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Vide quantique et chaos déterministe

16 août 2010, 08:13, par RP

Le chaos quantique mieux compris
La conjecture d’ergodicité quantique unique, qui prédit le comportement des systèmes chaotiques quantiques, est en partie résolue.
Philippe Ribeau-Gésippe.
Comment se comportent les systèmes chaotiques – très sensibles aux conditions initiales – lorsqu’ils sont transposés de la physique classique à l’univers quantique, où les particules ponctuelles cèdent la place aux fonctions d’onde ? K. Soundararajan, de l’Université de Stanford, et Roman Holowinsky, de l’Université de Toronto, ont fait un pas en avant vers la résolution d’une importante conjecture de ce domaine, dit du chaos quantique ; il s’agit de la conjecture d’ergodicité quantique unique, formulée au début des années 1990.

Un exemple type de système de chaos quantique est le billard quantique. En mécanique classique, la trajectoire d’une bille idéale lancée sur une table de billard rectangulaire est facile à décrire et à prévoir rebond après rebond. Toutefois, lorsque les coins du billard sont arrondis, le mouvement de la bille devient vite imprévisible au fil des rebonds : ce système est chaotique. En outre, il est ergodique, c’est-à-dire que la bille parcourt toute la surface du billard et passe autant de temps dans chaque région. Il existe néanmoins des trajectoires périodiques, par exemple si la bille est lancée perpendiculairement à un bord.

Dans la version quantique du problème, on étudie non plus le comportement d’une bille, mais celui d’ondes stationnaires, correspondant aux états propres d’énergie d’une particule quantique en mouvement à l’intérieur du billard. Dans les systèmes quantiques non ergodiques, ces ondes se concentrent dans certaines zones. En revanche, on a montré que dans les systèmes ergodiques quantiques, la plupart des états propres s’étalent de façon uniforme dans le domaine considéré.

Mais est-ce vrai pour tous les modes et pour toutes les surfaces ? En d’autres termes, existe-t-il un analogue des trajectoires périodiques classiques dans les systèmes ergodiques quantiques ? Des simulations numériques de billard chaotique quantique vont dans ce sens : certains modes stationnaires se concentrent le long des trajectoires périodiques du système classique correspondant, un phénomène connu sous le nom de « cicatrices ».

Cependant, en 1991, Peter Sarnak et Zeev Rudnik ont conjecturé que dans les systèmes quantiques analogues au billard, mais sur des surfaces ou d’autres espaces à courbure négative (une surface en « selle de cheval » en est un exemple), les états propres sont toujours uniformément distribués, en d’autres termes, ces systèmes sont « uniquement ergodiques ».

C’est cette conjecture qu’ont résolue R. Holowinsky et K. Soundararajan pour une classe générale de surfaces, par deux approches différentes, mais complémentaires. La structure particulière des systèmes qu’ils ont étudiés leur a permis d’utiliser des techniques issues de la théorie des nombres, une branche des mathématiques pures qui a révélé ces dernières décennies des connexions inattendues avec la physique.

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