côté », premièrement, a un sens et, deuxièmement, est vraie. Du moins l’est-elle assurément si l’on a posé par surcroît qu’aucune influence de quelque espèce que ce soit ne peut se propager d’ici à la pièce à côté. De fait, l’hypothèse de la validité de telles propositions contrafactuelles est un élément essentiel de la notion même de réalité objective.

(…)

Le théorème de Bell montre que dans des expériences de corrélation à distance bien définies, la causalité locale entraîne certaines inégalités (dites inégalités de Bell) entre quantités statistiquement mesurables (il s’agit des réponses « oui » ou « non » de certains compteurs). Comme on était en droit de s’y attendre, ces inégalités sont effectivement satisfaites dans tous les cas où les phénomènes étudiés sont, en pratique, adéquatement décrits par la physique classique. Mais – et c’est tout l’intérêt du théorème – elles sont violées par certaines prédictions observables découlant de la mécanique quantique. Qui plus est, des expériences ont montré que dans ces cas-là elles sont effectivement violées, et cela, même dans les cas où les événements-mesures étudiés sont à des distances « du genre espace » les uns et les autres, c’est-à-dire sont tels que selon la loi relativiste de propagation à vitesse finie des influences, aucune influence ne peut être exercée par l’un d’eux sur un autre.

Il est évident que, pour les auteurs réalistes visant à l’objectivité forte et soucieux de préserver l’entier contenu de la théorie relativiste, le théorème de Bell constitue une difficulté. Notons seulement ici un point très important. Les règles de prédiction de la mécanique quantique – celles qui permettent la prédiction, éventuellement statistique, de résultats d’observation – n’ont jamais été prises en défaut. Or on peut démontrer que si elles sont valables, la violation de la causalité locale ne peut permettre aucune transmission de signaux à une vitesse supérieure à celle de la lumière. De toute évidence, la coexistence de ce résultat et du théorème de Bell constitue un argument non négligeable en faveur d’une interprétation de la physique faisant de l’ensemble de celle-ci une théorie à objectivité seulement faible. »

Michel Gondran :

« Quand Einstein dit qu’il ne peut pas y avoir de transmission à distance, il se place dans l’expérience EPR qu’il avait définie en 1935. Or les inégalités de Bell porte sur EPRB et ont été proposées en 1964. Les expériences d’Aspect ont eu lieu en 1980. Donc Einstein ne les avait jamais connues. Selon le paradoxe EPR, il ne peut y avoir d’interaction à distance portant sur la position et la vitesse. C’est conforme à ce qu’Einstein dit lui-même dans son article de 1920. Par contre, l’interaction instantanée peut se faire pour la rotation et l’accélération. Or le spin, c’est de la rotation. Je dis donc pour ma part que l’interaction à distance entre des particules définies par leurs spins n’est pas en contradiction avec l’interprétation de la relativité générale présentée par Einstein lui-même en 1920.

C’est un point qui a été soulevé par Karl Popper en 1982(9). Juste après les expériences d’Aspect, Popper a réécrit la préface de son livre sur la physique quantique. Il y dit ce que je viens de dire : il faut distinguer entre l’EPR et EPRB. Il montre donc qu’Einstein n’était pas en contradiction avec lui-même puisque son expérience EPR n’était pas l’expérience EPRB. Selon Popper, Einstein n’aurait jamais dit que dans le cas de l’EPRB avec spin, s’il l’avait connue, il ne pouvait pas y avoir de transmission à distance.

Cela me donne une explication réaliste de l’expérience EPRB : il y a bien réalisme et interaction à distance, mais cette interaction à distance n’est pas en contradiction avec la relativité générale. Elle ne viole pas la relativité. La vitesse de la lumière n’est une limite que pour les positions et les vitesses, pas forcément pour les rotations dans l’espace. C’est très subtil, mais on ne peut pas éliminer d’emblée un texte d’Einstein de 20 pages donnant son interprétation de la relativité générale. Il est vrai que dans les textes suivants, il n’a jamais été aussi net.

Les expériences d’Aspect sont très intéressantes, mais, comme le dit Popper, il faut les interpréter comme justifiant l’existence de l’éther dont Einstein n’avait pas besoin pour la relativité restreinte mais dont il a besoin pour la relativité générale, pour la rotation et l’accélération. Les expériences d’Aspect peuvent donc être considérées comme un test de l’existence de la vitesse. »

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4 Messages de forum

  • Que dit exactement l’inégalité de Bell et comment a-t-elle servi pour contredire Einstein et conforter Bohr ? Que discutaient-ils ?

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  • En fait, ils s’opposaient sur rien de moins que l’affirmation suivante : « le monde réel existe en dehors de l’observateur » !!!

    Cette affirmation, selon Einstein, Podolsky et Rosen (EPR), signifiait que trois hypothèses soient en même temps vérifiées : réalisme (une réalité indépendante de l’observateur), validité de l’induction (capacité du raisonnement à comprendre le monde) et séparabilité (ou localité).

    En 1964, le physicien Bell parvient à traduire ces affirmations sous la forme de ses fameuses inégalités, des équations susceptibles d’être vérifiées par l’expérience.

    Voici comment Anita Castiel expose le problème dans « Le monde quantique » :

    « La situation en question concerne des paires de protons corrélés dont on mesure le spin (moment cinétique propre de la particule élémentaire et indiquant une propriété de rotation structurelle interne).

    Le spin d’une particule se définit par trois composantes : A, B et C, qui ne peuvent chacune prendre que deux valeurs, + ou – (propriété dichotomique).

    Si les trois prémisses des théories réalistes locales (EPR) sont supposées vraies, un raisonnement assez simple de la théorie des ensembles conduit Bell à formuler une relation entre les résultats des mesures de A, B et C.

    Cette relation est la fameuse inégalité de Bell.

    Cette propriété ne concerne pas seulement les mesures sur des protons mais toutes les mesures sur des populations de couples d’individus dont on observe trois propriétés dichotomiques.

    Le symbole N(A) représentera le nombre de paires de protons dans lesquelles l’une des particules a la composante A+ et l’autre a la composante B-.

    Le symbole n(A) représentera le nombre de paires de protons corrélés dans lesquelles l’une des particules a la composante A+ et l’autre a la composante B-.

    L’inégalité de Bell est la suivante :

    n(A) est inférieur ou égal à n(A) + n(B-C+)

    Cela provient du fait que n(A+B+) est plus petit que n(A+C+) plus n(B+C+).

    Par contre, la mécanique quantique affirme le contraire et déclare tout net que toutes ces inégalités ne sont pas vérifiées !

    Le raisonnement de Bell est le suivant :

    Si une particule a les propriétés A+ et B-, elle peut être soit un élément de la classe AC+, soit un élément de la classe AC-. Dès lors, N(A) = N(AC+) + N(AC-).

    De même, N(A) = N(A+B) + N(AC-)

    Bell en déduit :

    N(A) est inférieur ou égal à N(A) + N(B-C+)

    Puis, Bell passe des particules individuelles aux couples de particules corrélées.

    Un argument statistique démontre que n(A) est proportionnel à N(A). Et ainsi de suite pour les autres dénombrements. De plus, la constante de proportionnalité est la même dans les trois cas. CQFD.

    Alors, laquelle des trois prémisses, réalisme, induction et séparabilité esinteinienne, est (ou sont) coupables ?

    La majorité des physiciens serait tentée de conserver réalisme et libre induction. La violation de l’inégalité de Bell ne serait donc explicable que par un abandon de l’hypothèse de séparabilité einsteinienne.

    Dans son expérience, menée en 1981 à Orsay par Alain Aspect, des paires de photons corrélés subissent des mesures de polarisation où une astuce technique stimule une rotation de chacun des deux polariseurs en un intervalle de temps de l’ordre de la nanoseconde.

    Sachant que, dans l’expérience, les polariseurs sont distants de 12 mètres, distance que la lumière parcourt en 40 nanosecondes, cela revient à se placer dans des conditions où les photons, s’ils échangent une information, l’échangeraient à une vitesse supérieure à celle de la lumière.

    Bell conclue :

    « L’objection d’Einstein ne peut plus se poser dans les mêmes termes. Je reste toujours fidèle à ses idées, mais la forme dans laquelle il les énonça est trop étroite aujourd’hui. Il nous faut trouver une autre vision du monde. Je ne l’ai pas trouvée. »

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  • Et aujourd’hui ? Peut-on dire qu’on en a une idée ?

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  • En fait, la question s’est reportée sur les particules du vide quantique. Elles sont le monde matériel éphémère qui fonde ce que l’on appelait autrefois les « particules élémentaires ». L’erreur d’Einstein et de Bohr était de les considérer comme des entités alors qu’elles sont des colonies de couples particule-antiparticule éphémères parmi lesquelles la propriété d’être cette fameuse particule élémentaire s’échange sans cesse (échanges du boson de Higgs). Le fait que le vide ne connaisse pas la flèche du temps, donc pas de limite de la vitesse explique que les particules corrélées peuvent l’être plus vite que la lumière.

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