La philosophie des mathématiques et celle des sciences
26 octobre 2009, 15:53
Georges Lochak écrit dans "Pourquoi les mathématiques sont-elles efficaces ?", extrait du même ouvrage "Dictionnaire de l’ignorance" sous la direction de Michel Cazenave :
"A la question "Comment les mathématiques appréhendent-elles le réel ?", on peut répondre : "En énonçant des axiomes qui ressemblent aux objets réels, donc en énonçant des concepts bien adaptés", mais ce n’est pas si simple. Prenons un exemple. Mesurons la distance parcourue par un mobile au cours du temps et appelons "vitesse moyenne" le rapport de la distance au temps. (...) C’est ici que les mathématiques vont plus loin et inventent un concept. En effet, comme la distance parcourue diminue avec le temps nous pouvons "imaginer" une suite d’intervalles de temps et de distances qui tendent vers "zéro". En supposant cela, nous sortons du réel car une telle suite est purement abstraite, mais poursuivons et supposons de plus que le quotient de la distance parcourue divisée par le temps correspondant tende vers une limite finie. Nous appellerons cette limite "dérivée" de la distance par rapport au temps et nous dirons, par définition, que c’est la "vitesse" instantanée du mobile (c’est la vitesse moyenne sur un intervalle de temps infiniment petit). Trois siècles de succès de la mécanique sont basés sur ce concept mathématique car il est proche de la réalité pour un mobile dont le mouvement est suffisamment régulier. Mais attention ! Si le mouvement est chaotique, ce raisonnement ne correspond plus aux faits, le concept de vitesse instantanée cesse de s’appliquer et les lois de la mécanique cessent de prévoir les phénomènes. C’est ce qui arrive avec le mouvement brownien qu’on observe sur de petites particules matérielles plongées dans un liquide et agitées par le chaos moléculaire. Ce mouvement obéit à des lois qui sont différentes des lois habituelles de la mécanique. (...) Einstein fut le premier à énoncer clairement cette idée dans la phrase suivante : "Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité."
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Il faudrait rajouter aux exemples du chaos déterministe, que ce n’est que par exceptions que des phénomènes sont assez réguliers, portent sur des modifications lentes, progressives, continues. par exemple, les particules quantiques n’obéissent pas à la vitesse car elles n’ont pas un mouvement continu. pourtant, elles sont le fondement de notre modne matériel !
Georges Lochak écrit dans "Pourquoi les mathématiques sont-elles efficaces ?", extrait du même ouvrage "Dictionnaire de l’ignorance" sous la direction de Michel Cazenave :
"A la question "Comment les mathématiques appréhendent-elles le réel ?", on peut répondre : "En énonçant des axiomes qui ressemblent aux objets réels, donc en énonçant des concepts bien adaptés", mais ce n’est pas si simple. Prenons un exemple. Mesurons la distance parcourue par un mobile au cours du temps et appelons "vitesse moyenne" le rapport de la distance au temps. (...) C’est ici que les mathématiques vont plus loin et inventent un concept. En effet, comme la distance parcourue diminue avec le temps nous pouvons "imaginer" une suite d’intervalles de temps et de distances qui tendent vers "zéro". En supposant cela, nous sortons du réel car une telle suite est purement abstraite, mais poursuivons et supposons de plus que le quotient de la distance parcourue divisée par le temps correspondant tende vers une limite finie. Nous appellerons cette limite "dérivée" de la distance par rapport au temps et nous dirons, par définition, que c’est la "vitesse" instantanée du mobile (c’est la vitesse moyenne sur un intervalle de temps infiniment petit). Trois siècles de succès de la mécanique sont basés sur ce concept mathématique car il est proche de la réalité pour un mobile dont le mouvement est suffisamment régulier. Mais attention ! Si le mouvement est chaotique, ce raisonnement ne correspond plus aux faits, le concept de vitesse instantanée cesse de s’appliquer et les lois de la mécanique cessent de prévoir les phénomènes. C’est ce qui arrive avec le mouvement brownien qu’on observe sur de petites particules matérielles plongées dans un liquide et agitées par le chaos moléculaire. Ce mouvement obéit à des lois qui sont différentes des lois habituelles de la mécanique. (...) Einstein fut le premier à énoncer clairement cette idée dans la phrase suivante : "Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité."
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Il faudrait rajouter aux exemples du chaos déterministe, que ce n’est que par exceptions que des phénomènes sont assez réguliers, portent sur des modifications lentes, progressives, continues. par exemple, les particules quantiques n’obéissent pas à la vitesse car elles n’ont pas un mouvement continu. pourtant, elles sont le fondement de notre modne matériel !
Robert Paris