Matière et Révolution

Encore et à nouveau sur Zénon d'Elée et sa dialectique de la matière et du mouvement...

Robert Paris, Tiekoura Levi Hamed — 2024-11-22T23:18:00Z

Encore et à nouveau sur Zénon d'Elée et sa philosophie dialectique de la matière et du mouvement

Ce que nous pensons de la philosophie dialectique de Zénon

Lire encore sur la dialectique de la nature

Ceux qui commentent Zénon, sans bien souvent même comprendre ce qu'il dit…

On trouve de nombreux textes qui dissertent sur les soi-disant erreurs de raisonnement de Zénon d'Elée, n'en comprenant ni le sens ni le but. Les uns affirment qu'il a dit que la matière n'existe pas, ou que le mouvement n'existe pas ou encore que l'infini n'existe pas ou que la divisibilité n'existe pas, ou enfin que le vide n'existe pas. Ce qui est certain, c'est que sa pensée repose sur des raisonnements « par l'absurde » (les fameux paradoxes) qui poussent des positions qu'il estime philosophiquement fausses à se contredire elles-mêmes. L'une de ces positions philosophiques qu'il combat est celle qui imagine la matière comme une simple addition d'objets. Une autre consiste à considérer la matière comme l'opposé diamétral du vide. Une troisième consiste à considérer le mouvement comme un simple déplacement d'une position occupée par la matière vers une position inocupée (dite vide). Sur ces questions, bien des gens ont des positions qui restent loin derrière Zénon, au point que leurs critiques sont moins « modernes » que Zénon !

Bien des auteurs, scientifiques, philosophes ou commentateurs divers, croient que la science a résolu le problème de la divisibilité à l'infini, qu'il s'agisse de la matière, de l'espace, du temps ou du mouvement et c'est faux. Les mathématiques font comme s'il n'y avait pas de problème et que la continuité régnait sur les sciences physiques mais c'est faux. La Physique est contrainte, au contraire, d'extraire les infinis de ses calculs et elle est le grand règne de la discontinuité, même là où il y a apparence de continuité. Quant au vide, il n'existe que comme une forme de la matière et non comme son opposé diamétral, contrairement à ce que croient les adversaires de Zénon qui manifestent surtout une ignorance profonde de la réalité de la dialectique de la matière.

Zénon est traité par bien des gens de sophiste, de troubadour, de poète, de métaphysicien, d'ignorant des mathématiques et des sciences, de joueur de paradoxes, de charlatan, de menteur, de prétentieux, ce qu'il n'est en rien.

https://www.google.fr/books/edition/L_Esprit_d_invention/9pZcDwAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PT57&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Le_temps_et_l_infini_Sur_les_paradoxes_d/7_HZEAAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=paradoxes+z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/L_Univers_des_nombres/c3bNpyV5c2kC?hl=fr&gbpv=1&dq=paradoxes+z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PT179&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/La_Pens%C3%A9e_et_le_Mouvant/CYAWAwAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=paradoxes+z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PP27&printsec=frontcover

Les arguments de Zénon d'Élée contre le mouvement

https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Arguments_de_Z%C3%A9non_d%E2%80%99%C3%89l%C3%A9e_contre_le_mouvement

Les prétendus sophismes de Zénon

https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Pr%C3%A9tendus_sophismes_de_Z%C3%A9non_d%E2%80%99%C3%89l%C3%A9e

D'autres écrits sur Zénon, sa vie et sa pensée

https://fr.wikisource.org/wiki/Vies_et_doctrines_des_philosophes_de_l%E2%80%99Antiquit%C3%A9/Livre_VII

https://fr.wikisource.org/wiki/Pour_l%E2%80%99histoire_de_la_science_hell%C3%A8ne/10

https://fr.wikisource.org/wiki/Dictionnaire_historique_et_critique/11e_%C3%A9d.,_1820/Z%C3%A9non_1

https://fr.wikisource.org/wiki/L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/EL%C3%89ATIQUE

https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Dilemmes_de_la_m%C3%A9taphysique_pure/Chapitre_premier

https://www.google.fr/books/edition/Les_arguments_de_Z%C3%A9non_d_%C3%89l%C3%A9e_contre/6TJHAAAAIAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Les_arguments_de_Z%C3%A9non_d_%C3%89l%C3%A9e_contre/6RDOk1SUE5sC?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=RA1-PT7&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Oeuvres_de_Victor_Cousin/bTpafHk5SacC?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PA299&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Physique_d_Aristote_ou_le%C3%A7ons_sur_les_p/XFI-AAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PA395&printsec=frontcover

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k914276.r=z%C3%A9non%20d%27%C3%A9l%C3%A9e?rk=85837;2

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9606190w/f86.item.r=z%C3%A9non%20d'%C3%A9l%C3%A9e

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9124415p/f16.item.r=z%C3%A9non%20d'%C3%A9l%C3%A9e

https://www.google.fr/books/edition/Vies_et_doctrines_des_philosophes_de_l_A/2yxxEAAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PT436&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/%C5%92uvres_de_Victor_Cousin_Cours_d_histoir/8x4RAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PA302&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Dictionnaire_historique_et_critique_de_P/vzYGAAAAQAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PA35&printsec=frontcover

https://www.google.fr/books/edition/Dictionnaire_Historique_Et_Critique/YOcOAAAAQAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e&pg=PA58&printsec=frontcover

Les paradoxes de Zénon, une nouvelle preuve de la force de la philosophie pour penser le monde…

Robert Paris, Tiekoura Levi Hamed — 2023-10-12T22:42:00Z

Les paradoxes de Zénon, une nouvelle preuve de la force de la philosophie pour penser le monde…

Certains diront « nouvelle preuve » mais Zénon d'Elée, c'est très très vieux… Effectivement, c'est vieux mais la preuve n'est pas retenue comme telle par bien des auteurs qui l'ignorent, la méprisent ou la croient résolue, c'est-à-dire anéantie par les mathématiques des infiniments petits ou par d'autres artifices mathématiques.

Le caractère très ancien de la philosophie de Zénon, qui a succédé à celle de Parménide, signifie justement que la philosophie peut être très avancée avant même que la science expérimentale le soit. Socrate, lui aussi, en est une preuve. Inversement, la science technique et mathématique peut beaucoup progresser sans que la pensée scientifique soit à la hauteur. La science contemporaine en est une démonstration. C'est en physique quantique que le tout mathématique et le défaut philosophique a été le plus criant :

http://www.matierevolution.fr/spip.php?article3819

http://www.matierevolution.fr/spip.php?article5032

http://www.matierevolution.fr/spip.php?article3861

Pour de nombreux penseurs matérialistes et scientifiques, seule compte l'expérience physique dite réelle, la pensée n'étant pas considérée comme réelle ne devant pas interférer, pensent-ils, dans l'expérience. Cette affirmation, loin d'être matérialiste, suppose un dualisme du corps et de l'esprit. Mais il n'y a qu'un seul monde, un monde duquel la pensée humaine fait partie. Et la philosophie, pensée humaine sur le fonctionnement du monde, en est un élément fondamental. Cela paraît une évidence, formulé ainsi, mais ce n'est nullement ainsi que pensent ni la plupart des auteurs scientifiques ni la plupart des philosophes actuels. Et pas davantage les idéalistes que les matérialistes.

Une des manières de contredire l'idée d'une force de la philosophie pour comprendre le fonctionnement de l'Univers est d'affirmer qu'il n'y aurait de science que du particulier et non du général.

Une autre est d'affirmer que la philosophie ne ferait que bavarder sur le monde sans augmenter nos connaissances sur lui.

On nous dit aussi que la science serait objective, libre et neutre, alors que la philosophie serait humaine et sociale.

Ou encore, on nous affirme que les philosophies sont anciennes alors que la science actuelle est récente.

Nous avons déjà eu l'occcasion de parler de ces préjugés :

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2282

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article7

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5439

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2424

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5025

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2543

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3443

Mais la véritable naissance de la science a été un acte philosophique :

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4819

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6414

Le matérialisme ne consiste pas à nier la puissance de la philosophie humaine pour comprendre le monde, mais à affirmer le caractère objetif de l'existence de l'univers matériel :

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3352

Certains grands scientifiques ont reconnu l'importance de la philosophie en sciences :

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1999

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6427

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article659

La science est conceptuelle avant d'être mathématique :

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4140

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article7006

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4588

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4071

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2609

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1828

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1134

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article761

« Un plus un égale deux » est-il l'image clef de l'objectivité scientifique ?

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2008

Affirmer que « un plus un égale deux » régit le monde matériel suppose

1°) que « un » soit toujours identique à lui-même et un autre « un » du même type

2°) que l'addition ne soit qu'une juxtaposition et non une composition avec diminution par exemple du niveau d'énergie de l'entité commune

3°) que l'addition ne constitue pas une transformation des deux « un »

Etc…

Chacun sait que cette « loi » mathématique n'est adaptée qu'à des objets identiques qui ne font que s'additionner sans interagir et sans construire de structures ou constituer des seuils. Ainsi, la philosophie reconnait de nombreuses contradictions au « un plus un égale deux » :

– quand « deux » ensemble ont des enfants

– quand « un plus un » finit par constituer une réalité supérieure, un tas par exemple

– quand les deux changent et ne sont plus identiques

– quand deux électrons mettent en commun leur énergie

– quand deux objets quantiques constituent durablement une entité, même à distance.

Etc, etc….

De même que le « un et un égale deux », le « Oui ou non » (exclusif) de la logique formelle (ou des mathématiques) est-il valable en Sciences ?

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6109

Et encore le zéro ou l'infini des mathématiques sont-ils toujours valables en sciences ?

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article669

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3238

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6561

La continuité mathématique (nécessaire notamment au calcul différentiel et intégral) est-elle applicable en sciences ?

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article11

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2453

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article12

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4940

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5563

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2060

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2464

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article17

La dialectique de la nature est-elle purement mathématique ?

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1711

La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ?

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2024
Vous me direz : « mais qu'est-ce que la philosophie de Zénon peut bien avoir à faire avec tout cela ? »

Eh bien oui, cela un très grand rapport puisque ce sont ces problèmes scientifiques qu'il posait…

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article32

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1366

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6733

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4371

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2695

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article6531

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3458

Les contradicteurs anciens et actuels de Zénon sont justement ceux qui combattent cette philosophie.

https://philosophie.ac-creteil.fr/spip.php?article1441

https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Arguments_de_Z%C3%A9non_d%E2%80%99%C3%89l%C3%A9e_contre_le_mouvement

https://fr.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A9non_d%27%C3%89l%C3%A9e

https://hal.science/hal-02268936/document

https://www.martingrandjean.ch/bergson-paradoxes-zenon-achille-tortue/

https://forums.futura-sciences.com/physique/747630-contredire-zenon-uniquement-logique-maths.html

Ce qui est dit sur le mouvement par les contradicteurs de Zénon est scientifquement erroné.
La question du mouvement : il ne s'agit pas simplement du déplacement d'un même objet matériel qui va d'un point à un autre.

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3581

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4027

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5040

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article627

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3626

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article2586

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article5072

Très ancien, Zénon ? Vieillot même ?

Ou extrêmement moderne ?

http://strangepaths.com/modernite-des-paradoxes-de-zenon/2007/01/16/fr/

https://www.college-de-france.fr/fr/agenda/cours/synthese-controle-et-protection-etats-quantiques/la-manipulation-et-la-synthese-par-effet-zenon-dynamique-des-etats-un-oscillateur-quantique

https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Z%C3%A9non_quantique

Parménide, Zénon, Socrate et Platon

Robert Paris — 2023-09-07T22:05:00Z

Platon
PARMÉNIDE

SUR LES IDÉES.[1]

CÉPHALE raconte[2].

À notre arrivée à Athènes, de Clazomène[3], notre patrie, nous rencontrâmes sur la place publique Adimante et Glaucon[4]. Adimante me dit en me prenant la main : Bonjour, Céphale ! Si tu as besoin ici de quelque chose qui soit en notre pouvoir, tu n'as qu'à parler. — Mais, lui dis-je, c'est pour cela même que je suis venu ; j'ai quelque chose à vous demander. — Parle, reprit-il. — Quel était, lui demandai-je, le nom de votre frère maternel ? je ne m'en souviens pas ; il était encore enfant quand je vins ici pour la première fois de Clazomènes, et il y a fort longtemps. Son père s'appelait, je crois, Pyrilampe. — Oui, me dit-il, et lui Antiphon. Mais où veux-tu en venir ? — Voici, lui dis-je, de mes compatriotes, grands amateurs de philosophie ; ils ont entendu dire que ce même Antiphon était intimement lié avec un certain Pythodore[5], ami de Zénon, et qu'il se rappelait les entretiens de Socrate avec Zénon et Parménide, pour les avoir souvent entendu répéter à Pythodore. — C'est vrai, dit il. — Eh bien ! ces entretiens, nous désirons les entendre. — Ce ne sera pas difficile, reprit Adimante ; car il se les est rendus familiers dès sa première jeunesse. Il est maintenant auprès de son aïeul, qui porte le même nom que lui, et il s'occupe presque exclusivement de l'éducation des chevaux. Allons le trouver, si vous voulez. Il vient de partir d'Athènes pour se rendre chez lui, à Mélite[6], tout près d'ici. Cela dit, nous nous mîmes en route, et nous rencontrâmes Antiphon chez lui, au moment où il donnait à un ouvrier une bride à raccommoder. Celui-ci congédié, ses frères lui expliquèrent le motif de notre visite, et Antiphon me salua, me reconnaissant pour m'avoir vu à mon premier voyage. Nous le priâmes de nous répéter les entretiens de Socrate avec Zénon et Parménide : il hésita d'abord, nous assurant que c'était un grand travail ; cependant il finit par y consentir. Voici ce que nous dit alors Antiphon.

Pythodore me raconta qu'un jour Zénon et Parménide arrivèrent à Athènes pour les grandes Panathénées[7]. Parménide, déjà vieux et blanchi par les années (il avait près de soixante-cinq ans), était beau encore et de l'aspect le plus noble. Zénon approchait de la quarantaine : c'était un homme bien fait, d'une figure agréable, et il passait pour être très aimé de Parménide[8]. Ils demeurèrent ensemble chez Pythodore, hors des murs, dans le Céramique[9] ; et c'est là que Socrate vint, suivi de beaucoup d'autres personnes, entendre lire les écrits de Zénon ; car c'était la première fois que celui-ci et Parménide les avaient apportés avec eux à Athènes. Socrate était alors fort jeune[10]. Zénon faisait lui-même la lecture, Parménide étant par hasard absent ; et il était déjà près d'achever lorsque Pythodore entra, accompagné de Parménide et d'Aristote, qui fut plus tard un des trente[11]. Il n'entendit donc que fort peu de ce qui restait encore à lire ; mais auparavant il avait déjà entendu Zénon.

Socrate ayant écouté jusqu'à la fin, invita Zénon à relire la première proposition du premier livre. Cela fait, il reprit : Comment entends-tu ceci, Zénon : si les êtres sont multiples, il faut qu'ils soient à la fois semblables et dissemblables entre eux ? Or, cela est impossible ; car ce qui est dissemblable ne peut être semblable, ni ce qui est semblable être dissemblable. N'est-ce pas là ce que tu entends ? — C'est cela même, répondit Zénon. — Si donc il est impossible que le dissemblable soit semblable et le semblable dissemblable, il est aussi impossible que les choses soient multiples ; car si les choses étaient multiples, il faudrait en affirmer des choses impossibles. N'est-ce pas là le but de tes raisonnements, de prouver, contre l'opinion commune, que la pluralité n'existe pas ? Ne penses-tu pas que chacun de tes raisonnements en est une preuve, et que par conséquent tu en as donné autant de preuves que tu as établi de raisonnements ? Voilà ce que tu veux dire, ou j'ai mal compris. — Non pas, dit Zénon, tu as fort bien compris le but de mon livre. — Je vois bien, Parménide, dit alors Socrate, que Zénon t'est attaché non seulement par les liens ordinaires de l'amitié, mais encore par ses écrits ; car il dit au fond la même chose que toi ; seulement il s'exprime en d'autres termes, et cherche à nous persuader qu'il nous dit quelque chose de différent. Toi, tu avances dans tes poëmes[12] que tout est un, et tu en apportes de belles et de bonnes preuves ; lui, il prétend qu'il n'y a pas de pluralité, et de cela aussi il donne des preuves très nombreuses et très fortes. De la sorte, en disant, l'un que tout est un, l'autre qu'il n'y a pas de pluralité, vous avez l'air de soutenir chacun de votre côté des choses toutes différentes, tandis que vous ne dites guère que la même chose, et vous croyez nous avoir fait prendre le change à nous autres ignorants. — Tu as raison, Socrate, répondit Zénon ; cependant tu n'as pas tout-à-fait saisi le vrai sens de mon livre, quoique tu saches très bien, comme les chiennes de Laconie[13], suivre la piste du discours. Ce que tu n'as pas compris, d'abord, c'est que je ne mets pas à cet ouvrage tant d'importance, et qu'en'écrivant ce que tu dis que j'ai eu en pensée, je n'en fais pas mystère, comme si je faisais là quelque chose de bien extraordinaire. Mais tu as rencontré juste en un point : la vérité est que cet écrit est fait pour venir à l'appui du système de Parménide, contre ceux qui voudraient le tourner en ridicule en montrant que si tout était un, il s'ensuivrait une foule de conséquences absurdes et contradictoires. Mon ouvrage répond donc aux partisans de la pluralité et leur renvoie leurs objections et même au-delà, en essayant de démontrer qu'à tout bien considérer, la supposition qu'il y a de la pluralité conduit à des conséquences encore plus ridicules que la supposition que tout est un. Entraîné par l'esprit de controverse, j'avais composé cet ouvrage dans ma jeunesse, et on me le déroba avant que je me fusse demandé s'il fallait ou non le mettre au jour. Ainsi, Socrate, tu te trompais en croyant cet écrit inspiré par l'ambition d'un homme mûr, au lieu de l'attribuer au goût de dispute d'un jeune homme. Du reste, je l'ai déjà dit, tu n'as pas mal caractérisé mon ouvrage. — Soit, répondit Socrate : je crois que les choses sont telles que tu le dis ; mais dis-moi, ne penses-tu pas qu'il existe en elle-même une idée de ressemblance, et une autre, contraire à celle-là, savoir, une idée de dissemblance, et que ces deux idées existant, toi et moi et tout ce que nous appelons plusieurs, nous en participons ; que les choses qui participent de la ressemblance, deviennent semblables en tant et pour autant qu'elles y participent, et dissemblables celles qui participent de la dissemblance, et semblables et dissemblables en même temps celles qui participent à la fois des deux idées ? Or, que tout participe de ces deux contraires et que cette double participation rende les choses à la fois semblables et dissemblables entre elles, qu'y a-t-il là d'étonnant ? Mais si l'on me montrait la ressemblance elle-même devenant dissemblable et la dissemblance semblable, voilà ce qui m'étonnerait, tandis qu'il ne me paraîtrait pas extraordinaire que, participant de ces deux idées différentes, les choses fussent aussi différemment affectées, non plus que si on me démontrait que tout est un par participation de l'unité, et multiple par participation de la multiplicité. Mais prouver que l'unité en soi est pluralité, et la pluralité en soi unité, voilà ce qui me surprendrait ; et de même, pour tout le reste, il ne faudrait pas moins s'étonner si on venait à démontrer que les genres et les espèces sont en eux-mêmes susceptibles de leurs contraires ; mais il n'y aurait rien de surprenant à ce qu'on démontrât que moi je suis à la fois un et multiple. Pour prouver que je suis multiple, il suffirait de montrer que la partie de ma personne qui est à droite diffère de celle qui est à à gauche, celle qui est devant de celle qui est derrière, et de même pour celles qui sont en haut et en bas ; car, sous ce rapport, je participe, ce me semble, de la multiplicité. Et, pour prouver que je suis un, on dirait que de sept hommes ici présents j'en suis un, de sorte que je participe aussi de l'unité. L'un et l'autre serait vrai. Si donc on entreprend de prouver que des choses telles que des pierres ou du bois[14], sont à la fois unes et multiples, nous dirons qu'en nous montrant là une unité multiple et une multitude une, on ne nous prouve pas que l'un est le multiple et que le multiple est l'un, et qu'on ne dit rien qui étonne et que nous n'accordions tous. Mais si, comme je viens de le dire, après avoir mis à part les idées en elles-mêmes, comme la ressemblance et la dissemblance, la multiplicité et l'unité, le repos et le mouvement et toutes les autres du même genre ; si, dis-je, on venait à démontrer que les idées sont susceptibles de se mêler et de se séparer ensuite, voilà, Zénon, ce qui me surprendrait. Je reconnais la force que tu as déployée dans tes raisonnements ; mais, je te le répète, ce que j'admirerais bien davantage, ce serait qu'on pût me montrer la même contradiction impliquée dans les idées elles-mêmes, et faire pour les objets de la pensée ce que tu as fait pour les objets visibles.

Pendant que Socrate parlait ainsi, Pythodore crut, à ce qu'il me dit, que Parménide et Zénon se fâcheraient à chaque mot. Mais, au contraire, ils prêtaient une grande attention et se regardaient souvent l'un l'autre en souriant comme s'ils étaient charmés de Socrate ; ce qu'en effet, après que celui-ci eût cessé de parler, Parménide exprima en ces termes : Que tu es louable, Socrate, dans ton ardeur pour les recherches philosophiques ! Mais, dis-moi, distingues-tu en effet, comme tu l'as dit, d'une part les idées elles-mêmes, et de l'autre ce qui en participe, et crois-tu que la ressemblance en elle-même soit quelque chose de distinct de la ressemblance que nous possédons ; et de même pour l'unité, la multitude et tout ce que tu viens d'entendre nommer à Zénon ? — Oui, répondit Socrate. — Peut-être, continua Parménide, y a-t-il aussi quelque idée en soi du juste, du beau, du bon et de toutes les choses de cette sorte ? — Assurément, reprit Socrate. — Eh quoi ! y aurait-il aussi une idée de l'homme séparée de nous et de tous tant que nous sommes, enfin une idée en soi de l'homme, du feu ou de l'eau ? — J'ai souvent douté, Parménide, répondit Socrate, si on en doit dire autant de toutes ces choses que des autres dont nous venons de parler. — Es-tu dans le même doute, Socrate, pour celles-ci, qui pourraient te paraître ignobles, telles que poil, boue, ordure, enfin tout ce que tu voudras de plus abject et de plus vil ? et crois-tu qu'il faut ou non admettre pour chacune de ces choses des idées différentes de ce qui tombe sous nos sens ? — Nullement, reprit Socrate ; ces objets n'ont rien de plus que ce que nous voyons ; leur supposer une idée serait peut-être par trop absurde. Cependant, quelquefois il m'est venu à l'esprit que toute chose pourrait bien avoir également son idée. Mais quand je tombe sur cette pensée, je me hâte de la fuir, de peur de m'aller perdre dans un abîme sans fond. Je me réfugie donc auprès de ces autres choses dont nous avons reconnu qu'il existe des idées, et je me livre tout entier à leur étude. — C'est que tu es encore jeune, Socrate, reprit Parménide ; la philosophie ne s'est pas encore emparée de toi, comme elle le fera un jour si je ne me trompe, lorsque tu ne mépriseras plus rien de ces choses. Aujourd'hui tu regardes l'opinion des hommes à cause de ton âge. Dis-moi, crois-tu donc qu'il y a des idées dont les choses qui en participent tirent leur dénomination ; comme, par exemple, ce qui participe de la ressemblance est semblable ; de la grandeur, grand ; de la beauté et de la justice, juste et beau ? — Oui, dit Socrate. — Et tout ce qui participe d'une idée, participe-t-il de l'idée entière, ou seulement d'une partie de l'idée ? ou bien y a-t-il encore une autre manière de participer d'une chose ? — Comment cela serait-il possible, répondit Socrate. — Eh bien ! crois-tu que l'idée soit tout entière dans chacun des objets qui en participent, tout en étant une ? ou bien quelle est ton opinion ? — Et pourquoi l'idée n'y serait-elle pas ? repartit Socrate. — Ainsi, l'idée une et identique serait à la fois tout entière en plusieurs choses séparées les unes des autres, et par conséquent elle serait elle-même hors d'elle-même ? — Point du tout, reprit Socrate ; car, comme le jour, tout en étant un seul et même jour, est en même temps dans beaucoup de lieux sans être pour cela séparé de lui-même, de même chacune des idées sera en plusieurs choses à la fois sans cesser d'être une seule et même idée. — Voilà, Socrate, une ingénieuse manière de faire que la même chose soit en plusieurs lieux à la fois ; comme si tu disais qu'une toile dont on couvrirait à la fois plusieurs hommes, est tout entière en plusieurs ; n'est-ce pas à peu près ce que tu veux dire ? — Peut-être. — La toile serait-elle donc tout entière au-dessus de chacun, ou bien seulement une partie ? — Une partie. — Donc, Socrate, les idées sont elles-mêmes divisibles, et les objets qui participent des idées ne participent que d'une partie de chacune, et chacune n'est pas tout entière en chacun, mais seulement une partie. — Cela paraît clair. — Voudras-tu donc dire, Socrate, que l'idée qui est une, se divise en effet et qu'elle n'en reste pas moins une ? — Point du tout. — En effet, si tu divises, par exemple, la grandeur en soi, et que tu dises que chacune des choses qui sont grandes, est grande par une partie de la grandeur plus petite que la grandeur elle-même, ne sera-ce pas une absurdité manifeste ? — Sans doute. — Eh quoi ! un objet quelconque qui ne participerait que d'une petite partie de l'égalité, pourrait-il par cette petite chose, moindre que l'égalité elle-même, être égal à une autre chose ? — C'est impossible. — Si quelqu'un de nous avait en lui une partie de la petitesse, comme la petitesse elle-même sera naturellement plus grande que sa partie ; ce qui est le petit en soi ne serait-il pas plus grand, tandis que la chose à laquelle s'ajoute ce qu'on lui enlève, en sera plus petite et non plus grande qu'auparavant ? — C'est impossible, reprit Socrate. — Mais enfin, Socrate, de quelle manière veux-tu que les choses participent des idées, puisqu'elles ne peuvent participer ni de leurs parties ni de leur totalité ? — Par Jupiter, répondit Socrate, cette question ne me paraît pas facile à résoudre. — Que penseras-tu maintenant de ceci ? — Voyons. — Si je ne me trompe, toute idée te paraît être une, par cette raison : lorsque plusieurs objets te paraissent grands, si tu les regardes tous à la fois, il te semble qu'il y a en tous un seul et même caractère, d'où tu infères que la grandeur est une. — C'est vrai, dit Socrate. — Mais quoi ! si tu embrasses à la fois dans ta pensée la grandeur elle-même avec les objets grands, ne vois-tu pas apparaître encore une autre grandeur avec un seul et même caractère qui fait que toutes ces choses paraissent grandes ? — Il semble. — Ainsi, au-dessus de la grandeur et des objets qui en participent, il s'élève une autre idée de grandeur ; et au-dessus de tout cela ensemble une autre idée encore, qui fait que tout cela est grand, et tu n'auras plus dans chaque idée une unité, mais une multitude infinie. — Mais, Parménide, reprit Socrate, peut-être chacune de ces idées n'est-elle qu'une pensée qui ne peut exister ailleurs que dans l'âme. Dans ce cas, chaque idée serait une et indivisible, et tu ne pourrais plus lui appliquer ce que tu viens de dire. — Comment ! chaque pensée serait-elle une, sans que ce fût la pensée de rien ? — C'est impossible. — Ce serait donc la pensée de quelque chose ? — Oui. — De quelque chose qui est, ou qui n'est pas ? — De quelque chose qui est. — N'est-ce pas la pensée d'une certaine chose une que cette même pensée pense d'une multitude de choses comme une forme qui leur est commune ? — Oui. — Mais ce qui est ainsi pensé comme étant un, ne serait-ce pas précisément l'idée toujours une et identique à elle-même dans toutes choses ? — Cela paraît évident. — Eh bien donc, dit Parménide, si, comme tu le prétends, les choses en général participent des idées, n'est-il pas nécessaire d'admettre ou que toute chose est faite de pensées et que tout pense, ou bien que tout, quoique pensée, ne pense pas ? — Mais cela n'a pas de sens, Parménide ! Voici plutôt ce qui en est selon moi : Les idées sont naturellement comme des modèles ; les autres objets leur ressemblent et sont des copies, et par la participation des choses aux idées il ne faut entendre que la ressemblance. — Lors donc, reprit Parménide, qu'une chose ressemble à l'idée, est-il possible que cette idée ne soit pas semblable à sa copie dans la mesure même où celle-ci lui ressemble ? Ou y a-t-il quelque moyen de faire que le semblable ressemble au dissemblable ? — Il n'y en a point. — N'est-il pas de toute nécessité que le semblable participe de la même idée que son semblable ? — Oui. — Et ce par quoi les semblables deviennent semblables en y participant, n'est-ce pas cette idée ? — Assurément. — Il est donc impossible qu'une chose soit semblable à l'idée ni l'idée à une autre chose ; sinon, au-dessus de l'idée il s'élèvera encore une autre idée, et si celle-ci à son tour ressemble à quelque chose, une autre idée encore, et toujours il arrivera une nouvelle idée, s'il arrive toujours que l'idée ressemble à ce qui participe d'elle. — Tu as raison. — Ce n'est donc pas par la ressemblance que les choses participent des idées, et il faut chercher un autre mode de participation. — Il semble. — Tu vois donc, Socrate, dans quelles difficultés on tombe lorsqu'on établit des idées existant par elles-mêmes. — Je le vois. — Sache bien pourtant que tu n'as pas touché encore, pour ainsi dire, toute la difficulté qu'il y a à établir pour chaque être une idée différente. — Comment donc ! reprit Socrate. — Parmi bien d'autres difficultés, voici la plus grande : si quelqu'un disait que les idées ne pourraient pas être connues si elles étaient telles qu'elles doivent être suivant nous, on ne pourrait lui prouver qu'il se trompe, à moins qu'il n'eût beaucoup d'expérience de ces sortes de discussions, qu'il ne fût pas mal doué de la nature, et qu'il ne consentît à suivre celui qui se serait chargé de prouver ce qu'il conteste, dans des argumentations très diverses et tirées de fort loin ; autrement, on ne pourrait réfuter celui qui nierait que les idées pussent être connues. — Pourquoi donc, Parménide ? demanda Socrate. — Parce que toi et tous ceux qui attribuent à chaque chose particulière une certaine essence existant en soi, vous conviendrez d'abord, si je ne me trompe, qu'aucune de ces essences n'est en nous. — En effet, reprit Socrate, comment alors pourrait-elle exister en soi ? — Tu as raison. Ainsi, celles des idées qui sont ce qu'elles sont par leurs rapports réciproques, tiennent leur essence de leurs rapports les unes avec les autres, et non de leurs rapports avec les copies qui s'en trouvent auprès de nous, ou comme on voudra appeler ce dont nous participons et recevons par là tel ou tel nom[15] ; et, à leur tour, les copies qui ont les mêmes noms que les idées existent par leurs rapports entre elles, et non avec les idées qui portent ces noms. — Comment entends-tu cela ? reprit Socrate. — Supposé que quelqu'un d'entre nous soit le maître ou l'esclave d'un autre, il ne sera pas l'esclave du maître en soi ou de l'idée du maître, ni le maître de l'esclave en soi ; homme, il sera le maître ou l'esclave d'un homme. De même, c'est la domination en soi qui est la domination par rapport à l'esclavage en soi, et l'esclavage en soi par rapport à la domination en soi. Ce qui est en nous ne se rapporte pas aux idées, ni les idées à nous ; mais, je le répète, les idées se rapportent les unes aux autres, et les choses sensibles les unes aux autres. Comprends-tu ce que je dis ? — Parfaitement, reprit Socrate. — La science en soi est donc la science de la vérité en soi ? — Oui. — Chaque science en soi serait donc aussi la science d'un être en soi ? — Oui. — Et la science qui est parmi nous ne sera-t-elle pas la science de la vérité qui est parmi nous ? Et, par conséquent, chacune des sciences qui sont parmi nous ne serait-elle pas la science d'une des choses qui existent parmi nous ? — Nécessairement. — Mais, tu conviens que nous ne possédons pas les idées elles-mêmes, et qu'elles ne peuvent pas être parmi nous. — Oui. — Or, n'est-ce pas seulement par l'idée de la science qu'on connaît les idées en elles-mêmes ? — Oui. — Et cette idée de la science, nous ne la possédons pas ? — Non. — Donc, nous ne connaissons aucune idée, puisque nous n'avons pas part à la science en soi. — Il semble. — Donc, nous ne connaissons ni le beau en soi, ni le bon en soi, ni aucune de ces choses que nous reconnaissons comme des idées existant par elles-mêmes. — J'en ai peur. — Mais voici quelque chose de plus grave encore. — Quoi donc ? — M'accorderas-tu que s'il y a une science en soi, elle doit être beaucoup plus exacte et plus parfaite que la science qui est en nous ? De même pour la beauté et pour tout le reste. — Oui. — Et si jamais un être peut posséder la science en soi, ne penseras-tu pas que c'est à Dieu seul, et à nul autre, que peut appartenir la science parfaite ? — Nécessairement. — Mais Dieu possédant la science en soi, pourra-t-il connaître ce qui est en nous ? — Pourquoi pas ? — Parce que nous sommes convenus, Socrate, reprit Parménide, que les idées ne se rapportent pas à ce qui est parmi nous, ni ce qui est parmi nous aux ; idées, mais les idées à elles-mêmes, et ce qui est parmi nous à ce qui est parmi nous. — Nous en sommes convenus. — Si donc la domination et la science parfaite appartienne aux dieux, leur domination ne s'exercera jamais sur nous, et leur science ne nous connaîtra jamais, ni nous, ni rien de ce qui nous appartient ; mais, de même que l'empire que nous possédons parmi nous ne nous donne aucun empire sur les dieux, et que notre science ne connaît rien des choses divines, de même et par la même raison ils ne peuvent, tout dieux qu'ils sont, ni être nos maîtres, ni connaître les choses humaines. — Mais, dit Socrate, n'est-il pas trop étrange d'ôter à Dieu la connaissance ? — C'est cependant, répondit Parménide, ce qui doit nécessairement arriver, cela et bien d'autres choses encore, s'il y a des idées des êtres subsistant en elles-mêmes et si on tente de déterminer la nature de chacune d'elles ; de sorte que celui qui entendra avancer cette doctrine, pourra soutenir, ou qu'il n'y a pas de semblables idées, ou que, s'il y en a, elles ne peuvent être connues par la nature humaine. Et cela aura tout l'air d'une difficulté sérieuse, et, comme nous le disions tout à l'heure, il sera singulièrement malaisé de convaincre d'erreur celui qui l'aura proposée. Il faudra un homme bien heureusement né pour comprendre qu'à toute chose répond un genre et une essence en soi ; et il en faudrait un plus admirable encore, pour trouver tout cela et pour l'enseigner à un autre avec les explications convenables. — J'en conviens, Parménide, dit Socrate ; je suis tout-à-fait de ton avis. — Mais, cependant, reprit Parménide, si en considérant tout ce que nous venons de dire et tout ce que l'on pourrait dire encore, on venait à nier qu'il y eût des idées des êtres, et qu'on se refusât à en assigner une à chacun d'eux, on ne saurait plus où tourner sa pensée, lorsqu'on n'aurait plus pour chaque être une idée subsistant toujours la même, et, par là, on rendrait le discours absolument impossible. Il me semble que tu comprends très bien cela. — Tu dis vrai, repartit Socrate. — Quel parti prendras-tu donc au sujet de la philosophie ? et de quel côté te tourneras-tu, dans cette incertitude ? — Je ne le vois point pour l'heure. — C'est que tu entreprends, Socrate, de définir le beau, le juste, le bon et les autres idées avant d'être suffisamment exercé. Je m'en suis déjà aperçu dernièrement, lorsque je t'ai entendu t'entretenir avec Aristote, que voici. Elle est belle et divine, sache-le bien, cette ardeur qui t'anime pour les discussions philosophiques. Mais essaie tes forces et exerce-toi, tandis que tu es jeune encore, à ce qui semble inutile et paraît au vulgaire un pur verbiage ; sans quoi la vérité t'échappera. — Et en quoi consiste donc cet exercice, Parménide ? — Zénon t'en a donné l'exemple ; seulement j'ai été charmé de t'entendre lui dire que tu voudrais voir la discussion porter non sur des objets visibles, mais sur les choses que l'on saisit par la pensée seule, et qu'on peut regarder comme des idées. — C'est qu'en effet il me semble que dans le premier point de vue il n'est pas difficile de démontrer que les mêmes choses sont semblables et dissemblables, et susceptibles de tous les contraires. — Très bien, répondit Parménide. Cependant, pour te mieux exercer encore, il ne faut pas te contenter de supposer l'existence de quelqu'une de ces idées dont tu parles, et d'examiner les conséquences de cette hypothèse ; il faut supposer aussi la non-existence de cette même idée. — Que veux-tu dire ? — Par exemple, si tu veux reprendre l'hypothèse d'où partait Zénon, celle de l'existence de la pluralité, et examiner ce qui doit arriver tant à la pluralité elle-même relativement à elle-même et à l'unité, qu'à l'unité relativement à elle-même et à la pluralité ; de même aussi il te faudra considérer, ce qui arriverait s'il n'y avait point de pluralité ; à l'unité et à la pluralité, chacune relativement à elle-même et relativement à son contraire. Tu pourras pareillement supposer tour à tour l'existence et la non-existence de la ressemblance, et examiner ce qui doit arriver dans l'une et l'autre hypothèse, tant aux idées que tu auras supposées être ou ne pas être, qu'aux autres idées, les unes et les autres par rapport à elles-mêmes et par rapport les unes aux autres. Et de même pour le dissemblable, le mouvement et le repos, la naissance et la mort, l'être et le non-être eux-mêmes. En un mot, pour toute chose que tu pourras supposer être ou ne pas être ou considérer comme affectée de tout autre attribut, il faut examiner ce qui lui arrivera, soit par rapport à elle-même, soit par rapport à toute autre chose qu'il te plaira de lui comparer, ou par rapport à plusieurs choses, ou par rapport à tout ; puis examiner à leur tour les autres choses, et par rapport à elles-mêmes et par rapport à toute autre dont tu voudras de préférence supposer l'existence ou la non-existence : voilà ce qu'il te faut faire si tu veux t'exercer complètement, afin de te rendre capable de discerner clairement la vérité. — Tu me parles-là, Parménide, dit Socrate, d'un travail bien ardu ; au reste, je ne comprends pas encore très bien. Mais pourquoi n'entreprends-tu pas toi-même de développer les conséquences de quelque hypothèse, afin que je t'entende mieux ? — Tu me demandes, Socrate, une entreprise pénible à mon âge. — Et toi, Zénon, reprit Socrate, pourquoi ne te charges-tu pas toi-même de développer quelque hypothèse ? — Alors Zénon dit en riant : Socrate, prions-en Parménide lui-même. Ce n'est pas une petite affaire exercice dont il parle ; et peut-être ne vois-tu pas quelle tâche tu lui imposes. Si notre réunion était plus nombreuse, il ne siérait pas de lui adresser cette prière, parce qu'il n'est pas convenable, surtout pour un vieillard comme lui, de traiter de pareils sujets en présence de beaucoup de monde ; car la foule ignore qu'il est impossible d'atteindre la vérité sans ces recherches et sans ces voyages à travers toutes choses. Maintenant, Parménide, je me joins aux prières de Socrate pour t'entendre encore une fois, après si longtemps.

À ces mots, nous dit Antiphon d'après le récit de Pythodore, celui-ci, ainsi qu'Aristote et les autres, se mirent à prier Parménide de ne pas se refuser à donner un exemple de ce qu'il venait de dire. — Allons, dit Parménide, il faut obéir, quoiqu'il m'arrive la même chose qu'au cheval d'Ibycus, vieux coursier souvent victorieux autrefois, qu'on allait encore atteler au char, et à qui son expérience faisait redouter l'événement. Le vieux poëte se désignait par là lui-même pour montrer que c'était bien à contrecœur qu'à son âge il subit le joug de l'amour[16]. Et moi aussi je tremble quand je songe, moi, vieillard, quelle foule de discussions j'ai à traverser. Cependant il faut vous complaire, puisque Zénon le veut aussi ; et du reste, nous sommes entre nous. Par où donc commencerons-nous ? Quelle hypothèse établirons-nous d'abord ? Voulez-vous, puisqu'il faut jouer ce jeu pénible, que je commence par moi et ma thèse sur l'unité, en examinant quelles seront les conséquences de l'existence ou de la non-existence de l'unité ? — Fort bien, dit Zénon. — Maintenant, reprit Parménide, qui est-ce qui me répondra ? Le plus jeune ? oui ; c'est celui qui élèvera le moins de difficultés, et qui me répondra le plus sincèrement ce qu'il pense ; et en même temps ses réponses ne me fatigueront pas. — Me voilà prêt, Parménide, dit alors Aristote ; car c'est moi que tu désignes, quand tu parles du plus jeune. Ainsi, interroge-moi, je te répondrai. — Soit.

Si l'un existe, il n'est pas multiple ? — Comment en serait-il autrement ? — Il n'a donc pas de parties, et n'est pas un tout ? — Eh bien ! — La partie est une partie d'un tout. — D'accord. — Or, le tout n'est-il pas ce dont aucune partie ne manque ? — Évidemment. — Donc, de l'une et de l'autre manière, comme tout et comme ayant des parties, l'un serait formé de parties ? — Nécessairement. — Ainsi, de l'une et de l'autre manière, l'un serait multiple et non un. — En effet. — Or, il faut que l'un soit un et non pas multiple.

— Il le faut. — Si l'un est un, il ne peut donc pas être un tout, ni avoir des parties. — Non. — Si donc l'un n'a pas de parties, il n'aura non plus ni commencement, ni fin, ni milieu, car ce seraient là des parties. — C'est juste. — Le commencement et la fin sont les limites d'une chose. — Certainement. — L'un est donc illimité, s'il n'a ni commencement ni fin. — Il est illimité. — Et il n'a point de figure, puisqu'il n'est ni rond ni droit. — Et pourquoi ? — N'appelle-t-on pas rond ce dont les extrémités sont partout à égale distance du milieu ? — Oui. — Et droit, ce dont le milieu est en avant de chacune des deux extrémités ? — Oui. — Ainsi l'un aurait des parties et serait multiple, s'il était de figure ronde ou droite. — Incontestablement. — Il n'est donc ni droit ni rond, puisqu'il n'a pas de parties. — Sans doute. — Cela étant, il ne sera nulle part, car il ne peut être ni en lui-même ni en aucune autre chose. — Comment cela ? — S'il était en une autre chose que lui-même, il en serait entouré comme en cercle, et la toucherait par beaucoup d'endroits. Or, ce qui est un, indivisible, et ne participant aucunement de la forme du cercle, ne peut pas être touché en plusieurs endroits circulairement. — C'est impossible. — S'il est en lui-même, il s'entourera lui-même, sans être pourtant autre que lui-même, si c'est en lui-même qu'il est ; car on ne peut être en une chose qu'on n'en soit entouré. — Impossible. — Par conséquent, ce qui entoure sera autre que ce qui est entouré ; car une seule et même chose ne peut pas faire et souffrir tout entière en même temps la même chose : l'un ne serait plus un, mais deux. — Nécessairement. — L'un n'est donc nulle part, et il n'est ni dans lui-même ni dans aucune autre chose. — Non. — Cela étant, vois s'il est possible que l'un soit en repos ou en mouvement. — Pourquoi ? — Parce que, s'il est en mouvement, ou il changé de lieu ou il s'altère, car il n'y a que ces deux mouvements. — Eh bien ! — Si l'un est altéré dans sa nature, il est impossible qu'il soit encore un. — Oui. — Donc il ne se meut pas par altération. — Cela est évident. — Ce serait donc par changement de lieu ? — Peut-être. — Dans ce cas, ou l'un tournerait sur un même lieu en cercle autour de lui-même, ou il changerait successivement de place. — Nécessairement. — Or, ce qui tourne en cercle autour de soi-même doit s'appuyer sur son milieu, et avoir des parties différentes de lui-même et qui se meuvent autour du milieu ; car, comment ce qui n'a ni milieu ni parties pourrait-il se mouvoir en cercle autour de son milieu ? — Cela ne serait pas possible. — Mais s'il change de place, il arrive successivement dans différents lieux, et c'est de cette manière qu'il se meut. — Dans ce cas, oui. — Or, n'avons-nous pas vu qu'il est impossible que l'un soit contenu quelque part dans aucune chose ? — Oui. — Et à plus forte raison, est-il impossible qu'il vienne à entrer dans aucune chose. — Je ne vois pas comment. — Lorsqu'une chose arrive dans une autre, n'est-ce pas une nécessité qu'elle n'y soit pas encore tandis qu'elle arrive, et qu'elle n'en soit pas entièrement dehors, si elle y arrive déjà ? — C'est une nécessité. — Or, c'est ce qui ne peut arriver qu'à une chose qui ait des parties ; car il n'y a qu'une pareille chose qui puisse avoir quelque chose d'elle-même dedans et quelque chose dehors. Mais ce qui n'a pas de parties, ne peut en aucune manière se trouver à la fois tout entier ni en dehors ni en dedans d'une autre chose. — C'est vrai. — Mais, n'est-il pas encore bien plus impossible que ce qui n'a pas de parties et qui n'est pas un tout, arrive quelque part, soit par parties soit en totalité ? — C'est évident. — L'un ne change donc pas de place, ni en allant quelque part et en arrivant en quelque chose, ni en tournant en un même lieu, ni en changeant de nature. — Il semble. — L'un est donc absolument immobile. — Oui. — De plus, nous soutenons qu'il ne peut être en rien. — Nous le soutenons. — Il n'est donc jamais dans le même lieu. — Comment ? — Parce qu'alors il demeurerait dans un lieu. — D'accord. — Or, il ne peut être, comme nous avons vu, ni dans lui-même ni dans rien autre. — Oui. — L'un n'est donc jamais au même lieu. — Il semble. — Mais, ce qui n'est jamais dans le même lieu n'est point en repos ni ne s'arrête. — Non. — Donc, l'un n'est ni en repos ni en mouvement. — Cela est manifeste. — Il n'est donc pas non plus identique ni à un autre ni à lui-même, et il n'est pas autre non plus ni que lui-même ni qu'aucun autre. — Comment cela ? — S'il était autre que lui-même, il serait autre que l'un et ne serait pas un. — C'est vrai. — Et s'il était le même qu'un autre, il serait cet autre et ne serait plus lui-même ; en sorte que, dans ce cas aussi, il ne serait plus ce qu'il est, à savoir l'un, mais autre que l'un. — Sans doute. — Donc il ne peut être le même qu'un autre, ni autre que lui-même. — Tu as raison. — Mais il ne sera pas autre qu'un autre tant qu'il sera un ; car ce n'est pas l'un qui peut être autre que quoi que ce soit, mais bien l'autre seulement et rien autre chose. — Bien. — Ainsi, il ne peut pas être autre, en tant qu'il est un ; n'est-ce pas ton avis ? — Oui. — Or, s'il n'est pas autre par là, il ne l'est pas par lui-même ; et s'il ne l'est pas par même, il ne l'est pas lui-même ; n'étant donc lui-même autre en aucune façon, il ne sera autre que rien. — Fort bien. — Et il ne sera pas non plus le même que lui-même. — Comment ? — Parce que la nature de l'un n'est pas celle du même. — Eh bien ! — Parce que ce qui est devenu le même qu'un autre ne devient pas pour cela un. — Comment ? — Ce qui est devenu le même que plusieurs choses, doit être plusieurs et non pas un. — C'est vrai. — Mais si l'un et le même ne différaient en rien, toutes les fois qu'une chose deviendrait la même, elle deviendrait une, et ce qui deviendrait un deviendrait toujours le même. — C'est cela. — Si donc l'un est le même que lui-même, il ne sera pas un avec lui-même ; de sorte que, tout en étant un, il ne sera pas un. — Mais cela est impossible. — Donc il est impossible que l'un soit ni autre qu'un autre, ni le même que soi-même. — Impossible. — Ainsi l'un ne peut être ni autre, ni le même, ni qu'aucune autre chose ni que soi-même. — Non. — Mais l'un ne sera pas non plus semblable ni dissemblable ni à lui-même ni à un autre. — Comment ? — Parce que le semblable participe en quelque manière du même. — Oui. — Or, nous avons vu que le même est étranger par nature à l'un. — Nous l'avons vu. — Mais si l'un participait encore à une autre manière d'être que celle d'être un, il serait plus qu'un ; ce qui est impossible. — Oui. — Ainsi l'un ne peut être le même ni qu'autre chose ni que lui-même. — Il paraîtrait. — Donc, il ne peut être semblable ni à rien autre ni à lui-même. — Il y a apparence. — Mais l'un ne peut pas non plus participer de la différence ; car, de cette façon encore, il se trouverait participer de plusieurs manières d'être, et non pas seulement de l'unité. — En effet. — Or, ce qui participe de la différence soit envers soi-même, soit envers une autre chose, est dissemblable ou à soi-même ou à autre chose, si le semblable est ce qui participe du même. — C'est juste. — Par conséquent, l'un ne participant en aucune manière de la différence, n'est dissemblable en aucune manière ni à soi-même ni à aucune autre chose. — D'accord. — Donc, l'un n'est semblable, de même qu'il n'est dissemblable, ni à lui-même ni à rien autre. — Cela paraît évident. — Cela étant, il ne sera égal ni à lui-même ni à rien autre. — Comment ? — S'il est égal à une autre chose, il sera de même mesure que la chose à laquelle il est égal. — Oui. — S'il est plus grand ou plus petit, et commensurable avec les choses relativement auxquelles il est plus grand où plus petit, il contiendra plus de fois la mesure commune que celles qui sont plus petites que lui, et moins de fois que celles qui sont plus grandes. — Oui. — S'il n'est pas commensurable avec elles, il contiendra des mesures plus grandes ou plus petites que celles des choses plus petites ou plus grandes que lui. — Sans doute. — Or, n'est-il pas impossible que ce qui ne participe pas du même, ait la même mesure ou quoi que ce soit de même que quelque chose que ce soit ? — C'est impossible. — L'un n'est donc égal ni à lui-même ni à rien autre, s'il n'est pas de même mesure. — Évidemment. — Mais soit qu'il contînt plus de mesures ou des mesures plus petites ou plus grandes, autant il en contiendrait, autant il aurait de parties, et alors il ne serait plus un ; il serait autant de choses qu'il aurait de parties. — C'est juste. — Et s'il ne contenait qu'une seule mesure, il serait égal à la mesure ; or, nous avons vu qu'il était impossible qu'il fût égal à rien. — Nous l'avons vu. — Par conséquent l'un ne participant pas d'une seule mesure, ni d'un plus grand nombre, ni d'un moins grand nombre, en un mot ne participant aucunement du même, l'un, dis-je, ne sera égal ni à lui-même ni à aucune autre chose, de même qu'il ne sera ni plus grand ni plus petit que lui-même ni qu'aucune autre chose. — Assurément. — Mais quoi ! penses-tu que l'un puisse être plus vieux ou plus jeune, ou du même âge qu'aucune autre chose ? — Pourquoi pas ? — C'est que s'il a le même âge que lui-même ou que telle autre chose, il participera de l'égalité et de la ressemblance relativement au temps, et que nous avons dit que ni la ressemblance ni l'égalité ne conviennent à ce qui est un. — Nous l'avons dit. — Et nous avons dit aussi que l'un ne participe ni de la dissemblance ni de l'inégalité. — Oui. — Cela étant, comment se pourrait-il qu'il fût plus jeune ou plus vieux ou du même âge que quoi que ce soit ? — Cela ne se peut. — Ainsi donc, l'un ne sera ni plus jeune ni plus vieux ni du même âge que lui-même, ni qu'aucune autre chose. — Cela est évident. — Mais si telle est la nature de l'un, il ne peut être dans le temps ; car n'est-ce pas une nécessité que ce qui est dans le temps devienne toujours plus vieux que soi-même ? — Cela est nécessaire. — Et ce qui est plus vieux n'est-il pas toujours plus vieux que quelque chose de plus jeune ? — Sans doute. — Ce qui devient plus vieux que soi-même, devient donc aussi plus jeune que soi-même, puisqu'il doit toujours y avoir quelque chose par rapport à quoi il devienne plus vieux. — Que veux-tu dire ? — Le voici : une chose ne peut devenir différente d'une autre qui est déjà différente d'elle ; une chose est différente d'une autre chose qui est actuellement différente d'elle ; une chose est devenue ou deviendra différente d'une chose qui est déjà devenue ou qui deviendra différente d'elle ; mais une chose n'est pas devenue, ni ne deviendra, ni n'est actuellement différente de ce qui devient différent d'elle ; elle en devient seulement différente : or plus vieux est une différence par rapport à plus jeune, et à rien autre chose. — Oui. — Donc, ce qui devient plus vieux que soi-même devient nécessairement en même temps plus jeune que soi-même. — Il paraît. — Et toute chose qui devient, qui est, qui est devenue, ou qui deviendra, devient, est, est devenue, ou deviendra dans un temps, non pas plus grande ou plus petite qu'elle-même, mais égale à elle-même. — Cela est encore nécessaire. — Il est donc nécessaire, à ce qu'il paraît, que tout ce qui est dans le temps, et ce qui participe de cette manière d'être, ait toujours le même âge que soi, et devienne à la fois et plus vieux et plus jeune que soi-même. — Il y a apparence. — Or, nous avons vu que rien de tout cela ne convient à l'un. — Rien de tout cela. — Il n'a donc aucun rapport avec le temps, et n'est dans aucun temps. — Assurément ; nous venons d'en voir la démonstration. — Mais, dis-moi, ces mots : il était, il devient, il est devenu, ne semblent-ils pas signifier, dans ce qui est devenu, une participation à un temps passé ? — Certainement. — Et ces autres mots : il sera, il deviendra, il sera devenu ne signifient-ils pas une participation à un temps à venir ? — Oui. — Et il est, il devient, une participation à un temps présent ? — Tout-à-fait. — Si donc l'un ne participe absolument d'aucun temps, il ne devient jamais, ni ne devenait, ni n'était jamais ; il n'est devenu, ni ne devient, ni n'est à présent ; il ne deviendra, ni ne sera devenu, ni ne sera jamais par la suite. — Cela est très vrai. — Or, peut-on participer de l'être autrement qu'en quelqu'une de ces manières ? — Non. — Donc, l'un ne participe aucunement de l'être. — Selon toute apparence. — L'un n'est donc d'aucune manière ? — Il paraîtrait. — Il n'est donc pas non plus tel qu'il soit un, puisque alors il serait un être, et participerait de l'être. Par conséquent, si nous devons nous fier à cette démonstration, l'un n'est pas un et n'est pas. — Je le crains. — Et ce qui n'est pas, peut-il y avoir quelque chose qui soit à lui ou de lui ? — Comment serait-ce possible ? — Il n'a donc pas de nom, et on n'en peut avoir ni idée, ni science, ni sensation, ni opinion. — Évidemment. — Il ne peut donc être ni nommé ni exprimé ; on ne peut s'en former d'opinion ni de connaissance, et aucun être ne peut le sentir. — Il n'y a pas d'apparence. — Mais est-il donc possible qu'il en soit ainsi de l'un ? — Je ne puis pas le penser. Veux-tu maintenant que nous revenions à notre supposition, pour voir si, en reprenant la chose de nouveau, nous n'obtiendrons pas d'autres résultats ? — Très volontiers. — Ainsi ne disons-nous pas que si l'un existe, il faut lui attribuer tout ce qui suit en lui de son existence ? N'est-ce pas cela ? — Oui. — Reprenons donc du commencement.

Si l'un est, se peut-il qu'il soit sans participer de l'être ? Ne devons-nous pas reconnaître l'être de l'un comme n'étant pas la même chose que l'un ? Car, autrement, ce ne serait pas son être, et l'un n'en participerait pas ; mais ce serait à peu près la même chose que de dire : l'un est, ou l'un un. Or, ce que nous nous sommes proposé, c'est de rechercher ce qui arrivera, non pas dans l'hypothèse de l'unité de l'un, mais dans celle de l'existence de l'un. N'est-il pas vrai ? — Tout-à-fait. — Ainsi, nous voulons dire que est signifie autre chose que un. — Nécessairement. — Dire que l'un est, c'est donc dire en abrégé que l'un participe de l'être ? — Oui. — Disons donc encore une fois ce qui arrivera si l'un est. Examine si de notre hypothèse ainsi établie il ne suit pas que l'être est une chose qui a des parties. — Comment ? — Le voici. Si il est est se dit de l'un qui est, et un de l'être un, et si l'être et l'un ne sont pas la même chose, mais appartiennent également à cette chose que nous avons supposée, je veux dire l'un qui est, ne faut-il pas reconnaître dans cet un qui est, un tout, dont l'un et l'être sont les parties ? — Il le faut. — Appellerons-nous chacune de ces deux parties une partie simplement, ou plutôt la partie ne doit-elle pas être dite la partie d'un tout ? — Oui, la partie d'un tout. — Et un tout, c'est ce qui est un et qui a des parties. — Sans doute. — Mais quoi ! ces deux parties de l'un qui est, l'un et l'être, se séparent-elles jamais l'une de l'autre, l'un de l'être ou l'être de l'un ? — Jamais. — Ainsi chacune des deux parties contient encore l'autre, et la plus petite partie, être ou un, est composée de deux parties. On peut poursuivre toujours le même raisonnement ; quelque partie que l'on prenne, elle contient toujours, par la même raison, les deux parties : l'un contient toujours l'être, et l'être toujours l'un, en sorte que chacun est toujours deux et jamais un. — Assurément. — De cette manière, l'un qui est serait une multitude infinie ? — Il semble. — Tournons-nous maintenant de ce côté. — Lequel ? — Nous disions que l'un participe de l'être, et que c'est ce qui fait qu'il est un être. — Oui. — Et c'est par là que l'un qui est nous est apparu comme multiple. — Oui. — Mais quoi ! ce même un, que nous disons qui participe de l'être, si nous le considérons seul en lui-même, séparément de ce dont il participe, nous apparaîtra-t-il comme simplement un, ou comme multiple ? — Comme un, à ce qu'il me semble. — Voyons. Il faut bien que son être et lui soient deux choses différentes, si l'un n'est pas l'être, mais seulement participe à l'être en tant qu'il est un. — Il le faut. — Or, si autre chose est l'être, autre chose l'un, ce n'est pas par son unité que l'un est autre que l'être, ni par son être que l'être est autre que l'un : c'est par l'autre et le différent qu'ils sont autres. — Oui. — De sorte que l'autre n'est pas la même chose que l'un ni que l'être. — Évidemment. — Mais quoi ! si nous prenons ensemble, soit l'être et l'autre, soit l'être et l'un, soit l'un et l'autre, comme tu l'aimeras le mieux, n'aurons-nous pas pris à chaque fois un assemblage que nous serons en droit de désigner par cette expression, tous deux ? — Comment ? — Le voici. Ne peut-on pas nommer l'être ? — Oui. — Et nommer l'un ? — Aussi. — Ne les nomme-t-on donc pas l'un et l'autre ? — Oui. — Mais lorsque je dis : l'être et l'un, ne les ai-je pas nommés tous deux ? — Sans doute. — Et lorsque je dis l'être et l'autre, ou l'être et l'un, ne puis-je pas également dire chaque fois tous deux ? — Oui. — Et ce dont on est en droit de dire tous deux, cela peut-il faire tous deux sans faire deux ? — C'est impossible. — Or, où il y a deux choses, est-il possible que chacune ne soit pas une ? — Ce n'est pas possible. — Si donc les choses que nous venons de considérer peuvent être prises deux à deux, chacune d'elles est une. — Assurément. — Mais si chacune est une, en ajoutant une chose quelconque à l'un quelconque de ces couples, le tout ne formerait-il pas trois ? — Oui. — Trois n'est-il pas impair, et deux n'est-il pas pair ? — Oui. — Or, là où il y a deux, n'y a-t-il pas aussi nécessairement deux fois, et où il y a trois, trois fois, s'il est vrai que le deux se compose de deux fois un, et le trois de trois fois un ? — Nécessairement. — Et là où il y a deux et deux fois, n'y a-t-il pas aussi nécessairement deux fois deux ? Et là où il y a trois et trois fois, trois fois trois ? — Certainement. — Et là où il y a trois par deux fois, et deux par trois fois, n'y a-t-il pas aussi nécessairement trois fois deux et deux fois trois ? — Il le faut bien. — On aura donc les nombres pairs un nombre de fois pair, les impairs un nombre de fois impair, les pairs un nombre de fois impair, les impairs un nombre de fois pair. — Oui. — S'il en est ainsi, ne crois-tu pas qu'il n'y a pas un nombre qui ne doive être nécessairement ? — Fort bien. — Donc, si l'un est, il faut nécessairement que le nombre soit aussi. — Nécessairement. — Et si le nombre est, il y a aussi de la pluralité et une multitude infinie d'êtres. Ou n'est-il pas vrai qu'il y aura un nombre infini et qui en même temps participe de l'être ? — Si, cela est vrai. — Mais si tout nombre participe de l'être, chaque partie du nombre n'en participe-t-elle pas également ? — Oui. — Donc, l'être est départi à tout ce qui est multiple, et aucun être, ni le plus petit, ni le plus grand, n'en est dépourvu. N'est-il même pas déraisonnable de poser un pareille question ? car, comment un être pourrait-il être dépourvu de l'être ? — C'est impossible. — L'être est donc partagé entre les êtres les plus petits et les plus grands, en un mot, entre tous les êtres ; il est divisé plus que toute autre chose, et il y a une infinité de parties de l'être. — C'est cela. — Rien n'a donc plus de parties que l'être ? — Rien. — Parmi toutes ces parties, en est-il une qui fasse partie de l'existence sans être une partie ? — Comment serait-ce possible ? — Et si telle ou telle partie existe, il faut, ce me semble, que tant qu'elle existe elle soit une chose ; et il n'est pas possible qu'elle n'en soit pas une. — Il le faut. — L'un se trouve donc en chaque partie de l'être ; grande ou petite il n'en est aucune à laquelle il manque. — Oui. — Mais s'il est un, se peut-il qu'il soit tout entier en plusieurs endroits à la fois. Pensez-y bien. — J'y pense, et je vois que cela est impossible. — Il est donc divisé, s'il n'est pas partout tout entier ; car ce n'est qu'en se divisant qu'il peut se trouver à la fois dans toutes les parties de l'être. — Oui. — Mais ce qui est divisible est nécessairement autant de choses qu'il a de parties ? — Nécessairement. — Nous n'avons pas dit vrai tout à l'heure, en disant que l'être était distribué en une multitude de parties ; il ne peut pas être distribué en plus de parties que l'un, mais précisément en autant de parties que l'un ; car l'être ne manque jamais à l'un, ni l'un à l'être : ce sont deux choses qui vont toujours de pair. — Cela est manifeste. — L'un, partagé par l'être, est donc aussi plusieurs et infini en nombre. — Évidemment. — Ce n'est donc pas seulement l'être un qui est plusieurs, mais aussi l'un lui-même, divisé par l'être. — Sans aucun doute. — Et puisque les parties sont toujours les parties d'un tout, l'un sera limité en tant qu'il est un tout ; ou bien les parties ne sont-elles pas renfermées dans le tout ? — Nécessairement. — Mais ce qui renferme doit être une limite. — Oui. — L'un est donc à la fois un et plusieurs, tout et parties, limité et illimité en nombre. — Il semble bien. — Mais s'il est limité, n'a-t-il pas des bornes ? — Nécessairement. — Et s'il est un tout, n'aura-t-il pas aussi un commencement, un milieu et une fin ? ou bien un tout peut-il exister sans ces trois conditions ? et s'il vient à en manquer quelqu'une, sera-t-il encore un tout ? — Il n'en sera plus un. — L'un aurait donc, à ce qu'il paraît, un commencement, un milieu et une fin. — Il les aurait. — Or, le milieu est à égale distance des extrémités ; car autrement il ne serait pas le milieu. — Tu as raison. — Cela étant, l'un participerait d'une certaine forme, soit droite, soit ronde, soit mixte. — Assurément. — Et, alors ne sera-t-il pas et en lui-même et en autre chose ? — Comment ? — Toutes les parties sont dans le tout, et il n'y en a aucune hors du tout. — Oui. — Toutes les parties sont renfermées par le tout. — Oui. — Et toutes les parties de l'un, prises ensemble, constituent l'un, toutes, ni plus ni moins. — Sans contredit. — Le tout n'est-il donc pas aussi l'un ? — Soit. — Or, si toutes les parties sont dans un tout, et si toutes les parties ensemble constituent l'un et le tout lui-même, et que toutes les parties soient renfermées par le tout, l'un serait renfermé par l'un, et, par conséquent, nous voyons déjà que l'un serait dans lui-même. — Cela est clair. — D'un autre côté, le tout n'est pas dans les parties, ni dans toutes, ni dans quelqu'une. En effet, s'il était dans toutes les parties, il faudrait bien qu'il fût dans une des parties ; car, s'il y en avait une dans laquelle il ne fût pas, il ne pourrait pas être dans toutes. Et si cette partie que nous considérons est du nombre de toutes les parties, et que le tout ne soit pas en elle, comment serait-il dans toutes ? — D'aucune manière. — Or, le tout ne peut pas être non plus dans quelques-unes des parties ; car, s'il était dans quelques-unes, le plus serait dans le moins, ce qui est impossible. — Oui, impossible. — Mais si le tout n'est ni dans un plus grand nombre de parties qu'il en renferme, ni dans une de ses parties, ni dans toutes, il faut nécessairement qu'il soit en quelque autre chose, ou qu'il ne soit nulle part. — Nécessairement. — N'est-il pas vrai que s'il n'était nulle part, il ne serait rien ? et, par conséquent, puisqu'il est un tout, et qu'il n'est pas en lui-même, il doit être en quelque autre chose. — Tout-à-fait. — Ainsi l'un, en tant qu'il est un tout, est en quelque chose d'autre que lui-même ; mais en tant qu'il est toutes les parties dont le tout est formé, il est en lui-même ; en sorte que l'un est nécessairement et en lui-même et en quelque chose d'autre que lui-même. — Nécessairement. — Étant ainsi fait, l'un ne doit-il pas être en mouvement et en repos ? — Comment ? — Il est en repos, s'il est lui-même dans lui-même ; car, étant dans une chose et n'en sortant pas, comme il arriverait s'il était toujours en lui-même, il serait toujours dans la même chose. — Oui. — Or, ce qui est toujours dans la même chose est nécessairement toujours en repos. — Sans doute. — Au contraire, ce qui est constamment en quelque chose de différent, ne doit-il pas nécessairement n'être jamais dans le même ? Et n'étant jamais dans le même, ne doit-il pas n'être jamais en repos ; et n'étant pas en repos, ne doit-il pas être en mouvement ? — Oui. — Donc, l'un étant toujours et en lui-même et en autre chose, est nécessairement toujours en mouvement et toujours en repos. — Évidemment. — Si ce que nous avons dit jusqu'ici de l'un, est vrai, il s'ensuit encore qu'il est tout à la fois identique à lui-même et différent de lui-même, et pareillement le même et autre que les autres choses. — Comment ? — On peut dire ceci de toute chose à l'égard de toute autre chose : qu'elle est la même ou autre ; ou que si elle n'est ni la même ni autre qu'une certaine chose, elle est ou une partie de cette chose, ou le tout dont cette chose est une partie. — D'accord. — Or, l'un est-il une partie de lui-même ? — Non. — L'un ne peut donc pas non plus être le tout de lui-même, en étant la partie de ce tout, et par conséquent de lui-même. — Il ne le peut pas non plus. — L'un serait-il donc autre que l'un ? — Non certes. — Il ne peut pas être autre que lui-même. — Non. — Mais s'il n'est, par rapport à lui-même, ni autre, ni tout, ni partie, n'est-il pas nécessairement le même que lui-même ? — Nécessairement. — Mais quoi ! ce qui est ailleurs que lui-même, fût-il dans le même que soi-même, n'est-il pas autre que lui-même, puisqu'il est ailleurs ? — Il me le semble. — Or, nous avons vu qu'il en est ainsi de l'être, qu'il est à la fois en lui-même et en un autre. — Nous l'avons vu. — Ainsi, par cette raison, l'un serait, ce semble, autre que lui-même. — Il semble. — Quoi donc ! si quelque chose est autre que quelque chose, cette seconde chose ne sera-t-elle pas aussi autre que la première ? — Nécessairement. — Mais tout ce qui n'est pas un n'est-il pas autre que l'un, et l'un à son tour autre que ce qui n'est pas un ? — Certainement. — L'un serait donc autre que tout le reste. — Oui. — Maintenant, fais attention : le même et l'autre ne sont-ils pas contraires entre eux ? — Soit. — Et le même se trouvera-t-il jamais dans l'autre, ou l'autre dans le même ? — Cela ne sera jamais. — Si donc l'autre n'est jamais dans le même, il n'y a pas un être dans lequel l'autre se trouve jamais pendant un temps ; car s'il se trouvait quelque temps en quelque chose, pendant ce temps l'autre serait compris dans le même, n'est-ce pas ? — Oui. — Puis donc, que l'autre n'est jamais compris dans le même, il ne sera jamais dans aucun être. — C'est vrai. — L'autre ne sera donc pas dans ce qui n'est pas un, ni dans ce qui est un. — Non. — Ce ne sera donc pas par l'autre que l'un sera autre que ce qui n'est pas un, et ce qui n'est pas un autre que l'un. — Non. — Mais ce n'est pas non plus par eux-mêmes que l'un et le non-un seront autres, s'ils ne participent point de l'autre. — Sans doute. — Or, s'ils ne sont autres ni par eux-mêmes ni par l'autre, la différence entre eux ne s'évanouira-t-elle pas ? — Elle s'évanouira. — D'un autre côté, ce qui n'est pas un ne participe pas de l'un ; car, autrement, il ne serait pas ce qui n'est pas un, mais plutôt il serait un. — C'est vrai. — Ce qui n'est pas un ne peut pas non plus être un nombre ; car avoir du nombre ne serait pas être tout-à-fait sans unité. — Non, en vérité. — Mais quoi ! ce qui n'est pas un pourrait-il former des parties de l'un ? ou plutôt ne serait-ce pas encore participer de l'un ? — Ce serait en participer. — Si donc l'un est absolument un, et le non-un absolument non-un, l'un ne peut être ni une partie du non-un, ni un tout dont le non-un fasse partie ; et réciproquement, le non-un ne peut former ni le tout ni les parties de l'un. — Non. — Or, nous avons dit que les choses qui ne sont, à l'égard les unes des autres, ni tout, ni parties, ni autres, sont les mêmes. — Oui, nous l'avons dit. — Dirons-nous donc aussi que l'un étant dans ce rapport avec le non-un, lui est identique ? — Nous le dirons. — Ainsi, à ce qu'il paraît, l'un est autre que tout et que lui-même, et le même que tout et que lui-même. — J'ai bien peur que ce ne soit la conséquence évidente de notre déduction. — L'un serait-il aussi semblable et dissemblable à lui-même et aux autres choses ? — Peut-être. — Mais, puisqu'il s'est montré autre que tout le reste, tout le reste est aussi autre que lui. — Assurément. — Et n'est-il pas autre que ce qui n'est pas un, précisément comme ce qui n'est pas lui est autre que lui, ni plus ni moins ? — Certainement. — Si ce n'est ni plus ni moins, c'est donc semblablement ? — Oui. — Ainsi, par cela même que l'un se trouve être autre que tout le reste, et tout le reste autre que lui, par cela même et dans la même mesure l'un se trouvera le même que tout le reste, et tout le reste le même que l'un. — Que veux-tu dire ? — Le voici : chaque nom, ne l'appliques-tu pas à une chose ? — Oui. — Eh bien ! peux-tu prononcer le même nom plusieurs fois, ou ne le peux-tu prononcer qu'une fois ? — Plusieurs fois. — Est-ce que, en prononçant un nom une fois, tu désignes la chose qui porte ce nom, et qu'en l'énonçant plusieurs fois, tu ne la désignes pas ? ou bien ne désignes-tu pas nécessairement la même chose, soit que tu prononces le même nom une fois, ou plusieurs fois ? — Sans doute. — Or, le mot autre est aussi le nom de quelque chose ? — Certainement. — Ainsi, lorsque tu le prononces, soit une fois, soit plusieurs fois, tu ne nommes par là que la chose dont c'est le nom. — Nécessairement. — Quand nous disons que tout le reste est autre que l'un, et l'un autre que tout le reste, en prononçant ainsi deux fois le mot autre, il n'en est pas moins vrai que nous ne désignons par là que cette seule et unique chose dont le mot autre est le nom. — Nul doute. — Ainsi, en tant que l'un est autre que tout le reste, et tout le reste autre que l'un, l'un, participant au même autre que tout le reste, ne participe pas à une chose différente, mais à la même chose que tout le reste. Or, ce qui participe en quelque manière de la même chose, est semblable. N'est-il pas vrai ? — Oui. — Ainsi, c'est par la même raison qui fait que l'un se trouve être autre que tout le reste, que tout serait semblable à tout ; car toute chose est autre que toute chose. — Il semble. — Cependant le semblable est contraire au dissemblable ? — Oui. — Et le même contraire à l'autre ? — Encore. — Or, nous avons aussi vu que l'un est le même que tout le reste. — Oui. — Mais, être le même que tout le reste, c'est un état contraire à celui d'être autre que tout le reste. — Assurément. — Et nous avons vu qu'en tant qu'autre, l'un est semblable. — Oui. — Donc, en tant que le même, il sera dissemblable, puisqu'il sera dans l'état contraire à celui qui fait la ressemblance ; car n'était-ce pas l'autre qui rendait semblable ? — Oui. — Le même rendra donc dissemblable, ou bien il ne sera pas le contraire du différent. — Il semble. — Donc, l'un sera semblable et dissemblable aux autres choses : semblable en tant qu'autre, dissemblable en tant que le même. — Oui, selon toute apparence. — Voici encore une autre conséquence. — Laquelle ? — En tant que l'un participe du même, il ne participe pas du différent ; en tant qu'il ne participe pas du différent, il n'est pas dissemblable ; et en tant qu'il n'est pas dissemblable, il est semblable. D'un autre côté, en tant qu'il participe du différent, il est différent, et en tant qu'il est différent, il est dissemblable. — Tu as raison. — Ainsi l'un, étant le même et étant autre que toutes les choses qui sont différentes de lui, leur sera, par ces deux raisons à la fois et par chacune d'elles séparément, semblable et dissemblable en même temps. — Tout-à-fait. — Mais si nous avons trouvé qu'il est à la fois le même et autre que lui-même, ne devons-nous pas trouver également qu'il est en même temps par ces deux raisons ensemble, et par chacune séparément, semblable et dissemblable à lui-même ? — Nécessairement. — Maintenant, l'un est-il ou n'est-il pas en contact et avec lui-même et avec les autres choses ? Penses-y bien. — Je vais y penser. — L'être nous est apparu comme contenu en quelque sorte dans le tout de lui-même. — Oui. — N'est-il donc pas aussi contenu dans les autres choses ? — Oui. — Eh bien, en tant qu'il est dans les autres choses, il les touchera ; en tant qu'il est dans lui-même, il lui sera impossible, il est vrai, de toucher les autres choses, mais il se touchera lui-même, s'il est en lui-même. — C'est évident. — De cette manière l'un se touchera lui-même et les autres choses. — Oui. — Eh bien, maintenant, tout ce qui doit toucher une chose ne doit-il pas se trouver immédiatement à la suite de ce qu'il doit toucher, et occuper la place qui vient après celle où se trouve ce qu'il touche ? — Nécessairement. — L'un aussi, s'il doit se toucher lui-même, doit donc être immédiatement à la suite de lui-même. — Il le faut bien. — Or, c'est ce qui ne peut arriver qu'à ce qui est entre deux et qui se trouve à la fois en deux endroits ; et tant que l'un sera un, cela lui sera interdit. — Oui. — C'est donc pour l'un la même nécessité de n'être pas deux et de ne pas se toucher lui-même ? — La même. — Mais il ne touchera pas davantage les autres choses. — Pour quoi ? — Parce que, comme nous venons de le dire, ce qui touche doit être en dehors et à la suite de ce qu'il touche, sans qu'il se trouve en tiers aucun intermédiaire. — C'est vrai. — Il faut, pour le contact, au moins deux choses. — Oui. — Si entre deux choses il s'en trouve une troisième à la suite de l'une et de l'autre, il y aura trois choses, mais seulement deux contacts. — Oui. — Et chaque fois qu'on ajoute une chose, s'ajoute un nouveau contact, et toujours il y a un contact de moins qu'il n'y a de choses qui se touchent. Car tout comme les deux premières choses qui se touchent surpassaient le nombre des contacts, de même et dans la même proportion le nombre des choses qui se touchent surpasse ensuite le nombre de contacts ; car on n'ajoute jamais pour une chose qu'un seul contact. — Fort bien. — Donc, quel que soit le nombre des choses, le nombre des contacts sera toujours plus petit d'une unité. — Oui. — Et, s'il n'y a qu'une seule chose et point de dualité, il n'y aura pas de contact. — Comment pourrait-il y en avoir ? — Or, nous avons dit que les choses autres que l'un ne sont pas unes, ni ne participent de l'un, dès qu'elles sont autres. — Oui, certes. — Donc il n'y a pas de nombre dans les autres choses dès qu'il n'y a pas en elles d'unité. — Assurément. — Alors les autres choses ne sont ni une, ni deux, et il n'y a aucun nom de nombre qui puisse les désigner. — Non. — L'un existe donc seul, et il n'y a pas de dualité. — D'accord. — Il n'y a donc pas de contact, puisqu'il n'y a pas de dualité. — Non. — Et puisqu'il n'y a pas de contact, l'un ne touche pas d'autres choses, ni les autres choses l'un. — Non. — De tout cela il résulte que l'un touche et ne touche pas et les autres choses et lui-même. — Il paraît. — L'un est donc aussi à la fois égal et inégal à lui-même et aux autres choses ? — Comment ? — Si l'un était plus grand ou plus petit que les autres choses, ou qu'au contraire les autres choses fussent plus grandes ou plus petites que l'un, n'est-il pas vrai que ce ne serait pas par cela seul que l'un est l'un, et que les choses différentes de l'un en sont différentes ; que ce ne serait pas, dis-je, par cela seul que l'un serait plus grand ou plus petit que les autres choses, et celles-ci plus grandes ou plus petites que l'un, mais, que si elles étaient égales, ce serait parce qu'en outre elles auraient de l'égalité et que si les choses autres que l'un avaient de la grandeur, et l'un de la petitesse, ou qu'au contraire l'un eût de la grandeur, et les autres choses de la petitesse, ce serait celle de ces deux idées qui aurait de la grandeur qui serait plus grande, et celle qui rait de la petitesse, qui serait plus petite ? — Nécessairement. — N'existent-elles pas, ces deux idées de la grandeur et de la petitesse ? car si elles n'existaient pas, elles ne seraient pas contraires l'une à l'autre, et ne deviendraient pas telles dans les êtres. — Sans doute. — Or, si la petitesse se trouve dans l'un, elle est ou dans sa totalité ou dans une de ses parties. — Nécessairement. — Mais quoi ! si elle était dans sa totalité, ne serait-elle pas ou également répandue dans la totalité de l'un, ou étendue tout autour ? — Il est vrai. — Mais, si elle se trouve également répandue sur l'un, ne sera-t-elle pas égale à l'un, et plus grande si elle l'environne ? — Évidemment. — Est-il donc possible que la petitesse soit égale à quelque chose, ou plus grande que quelque chose, et qu'elle joue le rôle de la grandeur et de l'égalité, et non pas le sien ? — C'est impossible. — Ainsi donc la petitesse, si elle est comprise dans l'un, n'est pas dans la totalité de l'un, et elle ne peut être que dans quelqu'une de ses parties. — Oui. — Elle ne peut pas être non plus dans une partie tout entière ; car alors elle se comporterait à l'égard de la partie comme à l'égard du tout, c'est-à-dire qu'elle serait égale à la partie où elle se trouverait, ou plus grande que cette partie. — Nécessairement. — La petitesse ne sera donc dans rien de ce qui existe, puisqu'elle n'est ni dans le tout, ni dans la partie ; et il n'y aura rien de petit que la petitesse elle-même. — Il paraît. — Et alors, la grandeur ne sera pas non plus en aucune chose ; car, pour renfermer la grandeur, il faudrait quelque chose de plus grand que la grandeur elle-même, et cela sans qu'il y eût rien de petit dans cette grandeur qu'il s'agit de surpasser, puisqu'elle est essentiellement grande. D'ailleurs, il ne peut pas y avoir de petitesse dans la grandeur s'il n'y a pas de petitesse en aucune chose. — C'est vrai. — Cependant, ce n'est que par rapport à la petitesse en soi que la grandeur en soi peut être dite plus grande, et par rapport à la grandeur en soi que la petitesse en soi peut être dite plus petite. — Par conséquent, les autres choses ne sont ni plus grandes, ni plus petites que l'un, puisqu'elles n'ont ni grandeur ni petitesse ; la grandeur et la petitesse elles-mêmes ne peuvent ni surpasser l'un, ni en être surpassées, mais seulement se surpasser l'une l'autre, et réciproquement, si l'un n'a ni grandeur ni petitesse, il ne peut être plus grand ou plus petit ni que la grandeur en soi et la petitesse en soi ni qu'aucune autre chose. — Cela est évident. — Si donc l'un n'est ni plus grand, ni plus petit que les autres choses, ne s'ensuit-il pas nécessairement qu'il ne les surpasse pas et qu'il n'en est pas surpassé ? — Nécessairement. — Or, ce qui ne surpasse ni n'est surpassé, n'est-il pas nécessairement d'égale grandeur, et ce qui est d'égale grandeur n'est-il pas égal ? — Sans doute. — Il en serait donc aussi de même de l'un par rapport à lui-même ; n'ayant en lui-même ni grandeur ni petitesse, il ne sera pas surpassé par lui-même, ni ne se surpassera, mais étant avec lui-même d'égale grandeur, il sera égal à lui-même. — Certainement. — L'un serait donc égal et à lui-même et aux autres choses. — Évidemment. — Mais s'il est lui-même en lui-même, il doit aussi être en dehors et autour de lui-même, et en tant qu'il se renferme ainsi, il doit être plus grand, et en tant qu'il est renfermé en lui, plus petit que lui-même. De la sorte l'un serait plus grand et plus petit que lui-même. — Oui, en effet. — N'est-il pas impossible aussi qu'il y ait rien en dehors de l'un, et des choses qui sont autres que l'un ? — Assurément. — Or, ce qui est doit toujours être quelque part. — Oui. — Mais toutes les fois qu'une chose est dans une autre, n'est-ce pas un plus petit dans un plus grand ? Car il serait impossible autrement que deux choses différentes fussent l'une dans l'autre. — Impossible. — Or, puisqu'il n'existe rien en dehors de l'un et des autres choses, et qu'il est pourtant nécessaire que l'un et les autres choses soient en quelque chose, ne faut-il pas que l'un et les autres choses soient mutuellement compris les uns dans les autres, les autres choses dans l'un, et l'un dans les autres choses ; car autrement l'un et les autres choses ne seraient nulle part. — Cela est évident. — Mais dès que l'un est dans les autres choses, celles-ci seront plus grandes que l'un, puisqu'elles le renferment, et l'un plus petit qu'elles, puisqu'il en est renfermé. D'un autre côté, dès que les autres choses sont comprises dans l'un, par la même raison l'un sera plus grand que les autres choses, et celles-ci plus petites que l'un. — Il semble. — L'un est donc à la fois égal à lui-même et aux autres choses, plus grand et plus petit que lui-même et que les autres choses. — Certainement. — Mais si l'un est plus grand, plus petit et égal, il aura des mesures égales à lui-même et aux autres choses, ou plus ou moins nombreuses ; et si des mesures, des parties aussi. — Soit. — Avec des mesures égales ou avec plus ou moins de mesures, il sera plus ou moins grand que lui-même et que les autres choses, ou égal en nombre aux autres choses et à lui-même par la même raison. — Comment ? — Pour être plus grand que telle, autre chose, il faut qu'il ait plus de mesures, et autant de mesures, autant de parties ; il en est de même pour être plus petit ou pour être égal. — Oui. — Par conséquent, l'un étant plus grand et plus petit que lui-même et égal à lui-même, ne sera-t-il pas d'égale mesure avec lui-même, et n'aura-t-il pas plus et moins de mesures que lui-même ? Et ce qui est vrai des mesures ne l'est-il pas des parties ? — Oui. — Étant donc égal à lui-même en parties, il sera égal à lui-même en nombre ; ayant plus ou moins de parties que lui-même, il sera plus et moins que lui-même en nombre. — D'accord. — Et n'en sera-t-il pas de même de l'un dans son rapport avec les autres choses ? Plus grand qu'elles, il sera plus qu'elles en nombre ; plus petit, il sera moins en nombre égal, il sera égal en nombre. — Nécessairement. — Il paraît donc que l'un est en nombre à la fois égal, supérieur et inférieur et à lui-même et aux autres choses. — Oui. — L'un participe-t-il aussi du temps ? est-il, devient-il plus jeune et plus vieux que lui-même et les autres choses ; ou, tout en participant du temps, n'est-il au contraire ni plus jeune ni plus vieux que lui-même et les autres choses ? — Comment ? — L'un est de quelque manière, s'il est un. — Oui. — Or, être, qu'est-ce autre chose que participer de l'existence dans le temps présent, de même que il était signifie la participation à l'existence dans le passé, et il sera, dans le temps à venir ? — Fort bien. — L'un participe donc du temps, s'il participe de l'être. — Sans doute. — Donc il participe du temps qui passe. — Oui. — Il devient donc toujours plus vieux que lui-même, s'il marche avec le temps. — Nécessairement. — Or, n'avons-nous pas dit que ce qui devient plus vieux, devient plus vieux par rapport à un plus jeune ? — Oui. — Donc, puisque l'un devient plus vieux que lui-même, il le devient par rapport à lui-même qui devient plus jeune. — Nécessairement. — De cette manière il devient et plus jeune et plus vieux que lui-même. — Oui. — N'est-il pas plus vieux lorsqu'il est arrivé au temps présent, intermédiaire entre avoir été et devoir être ? Car, en allant du passé à l'avenir, il ne pourrait sauter par-dessus le présent. — Non, sans doute. — Ne cesse-t-il pas de devenir plus vieux au moment où il touche au présent, et n'est-il pas vrai qu'il ne devient plus alors, mais qu'il est plus vieux ? Car s'il avançait toujours, il ne serait jamais renfermé dans le présent. Il est dans la nature de ce qui avance, de toucher à la fois à deux choses, au présent et à l'avenir, abandonnant le présent pour poursuivre l'avenir, et venant toujours au milieu entre le présent et l'avenir. — C'est vrai. — Et, si ce qui devient ne peut jamais sauter par-dessus le présent, il cesse de devenir, dès qu'il est dans le présent, et il est alors ce qu'il devenait. — C'est évident. — Ainsi donc, l'un, en devenant plus vieux, atteint le présent ; aussitôt il cesse de devenir plus vieux ; il l'est. — Assurément. — Dès lors il est plus vieux que ce par rapport à quoi il devenait plus vieux ; or, cela c'était lui — même. — Oui. — Et le plus vieux est plus vieux qu'un plus jeune ? — Oui. — L'un est donc aussi plus jeune que lui-même, lorsque, en devenant plus vieux, il atteint le présent. — Nécessairement. — Mais le présent accompagne l'un dans toute son existence, car il est toujours présentement, tant qu'il est. — Sans doute. — Par conséquent l'un est et devient toujours plus vieux et plus jeune que lui-même. — Il paraît. — Est-il ou devient-il en plus de temps que lui-même, ou dans un temps égal ? — Dans un temps égal. — Mais ce qui devient ou qui est dans un temps égal, a le même âge. — Oui. — Et ce qui a le même âge n'est ni plus vieux, ni plus jeune. — Non. — Par conséquent, l'un étant et devenant dans un temps égal à lui-même, n'est ni ne devient ni plus vieux ni plus jeune que lui-même. — Je le crois. — Peut-être devient-il ou est-il plus vieux et plus jeune que les autres choses. — Je ne sais que répondre. — Tu peux dire du moins que, si les choses différentes de l'un sont des choses autres, et non pas une seule chose autre, elles sont plus nombreuses que l'un ; car, si elles n'étaient qu'une chose autre, elles ne seraient qu'un ; mais puisque ce sont des choses autres, elles sont en nombre plus que l'un, et forment une multitude. — Oui. — Et si elles forment une multitude, elles participent d'un nombre plus grand que l'unité. — Soit. — Dans le nombre, qu'est-ce qui devient ou a dû devenir d'abord, le plus grand, ou le moindre ? — Le moindre. — Le premier est donc ce qu'il y a de plus petit. Or, ce qu'il y a de plus petit, c'est l'un. N'est-il pas vrai ? — Oui. — L'un est donc né le premier entre tout ce qui a du nombre ; et toutes les autres choses ont du nombre, si elles sont des choses, et non pas une seule chose. — Oui. — Or, ce qui est né le premier, est, ce me semble, né avant, et les autres choses après ; et ce qui est né après est plus jeune que ce qui est né avant ; de la sorte, toutes les autres choses seraient plus jeunes que l'un, et l'un plus vieux que les autres choses. — Oui. — Dis-moi, l'un est-il né d'une manière contraire à sa nature, ou cela est-il impossible ? — Cela est impossible. — Or, nous avons vu que l'un a des parties, et que, s'il a des parties, il a aussi un commencement, une fin et un milieu. — Oui. — Le commencement ne naît-il pas partout le premier, dans l'un aussi bien que dans chacune des autres choses ; et après le commencement, tout le reste jusqu'à la fin ? — Incontestablement. — Et ce que nous venons d'appeler tout le reste, ce sont, dirons-nous, des parties du tout et de l'un ; mais l'un et le tout ne sont nés qu'avec la fin. — Oui. — Mais la fin naît, ce me semble, la dernière, et avec elle, l'un, suivant sa nature ; de telle sorte que, s'il n'est pas possible que l'un naisse d'une manière contraire à sa nature, naissant avec la fin, il sera dans sa nature de naître de toutes les autres choses la dernière. — C'est évident. — L'un est donc plus jeune que les autres choses, et les autres choses plus vieilles que l'un. — Cela me paraît encore vrai. — Eh bien, le commencement, ou une autre partie de l'un ou de toute autre chose, pourvu que ce soit une partie et non pas des parties, ne sera-ce pas une unité, puisque c'est une partie ? — Nécessairement. — De là, l'un naîtra en même temps que la première chose ; il naîtra aussi en même temps que la seconde, et il accompagnera ainsi tout ce qui naît, jusqu'à ce que, arrivé à la dernière, l'un soit né tout entier, n'ayant manqué dans sa naissance ni au milieu ni à la fin ni au commencement ni à aucune autre partie quelconque. — C'est vrai. — L'un a donc le même âge que les autres choses, de manière que, à moins d'être né contrairement à sa nature, il n'est né ni avant ni après les autres choses, mais en même temps qu'elles ; et par cette raison, l'un ne sera ni plus vieux ni plus jeune que les autres choses, ni les autres choses plus jeunes ou plus vieilles que l'un ; tandis que, d'après les raisons que nous avions données tout à l'heure, l'un devait être plus vieux et plus jeune que les autres choses, et les autres choses plus jeunes et plus vieilles que l'un. — Il est vrai. — Voilà donc comment l'un est, après qu'il est né. Mais, que dire maintenant de l'un, en tant qu'il devient plus vieux et plus jeune que les autres choses, que les autres choses deviennent plus jeunes et plus vieilles que l'un, et qu'au contraire il ne devient ni plus jeune, ni plus vieux ? En est-il du devenir comme de l'être, ou en est-il autrement ? — Je ne sais que t'en dire. — Pour moi, je puis dire au moins qu'une chose qui déjà est plus vieille qu'une autre, ne peut pas devenir encore plus vieille, et d'une quantité différente de celle dont elle a été plus vieille dès le moment de la naissance ; et de même ce qui est plus jeune ne peut devenir plus jeune encore. Car, si à des quantités inégales on ajoute des quantités égales, soit de temps soit de toute autre chose, la différence subsiste toujours, et toujours égale à celle qui existait dès l'origine. — Évidemment. — Ainsi, ce qui est plus vieux ou plus jeune ne deviendra jamais plus vieux ni plus jeune que ce qui est plus jeune ou plus vieux que lui, car la différence d'âge reste toujours égale ; on est et on est né l'un plus vieux, l'autre plus jeune ; on ne le devient point. — C'est vrai. — Il en est donc de même de l'un ; il est et ne devient pas plus vieux ou plus jeune que les autres choses. — Sans doute. — Regarde maintenant si en considérant les choses de ce côté-ci, nous trouverons qu'elles deviennent plus vieilles et plus jeunes. — De quel côté ? — De celui par lequel l'un nous est apparu comme plus vieux que les autres choses, et celles-ci comme plus vieilles que l'un. — Eh bien ? — Si l'un est plus vieux que les autres choses, il a été plus longtemps qu'elles. — Oui. — Réfléchis encore à ceci ; si on ajoute un temps égal à un temps plus long et à un temps plus court, le plus long différera-t-il encore du plus court d'une partie égale ou d'une partie plus petite ? — D'une partie plus petite. — Et la différence d'âge qui distinguait d'abord l'un des autres choses, ne sera plus dans la suite ce qu'elle était d'abord ; mais, si l'un et les autres choses prennent un temps égal, la différence d'âge deviendra toujours moindre qu'auparavant, n'est-ce pas ? — Oui. — Et ce qui diffère d'âge par rapport à une autre chose moins qu'auparavant, ne devient-il pas plus jeune qu'auparavant, relativement à cette même chose par rapport à laquelle il était plus vieux auparavant ? — Oui, il devient plus jeune. — Or, si l'un devient plus jeune, les autres choses ne deviendront-elles pas, par rapport à l'un, plus vieilles qu'auparavant ? — Assurément. — Ce qui est plus jeune par naissance devient donc plus vieux par rapport à ce qui est né avant lui et qui est plus vieux. Sans être jamais plus vieux que lui, il devient toujours plus vieux que lui ; car celui-là gagne toujours en jeunesse par rapport à celui-ci, et celui-ci en vieillesse. Réciproquement, le plus vieux devient toujours plus jeune que le plus jeune, car ils vont en sens contraire, et par conséquent ils deviennent toujours le contraire l'un de l'autre. Le plus jeune devient plus vieux que le plus vieux, et le plus vieux plus jeune que le plus jeune ; mais il n'y aura jamais un moment où ils le soient devenus ; car, s'ils l'étaient devenus, ils ne le deviendraient plus, ils le seraient. Or, ils deviennent à présent et plus vieux et plus jeunes l'un que l'autre ; l'un devient plus jeune que les autres choses, en tant qu'il nous est apparu comme plus vieux et comme né plus tôt, tandis que les autres choses deviennent plus vieilles que l'un, en tant qu'elles sont nées plus tard. Et le même raisonnement s'applique aux autres choses par rapport à l'un, en tant qu'elles se sont présentées à nous comme plus vieilles que l'un, et nées plus tôt que lui. — Tout cela me paraît évident. — Par conséquent, en tant que rien ne devient ni plus jeune ni plus vieux que telle autre chose, parce que la différence évaluée en nombre reste toujours égale, l'un ne devient ni plus vieux ni plus jeune que les autres choses, et les autres choses ne deviennent ni plus vieilles ni plus jeunes que l'un. Mais en tant que les choses qui sont nées les premières diffèrent de celles qui sont nées plus tard, et celles-ci de celles-là, d'une partie de leur âge toujours différente, l'un devient toujours et plus vieux et plus jeune que les autres choses, et les autres choses à leur tour plus vieilles et plus jeunes que l'un. — Tout-à-fait. — D'après tout cela, l'un est et devient plus jeune et plus vieux que lui-même et les autres choses, et il n'est ni ne devient ni plus jeune ni plus vieux ni que lui-même ni que les autres choses. — Incontestablement. — Or, puisque l'un participe du temps et qu'il est susceptible de devenir plus vieux et plus jeune, ne faut-il pas aussi, pour participer du temps, qu'il participe du passé, de l'avenir et du présent ? — Nécessairement. — Ainsi l'un était, est et sera ; il devenait, devient et deviendra. — Nul doute. — Il pourra donc y avoir, il y avait, il y a et il y aura quelque chose d'appartenant à l'un, et quelque chose de l'un. — Assurément. — Il y aura donc aussi une science, une opinion, une sensation de l'un, s'il est vrai que présentement nous connaissions l'un de ces trois manières. — C'est juste. — Il y a donc aussi un nom et une définition de l'un ; on le nomme et on le définit, et en général tout ce qui convient aux autres choses de ce genre, convient aussi à l'un. — Incontestablement.

Maintenant arrivons à notre troisième point : l'un étant tel que nous l'avons montré, s'il est un et multiple, et s'il n'est ni un ni multiple, et qu'il participe du temps, n'est-il pas nécessaire qu'en tant qu'il est un, il participe quelque jour de l'être, et que, en tant qu'il n'est pas un, il n'en participe jamais ? — C'est nécessaire. — Lorsqu'il en participe, est-il possible qu'il n'en participe pas ; et est-il possible qu'il en participe alors qu'il n'en participe pas ? — C'est impossible. — C'est donc dans un certain temps qu'il participe de l'être, et dans un autre qu'il n'en participe pas ; car ce n'est que de cette manière qu'il peut participer et ne pas participer de la même chose. — Oui. — Il y a donc un temps où l'un prend part à l'être, et un autre où il l'abandonne ; car comment serait-il possible que tantôt on eût, tantôt on n'eût pas une même chose, si on ne la prenait et ne la laissait tour à tour ? — Cela ne serait pas possible. — Prendre part à l'être, n'appelles-tu pas cela naître ? — Oui. — Et l'abandonner, n'est-ce pas périr ? — Certainement. — Dans ce cas, l'un, prenant et laissant l'être, naît et périt. — Nécessairement. — Or, étant un et multiple, puis naissant et périssant, ne périt-il pas comme multiple, lorsqu'il devient un, et comme un, lorsqu'il devient multiple ? — Oui. — Quand il devient un et multiple, n'est-il pas nécessaire qu'il se divise et qu'il se réunisse ? — Sans aucun doute, — Quand il devient semblable et dissemblable, il faut qu'il ressemble et qu'il ne ressemble pas. — Oui. — Et quand il devient plus grand, plus petit et égal, il faut qu'il augmente, qu'il diminue, et qu'il s'égalise ? — Encore. — Et lorsqu'il change du mouvement au repos et du repos au mouvement, est-il possible que ce soit dans le même temps ? — Non, évidemment. — Se reposer d'abord, puis se mouvoir, ou d'abord se mouvoir et se reposer ensuite, tout cela peut-il se faire sans changement ? ---- Comment serait-ce possible ? — Il n'y a aucun temps où une chose puisse être à la fois en mouvement et en repos. — Non. — Et rien ne change sans être dans le changement. — Bien. — Quand donc a lieu le changement ? car on ne change ni quand on est en repos, ni quand on est en mouvement, ni quand on est dans le temps. — Certainement non. — Ce où l'on est quand on change, n'est-ce pas cette chose étrange ? — Laquelle ? — L'instant. Car l'instant semble désigner le point où on change en passant d'un état à un autre. Ce n'est pas pendant le repos que se fait le changement du repos au mouvement, ni pendant le mouvement que se fait le changement du mouvement au repos ; mais cette chose étrange qu'on appelle l'instant, se trouve au milieu entre le mouvement et le repos ; sans être dans aucun temps, et c'est de là que part et là que se termine le changement, soit du mouvement au repos, soit du repos au mouvement. — Il y a apparence. — Si donc l'un est en repos et en mouvement, il change de l'un à l'autre état ; car c'est la seule manière d'entrer dans l'un et dans l'autre ; mais s'il change, il change dans un instant, et quand il change, il n'est ni dans le temps, ni en mouvement, ni en repos. — Soit. — Maintenant, en est-il de même pour les autres changements ? Lorsque l'un change de l'être au néant, ou du néant à la naissance, est-il vrai de dire alors qu'il tient le milieu entre le mouvement et le repos, qu'il ne se trouve ni être ni ne pas être, qu'il ne naît ni ne périt ? — Selon toute apparence. — Par la même raison, l'un, en passant de l'un au multiple et du multiple à l'un, n'est ni un ni multiple, ne se divise ni ne se réunit, et en passant du semblable au dissemblable et du dissemblable au semblable, il ne devient ni semblable ni dissemblable, et en passant du petit au grand, de l'inégal à l'égal, et réciproquement, il n'est ni petit, ni grand, ni égal, il n'augmente, ni ne diminue, ni ne s'égalise. — Il paraît. — Ainsi donc, tout cela est vrai de l'un, s'il existe. — Assurément.

Voyons à présent ce qui doit arriver aux autres choses, si l'un existe. — Voyons. — Posons donc que l'un existe, et examinons ce qui arrivera dans cette hypothèse aux choses autres que l'un. — Examinons. — S'il y a d'autres choses que l'un, ces autres choses ne sont pas l'un, car, autrement, elles ne seraient pas autres que l'un. — Certainement. — Cependant, les autres choses ne sont pas tout-à-fait privées de l'un, et elles en participent en quelque manière. — Comment ? — Parce que les autres choses ne sont autres que si elles ont des parties ; car si elles n'avaient pas de parties, elles ne feraient absolument qu'un. — C'est juste. — Or, nous avons dit qu'il n'y a de parties que des parties d'un tout. — Oui. — Mais le tout est nécessairement l'unité formée de plusieurs choses et dont les parties sont ce que nous appelons des parties ; car chacune des parties est la partie non de plusieurs choses, mais d'un tout. — Comment cela ? — Si une chose faisait partie de plusieurs choses parmi lesquelles elle serait comprise elle-même, elle serait une partie d'elle-même, ce qui est impossible, et de chacune des autres choses, si elle était réellement une partie de toutes. Car s'il y en avait une dont elle ne fît pas partie, elle ferait partie de toutes, à l'exception de celle-là, et de la sorte elle ne ferait pas partie de chacune d'elles ; et si elle n'était pas une partie de chacune, elle ne le serait d'aucune ; et dans ce cas, il serait impossible qu'elle fût rien de toutes ces choses, parmi lesquelles il n'y en aurait aucune dont elle fût ni la partie ni quoi que ce fût. — Évidemment. — Ainsi donc, la partie ne fait partie ni de plusieurs choses, ni de toutes, mais d'une certaine idée et d'une certaine unité que nous appelons un tout, unité parfaite, formée par la réunion de toutes les parties ensemble. Voilà ce dont fait partie ce que nous appelons partie. — Incontestablement. — Donc, si les autres choses ont des parties, elles participeront et du tout et de l'un. — Assurément. — Par conséquent, les autres choses différentes de l'un forment nécessairement un tout un et parfait, composé de parties. — Nécessairement. — Et il en faut dire autant de chaque partie ; chacune doit participer de l'un ; car si chacune des parties est une partie, ce mot chacun signifie sans doute ce qui est un, séparé des autres choses et existant en soi. — Justement. — Mais si chaque partie peut participer de l'un, évidemment c'est qu'elle est autre chose que l'un ; autrement elle n'en participerait pas, elle serait l'un lui-même ; or, rien ne peut être un que l'un lui-même. — Non, rien. — Ainsi le tout et la partie doivent nécessairement participer de l'un ; le premier sera un tout, dont les parties sont ce que nous appelons parties, et chacune des parties sera une partie du tout auquel elle appartient. — En effet. — Ainsi donc, ce qui participe de l'un ne peut en participer qu'en étant autre que l'un. — Sans doute. — Or, si ce qui est autre que l'un n'était ni un, ni en plus grand nombre que l'un, ce ne serait rien du tout. — Assurément. — Mais, puisque ce qui participe de l'un comme partie, et de l'un comme tout, est en plus grand nombre que l'un, ne faut-il pas bien que toutes ces choses qui participent de l'unité soient infinies en nombre ? — Comment ? — Le voici. Lorsque les choses reçoivent l'un, ne le reçoivent-elles pas comme des choses qui ne sont pas encore l'un et qui n'en participent pas encore ? — Évidemment. — N'est-ce pas comme des pluralités dans lesquelles est l'un sans qu'elles soient l'un ? — Oui, comme des pluralités. — Eh bien, si nous voulions en enlever par la pensée la portion la plus petite qu'il soit possible, n'est-il pas nécessaire que cette portion enlevée, si elle ne participe pas de l'un, soit une pluralité et non une unité ? — Oui, c'est, nécessaire. — Donc, en considérant toujours de cette manière et en soi-même cette sorte d'être qui est autre que l'idée (17), n'y trouverons-nous pas, tant que nous y regarderons, une pluralité infinie ? — Sans aucun doute. — Mais lorsque chacune des parties est devenue une partie, les parties ont des limites les unes à l'égard des autres et à l'égard du tout, et le tout à l'égard des parties. Évidemment. — Dans les choses autres que l'un, il naît, ce semble, de leur commerce avec l'un, quelque chose de différent qui leur donne des limites les unes à l'égard des autres ; tandis que leur nature propre ne donne par elle-même qu'illimitation. — Eh bien ? — Ainsi les choses autres que l'un, sont, comme le tout et comme les parties, illimitées et participant de la limite. — Tout-à-fait. — Ne sont-elles pas aussi semblables et dissemblables à elles-mêmes et entre elles ? — Comment ? — Par cela seul qu'elles sont toutes illimitées par leur nature, elles ont toutes la même qualité. — Assurément. — Et par cela seul qu'elles sont toutes limitées, elles ont encore toutes la même qualité. — Soit. — Et, par cela même qu'elles sont à la fois limitées et illimitées, elles ont les mêmes qualités les unes que les autres, et les qualités contraires. — Oui. — Or, les contraires sont ce qu'il y a de plus dissemblable. — À coup sûr. — Donc, elles seraient semblables à elles-mêmes et les unes aux autres par rapport à ces deux qualités, et en même temps par rapport à ces deux mêmes qualités, tout ce qu'il y a de plus contraire et de plus dissemblable soit à elles, mêmes soit aux autres. — Je le crains. — Ainsi les autres choses sont à la fois semblables et dissemblables et à elles-mêmes et les unes aux autres. — Oui. — Après avoir une fois montré que les choses autres que l'un sont susceptibles à la fois de ces qualités opposées, il ne nous serait pas difficile de faire voir qu'elles sont et les mêmes et autres les unes que les autres, en mouvement et en repos, et qu'elles réunissent ainsi tous les contraires. — Tu as raison.

Laissons donc cela comme suffisamment éclairci, et voyons si, en supposant que l'un existe, il en sera différemment des choses autres que l'un ou s'il n'en peut être que ce que nous venons de voir. — Volontiers. — Reprenons donc du commencement, et exposons ce qui doit arriver, si l'un existe, aux choses autres que l'un. — Exposons-le. — L'un n'est-il pas à part des autres choses, et les autres choses à part de l'un

— Pourquoi cela ? — Parce qu'il n'y a rien qui puisse, outre l'un et les autres choses, être autre que l'un, et autre que les choses autres que l'un. On a tout dit quand on a dit : l'un et les autres choses. — Assurément. — Il n'existe donc rien autre où se trouvent à la fois l'un et les autres choses ? — Non. — L'un et les autres choses ne sont donc jamais dans une même chose ? — Jamais. — Ils sont donc séparés ? — Oui. — Et nous sommes convenus que ce qui est véritablement un n'a pas de parties ? — Sans doute. — Si donc l'un est en dehors des autres choses, et sans parties, il ne peut être dans les autres choses, ni tout entier, ni par parties. — Soit. — Les autres choses ne participent donc de l'un en aucune manière, puisqu'elles n'en participent ni dans ses parties ni dans son tout ? — Cela est clair. — Les autres choses ne sont donc jamais rien d'un, et n'ont rien d'un en elles ? — Évidemment. — Les autres choses ne sont donc pas plusieurs ; car si elles, étaient plusieurs, chacune d'elles serait une partie du tout. Or, les choses autres que l'un ne sont ni une, ni plusieurs, ni tout, ni parties, puisqu'elles ne participent aucunement de l'un. — C'est juste. — Elles ne sont donc elles-mêmes ni deux, ni trois, ni ne contiennent deux ou trois en elles, s'il n'y a en elles rien de l'un. — Fort bien. Les choses autres que l'un ne sont ni semblables ni dissemblables elles-mêmes à l'un, et il n'y a en elles ni ressemblance ni dissemblance ; car si elles étaient elles-mêmes semblables et dissemblables et avaient en elles de la ressemblance et de la dissemblance, elles auraient en elles deux idées contraires l'une à l'autre. — C'est évident. — Or, il est impossible que ce qui ne participe de rien participe de deux choses. — Impossible. — Les autres choses ne sont donc ni semblables ni dissemblables, ni l'un ni l'autre à la fois ; car si elles étaient semblables ou dissemblables, elles participeraient d'une de ces idées contraires, et de toutes les deux, si elles étaient semblables et dissemblables à la fois ; or, c'est ce que nous avons trouvé impossible. — Il est vrai. — Elles ne sont donc ni mêmes ni autres, ni en mouvement ni en repos ; elles ne naissent ni ne périssent ; elles ne sont ni plus grandes, ni plus petites, ni égales ; bref, elles n'ont aucune de ces qualités ; car, si elles en admettaient quelqu'une, elles participeraient de l'un, du double, du triple, de l'impair, du pair, ce que nous avons vu être impossible, dès qu'elles sont entièrement privées de l'un. — Très vrai. — Ainsi donc, si l'un existe, l'un est toutes choses, et il n'est plus un ni pour lui, ni pour les autres choses. — Incontestablement. — À la bonne heure. Après cela, ne faut-il pas examiner ce qui doit arriver si l'un n'existe pas ? — Certainement, il le faut. — Qu'est-ce donc que cette supposition : si l'un n'existe pas ? diffère-t-elle de celle-ci : si le non-un n'existe pas ? — Certes elle en diffère. — En diffère-t-elle seulement, ou plutôt cette supposition : si le non-un n'existe pas, n'est-elle pas tout le contraire de celle-ci : si l'un n'existe pas ? — Tout le contraire. — Mais quoi ! quand on dit : si la grandeur n'existe pas, si la petitesse n'existe pas, ni rien de cette sorte, ne désigne-t-on pas comme différente chaque chose dont on dit qu'elle n'existe pas ? — Tout à fait. — Eh bien ! dans le cas présent, lorsque l'on dit : si l'un n'existe pas, ne donne-t-on pas à entendre que cette chose qu'on dit ne pas être, est différente de toutes les autres ; et savons-nous quelle est cette chose dont on parle ? — Nous le savons. — D'abord on parle de quelque chose qui peut être connu, et ensuite de quelque chose de différent de toute autre chose, si on parle de l'un, soit qu'on lui attribue l'être ou le non-être ; car, pour dire d'une chose qu'elle n'est pas, il n'en faut pas moins connaître ce qu'elle est, et qu'elle diffère de toutes les autres. N'est-il pas vrai ? — Nécessairement. — Reprenons donc du commencement, et voyons ce qu'il y aura si l'un n'existe pas. D'abord, il faut qu'il y ait une connaissance de l'un, sous peine de ne pas savoir ce qu'on dit quand on dit : si l'un n'existe pas. — Fort bien. — Et ne faut-il pas encore que les autres choses soient différentes de lui, sans quoi on ne pourrait pas dire qu'il est lui-même autre que les autres choses ? — Assurément. — Outre la science, il faut donc attribuer à l'un la différence ; car ce n'est pas de la différence des autres choses que l'on parle, quand on dit que l'un est différent des autres choses, mais de sa différence à lui. — Certainement. — L'un qui n'existe pas participe donc du celui-là, du quelque chose, du celui-ci, et du à celui-ci, du ceux-ci, enfin de toutes les choses de cette sorte ; car, autrement on ne pourrait pas parler de l'un ni des choses différentes de l'un ; on ne pourrait dire qu'il y a quelque chose à celui-là ou de celui-là, ni qu'il est lui-même quelque chose, s'il ne participait pas de quelque chose et de tout le reste. — C'est vrai. — Sans doute si l'un n'existe pas, on ne peut pas dire qu'il existe. Mais rien ne l'empêche de participer de beaucoup de choses, et il faut même qu'il en participe, si c'est l'un, si c'est celui-là qui n'existe pas, et non pas autre chose. Si, au contraire, ce n'est pas l'un, si ce n'est pas celui-là qui n'existe pas, et qu'il soit question d'une autre chose, il n'est plus possible d'en dire un mot. Mais si c'est l'un, ce que nous désignons par celui-là, et non autre chose, qu'on suppose ne pas exister, il faut bien qu'il participe et de celui-là et de beaucoup d'autres choses. — À la bonne heure. — Il y a donc aussi en lui dissemblance par rapport aux autres choses ; car les autres choses étant différentes de l'un, doivent être aussi de nature différente. — Oui. — Et ce qui est de nature différente n'est-il pas divers ? — Sans contredit. — Et ce qui est divers, n'est-il pas dissemblable ? — Oui. — Et s'il y a des choses dissemblables à l'un, il est évident que ces choses dissemblables sont dissemblables à quelque chose qui leur est dissemblable. — Oui. — Il y a donc aussi dans l'un une dissemblance, par rapport à laquelle les autres choses lui sont dissemblables. — C'est évident. — Or, s'il a en lui une dissemblance à l'égard des autres choses, n'aura-t-il pas nécessairement une ressemblance avec lui-même ? — Comment ? — S'il y avait dans l'un de la dissemblance à l'égard de l'un, il ne pourrait pas être question d'une chose telle que l'un, et notre hypothèse ne porterait pas sur l'un, mais sur autre chose que l'un. — Certainement. — Or, c'est ce qui ne doit pas être. — Non. — Il faut donc que l'un ait de la ressemblance avec lui-même ? — Il le faut. — Mais il n'est pas non plus égal aux autres choses ; car s'il leur était égal, dès lors il leur serait semblable en vertu de cette égalité ; or, l'un et l'autre est impossible, si l'un n'existe pas. — Impossible. — Puisqu'il n'est pas égal aux autres choses, n'est-il pas nécessaire que les autres choses ne soient pas non plus égales à lui ? — C'est nécessaire. — Et ce qui n'est pas égal, n'est-il pas inégal ? — Oui. — Et ce qui est inégal n'est-il pas inégal à l'inégal ? — Sans contredit. — L'un participe donc aussi de l'inégalité par rapport à laquelle les autres choses lui sont inégales. — Il en participe. — Or, à l'inégalité appartiennent la grandeur et la petitesse. — Oui. — L'un aura donc aussi de la grandeur et de la petitesse. — Il y a apparence. — La grandeur et la petitesse sont toujours éloignées l'une de l'autre. — Assurément. — Il y a donc entre elles quelque chose d'intermédiaire. — Oui. — Connais-tu quelque autre chose qui puisse être intermédiaire entre elles, que l'égalité ? — Non, aucune autre que celle-là. — Ainsi, ce qui a la grandeur et la petitesse a aussi l'égalité qui en forme l'intermédiaire. — Évidemment. — Il paraît donc que l'un qui n'existe pas, participe de l'égalité, de la grandeur et de la petitesse. — Il paraît. — Mais il faut encore qu'il participe aussi de l'être. — Comment cela ? — Il faut qu'il en soit de l'un comme nous disons là ; si non, nous ne dirions pas vrai en disant que l'un n'existe pas ; et si nous avons dit vrai, il est évident que nous avons dit ce qui est ; n'est-ce pas ? — Oui. — Mais, puisque nous prétendons avoir dit vrai, nous prétendons aussi nécessairement avoir dit ce qui est. — Nécessairement. — L'un est donc n'étant pas, car s'il n'est pas n'étant pas, s'il laisse arriver quelque chose de l'être dans le non-être, de non-être aussitôt il devient un être. — Sans aucun doute. — Il faut donc, pour ne pas être, qu'il soit attaché au non-être par l'être du non-être, de même que l'être, pour posséder parfaitement l'être, doit avoir le non-être du non-être. En effet, c'est ainsi seulement que l'être sera et que le non-être ne sera pas, l'être en participant à l'être d'être un être et au non être d'être un non-être ; car ce n'est que de cette manière qu'il sera parfaitement un être ; le non-être, au contraire, en participant au non-être de ne pas être un non être et à l'être d'être un non-être ; car ce n'est aussi que de cette manière que le non-être sera parfaitement le non-être. — Très bien. — Puis donc que l'être participe du non-être, et le non-être de l'être, l'un aussi, s'il n'est pas, doit nécessairement participer de l'être par rapport au non-être. — Nécessairement. — Nous voyons donc l'être appartenir à l'un, s'il n'est pas. — Nous le voyons. — Et le non-être aussi, par cela même qu'il n'est pas. — Oui. — Mais est-il possible qu'une chose qui est d'une certaine manière ne soit pas de cette manière sans qu'elle change de manière d'être ? — Cela n'est pas possible. — Ainsi, être d'une manière et être d'une autre indique toujours un changement. — Sans doute. — Or, le changement, c'est du mouvement ; ou bien devons-nous dire autrement ? — C'est du mouvement. — Mais l'un ne nous a-t-il pas paru être et n'être pas ? — Oui. — Il nous a donc paru être d'une manière et n'être pas de cette manière. — Oui. — L'un n'étant pas nous a donc paru en mouvement, puisqu'il nous a paru avoir changé de l'être au non-être. — Il semble. — Cependant, si l'un ne fait aucunement partie des êtres, comme en effet il n'en peut faire partie s'il n'est pas, il ne peut pas passer d'un endroit à un autre. — Sans contredit. — Il ne peut donc se mouvoir en changeant de lieu. — Non. — Mais il ne peut pas non plus tourner dans le même lieu, n'ayant pas de rapport avec le même ; car le même est un être ; or, ce qui n'est pas ne peut être dans aucun être. — C'est impossible. — L'un, n'étant pas, ne peut donc pas tourner en quelque chose où il n'est pas. — Non. — Cependant, l'un ne change pas non plus en s'altérant, ni s'il est, ni s'il n'est pas ; car, il ne pourrait être question de l'un s'il changeait de nature, mais d'autre chose. — C'est juste. — Or, s'il ne s'altère pas, ni ne tourne pas dans un même lieu, ni ne change pas de lieu, pourra-t-il encore être en mouvement ? — Non, sans doute. — Mais ce qui n'est pas en mouvement reste nécessairement tranquille, et ce qui reste tranquille est en repos. — Nécessairement. — Donc, l'un, en tant qu'il n'est pas, est, à ce qu'il paraît, et en repos et en mouvement. — Oui. — Mais s'il est en mouvement, il faut absolument qu'il subisse une altération ; car autant une chose se meut, autant elle s'éloigne de sa première manière d'être, pour en prendre une autre. — Oui. — Ainsi, si l'un change, il s'altère. — Oui. — Mais s'il n'était aucunement en mouvement, il ne s'altérerait en aucune façon. — Il est vrai. — Par conséquent, en tant que l'un n'étant pas se meut, il s'altère ; et en tant qu'il ne se meut pas, il ne s'altère pas. — Oui. — Donc, l'un n'étant pas s'altère et ne s'altère pas. — Non. — Mais ce qui s'altère ne doit-il pas devenir autre qu'il n'était d'abord, et périr par rapport à sa première manière d'être ? Et ce qui ne change pas, ne doit-il pas ne pas naître ni ne pas périr ? — Nécessairement. — Donc, l'un n'étant pas, en tant qu'il s'altère, naît et périt ; et il ne naît ni ne périt, en tant qu'il ne s'altère pas. Et, de cette manière, l'un n'étant pas, naît et périt, de même qu'il ne naît ni ne périt. — Il en faut convenir.

Revenons encore une fois au commencement, pour voir si les choses nous paraîtront encore telles qu'elles nous paraissent en ce moment, ou si elles nous paraîtront autres. — Voyons. — Si l'un n'est pas, disions-nous, qu'arrivera-t-il de l'un ? — Oui, c'est ce que nous demandions. — Par n'est pas, voulons-nous indiquer autre chose sinon que l'être manque à ce que nous disons ne pas être ? — Pas autre chose. — Quand nous disons qu'une chose n'est pas, voulons-nous dire qu'en un sens elle n'est pas, et qu'elle est en un autre ; ou bien ce n'est pas exprime-t-il sans restriction que ce qui n'est pas n'est absolument pas, et ne participe en rien de l'être ? — Oui, sans aucune restriction. — Ainsi, ce qui n'est pas ne peut être, ni participer de l'être en aucune manière. — En aucune manière. — Et naître et périr, est-ce autre chose que recevoir l'être et perdre l'être ? — Pas autre chose. — Or, ce qui ne participe pas de l'être ne peut ni le recevoir ni le perdre. — D'accord. — Donc l'un, n'étant en aucune manière ne peut aucunement posséder ni abandonner l'être ni en participer. — Naturellement. — Donc l'un, qui n'est pas, ne périt ni ne naît, puisqu'il ne participe aucunement de l'être. — Évidemment. — Donc il ne s'altère aucunement, car s'il s'altérait, il naîtrait et périrait par cela même. — C'est vrai. — Et s'il ne s'altère pas, ne s'ensuit-il pas nécessairement qu'il ne se meut pas ? — Nécessairement. — Nous ne dirons pas non plus que ce qui n'est en aucune manière, soit en repos, car ce qui est en repos doit toujours être le même dans le même lieu. — Sans contredit. — Répétons donc que ce qui n'est pas n'est ni en repos ni en mouvement. — Oui. — Il n'aura non plus rien de ce qui est, car s'il participait de quelque chose qui fût, il participerait de l'être. — C'est évident. — Donc il n'a ni grandeur, ni petitesse, ni égalité. — Non. — Ni ressemblance, ni différence, soit par rapport à lui-même, soit par rapport aux autres choses. — Évidemment. — Mais quoi ! les autres choses peuvent-elles lui être quelque chose, s'il n'y a rien qui puisse lui rien être ? — Non. — Les autres choses ne lui sont donc ni semblables ni dissemblables, et elles ne sont ni les mêmes ni autres que lui. — Non. — Mais quoi ! ces différents termes : de celui-là, à celui-là, quelque chose, cela, de cela, d'autre chose, à autre chose, autrefois, après, maintenant, science, opinion, sensation, définition, nom, en un mot, rien de ce qui est peut-il être rapporté à ce qui n'est pas ? — Non. — Alors l'un n'étant pas n'a absolument aucune manière d'être. — Aucune, à ce qu'il paraît.

Disons encore ce qui arrivera aux autres choses, si l'un n'est pas. — Disons-le. — D'abord, il faut que les autres choses soient de quelque manière ; car s'il n'y avait pas d'autres choses, on ne pourrait pas parler d'autres choses. — En effet. — Et quand on parle des autres choses, on entend par-là les choses qui sont différentes, ou bien les mots autre et différent ne signifient-ils pas la même chose ? — La même chose. — Ne disons-nous pas que ce qui est différent est différent de quelque chose de différent, et ce qui est autre autre que quelque chose d'autre ? — Oui. — Si donc les autres choses sont autres, il y a quelque chose relativement à quoi elles sont autres. — Nécessairement. — Que sera-ce donc ? car elles ne sont pas autres par rapport à l'un, si l'un n'est pas. — Non. — Elles sont donc autres les unes que les autres ; car il ne leur reste que cela, à moins de n'être autres que rien. — C'est juste. — C'est donc par la pluralité qu'elles sont autres les unes que les autres, car ce ne peut être par l'un, si l'un n'est pas. Apparemment la masse de chacune renferme une pluralité infinie, et lorsqu'on croit avoir pris la chose du monde la plus petite, on verra tout à coup, comme dans un rêve, au lieu de l'unité qu'on croyait tenir, une multitude, au lieu d'une petite chose, une chose immense, eu égard aux divisions dont elle est susceptible. — C'est très juste. — Ainsi ce serait par leurs masses que les autres choses seraient autres, en étant autres les unes que les autres, si elles sont autres et que l'un ne soit pas. — Sans doute. — Si donc l'un n'est pas, il y a plusieurs de ces masses dont chacune semblera être une, et ne le sera pas en effet. — Oui. — Et ces masses auront l'air de former un certain nombre, si chacune d'elles est une et qu'elles soient plusieurs. — Assurément. — Elles paraîtront les unes paires, les autres impaires, quoique faussement, si l'un n'est pas. — Sans contredit. — De même, elles semblent aussi renfermer, avons-nous dit, la plus petite quantité ; et pourtant cette quantité nous apparaît comme multiple et grande, comparativement à chacune des parties plus petites de la multitude qu'elle renferme. — Incontestablement. — Et chaque masse nous semblera être égale à une multitude de petites masses ; car aucune ne peut paraître passer du plus grand au plus petit sans avoir paru en venir d'abord au milieu ; et ce milieu serait l'apparence de l'égalité. — Évidemment. — Chaque masse n'est-elle pas limitée relativement à toute autre masse et relativement à elle-même, tout en n'ayant ni commencement ni fin ni milieu ? — Comment cela ? — Si l'on veut considérer quelque chose dans ces masses comme leur appartenant, on verra toujours apparaître avant le commencement un autre commencement, après la fin une autre fin encore, et dans le milieu quelque chose de plus au milieu encore, et qui est toujours plus petit, dans l'impuissance de saisir aucune de ces choses comme une, si l'un n'existe pas. — C'est très vrai. — Enfin, quelqu'être que l'on saisisse par la pensée, on le verra toujours se diviser et se disperser, car on ne saisira jamais qu'une masse sans unité. — D'accord. — À les voir de loin et en gros, chacune de ces masses paraît être une, tandis qu'examinée de près et en détail elle est manifestement une multitude infinie, puisqu'elle est privée de l'un, dès que l'un n'est pas. — Nécessairement. — Ainsi il faut que chaque chose autre que l'un paraisse infinie et limitée, une et plusieurs, si l'un n'est pas et qu'il y ait d'autres choses que l'un. — Oui. — Et ces choses ne semblent-elles pas être aussi semblables et dissemblables ? — Comment ? — Les figures d'un tableau vues de loin se confondent toutes en une seule et paraissent semblables. — Oui. — Si on s'approche, au contraire, elles paraissent plusieurs et différentes, et la diversité se manifestant, on les reconnaît pour diverses et dissemblables entre elles. — Cela est vrai. — De même les agrégats apparaissent comme semblables et dissemblables et à eux-mêmes et les uns aux autres. — Oui. — Par conséquent aussi ils apparaissent comme les mêmes et comme autres les uns que les autres, comme se touchant et comme isolés, comme se mouvant de toutes les espèces de mouvement, et comme étant absolument en repos, comme naissant et périssant et ne naissant ni ne périssant, et tout ce qu'il nous serait loisible de développer dans l'hypothèse où l'un n'est pas et où il y a de la pluralité. — C'est très vrai.

Enfin, revenons encore une fois au commencement, et voyons ce qui doit arriver si l'un n'est pas et qu'il y ait d'autres choses que l'un. — Voyons. — Nulle autre chose ne sera une. — Non, sans doute. — Ni plusieurs ; car l'unité serait comprise dans la pluralité ; et si aucune des autres choses n'est quelque chose d'un, toutes ne seront rien, et par conséquent il n'y aura pas non plus de pluralité. — Soit. — Si donc l'un n'existe pas dans les autres choses, celles-ci ne sont ni plusieurs ni une. — Non. — De même, elles ne paraissent ni une ni plusieurs. — Pourquoi ? — Parce que les autres choses ne peuvent jamais avoir absolument rien de commun avec rien de ce qui n'est pas, et que rien de ce qui n'est pas n'appartient à aucune des autres choses, car ce qui n'existe pas n'a pas de parties. — C'est vrai. — Donc il n'y a chez les autres choses ni opinion ni image de ce qui n'est pas, et le non-être n'est jamais ni d'aucune manière conçu comme appartenant à aucune autre chose. — Non, sans doute. — Alors si l'un n'est pas, rien, parmi les autres choses, ne peut être conçu ni comme un ni comme plusieurs ; car il est impossible de concevoir la pluralité sans l'unité. — Oui, impossible. — Donc, si l'un n'est pas, les autres choses n'existent ni ne sont conçues ni comme unité ni comme pluralité. — Il paraît. — Ni par conséquent comme semblables ni comme dissemblables. — Non. — Ni comme identiques ni comme différentes, ni comme se touchant ni comme isolées ; enfin tout ce que tout à l'heure elles nous paraissaient être, elles ne le sont pas, ni ne paraissent l'être, si l'un n'est pas. — À la bonne heure. — Si donc nous disions en résumé : si l'un n'est pas, rien n'est ? ne dirions-nous pas bien ? — Très bien. — Disons-le donc, et disons en outre que, à ce qu'il semble, soit que l'un soit ou qu'il ne soit pas, lui et les autres choses, par rapport à eux-mêmes et par rapport les uns aux autres, sont absolument tout et ne le sont pas, le paraissent et ne le paraissent pas. — Rien de plus vrai.

NOTES

1- Ce second titre, comme en général tous les seconds titres, n'appartient point à Platon. Proclus le dit expressément dans son Commentaire, édit. de Paris, liv. I, p. 14 : ὡς ϰαὶ τὸν διάλογον ἐπιγράψαι τινὰς περὶ τῶν εἰδῶν. Il dit aussi que cette seconde inscription est très ancienne, παμπάλαιον οὖσαν, ibid., p. 22. Elle remonte au moins jusqu'à Thrasylle, c'est-à-dire au premier siècle.

2- Ce ne peut être le Céphale de la République. La raison décisive, c'est que le Céphale de la République est de Syracuse et celui-ci de Clazomènes. Proclus dit seulement : τις Κέφαλος, p. 13.

3- Ville d'Ionie.

4- Malgré quelques petites difficultés chronologiques, qui, comme on le sait, n'embarrassent guère Platon, Adimante, Glaucon et Antiphon sont évidemment, selon nous, ses trois frères, et les personnages de la République. Autrement Platon n'aurait pas manqué de le dire ; ou c'eût été nous induire en erreur comme à plaisir. Toute l'antiquité l'a ainsi compris. Voyez Plutarque, cité par Heindorf, de Frat. Am. II. Proclus donne partout Adimante et Glaucon comme les personnages de la République ; et p. 67, il rappelle ainsi l'histoire de la famille de Platon. « Quant à l'histoire, si quelqu'un en est curieux, voici les faits : Perictione eut d'Ariston, son premier mari, trois enfants : Platon, Adimante et Glaucon. Après la mort d'Ariston, elle se remaria avec Pyrilampe, dont il est parlé dans le Gorgias, et qui lui-même avait eu une première femme, laquelle lui avait donné un fils, appelé Démos. Perictione eut en secondes noces, de ce Pyrilampe, un quatrième fils, Antiphon ; et voilà pourquoi celui-ci est nommé dans cet endroit du Parménide le frère maternel de Glaucon et d'Adimante. Tels sont les faits historiques. »

5- Voyez le premier Alcibiade.

6- Mélite, dème de la tribu de Cécrops. Meursius, de Pop. Att., p. 75.

7- Les petites Panathénées se célébraient chaque année ; les grandes, tous les cinq ans.

8- Le texte dit παιδιϰά. Heindorf prétend qu'il ne faut pas entendre ici ce mot dans un plus mauvais sens que le mot ἐραστής que Socrate se donne à lui-même relativement à Alcibiade.

9- Quartier d'Athènes, que Proclus et le Schliaste divisent en deux, le Céramique intérieur et le Céramique hors de la ville.

10- Platon dit trois fois que Socrate, très jeune, a conversé avec Parménide, très vieux, dans le Théétète, dans le Sophiste et ici ; et Fülleborn, dans les Beyträge zur Geschichte der Philosophie, t. VI, p. 12, et Schleirmacher, ont prouvé qu'il n'y a là aucune impossibilité chronologique.

11- Xénophon, Hist. Gr. II.

12- Voyez Arist. Met. I. 5. III. 4. Phys. i 3. Simpl. in Arist. Phys., p. 17 et 31. Sur la question de savoir si Parménide avait composé des poëmes ou un seul poëme, voyez Fülleborn, Beyt., VII, p. 16.

13- Arist. de gener. animal., V. Cf. Meursius, Miscell. lacon. III. i.

14- Tout cet endroit et les exemples qui le terminent, rappellent le célèbre passage du Phédon, t. I, p., p. 223-226.

15- Par exemple la grandeur et la petitesse relative et sensible, distincte de la grandeur absolue et idéale, et qui nous fait appeler nous et tout ce qui en participe, grands, petits, etc. Dans la pensée et dans le langage de Platon, c'est aux idées que nous participons et des idées que nous prenons tels ou tels noms. Mais ici, dans l'hypothèse où nous n'avons aucun rapport avec les idées, il faut supposer quelque autre chose de relatif et de sensible dont nous participions et dont nous recevions le nom.

16- Ibycus, poëte de Regghio. Le scholiaste de Platon nous a conservé les vers auxquels il est fait ici allusion.

Encore et à nouveau sur les paradoxes de Zénon

Robert Paris — 2022-11-06T23:05:00Z

Encore et à nouveau sur les paradoxes de Zénon

Qu'est-ce que les paradoxes de Zénon

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article32

Les paradoxes de Zénon, la dialectique de Hegel et la physique quantique

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article4371

Pourquoi les paradoxes de Zénon ne remettent pas en
question le mouvement mais plutôt l'immobilité

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02268936/document

Effet Zénon : une nouvelle preuve de cette étrangeté quantique

https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/mecanique-quantique-effet-zenon-nouvelle-preuve-cette-etrangete-quantique-60252/

Les paradoxes de Zénon, vus par les mathématiciens

http://epiphymaths.univ-fcomte.fr/seminaire/publications/Lombardi-Paradoxes_de_Zenon.pdf

Zénon, Socrate, Parménide et … Platon
http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/platon/cousin/parmenide.htm

Et si Platon, Démocrite, Socrate, Parménide, Zénon et les anciens philosophes Grecs revenaient…

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3458

Effet Zénon quantique

https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Z%C3%A9non_quantique

Modernité des paradoxes de Zénon

http://strangepaths.com/modernite-des-paradoxes-de-zenon/2007/01/16/fr/

Les paradoxes de Zénon sont bien des paradoxes

https://www.cairn.info/bergson-ou-l-imagination-metaphysique--9782841744329-page-43.htm

Zénon et Socrate

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article3542

Grèce antique : la philosophie de Zénon d'Elée et de Socrate

https://www.matierevolution.fr/spip.php?article1366

Encore sur le point de vue mathématique

http://www.afscet.asso.fr/halfsetkafe/textes-2002/dubois.ande.html

La prétendue réfutation de Zénon par Aristote

http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/phys614.htm

La prétendue réfutation de Zénon par Bergson

http://www.martingrandjean.ch/bergson-paradoxes-zenon-achille-tortue/

Et les arguments de Zénon, vus Victor Brochard

https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Arguments_de_Z%C3%A9non_d%E2%80%99%C3%89l%C3%A9e_contre_le_mouvement

La suite

https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Pr%C3%A9tendus_sophismes_de_Z%C3%A9non_d%E2%80%99%C3%89l%C3%A9e

Charles Dunan

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k914276.r=z%C3%A9non%20d%27%C3%A9l%C3%A9e?rk=64378;0

Victor Cousin

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9606190w/f86.item.r=z%C3%A9non%20d'%C3%A9l%C3%A9e

Lire encore

https://www.google.com/search?tbm=bks&q=z%C3%A9non+d%27%C3%A9l%C3%A9e

Les paradoxes de Zénon

Quelles sont les idées révolutionnaires introduites par Zénon pour qu'elles aient été discutées par les plus grands mathématiciens et physiciens de chaque époque sans avoir jamais été vraiment dépassées par les avancées des sciences ?

Première idée : l'espace, le temps, le mouvement, l'énergie, la matière ne peuvent pas être ni des points ni des segments. Notre géométrie ne répond pas au problème posé par le mouvement. En effet, le mouvement ne peut être représenté par une somme de positions successives car il serait une succession d'immobilités.

Deuxième idée : il n'est pas possible qu'il n'y ait rien entre les objets matériels. Le vide doit être un univers existant et interagissant avec la matière. La matière doit être une espèce de vide et le vide une espèce de matière. Comme le dira Hegel à propos des paradoxes de Zénon, "dans le mouvement, l'espace se pose temporellement et le temps spatialement."

Troisième idée : la matière ne peut pas être constituée par des objets fixes qui se contentent de se déplacer, sans changer, dans un espace qui ne change pas du fait de leur passage.

Quatrième idée : il ne peut pas y avoir mouvement sans de multiples discontinuités profondes de la matière, de l'espace, du vide et du temps. Ces discontinuités ne peuvent être ni assimilables, d'une manière ou d'une autre, à du continu ni représentables par des points. Une discontinuité ne peut être de dimension zéro.

Cinquième idée : le tout n'est pas la somme de ses parties. Les propriétés d'une collection d'objets ne sont pas une addition des propriétés des éléments.

Sixième idée : tout objet, tout mouvement, tout espace, tout temps suppose une contradiction entre réalité et potentialité, entre structure et changement, entre état et changement, ....

Septième idée : le monde est un et non pluriel. Les contradictions ne proviennent pas de l'action entre des mondes différents mais sont intérieures au même monde.

Huitième idée : la précision exacte et fixe d'une valeur (du temps, de l'espace, de l'énergie) n'existe pas. Un instant de durée nulle n'est pas plus possible qu'un espace entièrement ponctuel. On ne peut pas sans cesse rendre plus précise une mesure.

Neuvième idée, qui soutend les autres : l'apparence n'est pas forcément la réalité. Ce qui est réel peut être virtuel et ce qui est virtuel peut être réel. ce qui apparait mobile peut être immobile et inversement. Ce qui semble fixe peut être changeant et inversement.

Dixième idée : unité et multiplicité ne s'opposent pas logiquement mais sont combinés en même temps qu'opposés. ils constituent une contradiction dialectique.

Dernière idée : La continuité fondée sur une succession d'infiniments petits n'a pas de réalité. Il n'est pas possible de diviser à l'infini et pourtant il y a un univers sous-jacent...

En somme, ce que posent les paradoxes de Zénon, en plus de nombre d'idées de la physique quantique la plus moderne, c'est une idée qu'il a hérité de Parménide et que nous connaissons sous le nom de dialectique de la nature. Le vide est dans le plein et le plein est dans le vide. Le mouvement est dans l'immobilité et l'immobilité dans le mouvement. L'espace est dans le temps et le temps est dans l'espace, etc...

Aucun calcul (sommation infinie, calcul différentiel, ...) ne peut résoudre le fait que le mouvement pose le problème de la contradiction dialectique de la nature. Le corps est à la fois en un lieu et en un autre lieu, en un état et en un autre état.

La dynamique n'obéit pas à la même logique que la statique. La modernité de cette idée en sciences est développée dans les articles du Livre "Philosophie" du site "Matière et révolution", en particuliers tous ceux des "bonds dans la nature" et de la discontinuité ainsi que ceux sur la dialectique du même livre. Lire également l'article du site intitulé : "Des objets mathématiques continus ou discontinus".

Ce n'est pas le mode de raisonnement qui est dialectique mais la conception de la nature. Le raisonnement par l'absurde n'est rien d'autre que de la logique formelle. Elle vise, dans le cas des paradoxes de Zénon, à montrer que si on suppose que la nature agit en continu, le mouvement serait impossible. C'est un contre-sens de répondre que Zénon a tort puisque le mouvement à tort. C'est ne pas comprendre ou refuser de répondre aux arguments de ce brillant philosophe. Il ne nie pas l'univers tel qu'il nous apparaît mais il nie que ce soit le sens profond de la nature.

L'impossibilité de comprendre un phénomène en se contentant de le décomposer en ses éléments a une tonalité très anti-réductionniste et, partant, très moderne. Sa conception discontinue est de type quantique et ce d'autant plus qu'elle englobe le caractère contradictoire du type onde/particule. Zénon considère en effet que l'élément n'est ni ponctuel ni étendu.

Les paradoxes de Zénon, la dialectique de Hegel et la physique quantique

Robert Paris — 2017-03-16T00:39:00Z

Les paradoxes de Zénon soulignaient une contradiction entre position, vitesse et mouvement... La méthode pour montrer ces contradictions reposait sur la division en deux de chaque étape...

Les paradoxes de Zénon, la dialectique de Hegel et la physique quantique

Vous me direz, Zénon, Hegel et Bohr, voilà une liste à la Prévert et il ne manque que le raton laveur ou l'ornithorynque ! Quel rapport pouvez-vous établir entre ces trois éléments dont on ne voit nullement ce qu'ils font ici assemblés ?

Voilà qui semble bien compliqué s'il faut connaître à la fois ces trois questions. Rappelons donc d'abord chacune d'entre elles :

Les paradoxes de Zénon

La dialectique de Hegel et les sciences

Les contradictions dialectiques

La dialectique de la physique quantique

La physique quantique

L'effet Zénon en physique quantique

Commençons par ce qui est le plus évident : Hegel a étudié et même analysé les paradoxes de Zénon et s'en est revendiqué dans sa philosophie dialectique. Les physiciens quantiques se sont eux aussi revendiqués des paradoxes de Zénon, notamment au travers de leur conception quantique du temps qui exclue la continuité et de leur inégalité d'Heisenberg qui exclut l'instant entièrement précis (longueur de temps zéro) et la position exacte dans l'espace, autant qu'il exclut la vitesse entièrement précise ou l'énergie entièrement précise. Plus encore, ils ont mis en évidence ce qu'en physique quantique on appelle l'« effet Zénon ».

Voici un court résumé de cet effet par un physicien spécialiste de l'effet Zénon :

« En mécanique quantique, l'un des concepts les plus difficiles à comprendre et à intégrer pour le débutant, et même pour le physicien confirmé, est le rôle qu'y joue l'observateur, qu'il soit un être humain ou un instrument de mesure piloté par un ordinateur. La raison essentielle est la suivante : il semble bien, dans le cadre de l'interprétation standard de la théorie quantique, qu'il soit impossible de parler de l'existence réelle de certains attributs classiques d'un système quantique sans faire intervenir l'acte de mesure pour l'observer. Ainsi, en soi, un quanta de matière ou d'énergie (et même des atomes et des molécules de matière) n'existe pas comme un objet localisé de façon constante dans l'espace et dans le temps. C'est l'interaction avec un système physique classique macroscopique - un détecteur en physique des particules par exemple - en un endroit et un temps donnés, qui peut l'amener à se manifester comme un objet classique semblable à une boule de billard. C'est ainsi qu'un photon ou un électron peuvent être observés par un détecteur lorsqu'ils se localisent à la surface d'un capteur CCD. Un autre avatar de cette étrangeté quantique se manifeste lorsque l'on considère des systèmes comme un atome couplé à un champ électromagnétique ou une particule élémentaire couplée aux interactions faibles. Le premier peut se désexciter émettant des photons, le second, se désintégrer en d'autres particules, comme des muons et des neutrinos s'il s'agit d'un pion. Le couplage à un champ joue, d'une certaine façon, le rôle d'une mesure et force le système à évoluer. Mais, dans certains cas, comme Alan Turing le découvrit en 1954, l'observation peut bloquer cette évolution. Le paradoxe de Turing, comme il est parfois appelé, a été énoncé sous une forme plus rigoureuse en 1974 par Degasperis, Fonda et Ghirardi puis par Sudarshan et Misra qui l'ont baptisé l'effet Zénon (Quantum Zeno effect en anglais). Le grand physicien théoricien George Sudarshan est à l'origine du nom de l'effet Zénon quantique, dont il fut l'un des premiers à signaler la présence dans le monde quantique. En effet, comme Alan Turing avant lui, George Sudarshan a montré qu'en observant assez fréquemment une particule instable, il était possible de l'empêcher de se désintégrer ! Aujourd'hui, l'effet Zénon est peut-être une clé pour la réalisation des ordinateurs quantiques. Le nom d'effet Zénon est un clin d'œil au philosophe grec Zénon d'Élée qui a vécu dans la Grande Grèce, c'est-à-dire une partie du Sud de l'Italie, il y a presque 2.500 ans. Zénon pensait avoir démontré que le mouvement était une illusion, car impossible. En effet, dans les deux exemples mentionnés précédemment, l'effet Zénon opérerait de la façon suivante : à force de regarder à des intervalles de temps très rapprochés (la condition est essentielle) un atome ou un pion pour détecter leurs émissions de particules, l'observateur les empêcherait de se désexciter et de se désintégrer. L'effet Zénon n'a été observé expérimentalement qu'en 1989, avec des ions refroidis par laser et piégés par des champs magnétiques et électriques, par le prix Nobel de physique David J. Wineland et son équipe. Un groupe de physiciens de l'université de Cornell (États-Unis) vient de l'observer à nouveau avec des atomes ultra-froids de rubidium piégés dans un réseau optique, comme les chercheurs l'expliquent dans un article disponible sur arXiv. À la base, l'expérience a consisté à refroidir sous vide environ un milliard de ces atomes à l'aide de la technique de refroidissement Raman par bandes latérales, donc en utilisant un piège magnéto-optique, puis à utiliser à nouveau des faisceaux laser pour créer des cuvettes de potentiel périodique où ces atomes se répartissent comme ils le feraient dans un réseau cristallin. Comme des ondes électromagnétiques sont utilisées, il est cependant question de réseau optique (optical lattice en anglais). Ces atomes ne restent pas en permanence dans les sites du réseau cristallin artificiel ainsi créé. Ils transitent d'un site à l'autre par effet tunnel. On peut en comprendre intuitivement la raison en se rappelant qu'à cause des inégalités de Heisenberg, des atomes froids doivent être, en quelque sorte, délocalisés dans un tel réseau puisque la température du gaz, et donc les vitesses des atomes, sont basses. En effet, le produit de la dispersion de la vitesse par celui de la position doit être au moins de l'ordre de la constante de Planck pour chaque atome. Une dispersion presque nulle de la vitesse entraîne donc une dispersion élevée de la position. Mais, comme l'ont montré les chercheurs, tout change si l'on tente malgré tout d'observer les positions de ces atomes. Pour cela, il faut d'abord commencer à exciter ces atomes avec des lasers pour induire un effet de fluorescence. Les photons émis par les atomes qui se désexcitent sont ensuite observés avec une sorte de microscope, ce qui revient à tenter de déterminer les positions de ces atomes. L'observateur constate alors que l'effet Zénon entre en jeu et que l'effet tunnel est d'autant plus inhibé que les lasers sont réglés plus finement pour mesurer précisément les positions des atomes. »

Mais revenons à la dialectique de Hegel et tentons de voir où peut bien résider le rapport de cette philosophie avec les paradoxes de Zénon en physique contemporaine…

Commençons par la question du temps.

Zénon démontre par ses paradoxes que la notion d'instant ne permet pas de raisonner sur le mouvement. L'instant purement ponctuel n'est pas un moyen de mesurer ni de considérer le déplacement car l'infinité des instants ponctuels rendrait impossible tout mouvement d'un point à un autre. La notion de durée continue, celle d'intervalle de temps, n'est pas non plus valable. Pris séparément la conception continue et celle discontinue et ponctuelle ne sont pas valables. Partant, il devient nécessaire de renoncer à l'instant ponctuel comme à la durée continue. Il faut alors concevoir la possibilité de construire une apparente continuité avec comme base une discontinuité non ponctuelle. Les deux contraires doivent, dit Zénon, former un seul monde, montrant ainsi qu'il apporte sa contribution à la philosophie de l'unicité du monde de Parménide. Or l'idée que les contraires sont indispensables l'un à l'autre, sans cesse interactifs et interpénétrés, est tout à fait celle de la dialectique de Hegel.

Rien d'étonnant que Hegel, au contraire des scientifiques et philosophes de son époque, admire les raisonnements des paradoxes de Zénon.

Voici quelques propos de Hegel sur ces questions :

« La division, en tant qu'être divisé, n'est pas ponctualité absolue. La notion de continuité n'est pas non plus l'indivisé sans parties. »

Friedrich Hegel, dans « Cours d'histoire de la philosophie »

« Dans le mouvement, l'espace se pose temporellement et le temps spatialement, le mouvement tombe dans l'antinomie de Zénon, qui est insoluble si les lieux sont « isolés » comme des points spatiaux et les moments des temps comme des points temporels, et la solution de l'antinomie, c'est-à-dire le mouvement, n'est à saisir que comme telle… que le corps qui se meut, en même temps est et n'est pas dans le même lieu, c'est-à-dire est en même temps dans un autre lieu, et que, tout aussi bien, le même point temporel, en même temps, est et n'est pas, c'est-à-dire est en même temps un autre point. »

G.W.F. Hegel dans « Philosophie de la nature » (Encyclopédie des sciences philosophiques)

Quant à la prétendue négation du mouvement réel par Zénon, c'est la thèse d'Aristote (citée plus loin) qui l'affirme, mais il s'agit là d'un contre-sens volontaire de sa part. En effet, il comprenait parfaitement que Zénon maniait ce que l'on appelle le raisonnement "par l'absurde". Si vous acceptez telle thèse alors vous êtes contraints d'admettre que le mouvement n'existe pas. Donc votre thèse est fausse. D'autre part, c'est la conception du mouvement qu'il conteste, comme Hegel l'expose dans son « Cours d'histoire de la philosophie » :

« Il faut comprendre les arguments de Zénon non comme objections contre la réalité du mouvement, mais comme contestation du mode de détermination du mouvement (…) Telle est la dialectique de Zénon. Il a saisi les déterminations contenues dans notre idée du temps et de l'espace. Il en a montré les contradictions. »

« Dans la conscience de Zénon, la simple pensée immobile disparaît et devient mouvement pensant ; en luttant contre le mouvement sensible il le donne à sa pensée. Que la dialectique ait en premier lieu attaqué le mouvement s'explique précisément par le fait que la dialectique elle-même est ce mouvement, en d'autres termes que le mouvement est lui-même la dialectique de tout l'existant. En tant qu'elle se meut, la chose est à elle-même sa dialectique ; dans le mouvement elle devient son autre, se dépasse. Aristote a écrit que Zénon a nié le mouvement parce qu'il contient une contradiction interne. Il ne faut pas interpréter cela comme la négation de l'existence du mouvement (...) Que le mouvement existe, que ce phénomène soit - cela ne peut être mis en question ; pour la certitude sensible le mouvement existe (...) Zénon n'a jamais eu l'idée de nier le mouvement dans ce sens-là. Ce qu'il s'agit de saisir, c'est sa vérité ; or, pour Zénon, le mouvement est non-vrai, parce qu'il est contradictoire... Il faut de même comprendre les autres arguments de Zénon, non comme objections contre la réalité du mouvement, comme ils apparaissent à première vue, mais comme mode nécessaire de détermination du mouvement... Telle est donc la dialectique de Zénon. Il a saisi les déterminations contenues dans notre idée du temps et de l'espace ; il les a eues dans sa conscience et il y a montré la contradiction... La dialectique de Zénon a un sens plus objectif que la dialectique moderne. »

Friedrich Hegel dans son "Cours d'histoire de la philosophie"

Le « simple » mouvement mécanique pose des problèmes dialectiques, car sa conception a nécessité, pour Newton, de construire le concept de vitesse instantanée. Or comment concevoir une vitesse qui ne soit pas celle du mouvement entre deux points mais en un seul point ? Comment concevoir, sans dialectique, que l'objet se déplace, c'est-à-dire que, quand il est ici, il est en même temps en train de quitter ce point ?

« De toutes les apories qu'un Zénon relevait dans le concept du mouvement, il n'y a pas lieu de conclure que le mouvement n'existe pas mais bien qu'il est contradiction en acte. » écrit Lucien Sève dans « Nature, science, dialectique : un chantier à rouvrir » - Extrait de « Sciences et dialectiques de la nature » (ouvrage collectif – La Dispute)

Ce que posent les paradoxes de Zénon, c'est une idée qu'il a hérité de Parménide et que nous connaissons sous le nom de dialectique de la nature. Le vide est dans le plein et le plein est dans le vide. Le mouvement est dans l'immobilité et l'immobilité dans le mouvement. L'espace est dans le temps et le temps est dans l'espace, etc... Aucun calcul (sommation infinie, calcul différentiel, ...) ne peut résoudre le fait que le mouvement pose le problème de la contradiction dialectique de la nature. Le corps est à la fois en un lieu et en un autre lieu, en un état et en un autre état.

Zénon a conscience que la dynamique n'obéit pas à la même logique que la statique. Un mouvement n'est pas une succession d'états immobiles. Le mouvement n'est pas le film, constitué par des images figées superposées et successives.

La contradiction dialectique de l'unité et de la diversité, de la matière et du mouvement, de l'être et du néant, de la matière et du vide est sans cesse contenue dans tous les paradoxes de Zénon…

Et quelle relation de la physique quantique avec la dialectique de Hegel ?

Eh bien, les contradictions dialectiques entre concepts, paramètres et propriétés opposées sont légion au sein de cette physique.

Les bosons et les fermions sont des concepts opposés mais complètement imbriqués, par exemple. La statistique des fermions leur impose de rester à distance alors que celle des bosons leur impose de rester groupés. Et ce n'est qu'un exemple de ces contradictions.

Voici comment l'expose Cohen-Tannoudji dans « Matière-espace-temps » (chapitre Penser concrètement l'élémentarité) :

« Selon la conception atomiste classique, les atomes, ou particules, existent en un petit nombre de types différents ; mais les particules d'un même type sont partout rigoureusement identiques : rien, en principe, ne permet de distinguer un proton sur terre d'un proton dans une galaxie à un milliard d'années-lumière. Une telle identité, tout le monde est prêt à l'admettre. Mais l'indiscernabilité quantique est beaucoup plus subtile. Classiquement, dans la théorie cinétique des gaz par exemple, on peut (même si c'est seulement par la pensée) numéroter, étiqueter chaque molécule et suivre sa trajectoire. Ce n'est pas le cas quantiquement : si on considère la collision élastique de deux particules identiques, il est impossible de décider à laquelle des particules initiales correspond chacune des particules finales, tout simplement parce qu'il est impossible de suivre la trajectoire de chacune des particules (nous avons vu d'ailleurs qu'il n'y a pas de trajectoire quantique). En théorie quantique, même par la pensée, les particules identiques ne sont pas étiquetables. Mathématiquement, cette propriété s'exprime dans une propriété de symétrie des amplitudes d'état des états à plusieurs particules, par permutation des particules identiques : les amplitudes d'état sont invariantes, à un signe près, par permutation de particules identiques. Si le signe est plus, l'amplitude d'état est symétrique par permutation, les particules identiques sont appelées bosons (on dit aussi qu'elles obéissent à la « statistique » de Bose-Einstein) ; si le signe est moins l'amplitude d'état est antisymétrique par permutation, les particules identiques sont appelées fermions (on dit aussi qu'elles obéissent à la « statistique » de Fermi-Dirac). La différenciation matière/interaction réside dans le fait que les particules de matière sont des fermions et que les particules d'interaction sont des bosons. L'antisymétrie de permutation de fermions qui annule l'amplitude d'état lorsque deux fermions sont dans lee même état quantique est à l'origine du principe d'exclusion de Pauli : deux fermions ne peuvent coexister dans le même état, au même lieu, au même instant. Ce caractère impénétrable des fermions, particules de matière, garantit l'existence macroscopique de la matière : en fait, on a pu montrer qu'en l'absence du principe d'exclusion de Pauli, les noyaux et les atomes se ratatineraient pour atteindre des tailles si petites que la gravitation deviendrait importante et que la matière imploserait. La symétrie par permutation de bosons traduit par contre le caractère superposable des forces d'interaction. De plus, on peut montrer que pour un état à plusieurs bosons, plus nombreux sont les bosons dans le même état et plus grand est le module de l'amplitude d'état et donc plus grande la probabilité de l'état. »

Les bosons et les fermions obéissent à des logiques apparemment diamétralement opposées et pourtant… Pourtant, les fermions ne peuvent communiquer entre eux que via des photons émis et absorbés. Pourtant, les bosons, eux, ont besoin des fermions pour être émis. Et deux fermions peuvent se choquer pour donner fermion et antifermions. Deux fermions qui se choquent peuvent donner deux bosons. Des fermions corrélés deviennent un boson. Etc, etc… Bosons et fermions sont inséparables et interdépendants tout en ne cessant jamais d'être contradictoires… Dialectique, on vous dit !!!

Les paradoxes de Zénon d'Élée

Robert Paris, Tiekoura Levi Hamed — 2015-07-28T23:42:00Z

Lectures sur les idées philosophiques de Zénon d'Elée

Qui était Zénon d'Elée ?

Vers - 490 av J.C. à vers - 425 av J.C.

Zénon d'Elée fut le premier grand mathématicien dialecticien. Ses paradoxes intriguèrent les mathématiciens et les physiciens comme les philosophes de tous les siècles. Il a été l'objet de nombreuses critiques mais qui sont d'autant plus fausses qu'elle proviennent d'une incompréhension des buts de sa démonstration.
Zénon naquit dans l'Ile d'Elée vers les 495 avant J.-C. Il fut l'élève du philosophe Parménide, qu'il accompagna à Athènes en -449. Là, il rencontra Socrate. De retour en Elée, il commença à faire de la politique pour changer l'ordre des choses et fut arrêté pour avoir pris part à un complot ourdi contre le tyran Nearchus. Il fut torturé à mort en tant que conspirateur.

Zénon était avant tout philosophe. Aristote lui attribue l'invention de la dialectique. Zénon n'a écrit qu'un seul livre, L'epicheiremate, dans lequel il attaque les adversaires de Parménide. Sa renommée lui vient de ses paradoxes. Seulement 200 mots nous sont parvenus de son livre. Bien qu'il y ait eu une quarantaine de paradoxes, seulement huit ont pu traverser les siècles. Leur but était de défendre les idées dialectiques de Parménide.

Le paradoxe d'Achille et de la tortue

Zénon, Parménide, Socrate et ... Platon

« De toutes les apories qu'un Zénon relevait dans le concept du mouvement, il n'y a pas lieu de conclure que le mouvement n'existe pas mais bien qu'il est contradiction en acte. »

Lucien Sève dans « Nature, science, dialectique : un chantier à rouvrir »

Extraits de « Sciences et dialectiques de la nature » (ouvrage collectif – La Dispute)

"Il est nécessaire que chaque existant ait une certaine grandeur, une certaine épaisseur, et qu'il y ait une certaine distance de l'un par rapport à l'autre"

Zénon d'Elée

Dans la Grèce antique, le combat philosophique et politique faisait rage à l'époque de Zénon et ce dernier était engagé aux côtés de dialecticiens et révolutionnaires comme Parménide et Socrate. Zénon fait partie d'une lignée de philosophes engagés (philosophiquement mais aussi politiquement) comme Parménide inventeur de la dialectique et Socrate, un révolutionnaire. Il est connu pour ses "paradoxes" qui mettent en contradiction les idées sur espace-temps-mouvement mais sa préoccupation, au delà même des sciences ou des mathématiques, est philosophique et probablement politique. L'idée philosophique principale de Zénon d'Elée était de démontrer que, si on admettait que le mouvement, le temps et l'espace étaient divisibles à l'infini sur des trajectoires continues, le mouvement serait impossible. En cela, Zénon peut être considéré comme le découvreur des contradictions quantiques de la matière-mouvement-espace-temps et donc comme un fondateur de conceptions très modernes en sciences.

a. Cas de la dichotomie (espace infiniment divisible, temps non divisible à l'infini) : un mobile doit parvenir à mi-chemin avant son terme s'il doit jamais parvenir au but ; de même, dans la moitié restante il doit d'abord atteindre la moitié, et ainsi de suite à l'infini (puisque l'espace peut se diviser infiniment en entités rationnelles). En vertu de la structure discontinue de l'espace et du temps on doit associer à chaque étape un temps minimum, correspondant à l'unité de temps, finie, la plus petite (qui existe par hypothèse). Le mobile mettra donc un temps infini (somme d'une infinité d'éléments de taille minimale finie) à parvenir au but, ce qui est contradictoire avec l'observation courante : si le mouvement existe, alors le temps et l'espace ne peuvent donc pas avoir la structure discontinue postulée initialement.

b. Paradoxe d'Achille et la tortue (espace infiniment divisible et temps infiniment divisible) : Achille et la tortue doivent parcourir le même chemin, et la tortue part la première, au moment où Achille prend son départ il doit parcourir au moins le trajet déjà effectué par la tortue pour la rattraper ; mais arrivé à ce point la tortue aura eu le temps d'avancer d'une certaine longueur, et le problème se pose à nouveau dans les mêmes termes et ainsi de suite à l'infini. Or si l'on admet la discontinuité fondamentale du temps et de l'espace, on doit supposer que la somme infinie de temps élémentaires, même infiniment petits, n'est pas finie, et par conséquent qu'Achille n'atteint pas la tortue , ce qui à nouveau est contraire à l'observation et implique donc que le postulat de discontinuité est à rejeter, avec les hypothèses correspondantes sur la structure fine de l'espace et du temps.

c. Argument de la flèche (espace non divisible à l'infini, temps divisible à l'infini) : si l'espace est formé d'unités distinctes et mesurables il est nécessaire que la flèche puisse sauter de l'un des intervalles au suivant (9) ; en effet la flèche occupe un espace égal à elle-même, puisqu'elle ne peut être en deux endroits en même temps (car l'espace est supposé être constitué d'entités discrètes) elle est donc au repos ; au cours de son mouvement la flèche se trouve donc immobile à chaque instant, or comme le temps est divisible à l'infini cela veut dire qu'à deux instants voisins mais distincts la flèche se trouvera au même endroit, ce qui est contraire à l'hypothèse du mouvement ; par conséquent on doit rejeter les conjectures faites sur la structure du temps et de l'espace.

d. Argument des corps en mouvement (espace non divisible à l'infini, temps non divisible à l'infini) : Zénon imagine ici une famille de masses égales se mouvant en sens contraire, à partir des deux extrémités du stade, le long de repères régulièrement espacés, correspondants aux unités spatiales distinctes. On se rend compte qu'il apparaît immédiatement un paradoxe, du fait que la vitesse apparente des corps en mouvement les uns par rapport aux autres est égale (du fait que les unités de temps sont elles aussi finies) à la vitesse de ces mêmes corps par rapport aux repères fixes, ce qui est évidemment contraire à l'observation courante. Ainsi cette structure particulière du temps et de l'espace ne semble pas

Aujourd'hui, au moins deux branches des sciences physiques utilisent ce paradoxe : la physique quantique et la cristallographie. En physique quantique, une loi doit être "renormalisable", c'est-à-dire fondée sur un univers où les infiniment petits sont éliminés comme les infiniment grands. Sans le paradoxe de Zénon de la physique quantique, l'électron, par exemple, aurait une énergie infinie d'interaction avec son propre champ dans le vide. Quantifier la matière, les interactions et l'espace-temps, c'est justement admettre que l'on ne peut pas descendre en dessous d'une certaine quantité : qu'il n'y a pas d'infiniment petit en physique.

La physique quantique récuse autant l'infiniment petit (le vide n'est pas zéro) que l'infiniment grand de la matière et des interactions.
Elle relie les grandes quantités et les petites par des relations qui excluent l'annulation ou l'infinitude : le produit de deux quantités comme le temps et l'énergie doit être supérieur à un quanta.

Quant à la démonstration de Zénon par la dichotomie et le raisonnement "par l'absurde", loin d'être contredite par la connaissance de la notion mathématique d'infiniment petit, elle rappelle les limites de cette notion malgré son efficacité mathématique dans les domaines de fonctions régulières ne connaissant pas de changement trop brutaux et qui sont proches de la linéarité et de la continuité. Hors de ce domaine étroit, en particulier pour toutes les transitions de phase, pour tous les systèmes dynamiques loin de l'équilibre, le calcul dit infinitésimal, qui avait tellement bien réussi à la gravitation de Newton et Leibniz, est pris en défaut.

L'ARTICLE DE MATIERE ET REVOLUTION SUR LES PARADOXES DE ZENON SUIT CES QUELQUES RÉFÉRENCES :

Zénon affirme :

« Si une unité ponctuelle sans dimension était ajoutée à une autre, elle ne l'augmenterait d'aucune unité, car en ajoutant ce qui n'a pas de dimension, on ne peut accroître une dimension d'une unité. (…) Un point ajouté à un point ne produit pas de distance. (…) Si le multiple existe, d'autres s'intercalent entre les existants et dans l'intervalle entre eux il y en a encore d'autres, ainsi de suite entre d'autres intervalles il y en a en nombre indéterminé. (…) Si un point est dimensionné, il occupe un espace et définit une distance. Il y a donc d'autres points en son sein et ainsi de suite. »

" Car, si l'être était divisible, supposons-le sectionné en deux, et ensuite chacune des parties en deux, et que cela se reproduise sans cesse, il est évident que : ou bien il subsisterait certaines grandeurs ultimes qui seraient minimales et insécables, mais infinies en nombre ; ou bien il s'évanouirait et se résoudrait en ce qui n'est plus rien, et serait constitué de ce qui n'est plus rien ; deux conclusions qui précisément sont absurdes. Donc il ne sera pas divisé, mais demeurera un. De plus, en effet, puisqu'il est semblable en tout point, si on lui attribue la divisibilité il sera divisible semblablement en tout point, et non pas ici divisible et là non. Supposons-le donc divisé en tout point : alors il est évident que rien ne subsistera, qu'il s'évanouira, et que s'il est vrai qu'il soit constitué, il sera à nouveau de ce qui n'est rien. Car tant que quelque chose en subsistera, le procès de division en tout point ne sera pas encore achevé. En sorte que il est encore manifeste d'après ce qui précède que l'Etre est indivisible, et sans parties, et un. (…) Mais s'il est, il est nécessaire que chacun ait quelque grandeur, et quelque épaisseur, et que l'une de ses deux parties soit en dehors de l'autre. Même raisonnement pour celle des deux qui précède l'autre. Car celle-là aussi aura grandeur et quelque chose en elle précédera le reste. Assurément dire cela une fois revient au même que de le répéter indéfiniment. Car, de telles parties aucune ne sera l'ultime, ni telle qu'il n'y ait pas de relation d'une de ses parties à l'autre."

Le point de vue de Zénon rapporté par Simplicius
dans « Physique » :

« La division, en tant qu'être divisé, n'est pas ponctualité absolue. La notion de continuité n'est pas non plus l'indivisé sans parties. »

1. — Si l'un n'avait pas de grandeur, il n'existerait même pas.

Mais, s'il est, chaque un doit avoir une certaine grandeur et une certaine épaisseur et doit être à une certaine distance de l'autre, et la même chose peut être dite de ce qui est devant lui ; car celui-ci aussi aura une grandeur, et quelque chose sera devant lui. C'est la même chose de dire cela une fois et de le dire toujours ; car aucune partie de lui ne sera la dernière et il n'est chose qui ne puisse être comparée à une autre.

Donc, si les choses sont une pluralité, elles doivent être à la fois grandes et petites, petites au point de ne pas avoir de grandeur du tout ; et grandes au point d'être infinies.

2. — Car s'il était ajouté à n'importe quelle chose, il ne la rendrait en rien plus grande ; car rien ne peut gagner en grandeur par l'addition de ce qui n'a pas de grandeur, d'où il suit immédiatement que ce qui était ajouté n'était rien. Mais si, quand ceci est retranché d'une autre chose, cette dernière n'est pas plus petite ; et d'autre part si quand il est ajouté à une autre chose, celle-ci n'en est pas augmentée, il est clair que ce qui est ajouté n'était rien et que ce qui était retranché n'était rien.

3. — Si les choses sont une pluralité, elles doivent être exactement aussi multiples qu'elles sont, ni plus ni moins. Or, si elles sont aussi multiples qu'elles sont, elles seront finies en nombre.

Si les choses sont une pluralité, elles seront infinies en nombre, car il y aura toujours d'autres choses entre elles, et de nouveau d'autres choses entre celles-ci. Et ainsi les choses seront infinies en nombre.

4. — Le mobile ne se meut ni dans l'espace où il se trouve, ni dans celui où il ne se trouve pas.

« La division, en tant qu'être divisé, n'est pas ponctualité absolue. La notion de continuité n'est pas non plus l'indivisé sans parties. »

Friedrich Hegel

dans « Cours d'histoire de la philosophie »

" Le mouvement d'un corps isolé n'existe pas."

Engels dans "Dialectique de la nature"

Le physicien Louis de Broglie : « Dans le macroscopique, Zénon paraît avoir tort, poussant trop loin les exigences d'une critique trop aiguë, mais dans le microscopique, à l'échelle des atomes, sa perspicacité triomphe et la flèche, si elle est animée d'un mouvement bien défini, ne peut être en aucun point de sa trajectoire. Or, c'est le microscopique qui est la réalité profonde, car il sous-tend le macroscopique. »

Louis de Broglie, dans « La physique nouvelle et les quanta » :
« L'existence du quantum d'action, sur lequel nous aurons si souvent à revenir dans le cours de cet ouvrage, implique en effet une sorte d'incompatibilité entre le point de vue de la localisation dans l'espace et dans le temps et le point de vue de l'évolution dynamique ; chacun de ces points de vue est susceptible d'être utilisé pour la description du monde réel, mais il n'est pas possible de les adopter simultanément dans toute leur rigueur. La localisation exacte dans l'espace et dans le temps est une sorte d'idéalisation statique qui exclut toute évolution et tout dynamisme ; l'idée d'état de mouvement prise dans toute sa pureté est par contre une idéalisation dynamique qui est en principe contradictoire avec les concepts de position et d'instant. »

ZENON ET LA QUANTIQUE

« L'existence du quantum d'action (…) implique une sorte d'incompatibilité entre le point de vue de la localisation dans l'espace et dans le temps et le point de vue de l'évolution dynamique (…) La localisation exacte dans l'espace et le temps est une sorte d'idéalisation statique qui exclut toute évolution et toute dynamique. »

De Broglie dans « La physique nouvelle et les quanta »

Valerio Scarani
dans "Initiation à la physique quantique, la matière et ses phénomènes" :

« En 1977, Misra et Sudarshan ont étudié ce qui se passerait dans l'hypothèse où les intervalles de temps entre observations répétées portant sur un même système instable – atome excité ou noyau instable – deviennent plus courts, jusqu'à ce que ces observations puissent à la limite être assimilées à une observation continue. Ils ont établi un résultat surprenant : lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro, le formalisme quantique mène à la conclusion que l'atome ne pourra quitter son niveau excité, ni le noyau instable se décomposer. C'est ce qu'ils ont appelé « le paradoxe de Zénon de la mécanique quantique ».

Une observation continue est assurément une idéalisation : toute observation prend un temps fini. Mais la mesure telle que la mécanique quantique l'a définit correspond elle aussi à une idéalisation. (…) Nous ne croyons pas que le paradoxe du chat de Schrödinger et celui de Zénon renvoient seulement à des problèmes d'interprétation. (...) Ainsi la dynamique classique mettait en scène des interactions instantanées alors que, selon la relativité, ces interactions se propagent à une vitesse finie. (…) Nous aboutissons à des prévisions nouvelles qui concernent le « paradoxe de Zénon » et les niveaux caractérisés par un temps de vie fini. (…) C'est l'événement quantique caractérisé par un temps de vie, et non l' "acte d'observation" , qui brise la superposition quantique. »

« Entre le temps et l'éternité » d'Ilya Prigogine et Isabelle Stengers :

« D'une certaine façon, Zénon d'Elée avec ses sophismes (Achille et la tortue, la flèche immobile) avait déjà montré que la divisibilité à l'infini du continu abolit le mouvement et qu'un point sans dimension n'a aucune existence. Le caractère discontinu, fini, des phénomènes est une condition de l'existence elle-même ("Il est nécessaire que chaque existant ait une certaine grandeur, une certaine épaisseur, et qu'il y ait une certaine distance de l'un par rapport à l'autre"). L'infini est le signe qu'on a quitté la physique. Une physique entièrement continue est donc bien contradictoire. »

Les physiciens Elkinani I. et Villain J. :

« Les imperfections des cristaux prennent naissance le plus souvent lors de la croissance, et sur la surface. Nous décrivons ici une instabilité qui peut se produire lors de la croissance par épitaxie par jets moléculaires. Elle est liée au fait que les atomes non encore incorporés (adatomes) se fixent plutôt sur une marche amont que sur une marche aval (effet Schwoebel). Nous suggérons que, dans un modèle continu, l'instabilité se produit, en principe, toujours, mais au bout d'un temps qui peut être long si l'effet Schwoebel est faible. La cause de l'instabilité est reliée au paradoxe de Zénon d'Elée. »

Jean Dhombres, dans « Nombre, mesure et continu » :

« Le premier (paradoxe) argumente que pour aller d'un point à un autre, il faut d'abord arriver au point milieu et ainsi de suite à l'infini. Donc en un temps fini parcourir une infinité de points distincts, donc l'impossible.

Le deuxième dit qu'Achille au pied léger jamais ne rattrapera la tortue car Achille doit passer par tous les points parcourus par la tortue donc parcourir le même nombre de points qu'elle. Il ne peut donc le rattraper si parcourir un point prend une unité de temps tant pour la tortue que pour Achille.

La troisième paradoxe concerne une flèche qui en chaque point de sa trajectoire est nécessairement au repos puisqu'elle est nécessairement au repos puisqu'elle est en ce point, donc en définitive la flèche ne se meut pas.

La quatrième concerne trois segments de longueurs égales, donc contenant le même nombre de points. Deux de ces segments se meuvent à la même vitesse mais en sens inverse parallèlement au troisième fixe. Dans la plus petite unité de temps en laquelle on puisse diviser le temps, le décalage entre les deux segments mobiles est double du décalage entre un segment mobile et le segment fixe. Le paradoxe est patent puisque pour avoir un décalage moitié entre les deux segments mobiles, ce qui doit physiquement survenir, il faudrait diviser la plus petite unité de temps.

Ces paradoxes se présentent dans leur ensemble sous la forme d'un dilemme, c'est-à-dire que si l'on accepte une chose ou bien son contraire, on aboutit à une contradiction dans les deux cas : deux hypothèses qui s'opposent sous l'aspect finiste et l'aspect continuiste, tant pour le segment de droite que pour un intervalle de temps. »

"Les arguments de Zénon ont rendu insoutenable la notion de temps comme une rangée d'"indivisibles" successifs."

Philip J.Davis et Rueben Hersch dans "L'univers mathématique"

Ces paradoxes, et les conceptions de Zénon, sont à opposer aux deux textes suivants :

« Le point est ce qui n'a pas de parties. » d'Euclide

« Ce qui est divisible en parties elles-mêmes toujours divisibles est un continu. » d'Aristote

Les paradoxes de Zénon mettent en cause non l'existence du mouvement mais la conception du mouvement en relation à celle du temps et de l'espace. On croit bien connaitre ces notions intuitivement. Même Einstein pensait que la droite et le point étaient des notions immédiates. En fait, les plus connus des objets mathématiques, le nombre, le point, le segment, la droite, sont très différents de ce que l'on croit communément. La droite géométrique, comme la droite des nombres, loin d'être le modèle de la continuité est une fractale d'univers emboîtés et une dialectique du point et de l'espace. On croit la voir en entier en l'examinant à une seule échelle, mais elle contient de multiples niveaux et ses deux éléments, le point et l'espace entre deux points, sont inséparablement contradictoires.
L'image mathématique doit correspondre à une réalité observée. Or, dans toute observation, il existe un pouvoir de résolution, un agraindissement, selon lequel il y a une limite de séparation des points. Deux points distincts ne sont séparables par observation que si leur distance est supérieure à cette limite. Cela est vrai dans toute observation physique par l'homme. Or, nous n'avons aucune raison de penser que l'homme soit un cas à part, ni que ses expériences aient des particularités indépendantes des lois naturelles. En conséquence, ce pouvoir de résolution soit absolument être intégré à nos outils mathématiques. En ce qui concerne le point, le segment ou la droite (qu'il s'agisse des notions géométriques avec la droite d'Euclide ou algébriques avec la droite des nombres dits réels) ne correspondent nullement à cette nécessité. Si l'univers n'était pas fractal, si la plupart des systèmes étaient intégrables au sens de Poincaré c'est-à-dire non susceptibles de subir des résonances, cet inconvénient serait négligeable. Mais ce n'est nullement le cas. Le vide est fractal, la particule l'est aussi. Les interactions sont non-linéaires et les structures matérielles sont dissipatives et auto-organisées. Notre univers est fondé sur des systèmes chaotiques. La linéarité n'existe approximativement et à la marge. En conséquence, le point ou la droite, même idéalisés, ne peut qu'être soumise à une correspondance à ce que pourrait être un point physique et une droite physique. Un point physique correspond au point de l'imprimerie qui est un nuage de points lorsqu'on l'agrandit suffisamment. C'est l'agraindissement. Une droite physique n'est pas seulement un ensemble de points. Elle contient également des espaces entre les points. Ces espaces ont des dimensions déterminées par le pouvoir de résolution qui est la limite en dessous de laquelle on ne peut plus distinguer deux points. Encore une fois, redisons que si la droite était constituée de points sans dimension, sans épaisseur, sans longueur et sans largeur, la droite elle-même ne permettrait pas de définir de dimension. L'espace entre deux points à distance égale ou inférieure au pouvoir de résolution ne peut être explorée qu'en descendant d'un cran dans les échelles du monde fractal.

La droite, si on veut l'imaginer comme capable de porter l'ensemble des points entre deux points, doit être considérée comme une fractale, avec des univers emboîtés…

Encore une fois, rappelons que cette limite d'observation n'est pas propre à l'observation humaine. Toute interaction nécessite un temps fini, non nul, le temps d'interaction ajouté au temps de relaxation. Ce temps, lorsqu'il n'est pas négligeable devant le temps caractéristique de transformation des structures mises en cause, signifie qu'il n'est plus possible de considérer des infiniments petits dans les calculs. C'est ce qui explique que les lois doivent être renormalisables. C'est ce qui explique aussi qu'il y ait des mouvements et des changements de structure. Sans quoi le mouvement serait impossible comme le montrait il y a bien longtemps les paradoxes de Zénon. L'équilibre, inversement, n'a lieu que lorsqu'il y a un rapport suffisamment petit entre les deux temps (temps d'interaction-relaxation et temps propre). C'est là que se trouve la source des stabilités structurelles. L'interaction du lent et du rapide est à la base de la formation de structures durables et toutes sortes d'équilibres. L'équilibre, lui-même, change donc de représentation et devient un cas limite du paradoxe de Zénon. La composition de structures cristallines en est un exemple.
On a longtemps considéré que ce qui caractérise la fractale est la dimension fractionnaire. La droite et le point montrent qu'il n'en est rien.

L'outil mathématique de base doit lui-même être fractal pour représenter un monde fondé sur des résonances et non-intégrable au sens de Poincaré, sauf dans quelques cas limites. Dans une géométrie fractale, il n'y a plus un seul nombre qui représente la distance entre deux points, car cette distance dépend de l'échelle d'observation. Cette dernière est donc un premier élément. Il convient d'y rajouter la distance de deux points permettant de les séparer par observation ou « pouvoir de résolution » et aussi l' « agraindissement » qui indique quand un point est représenté par une seule position et quand il l'est par un nuage de possibles.

Des objets mathématiques continus ou discontinus ?

Pourquoi la notion de continu fait de la résistance ?

La continuité, une propriété mathématique ?

Continuité et discontinuité sont incompatibles

THE MATTER AND THE REVOLUTION (site in english)

« L'histoire des infinitésimaux (ou infiniment petits) est beaucoup moins simple que celle de leur cousin l'infini, et les considérations du style de celles de Zénon y ont joué un rôle important. Le paradoxe dit de la dichotomie s'attaque à la divisibilité infinie de l'espace. Pour qu'un objet puisse se déplacer d'une certaine distance, il doit d'abord parcourir la moitié de cette distance ; mais avant de parcourir cette moitié, il doit nécessairement en parcourir le quart, et ainsi de suite. Obligé de faire une infinité de chose dans l'ordre inverse, il est dans l'impossibilité de prendre le départ. Le scénario d'Achille et la Tortue est assez analogue. Il s'agit cette fois du bouillant Achille qui ne parvient pas à rattraper la tortue beaucoup plus lente que lui ; mais partie plus tôt ; Chaque fois qu'il atteint un emplacement où se trouvait la tortue, celle-ci a progressé pendant le déplacement d'Achille, et elle conserve ainsi une certaine avance.
(...)
Les paradoxes de Zénon sont plus subtils qu'il n'y parait, et si on les considère sous l'angle de la nature physique de l'espace-temps plutôt que sous l'angle purement mathématique, ils posent encore aujourd'hui des questions délicates. Les grecs jugèrent ces paradoxes redoutables, ce qui contribuera à les dégoutter encore plus des nombres et à se réfugier dans la géométrie. »

Ian STEWART : « Les mathématiques ».

Les paradoxes de Zénon

Effet Zénon quantique

Cela consiste à effectuer des mesures répétées dans des temps très courts. On pourrait penser que l'on va ainsi retrouver une évolution graduelle des états. C'est inexact : on trouve d'abord des états inchangés, puis, brusquement un saut. L'effet Zénon quantique a été observé sur des particules matérielles piégées. Par exemple, l'oscillation de Rabi cohérente entre deux niveaux d'un ion piégé, induite par un laser résonnant, est inhibée par des mesures répétées de l'état atomique par fluorescence. Les sauts quantiques du phtoton sont également mesurés. une mesure sans démolition quantique (QND) du nombre de photons dans la cavité, restreinte aux états à 0 ou 1 photons. Des mesures fréquemment répétées à l'échelle du temps d'amortissement de la cavité nous permettent d'observer, pour la première fois, les sauts quantiques de la lumière. Des photons individuels peuvent être mesurés des centaines de fois, sur un intervalle de temps de l'ordre de la seconde.

Les paradoxes de Zénon (huit paradoxes dont nous ne citons que les trois plus connus) sont très anciens (environ 450 avant JC) et l'on pourrait penser qu'ils sont dépassés par les sciences modernes. Nous allons voir qu'il n'en est rien !! Ces paradoxes sont des démonstrations dites par l'absurde au sens où elles poussent dans leurs retranchements absurdes les croyances de son époque en philosophie, en physique et en mathématiques. Or, il se trouve que nous n'avons pas tout à fait dépassé ces conceptions anciennes.

Zénon combat d'abord et avant tout la possibilité de « diviser à l'infini » un segment d'espace ou de temps en un nombre indéfini de parties ou de points. Ils va même au delà en déniant la validité de l'image discontinue du point et de l'image continue du segment, non seulement en termes d'espace et de temps mais aussi de matière, de mouvement et d'énergie.C'est ce qui fait la modernité des paradoxes de Zénon pour la physique contemporaine.

Cette possibilité de division à l'infini semble pourtant attestée par les notions géométriques et algébriques de milieu et de demi somme de deux nombres. C'est ce que l'on appelle « la dichotomie ». Elle permet d'affirmer qu'il y a toujours un point entre deux points et un nombre entre deux nombres. Et donc, on montre ainsi qu'lil y aurait une infinité de points entre deux points ou une infinité de nombres entre deux nombres, en répétant cette dichotomie. Zénon va utiliser cette dichotomie appliquée à l'espace et au temps pour souligner les contradictions que cela entraînerait pour le mouvement.

On pourrait croire que la division à l'infini du segment des nombres, la plus grande précision possible des nombres, correspondrait à une connaissance plus grande de la réalité. L'expérience montre le contraire. Quand on veut gagner trop en précision d'une mesure, on en perd de l'autre côté, comme le montre la physique quantique. Le plus souvent, on change en fait de niveau d'observation de la réalité. On n'observe pas mieux mais autre chose. Cela signifie que le monde réel existe en même temps à plusieurs niveaux, ce qui correspond à plusieurs échelles d'observations et aussi à plusieurs agraindissement. Le grain est le niveau de distinction entre deux éléments. L'agraindissement est illustré par la photo, l'impression ou l'écran télévision.

Il en découle qu'il n'y a pas une seule échelle du temps ni une seule échelle des distances, échelle sur laquelle on pourrait descendre arbitrairement bas en valeur, mais des niveaux différents emboités et interactifs. L'espace et le temps sont des quantités fractales et dynamiques, qui sont produites par l'interaction, donc des quantités émergentes.

Toujours pour la physique moderne, le découpage à l'infini ne fonctionne ni pour la matière, ni pour le mouvement, ni pour l'énergie. Zénon mérite donc encore toute notre attention...

Ceux qui veulent en finir rapidement avec les thèses de Zénon ont deux types d'argument :

1) Zénon ne connaissait pas les suites et les sommes infinies convergentes

2) Zénon voulait démontrer l'inexistence du mouvement or, on sait que le mouvement existe !

En ce qui concerne le premier argument, il est certain que les connaissances mathématiques de Zénon ne pouvaient comporter les calculs des suites, séries, différentielles ou intégrales comportant des infiniment petits. Tout porte à croire qu'il ne se serait pas contenté de la possibilité mathématique de les inventer puisqu'il contestait la possibilité de diviser réellement (physiquement) à l'infini.

Mais Zénon s'oppose seulement à une conception du mouvement qui est liée à une autre conception : celle de la position. Il nie l'existence d'une position définie par un point sans dimension. Comme le rappelle la citation donnée ici au début, Zénon rappelle qu'une série de points sans dimensions ne permettraient pas de construire la dimension d'un segment. Pour qu'il y ait une distance entre deux points, il ne suffit pas d'additionner une série de points sans dimension. Zénon nie donc une conception erronée du mouvement se rapportant à une notion inexacte du temps instantané et de la position purement ponctuelle. Si ces deux dernières existaient réellement, il affirme que le mouvement ne permettrait pas d'en sortir et on serait condamné à l'immobilité. En affirmant que la position ne peut être ponctuelle et que le temps ne peut pas l'être non plus, c'est-à-dire ne peut pas être infiniment précis, il rejoint de manière étonnante la physique quantique.

Quant à la prétendue négation du mouvement réel par Zénon, c'est la thèse d'Aristote (citée plus loin) qui l'affirme, mais il s'agit là d'un contre-sens volontaire de sa part. En effet, il comprenait parfaitement que Zénon maniait ce que l'on appelle le raisonnement "par l'absurde". Si vous acceptez telle thèse alors vous êtes contraints d'admettre que le mouvement n'existe pas. Donc votre thèse est fausse. D'autre part, c'est la conception du mouvement qu'il conteste comme Hegel l'expose dans son « Cours d'histoire de la philosophie » :
« Il faut comprendre les arguments de Zénon non comme objections contre la réalité du mouvement, mais comme contestation du mode de détermination du mouvement (…) Telle est la dialectique de Zénon. Il a saisi les déterminations contenues dans notre idée du temps et de l'espace. Il en a montré les contradictions. »

Un contre-sens courant de la thèse de Zénon consiste effectivement à lui attribuer l'idée qu'il n'y a pas de mouvement dans la réalité. Mais Simplicius, dans sa « Physique » 134-2, explique que " Aristote dit que certains ont concédé quelque chose à l'une et à l'autre des deux raisons, l'une avancée par Parménide et l'autre par Zénon, lequel voulait porter secours à la thèse de Parménide, contre ceux qui entreprenaient de la tourner en dérision en arguant que si l'être est un, la thèse conduit à affirmer nombre de conséquences ridicules et qui la contredisent : contre quoi Zénon montrait que leur hypothèse, celle qui affirme qu'il est pluralité, devrait supporter des conséquences encore bien plus ridicules que celle de l'unité de l'être, si l'on poussait suffisamment loin son examen. ".

Aristote répond à Zénon :
" Derechef il n'y a pas non plus pluralité, car il n'y a rien qui sépare ; il n'y a aucune différence de prétendre que la totalité n'est pas continue mais que ce qui résulte de la division est en contact, ou d'affirmer la pluralité, l'absence d'unité, le vide. Car si le tout est divisible partout, il n'y a rien qui soit un, et par conséquent pas de pluralité non plus, et l'ensemble est vide. "
Aristote, dans "De la Génération et de la corruption".

En somme, la thèse de Zénon est que, si le monde était formé d'entités différentes indépendantes (divisibilité), qu'il s'agisse de matière, d'espace, de temps ou de mouvement, le mouvement serait impossible.

Zénon d'Elée a déjà touché du doigt l'incompatibilité entre continu et discontinu lorsqu'il étudie le mouvement. Il a montré que, si on conserve la continuité, le mouvement est impossible. En effet, le temps est conçu comme une série d'instants (discontinu) formant un intervalle de temps (continu), de la même manière que le mouvement est formé d'états sur une courbe. Pour concevoir un tel mouvement, il faudrait décomposer le mouvement en instants à l'infini. Zénon montrait que jamais le corps en mouvement ne devait atteindre son point d'arrivée. Pythagore avait, pour résoudre ces contradictions du mouvement, admis qu'on peut décomposer le continuum du temps en instants de durée arbitrairement courte, mais il avait produit ainsi de nouvelles contradictions entre immobilité et mouvement, entre continu et discontinu, qui restent insolubles dans la conception de Pythagore du segment composé de suites d'un nombre entier de points, les monades.

Aristote ne pourra répondre à ces problèmes qu'en renonçant à la divisibilité du temps en instants. Au sein du continu, on ne peut admettre aucun trou ni aucune séparation. Cependant, Aristote restera partisan du continu et cela ne l'empêchera pas de défendre un point de vue idéaliste et religieux. Cela devrait d'ailleurs faire réfléchir tous les auteurs qui se retranchent derrière la lutte contre la religion pour combattre les discontinuités dans la nature et la notion de la singularité. On peut lire ainsi dans « La Métaphysique » d'Aristote : « L'un est le continu. (...) Telles sont les différentes significations de l'Un : le continu naturel, le tout, l'individu et l'universel. (...) Est contigu tout ce qui, étant consécutif, est en contact (...) On dit qu'il y a continuité quand les limites par lesquelles deux choses se touchent, et se continuent, deviennent une seule et même limite. (...) Si les points sont susceptibles d'être en contact, les unités ne le sont pas : il n'y a, pour elles, que la succession ; enfin il existe un intermédiaire entre deux points, mais non entre deux unités. (...) Il est impossible que le mouvement ait commencé ou qu'il finisse, car il est, disons-nous, éternel. Et il en est de même pour le temps, car il ne pourrait y avoir ni l'avant ni l'après si le temps n'existait pas. Le mouvement est, par suite, continu, lui aussi de la même façon que le temps, puisque le temps est lui-même, ou identique au mouvement, ou une détermination du mouvement. (...) Aussi appelons-nous DIEU un vivant éternel rayon parfait ; la vie et la durée continue et éternelle appartiennent donc à DIEU, car c'est même cela qui est DIEU. (...) On pourrait se poser encore la difficulté suivante. Etant donné qu'il n'y a pas de contact dans le nombres, mais simple consécution, est-ce les unités entre lesquelles il n'existe pas d'intermédiaire (...) Les mêmes difficultés se présentent pour (...) la ligne, la surface et le solide (...) La même question pourrait se poser au sujet du point. (...) Ces points ne viennent certes pas d'un certain intervalle. »

Ce débat est très différent de la thèse de Parménide et de la thèse qui lui est faussement attribuée. Nous allons examiner la question : les sciences modernes pourraient-elles donner raison à Zénon ?

Sur la discontinuité, lire aussi sur le site :

La discontinuité, une question philosophique

Qu'est-ce que la continuité ?

La discontinuité, une vieille question

L'illusion du continu

Continuité du vivant ?

Le quanta, ou la mort programmée du continu en physique

Pourquoi la notion de continu fait de la résistance ?

La continuité, une propriété mathématique ?

Continuité et discontinuité sont incompatibles

Discontinuité de l'univers et structures hiérarchiques

La discontinuité de la vie : de la création d'espèces à la création de l'homme et à la création humaine

Les paradoxes de Zénon, preuve de la discontinuité dialectique

Psychisme et discontinuité

En dehors du site, on trouve des études de paradoxes modernes du type Zénon. Par exemple, celui-ci :
Cliquez ici

Ceux qui estiment résoudre les paradoxes de Zénon

Le débat actuel sur les paradoxes de Zénon :

Quelles sont les idées révolutionnaires introduites par Zénon pour qu'elles aient été discutées par les plus grands mathématiciens et physiciens de chaque époque sans avoir jamais été vraiment dépassées par les avancées des sciences ?

Première idée : l'espace, le temps, le mouvement, l'énergie, la matière ne peuvent pas être ni des points ni des segments. Notre géométrie ne répond pas au problème posé par le mouvement. En effet, le mouvement ne peut être représenté par une somme de positions successives car il serait une succession d'immobilités.

Deuxième idée : il n'est pas possible qu'il n'y ait rien entre les objets matériels. Le vide doit être un univers existant et interagissant avec la matière. La matière doit être une espèce de vide et le vide une espèce de matière. Comme le dira Hegel à propos des paradoxes de Zénon, "dans le mouvement, l'espace se pose temporellement et le temps spatialement."

Troisième idée : la matière ne peut pas être constituée par des objets fixes qui se contentent de se déplacer, sans changer, dans un espace qui ne change pas du fait de leur passage.

Quatrième idée : il ne peut pas y avoir mouvement sans de multiples discontinuités profondes de la matière, de l'espace, du vide et du temps. Ces discontinuités ne peuvent être ni assimilables, d'une manière ou d'une autre, à du continu ni représentables par des points. Une discontinuité ne peut être de dimension zéro.

Cinquième idée : le tout n'est pas la somme de ses parties. Les propriétés d'une collection d'objets ne sont pas une addition des propriétés des éléments.

Sixième idée : tout objet, tout mouvement, tout espace, tout temps suppose une contradiction entre réalité et potentialité, entre structure et changement, entre état et changement, ....

Septième idée : le monde est un et non pluriel. Les contradictions ne proviennent pas de l'action entre des mondes différents mais sont intérieures au même monde.

Huitième idée : la précision exacte et fixe d'une valeur (du temps, de l'espace, de l'énergie) n'existe pas. Un instant de durée nulle n'est pas plus possible qu'un espace entièrement ponctuel. On ne peut pas sans cesse rendre plus précise une mesure.

Neuvième idée, qui soutend les autres : l'apparence n'est pas forcément la réalité. Ce qui est réel peut être virtuel et ce qui est virtuel peut être réel. ce qui apparait mobile peut être immobile et inversement. Ce qui semble fixe peut être changeant et inversement.

Dixième idée : unité et multiplicité ne s'opposent pas logiquement mais sont combinés en me^me temps qu'opposés. ils constituent une contradiction dialectique.

Onzième idée : la matière ne peut être en mouvement si elle ne contient pas elle-même du mouvement. Dans le cas d'une particule dite élémentaire, le mouvement suppose le changement. Cela suppose qu'au niveau limite de dimension, il y a un autre univers sous-jacent, en rupture avec le précédent. La dimension n'est donc pas divisible continûment mais la division de dimension signifie un saut qualitatif.

Dernière idée : La continuité fondée sur une succession d'infiniment petits n'a pas de réalité. Il n'est pas possible de diviser à l'infini et pourtant il y a un univers sous-jacent...

En somme, ce que posent les paradoxes de Zénon, en plus de nombre d'idées de la physique quantique la plus moderne, c'est une idée qu'il a hérité de Parménide et que nous connaissons sous le nom de dialectique de la nature.
Le vide est dans le plein et le plein est dans le vide. Le mouvement est dans l'immobilité et l'immobilité dans le mouvement. L'espace est dans le temps et le temps est dans l'espace, etc... Aucun calcul (sommation infinie, calcul différentiel, ...) ne peut résoudre le fait que le mouvement pose le problème de la contradiction dialectique de la nature. Le corps est à la fois en un lieu et en un autre lieu, en un état et en un autre état.

La dynamique n'obéit pas à la même logique que la statique. La modernité de cette idée en sciences est développée dans les articles du Livre "Philosophie" du site "Matière et révolution", en particuliers tous ceux des "bonds dans la nature" et de la discontinuité ainsi que ceux sur la dialectique du même livre.

A propos de Zénon : « Dire qu'un corps est en mouvement – à la fois est et n'est pas en un même instant dans un même lieu -, c'est énoncer une contradiction formelle. L'éliminer en soutenant que le corps en mouvement n'est en un même instant qu'en un même lieu, c'est rendre le mouvement impensable et par là tomber dans une contradiction réelle. » dit Lucien Sève dans « Science et dialectique de la nature ».

Lire également :

1-5-1 La discontinuité, une question philosophique
1-5-2 Qu'est-ce que la continuité ?
1-5-3 Une vieille question
1-5-4 L'illusion du continu
1-5-5 Continuité du vivant ?
1-5-6 Des objets mathématiques continus ou discontinus ?
1-5-7 Le quanta, ou la mort programmée du continu en physique
1-5-8 Pourquoi la notion de continu fait de la résistance ?
1-5-9 La continuité, une propriété mathématique ?
1-5-10 Continuité et discontinuité sont incompatibles
1-5-11 Discontinuité de l'univers et structures hiérarchiques
1-5-12 La discontinuité de la vie : de la création d'espèces à la création de l'homme et à la création humaine

Ce n'est pas le mode de raisonnement qui est dialectique mais la conception de la nature. Le raisonnement par l'absurde n'est rien d'autre que de la logique formelle. Elle vise, dans le cas des paradoxes de Zénon, à montrer que si on suppose que la nature agit en continu, le mouvement serait impossible. C'est un contre-sens de répondre que Zénon a tort puisque le mouvement à tort. C'est ne pas comprendre ou refuser de répondre aux arguments de ce brillant philosophe. Il ne nie pas l'univers tel qu'il nous apparaît mais il nie que ce soit le sens profond de la nature.

L'impossibilité de comprendre un phénomène en se contentant de le décomposer en ses éléments a une tonalité très anti-réductionniste et, partant, très moderne. Sa conception discontinue est de type quantique et ce d'autant plus qu'elle englobe le caractère contradictoire du type onde/particule. Zénon considère en effet que l'élément n'est ni ponctuel ni étendu.

Tiré de Wikipedia :

Achille et la tortue

Dans le paradoxe d'Achille et de la tortue, il est dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres. Zénon* affirme alors que le rapide Achille n'a jamais pu rattraper la tortue. « En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l'un très rapidement, et l'autre très lentement ; au bout d'un certain temps, Achille aura comblé ses cent mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons un mètre. Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin ; et puis une autre durée avant d'atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé. Ainsi, toutes les fois où Achille atteint l'endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Par conséquent, le rapide Achille n'a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue ». Le raisonnement de Zénon* parait impeccable et implacable ; pourtant, nous savons tous que c'est Achille qui a gagné la fameuse course !

La pierre lancée vers un arbre

Le paradoxe suivant, celui de la pierre lancée vers un arbre, est une variante du précédent. Zénon* se tient à huit mètres d'un arbre, tenant une pierre. Il lance sa pierre dans la direction de l'arbre. Avant que le caillou puisse atteindre l'arbre, il doit traverser la première moitié des huit mètres. Il faut un certain temps, non nul, à cette pierre pour se déplacer sur cette distance. Ensuite, il lui reste encore quatre mètres à parcourir, dont elle accomplit d'abord la moitié, deux mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis la pierre avance d'un mètre de plus, progresse après d'un demi-mètre et encore d'un quart, et ainsi de suite ad infinitum et à chaque fois avec un temps non nul. Zénon* en conclut que la pierre ne pourra frapper l'arbre qu'au bout d'un temps infini, c'est-à-dire jamais.

La flèche en vol

Dans le paradoxe de la flèche, nous imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Maintenant, pendant les instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le mouvement est impossible.

Discussion

On peut noter que plusieurs philosophes dont Kant, Hume, et Hegel ont proposé d'autres solutions à ces paradoxes. Une solution encore plus simple, d'abord proposée par Leucippe et Démocrite, contemporains de Zénon*, est de nier que l'espace soit divisible à l'infini. La théorie atomique nous permet en effet de nous déplacer d'un point à l'autre sans recourir aux séries mathématiques infinies qui ne font en effet que décrire le paradoxe sans le trancher puisque la somme d'une série infinie de termes ne fait qu'approcher sa limite sans jamais l'atteindre. Notre espace étant atomique ou granulaire (non-continu), il en va de même du temps qui n'est pas divisible à l'infini, comme en a convenu Planck en proposant les plus petites unités de temps et d'espace au delà desquelles il est physiquement impossible d'obtenir des mesures utiles qui aient du sens. Si l'on accepte l'impossibilité de diviser le temps et l'espace à l'infini, il n'y a plus de paradoxe.

Nous imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Maintenant, pendant les instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le mouvement est impossible.

Ce paradoxe est résolu mathématiquement comme suit : étant donné que la vitesse de la flèche n'est pas nulle, la limite du taux de variation en un instant n'est pas nulle et donc le taux de variation entre deux instants très courts ne sera pas nul. Autrement dit, même si l'instant est très court, la flèche parcourra une certaine distance.

Il existe aussi une solution physique à ce paradoxe : après tout, suivant le même raisonnement, un objet initialement au repos ne pourrait jamais démarrer, puisqu'immobile ! En réalité, la capacité d'un objet à se déplacer à un instant t n'est pas liée au fait qu'il soit mobile ou non à cet instant t, mais à son énergie cinétique à cet instant. Un objet « immobile », mais doté d'une certaine énergie cinétique, se déplacera à l'instant suivant. Maintenant, comme, en translation, l'énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse, les solutions physique et mathématique ne sont pas si éloignées l'une de l'autre qu'il pourrait le paraître au premier regard...

Par ailleurs, dans la formulation du paradoxe ci-dessus, il y a confusion entre instant et moment. Certes à un instant donné, la flèche est immobile, mais un moment n'est jamais trop court pour qu'une flèche ait le temps de se déplacer ! Si la flèche peut être considérée comme « immobile » à un instant donné, par contre, entre deux instants successifs, séparés par un moment même infinitésimal, elle se déplace.

Enfin, si on va au fond des choses, même à un instant donné, la flèche n'est pas vraiment « immobile » : n'importe quel photographe sait qu'un objet en mouvement apparait sur une photo avec un certain flou dans la direction du mouvement, ce qui le distingue des objets véritablement immobiles. De même, la mécanique quantique nous dit qu'un objet en mouvement présente une certaine incertitude sur sa position (certes, cette incertitude est infinitésimale pour un objet d'une taille aussi grande et une vitesse aussi faible que celles d'une flèche, mais elle n'en existe pas moins), ce qui le distingue radicalement d'un objet au repos, et permet la poursuite du mouvement.

Zénon d'Élée

(en grec Ζήνων Zếnon), né vers -495, décédé vers -430, philosophe grec.

Surnommé par Platon le Palamède d'Elée, il fréquenta l'école de Parménide, située dans le sud de l'Italie.
Inventeur de la Dialectique (art du discours bref), il est principalement connu pour ses paradoxes qui n'eurent pas, à son époque, le retentissement mérité (il n'y a guère qu'Aristote qui tente de réfuter ces paradoxes). Cependant ces derniers, bien que peu reconnus, montrent clairement une grande clarté d'esprit chez cet homme qui fut l'un des premiers à remettre en cause la mythologie et les croyances de son époque. L'histoire actuelle de la science et de la logique en reconnaît l'importance majeure.
Le récit de la mort de Zénon, constituant un exemple de courage et de résistance face à la tyrannie, prouve qu'il ne fut pas qu'un froid logicien mais aussi un homme engagé :
« Ayant entrepris de renverser le tyran Néarque (...), il fut arrêté (...). Interrogé sur ces complices et sur les armes qu'il avait fait livrer à Lipara, il cite les noms de tous les amis du tyran, dans l'intention de l'isoler des siens. Ensuite, sous prétexte de révélations confidentielles sur certaines personnes, il mordit cruellement le tyran à l'oreille et ne lâcha prise que blessé mortellement (...). À la fin, il trancha sa propre langue avec ses dents et la lui cracha au visage ». (Diogène Laërce, Vies des philosophes illustres, IX, 26-27)
Zénon d'Élée, à qui Denys demandait en quoi consiste la supériorité de la philosophie, répondit : Dans le mépris de la mort ! et c'est avec impassibilité que, sous les coups du tyran, il confirma son propos jusqu'à la mort. (Tertullien, Apologétique, 50)

Zénon d'Elée (env. 490-430)

Zénon, disciple de Parménide, en accord avec la méthode de démonstration indirecte de son maître, a préféré défendre la doctrine de celui-ci et attaquer celle de ses rivaux, en particulier le pythagorisme. Plutôt que d'argumenter sur le fait que l'Etre est Un et immobile, il préfère exposer les contradictions qui surgiraient à affirmer que l'Etre est pluriel et mobile ; en prouvant le deuxième point il prouve le premier. La pluralité et le mouvement appartiennent au monde des apparences, à l'expérience sensible et non à la pensée logique, à la raison. Ses arguments sont appelés apories, car ils aboutissent à des contradictions en relation avec l'illimité.

L'aporie du grain – une multitude de grains font du bruit en tombant, un grain tout seul ne fait pas de bruit. Le grain est-il sonore ou non ? – utilise l'opposition entre unité et pluralité pour mettre en doute la connaissance sensible, à laquelle nous ne pouvons pas nous fier, parce qu'elle est contradictoire.
L'aporie de l'espace – l'espace n'existe pas car s'il existait il devrait être situé dans un espace, et celui-là encore dans un autre espace, et ainsi de suite – réfute le principe pythagoricien du vide, en démontrant que si un espace existait cela supposerait qu'il y ait des espaces illimités, ce qui est absurde.
Les apories contre la pluralité attaquent la doctrine pythagoricienne selon laquelle toutes les choses qui existent seraient constituées d'unités identiques et indivisibles (horos). Zénon démontre habilement que, à considérer les horos à la fois comme des unités physiques indivisibles – ayant une dimension – , arithmétiques – en tant que quantités numériques – , et géométriques – en tant que points – on parvient à des contradictions insolubles. Il est très probable que la logique de Zénon ait obligé les pythagoriciens à substituer à leur horisme mathématique un horisme physique, duquel naîtra l'atomisme.

Les apories contre le mouvement tentent de démontrer que celui-ci n'est pas pensable logiquement : on aboutit en effet à des contradictions, aussi bien si on pense que l'espace est une chose continue – les deux premières – que discontinue – les deux dernières. L'aporie de l'état affirme qu'il est impossible de parcourir une quelconque distance donnée, car tout d'abord il faudrait en parcourir la moitié, puis la moitié de cette moitié, puis la moitié de la moitié restante et ainsi de suite. Comme on le voit, Zénon utilise la dichotomie pour convertir une unité – une quelconque distance – en une multiplicité illimitée de parties. En effet, ceux qui considéraient l'espace comme continu le pensait divisible à l'infini. Zénon remarque que de ce processus sans fin dérivent immédiatement des contradictions. Zénon refuse d'admettre qu'une distance limitée puisse être conçue comme la somme d'une quantité illimitée de parties. L'aporie d'Achille et de la tortue réitère le même argument que l'aporie du stade, mais en faisant référence à deux corps en mouvement, autrement dit au mouvement relatif.
Les apories de la flèche et du défilé sont dirigées contre ceux qui considéraient que l'espace était formé d'une multiplicité d'unités invisibles juxtaposées, c'est à dire discontinu. Zénon affirme que la flèche, pendant son vol – en mouvement apparent – est en fait au repos. Pour le démontrer il décompose la distance parcourue en la multiplicité de ses positions intermédiaires de la position initiale à la position finale. Cet ensemble de positions est limité, si l'on pose que le nombre d'unités qui composent n'importe quelle distance est limité. Zénon montre donc que dans chaque position la flèche se trouve au repos. Traduit en termes modernes, plus de vingt siècles avant Daguerre et les frères Lumière, Zénon décompose, dans la chambre noire de son esprit, l'illusion du mouvement continu en la multiplicité de ses photogrammes.

L'aporie du défilé est dirigée contre ceux qui soutenaient non pas que le mouvement consistait à parcourir successivement une série de positions, aussi nombreuses que les unités indivisibles que comporte le parcours, mais qu'il consistait à passer de chaque position ou unité indivisible à la suivante. L'aporie de la flèche "déconstruit" un mouvement absolu, et celui du défilé "déconstruit" un mouvement relatif, celui de deux corps mobiles entre eux par rapport à un troisième corps fixe. Nous éviterons d'en développer l'explication car elle nous prendrait ici beaucoup de temps.

La réponse d'Aristote à Zénon dans sa "Physique" :

Le doute de Zénon, qui nie l'espace, attendu qu'il ne sait où le mettre. (...) Ainsi, il n'est pas besoin, comme le croit Zénon, de remonter à l'infini et de se perdre dans l'espace de l'espace, et l'espace de ce second espace, etc. (...) L'espace n'est ni la matière, ni la forme des choses, et qu'il en est très différent. (...)

Zénon fait un faux raisonnement : « Si toute chose, dit-il, doit toujours être soit en mouvement soit en repos, quand elle est dans un espace égal à elle-même, et si tout corps qui se déplace est toujours pendant chaque instant dans un espace égal, il s'ensuit que la flèche qui vole est immobile. » Mais c'est là une erreur, attendu que le temps n'est pas un composé d'instants, c'est-à-dire d'indivisibles, pas plus que nulle autre grandeur.

Zénon a sur le mouvement quatre raisonnements, qui ne laissent pas que d'embarrasser ceux qui tentent de les réfuter.
D'abord, il prétend prouver que le mouvement n'existe pas, attendu que le mobile passe par la moitié avant d'arriver à la fin. Nous avons réfuté ce sophisme dans nos discussions antérieures.

Le second sophisme de Zénon est celui qu'on appelle l'Achille. Il consiste à dire que jamais le plus lent, quand il est en marche, ne pourra être atteint par le plus rapide, attendu que le poursuivant doit, de toute nécessité, passer d'abord par le point d'où est parti celui qui fuit sa poursuite, et qu'ainsi le plus lent conservera constamment une certaine avance.

Ce raisonnement revient à celui de la division par deux ; et, la seule différence, c'est qu'ici l'on ne divise pas continuellement en deux la grandeur surajoutée. On tire bien de cet argument cette conclusion régulière qu'il n'est pas possible que le plus lent soit jamais atteint ; mais c'est toujours absolument la même chose que dans la division par deux, puisque de part et d'autre on conclut qu'on ne peut arriver au bout, de quelque manière qu'on partage la grandeur. Seulement, dans l'Achille, on ajoute que même le plus rapide ne pourra jamais rejoindre le plus lent ; et c'est plus pompeux et plus tragique.

La solution est donc des deux côtés nécessairement identique. Mais supposer que ce qui est en avance n'est pas rejoint., c'est là qu'est l'erreur. Sans doute tant qu'il est en avance, il n'est pas rejoint ; mais, en définitive, cependant il est rejoint, puisque Zénon doit accorder que la ligne finie est parcourue.

Voilà donc déjà deux des arguments de Zénon.

Le troisième, dont nous venons de parler à l'instant, c'est que la flèche qui vole dans les airs reste en place ; et de ce principe on tire cette conclusion que le temps est, selon Zénon, composé d'instants. Mais, en repoussant ce principe, que l'on ne concède point, il n'y a plus d'argument.

Quant au quatrième, il s'applique à des masses égales qu'on suppose se mouvoir également, par exemple, dans le stade, mais, en sens contraire, les unes partant de l'extrémité du stade et les autres du milieu ; et l'on prétend démontrer que le temps, qui n'est que la moitié, est l'égal du temps qui est le double.

Le sophisme consiste en ceci, qu'on suppose que la grandeur égale, animée de la même vitesse, se meut dans le même temps, soit relativement à la masse qui est en mouvement, soit relativement à la masse qui est en repos ; et c'est là qu'est l'erreur.

Soient, par exemple, les masses égales en repos représentées par AAAA. Soient, d'autre part, BBBB, les masses égales en nombre et en grandeur aux A, mais qui partent du milieu de la longueur des A ; soient enfin CCCC les masses égales aux autres en nombre, en grandeur, et égales aux B en vitesse, mais qui partent de l'extrémité. Le premier B est bien, en effet, au bout en même temps que le premier C, puisque le mouvement des uns et des autres est parallèle. Les C ont bien aussi dépassé tous les A ; mais les B ne sont qu'à la moitié. Donc, suivant Zénon, le temps n'est aussi que la moitié, puisque de part et d'autre c'est parfaitement égal. Mais il arrive que les B ont, en même temps, dépassé tous les C ; car le premier C et le premier B sont en même temps aux extrémités contraires, le temps pour chacun des B étant tout à fait égal à ce qu'il est pour passer _ chacun des A, si l'on en croit ce que dit Zénon, parce que tous deux arrivent dans un même temps à dépasser les A.

Telle est la théorie de Zénon ; mais elle pèche ainsi que nous l'avons dit.
Quant à la nôtre, elle ne conduit à aucune impossibilité par rapport au changement qui a lieu dans la contradiction. Par exemple, si l'on objecte que le corps qui n'est pas blanc, changeant en blanc, n'est, à un instant donné, ni l'un ni l'autre, de telle sorte qu'on ne puisse pas dire qu'il soit blanc, et qu'on ne puisse pas dire davantage qu'il ne soit pas blanc ; je réponds qu'on n'a pas besoin, pour affirmer que le corps est blanc ou qu'il n'est pas blanc, qu'il soit tout entier l'un ou l'autre ; car on dit d'une chose qu'elle est blanche ou qu'elle ne l'est pas sans qu'elle le soit tout entière, et il suffit que la plupart de ses parties, ou les plus importantes le soient. Mais ce n'est pas la même chose de ne pas être dans tel état ou de ne pas y être tout entier. Il en sera de même tout à fait pour l'être et le non-être, et pour toutes les autres oppositions par contradiction ; car il faut nécessairement que la chose soit dans l'un des opposés ; mais elle n'est pas toujours tout entière dans aucun des deux.

D'autre part, pour le cercle, pour la sphère, et en général pour tout ce qui se meut sur soi-même, on prétend bien que les corps seront en repos, attendu que ces corps et leurs parties étant durant quelque temps dans le même lien, il en résulte, par conséquent, qu'ils seront à la fois et en mouvement, et en repos.

Mais d'abord, je réponds que les parties ne sont jamais un seul moment dans le même lieu.

Puis ensuite, on peut même dire que c'est le cercle entier qui change toujours en un autre ; car la circonférence n'est pas la même, selon qu'on la prend du point A, ou du point B, ou du point C, ou de tels autres points, si ce n'est de la même manière que l'homme musicien est aussi homme, parce que sa qualité de musicien n'est qu'accidentelle. Par conséquent, une circonférence change toujours en une autre, et elle n'est jamais en repos. Il en est tout à fait de même aussi pour la sphère, et pour tous les corps qui se meuvent sur eux-mêmes.

(...)
L'indivisible ne peut avoir de mouvement, dans le sens absolu de ce mot, bien que l'indivisible puisse indirectement se mouvoir avec la chose dans laquelle il est. Démonstration de ce principe. Le temps ne se compose pas d'instants, non plus que la ligne ne se compose pas de points. L'indivisible ne se meut pas, parce qu'il n'y a pas de mouvement proprement dit dans la durée d'un instant.

Ceci démontré, nous prétendons que ce qui est sans parties ne peut avoir de mouvement, si ce n'est indirectement ; et, par exemple, l'indivisible ne se meut que par le mouvement du corps ou de la grandeur quelconque dans laquelle il est, comme une chose qui est dans un bateau et qui n'est mise en mouvement que par le mouvement du bateau même ; ou bien encore, comme la partie est mue par le mouvement du tout.

Quand je dis « Sans parties, » j'entends ce qui est indivisible sous le rapport de la quantité.

Car les mouvements des parties sont différents, selon que ces parties elles-mêmes se meuvent, ou que c'est le tout lui-même qui est en mouvement. Où l'on peut bien observer cette différence, c'est dans la sphère ; car la rapidité des parties qui sont au centre, ou des parties qui sont à la surface, ou de la sphère elle-même n'est pas identique ; et c'est bien la preuve qu'il n'y a pas un seul mouvement.

Ainsi donc, nous le répétons, ce qui est sans parties peut se mouvoir comme se meut la personne assise dans un bateau, par cela seul que le bateau est en marche. Mais en soi, ce qui est sans parties ne peut pas se mouvoir. Supposons, en effet, que le corps change de AB en BC, soit d'ailleurs qu'il change en passant d'une grandeur à une autre grandeur, soit en passant d'une forme à une autre forme, soit que ce soit par simple contradiction. Soit D le temps primitif durant lequel le corps change. Il y a nécessité que l'objet dans le temps où il change soit tout entier ou en AB ou en BC, ou qu'une de ses parties soit dans l'un, et qu'une de ses parties soit dans l'autre, puisque tout ce qui change est soumis à cette condition, ainsi que nous l'avons vu. Mais d'abord une partie de l'objet ne pourra être dans l'un et dans l'autre ; car alors l'objet serait divisible. De plus, il ne peut pas davantage être dans BC ; car alors il aura changé, et nous supposons qu'il change. Reste donc que l'objet soit dans AB, durant le temps où il change. Donc il y sera en repos ; car être en repos signifie, ainsi que nous l'avons dit, se trouver dans le même état durant quelque temps. Donc par conséquent, ce qui est sans parties ne peut ni se mouvoir, ni éprouver un changement quelconque.

Il n'y aurait qu'un seul sens où l'on pourrait dire que le corps se meut : c'est le cas où le temps se composerait d'instants ; car le corps aurait été mu, et il aurait changé toujours dans un instant, de telle sorte qu'on pourrait dire que l'objet n'est jamais actuellement en mouvement et qu'il y a toujours été. Mais nous avons antérieurement démontré que c'est là une chose impossible ; car le temps ne se compose pas plus d'instants que la ligne ne se compose de points, ni que le mouvement ne se compose de motions successives ; et, si l'on soutenait cette théorie, cela reviendrait absolument à dire que le mouvement se compose d'éléments sans parties ; par exemple, comme le temps qui se composerait d'instants, et que la grandeur se compose de points.
Une autre conséquence évidente de ceci, c'est que le point, ni aucun indivisible, ne peut avoir de mouvement. En effet, aucun corps en mouvement ne peut, dans son mouvement, parcourir un espace plus grand que lui, sans avoir préalablement parcouru un espace égal à lui-même, ou un espace plus petit. Cela posé, il est évident que le point parcourra un espace, ou plus petit que lui, ou égal à lui, avant de parcourir tout autre espace. Mais le point étant indivisible, il est bien impossible qu'il parcoure préalablement un espace plus petit que lui-même. Il parcourra donc un espace égal ; et par conséquent, la ligne sera composée de points ; car ayant un mouvement égal à lui-même, le point finira par mesurer toute la ligne. Mais si cela ne se peut pas, il ne se peut pas non plus davantage que l'indivisible soit jamais en mouvement.

Ajoutez que si tout ce qui se meut doit se mouvoir dans le temps, et que dans un instant il n'y ait aucun mouvement possible ; et si le temps est toujours divisible, il s'ensuit qu'il y aura, pour tout mobile quelconque, un temps moindre que le temps dans lequel il parcourt, en se mouvant, un espace égal à lui-même. Or, ce sera précisément le temps durant lequel il se meut, parce que le mouvement ne peut jamais avoir lieu que dans le temps. Mais il a été démontré plus haut que le temps est toujours divisible. Si donc le point se meut, il y aura un temps plus petit dans lequel son mouvement aura eu lien. Mais cela est de toute impossibilité, puisque dans un temps moindre il faut nécessairement que le mouvement soit moindre aussi ; et par conséquent, l'indivisible serait divisé en parties moindres, comme le temps lui-même serait divisé en temps.

Ainsi donc, ce qui est sans parties et est indivisible ne pourrait se mouvoir qu'a une seule condition, c'est qu'il fût possible qu'il y eût mouvement dans un instant indivisible ; car cela revient tout à fait au même, et qu'il puisse y avoir mouvement dans l'instant, et que l'indivisible puisse se mouvoir.

Mais il n'y a pas de changement qui puisse jamais être infini. Nous avons vu, en effet, que tout changement est le passage d'un état à un autre, que ce soit d'ailleurs un changement dans la contradiction, ou le changement dans les contraires.

Pour les changements par contradiction, c'est l'affirmation ou bien la négation qui est la limite ; et, par exemple, c'est l'être pour la génération des choses ; c'est le non-être pour leur destruction.
Quant aux changements par contraires, ce sont les contraires mêmes qui servent de limites, puisqu'ils sont les points extrêmes du changement.

Ainsi, les contraires sont les limites de toute espèce d'altération ; car l'altération procède toujours de certains contraires.
De même encore pour l'accroissement et la décroissance ; car, la limite de l'accroissement est l'acquisition même de la grandeur que la chose doit atteindre d'après sa nature propre ; et la limite de la décroissance est la disparition de cette même grandeur.

Mais le déplacement dans l'espace n'est pas fini et limité de cette manière ; car il ne se fait pas toujours dans les contraires. Mais comme on dit d'une chose qu'elle ne peut pas avoir été coupée de telle manière, parce qu'elle ne peut pas, en effet, l'avoir été du tout, le mot d'impossible ayant bien des acceptions diverses, ce qui est ainsi impossible ne peut pas être actuellement coupé ; et d'une manière absolue, ce qui ne peut pas être arrivé n'arrive jamais, et ce qui ne peut pas du tout changer ne change jamais en la chose dans laquelle il ne peut changer. Si donc le corps qui se déplace change en quelque chose, c'est qu'il peut avoir changé. Donc le mouvement n'est pas infini, et il ne parcourra pas une ligne infinie, puisqu'en effet il est impossible de la parcourir.

Il est donc évident qu'il n'y a pas de changement infini, en ce sens qu'il soit sans limites qui le déterminent.

Mais il faut voir s'il n'est pas possible qu'il y ait, sous le rapport du temps, un mouvement infini, un et toujours le même. Rien n'empêche, en effet, qu'il en soit ainsi, quand ce mouvement n'est pas unique, et quand, par exemple, après le déplacement, il y a altération, après l'altération accroissement, et après l'accroissement génération. De cette façon, le mouvement peut bien être perpétuel dans le temps ; mais il n'est plus unique, parce que tous ces mouvements n'ont pas un mouvement unique pour résultat. Par suite, en supposant que le mouvement soit un, il ne peut y avoir d'infini dans le temps qu'un seul mouvement ; et ce mouvement spécial est la translation circulaire.

La dichotomie et la méthode de Zénon

La dichotomie est un procédé dit par itération puisqu'il répète un grand nombre de fois la même opération. Il s'agit de prendre un segment et de considérer son milieu. Puis on prend le segment entre le premier point et le milieu et on recommence la même opération. La première remarque de Zénon à ce propos est que ce processus semble infini. En effet, on peut toujours trouver le milieu d'un segment puis le milieu du segment deux fois plus petit et ainsi de suite … Si on considère les points, on remarque qu'entre deux points, il y en a toujours un autre. Il n'y a donc pas de points qui se suivent. Donc, il est difficile de parcourir une longueur en passant par tous les points successifs. Si on considère la longueur du segment AB, on peut d'abord aller de A au milieu du segment, puis de ce milieu au milieu du segment restant et ainsi de suite. Il peut sembler qu'en allant à l'infini on aura parcouru l'ensemble du segment. D'abord la moitié de la longueur du segment puis la moitié de la moitié puis la moitié de cette nouvelle distance et ainsi de suite … Si on totalise les distances parcourues, il semble que l'on finisse par parcourir la distance entre A et B. Et pourtant, ce n'est pas le cas. On peut se dire que l'on atteindra B en répétant l'opération à l'infini. Le calcul semble confirmer cette affirmation. On additionne en effet les puissances entières de ½ depuis (½)².
La somme obtenue S = ½ + (½)² + (½)3 + (½)4 + (½)5 + …
Si on double S on obtient 1+ ½ + (½)² + (½)3 + (½)4 + …
C'est-à-dire que 2xS = 1 + S
D'où S = 1
Donc le parcours vaut finalement une fois la longueur entre A et B et on semble atteindre B on faisant cette opération à l'infini.
Zénon disait pourtant que l'on n'atteignait jamais B car il restait toujours un petit segment restant à parcourir. Son point de vue est que l'on ne pouvait pas diviser à l'infini.
Les mathématiciens ont cru s'en sortir en disant que le nombre de sauts, le nombre d'itérations était effectivement infini mais pas le temps de parcours. Cela ne suffit pas à résoudre le problème posé par Zénon. Si on veut réaliser ce parcours de A à B par cette itération, on doit répondre qu'il n'arrivera jamais à B car il restera toujours quelque chose à parcourir …
Zénon relève que l'infini est un nombre que l'on n'atteint pas. Le saut de A à B ne peut pas être considéré comme la somme infinie des sauts d'un point au milieu du segment suivant. Cette division que l'on considérait comme sans problème s'avère poser un problème philosophique plus encore que mathématique.
Mais c'est aussi un problème physique comme les scientifiques spécialistes de la Mécanique quantique l'ont montré. Comme Zénon, eux aussi ont remarqué que le tout n'est pas la somme des parties et que l'on ne peut pas diviser l'espace, le temps, le mouvement et la matière à l'infini.
La subdivision (ou l'itération) à l'infini entraîne de multiples paradoxes qui ne sont pas solubles. Ils sont logiquement absurdes.
Géométriquement, si on considère que le segment est divisible à l'infini, il est constitué de points, c'est-à-dire d'éléments qui ne sont plus divisibles parce qu'ils n'occupent aucun espace. Mais cette affirmation pose de multiples problèmes philosophiques. Si le point n'occupe aucun espace (pas un espace infiniment petit), alors un ensemble de points n'occupe aucun espace et même une infinité de points n'occupe aucun espace. D'où vient alors l'espace (la distance) occupé par un segment, et, plus encore, par une droite ?
Si on considère un segment entre A et B et son milieu M, on peut compter les points entre A et B et on va trouver par une méthode d'itération qu'il y aura autant de points entre A et B qu'entre A et M. Curieux résultat : un segment long a autant de points qu'un segment court et un segment en a autant qu'une droite. La partie a autant d'éléments qu'un ensemble qui la contient.
Les contradictions logiques sont multiples dans ces itérations à l'infini. On trouve ainsi qu'il y a autant de nombres entiers pairs que de nombres entiers en tout. Pourtant, si on compte, il y en a seulement la moitié puisqu'il y a autant de nombres pairs qu'impairs. La contradiction logique est d'autant plus forte que tout au long du calcul vers l'infini, on trouve tout le temps qu'il y a deux fois plus d'entiers que d'entiers pairs. Mais, par miracle, d'un seul coup, en arrivant à l'infini, il y aurait autant de pairs que d'entiers. Pourtant, la différence entre le nombre d'entiers et le nombre de pairs grandit sans cesse et, à la fin de l'itération, encore par miracle, cette différence qui n'a cessé de grandir serait nulle !
D'ailleurs, la relation entre les deux nombres, n des pairs et 2xn des entiers est telle qu'il s'agit de deux nombres qui, plus ils augmentent, plus leur différence augmente. Et pourtant, à l'infini, ils seraient … égaux ! L'addition à l'infini pose donc bel et bien des problèmes !

Il est remarquable que certains mathématiciens ou physiciens trouvent toujours que cela ne pose pas de problème de dire qu'il y a une infinité de segments à parcourir pour aller de A à B. Par exemple, on trouve sur le net un scientifique qui calcule les rebonds d'une boule et trouve qu'elle va s'arrêter dans un temps fini mais au bout d'un nombre infini de rebonds et qui ne trouve pas cela curieux : un nombre de rebonds sans fin ! Il conclue : la boule va s'arrêter dans temps fini et Zénon a eu tort ... Mais un nombre de rebonds sans fin cela signifie que la boule ne doit pas s'arrêter de rebondir et ne doit pas voir arriver la fin de son temps de rebonds ... s'il est exact que le temps se divise à l'infini. Le paradoxe de Zénon est donc toujours aussi fort.

Le site Matière et révolution rejoint Lampedusa qui écrit sur internet :

"il est coutume de dire que les paradoxes de Zénon d'Élée, qui sont une discussion logique du mouvement, sont résolus par les séries géométriques et/ou l'analyse infinitésimale, ce qui est faux (ainsi cet article est trompeur, la version anglaise est plus honnête). Considérons le paradoxe d'Achille. L'une de ces résolutions proposée est de dire que des séries géométriques particulières résolvent le problème techniquement, car une série infinie de termes strictement positifs peut converger vers une somme finie. Par ex. la série de terme général 1/(2)n est convergente. Cela signifie qu'à Zénon qui dit qu'il faut parcourir la moitié du chemin restant, et ensuite la moitié de ce qui reste, et ensuite la moitié encore, et donc jamais, on devrait répondre que cette série de moitiés successives (1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; ...) ne diverge pas mais converge vers un résultat fini (dans l'exemple ce sera l'unité), et Achille rattrape la tortue. Or cela ne répond pas à Zénon, pour plusieurs raisons.

La première est que cela ne nous dit pas comment actuellement on réalise une infinité de somme (on note par ailleurs que la démonstrations de la convergence de la série ne procède évidemment pas en sommant les termes) : il y a un problème car on ne construit pas le chemin, on ne fait que poser sa relative cohérence mathématique, sans dire comment on accomplit cette infinité de gestes. (à noter encore que y compris en mathématiques pures, les problématiques de la constructibilité de la solution d'un problème constituent déjà un domaine de travail et de recherche, certaines démonstrations ou résultats ne sont pas acceptés si on ne montre pas le chemin complet de la construction ; cela est par ex. une exigence de la logique dite intuitionniste).

Deuxièmement, et cela rejoint le premier point, le sens physique de la réalisation actuelle d'une infinité de gestes demeure indéterminé (car l'infini n'est pas un nombre, puisqu'un nombre est fini. On précise également qu'on ne discute pas ici des classifications encore plus générales de nombres dégagés par Cantor..). Je dis donc que le problème d'une infinité de moitiés successives renvoie au problème de la signification physique d'une infinité de moitiés. La cohérence de la divisibilité infinie en mathématique ne dit pas quel est le sens physique de la divisibilité infinie. Plus généralement, la solution géométrique "saute" le problème et présuppose le mouvement possible. Pour le signifier intuitivement, on dit que l'analyse logique parcourt silencieusement la série par un mouvement implicite déjà postulé, autrement dit elle permet une étude cinématique mais pas encore une étude dynamique fondamentale.

Toujours concernant "l'infiniment petit", Zénon prête son nom à un phénomène quantique, dit paradoxe de Zénon quantique. Une certaine littérature traite du problème. Celui-ci est approché par la notion de densité de mesure : un système quantique soumis à une succession de mesure très rapprochées n'évolue pas dans le temps (—>flèche de zénon quantique). A la limite de la densité, la mesure continuée force la survie de l'état initial du système. Cela donnera l'image de la bouilloire quantique : si je regarde avec attention ma casserole quantique, alors l'eau ne va jamais bouillir.

En résumé partiel, les paradoxes de Zénon montrent que actuellement, la logique échoue devant le mouvement. C'est la problématique du mouvement qui est discutée."

Les quatre paradoxes de Zénon

2.1 Nature de l'espace et du temps

Avant d'exposer ses quatre paradoxes, un problème ontologique se pose :

Le temps et l'espace, sont-ils continus ou composés d'atomes ?

Hypothèse continuiste

Si l'espace est continu, on peut diviser chaque grandeur en deux, indéfiniment. C'est la notion d'illimité selon la puissance d'Aristote, par opposition à l'illimité selon la quantité ou le nombre (qui suppose l'absence de limite extérieure). Zénon énonce, dans un premier temps, deux paradoxes où l'espace et le temps sont continus : la dichotomie et l'Achille.

Cependant, pour les Éléates, une chose n'existe que si elle est un existant selon les trois dimensions. Voici un extrait de la Métaphysique d'Aristote :

[...] Zénon déclare que ce qui, par son addition ou par sa soustraction, ne rend pas une chose plus grande ou plus petite, n'est pas quelque chose d'existant, étant donné qu'évidemment l'existant qui existe est une grandeur. En outre, s'il est une grandeur, il est corporel, car le corporel est un existant selon les trois dimensions. Au contraire, les autres produiront par addition un objet plus grand, s'ils sont ajoutés d'une certaine façon. Mais, ajoutés d'une autre façon, ils ne produiront aucun accroissement : tel est le cas du plan et de la ligne. Et pour ce qui est du point et de l'unité, en aucune façon, leur addition ne produit un accroissement [6].

Le point n'a donc aucune existence, puisqu'il ne rend ni plus grand, ni plus petit par addition ou soustraction, toute grandeur donnée.

De plus, la dichotomie et l'Achille montrent, outre l'impossibilité de penser le mouvement qu'il est nécessaire qu'il existe une grandeur non partagable, puisqu'il est impossible de toucher dans un temps limité un nombre illimité de parties, en les touchant chacune l'une après l'autre, et qu'il faut nécessairement que le mobile commence par effectuer un demi-parcours. Ce qui est non partageable admet donc une première moitié [7].

Hypothèse atomiste

Puisque la thèse continuiste pose le problème de l'existence des points et du mouvement, nous sommes dans l' espace composé de grandeurs indivisibles (que, plus tard, Démocrite, élève de Zénon, nommera atomes) et dans le temps composé d'instants.

Cependant, les deux arguments, la flèche et le stade, y seront tout aussi paradoxaux.

Il y a aussi une autre façon de regrouper les quatre arguments. Dans deux arguments, la dichotomie et la flèche, il ne peut y avoir de mouvement, il y a immobilité. Dans les deux autres, le mouvement existe.

Ainsi, nous pouvons schématiser cela dans le tableau suivant :
Continuisme Atomisme
Immobilité Dichotomie Flèche
Mouvement Achille Stade

2.2 Exposition des quatre paradoxes

Aristote nous rapporte les quatre arguments de Zénon dans la Physique.

Les arguments de Zénon contre le mouvement sont au nombre de quatre ; ils causent beaucoup de soucis à ceux qui veulent les résoudre [8].

Aristote, lorsqu'il cite ces arguments, a l'intention de les réfuter, aussi ne sont-ils peut-être pas donnés dans l'intention même que Zénon leur prêtait. L'interprétation de ces arguments est donc hypothétique.

2.2.1 La dichotomie

Le premier argument porte sur l'inexistence du se mouvoir, compte tenu du fait que le mobile doit d'abord parvenir à la moitié avant d'atteindre le terme de son trajet, argument que nous avons déjà discuté auparavant. [9].

La plupart des commentateurs, qu'ils soient anciens ou modernes, ont interprété ce texte comme par exemple Morris Kline :

Le premier paradoxe de Zénon établit qu'un coureur ne pourrait jamais parvenir au terme d'une course parce qu'il doit d'abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la distance qui reste, puis la moitié de la distance qui reste encore, etc. C'est pourquoi le coureur doit courir : \frac12+\frac14+\frac18+\frac116+\ldots Zénon argumentait alors de la façon suivante : le temps requis pour couvrir un nombre infini de distances doit être infini.

Je ne pense pas qu'il faille comprendre ce premier argument de cette manière. Aristote dit que le mobile doit d'abord parvenir à la moitié avant d'atteindre le terme de son trajet. Si l'on réitère le procédé, on obtient : le mobile doit d'abord parvenir à la moitié de la moitié avant d'atteindre le milieu du trajet et ainsi de suite. Ce qui donne le schéma suivant :

Nous ne sommes plus en présence de la somme \frac12+\frac14+\frac18+\ldots, mais de la somme \ldots+\frac18+\frac14+\frac12, ce qui change tout. Le mouvement ne peut commencer, ou comme le dit Aristote, le « se mouvoir » n'existe pas, car il n'y a pas de point de départ, puisque nous sommes dans le cadre d'un espace et d'un temps continus. Or, il faut nécessairement que le mobile commence par effectuer un demi-parcours, si l'on veut qu'il y ait mouvement. Dire, en plus que Zénon ne saisit pas le sens d'une somme infinie de termes est pour le moins présomptueux et me semble cacher l'ambarras dans lequel on se trouve devant cet argument. Le mouvement ne peut donc commencer. Cependant, Zénon, qui n'a jamais nié le mouvement comme phénomène, va ensuite examiner ce qui se passe lorsque l'on essaye de penser ce phénomène.

2.2.2 L'Achille

Le second argument est celui que l'on appelle l'Achille. Il consiste à dire que le plus lent à la course ne peut pas être rattrapé par le plus rapide, étant donné que le poursuivant doit nécessairement atteindre le point d'où le poursuivi est parti, de telle sorte que le plus lent doit sans cesse avoir une certaine avance. [10]

Souvent confondu avec la dichotomie, cet argument suppose donc l'existence du se mouvoir.

Achille, nous dit Zénon, ne pourra pas rattraper la tortue, car elle aura toujours une longueur d'avance

l_n=T_n-T_n-1=A_n+1-A_n

aussi petite soit-elle, ce qui est contraire à l'opinion commune, d'où paradoxe.

Ici encore, il ne sert à rien d'affirmer que la somme l_0+l_1+l_2+l_3+\ldots, cette fois-ci dans le bon sens, possède une limite finie. Le problème ne se situe pas là : à chaque étape, la tortue aura toujours une longueur d'avance et ne sera pas rattrapée !

Puisque la thèse continuiste ne permet pas de penser le mouvement, considérons l'espace comme composé d'atomes et le temps d'instants consécutifs indivisibles. Nous allons voir que les deux arguments employés dans la flèche et le stade sont tout aussi paradoxaux.

2.2.3 La flèche

Le point de vue atomiste consiste à voir l'axe du temps comme constitué d'instants indivisibles, à l'image d'un collier de perles excessivement fines et insécables.

Le troisième argument est celui dont nous venons de parler, à savoir que la flèche qui se déplace est immobile. C'est ce qui résulte du fait que l'on admet que le temps est composé d'instants. Que l'on refuse cette prémisse et le raisonnement s'écroulera.

Zénon propose un paradoxe trompeur : si un objet quelconque est en repos, lorsqu'il ne s'est pas déplacé du lieu qui est égal à ses propres dimensions, et si d'autres part cet objet qui se meut est sans cesse dans ce lieu qu'il occupe présentement, la flèche qui se déplace est immobile [11].

À chaque instant, indivisible de temps, et en particulier l'instant du départ, la flèche se trouve en un lieu égal à elle-même, immobile. Si elle était mobile, à l'instant suivant, elle se trouverait aussi dans un autre lieu, immobile. Mais comme le temps est composé d'instants, il n'y a pas de temps entre deux instants consécutifs.

Elle ne peut passer du lieu A de l'instant au lieu B de l'instant suivant . Elle ne peut donc que rester immobile en A.

2.2.4 Le stade

Voici le quatrième argument tel que l'énonce Aristote :

Le quatrième argument est celui qui fait appel à deux trains [12] formés d'une succession de masses égales et qui se croisent sur un stade, en passant, l'un comme l'autre, devant un train immobile. La queue du premier train (\Gamma) est située à l'une des extrémités du stade ; la tête de l'autre train (B) est située au milieu ; les deux trains vont à vitesse égale. Pour Zénon, la conséquence est que la moitié est égale au double. [13]

Cet argument, le plus instructif, selon Bergson [14], est, de loin, celui que tout le monde dédaigne. Est-ce parce qu'on le trouve trop simpliste ou parce qu'on ne le comprend pas, ce qui revient peut-être au même ?

Ici, il y a mouvement, mais le penser va conduire, là encore, à une contradiction.

Le stade est une métaphore. Imaginons que les masses représentent trois par trois des indivisibles consécutifs de l'espace : \Gamma_1, \Gamma_2 et \Gamma_3 sont trois indivisibles consécutifs ainsi que les trois piquets carrés et B_1, B_2 et B_3.

On compte les instants par rapport aux piquets carrés.

La Figure 1a. représente un instant, 1b. l'instant suivant.

Or, si l'on ne tient pas compte des piquets carrés, une question se pose : en quel instant, les points \Gamma_2 et B_1 se sont-ils croisées (Figure 2b.) ?

Cela doit avoir été dans l'intervalle des deux instants que nous imaginons consécutifs [15], il y a donc un autre instant entre deux instants consécutifs, ce qui est contradictoire.

Ce que Zénon traduit par « La moitié est égale au double ».

Bergson trouve instructif ce dernier paradoxe, car on y voit clairement que le temps est assimilé à de l'espace, ce qu'il considère comme la source de tous les problèmes que l'on peut rencontrer lorsque l'on travaille avec le temps.

2.3 Quelques remarques

Zénon nous montre qu'espace et temps, qu'ils soient divisibles à l'infini (continus) ou composés d'indivisibles, d'atomes, ne peuvent pas nous permettre de penser logiquement le mouvement, phénomène que tout un chacun peut constater. Ce n'est donc, pour lui, qu'une illusion.

Parménide et son disciple Zénon, sont les premiers à séparer sensible et intelligible. Zénon nous apprend à nous méfier des apparences et nous fait réfléchir sur la notion de théorie. Une théorie peut-elle tout expliquer ? Est-elle pertinente pour rendre compte des faits que nous observons ? N'y a-t-il qu'une seule théorie possible ? L'influence de Zénon sur l'évolution ultérieure de la pensée scientifique, nous dit Taton, a été immense, non seulement dans le domaine des mathématiques, mais dans celui de la physique [16].

A-t-on résolu les problèmes soulevés par ces paradoxes ? Je ne le pense pas. Mais est-ce si grave que cela ? Toute théorie est un modèle parmi d'autres de la réalité, un filet plaqué sur elle ; comme le filet, elle comporte des trous, des zones non expliquées. Depuis Gödel, nous savons que nous ne pourrons jamais tout démontrer, tout expliquer, que le filet ne peut être une bâche.

En ce qui concerne l'hypothèse continuiste, j'avoue n'avoir toujours pas compris en quoi le fait, supposé ignoré des anciens, qu'une somme infinie de termes puisse être finie, permette de résoudre ces paradoxes. Qui n'a jamais eu à répondre à la question suivante : lorsque l'on enlève le point A au segment [AB], pourquoi n'y a-t-il plus de point qui ferme le segment ? C'est en fait la même chose que la dichotomie, quel est le premier point que va toucher le mobile après son départ ? Il est donné par la limite de la somme 1-\left(\frac12+\left(\frac12\right)^2+\ldots\right), c'est le point de départ, le mobile restera donc immobile ! Zénon ne dit pas autre chose, sous une autre forme évidemment.

Quant à Achille, il ne rattrapera jamais la tortue. Elle aura toujours une longueur d'avance. Pour les sceptiques, montrons-le par récurrence :

- Au départ, l'avance de la tortue est A_0A_1

– Supposons qu'à la n^\textème étape, lorsqu'Achille est en A_n, la tortue ait une avance de A_nA_n+1 ; lorsqu'Achille sera en A_n+1, la tortue sera en A_n+2, son avance sera donc .A_n+1A_n+2\not= 0.

La tortue aura toujours une avance sur Achille !

L'hypothèse atomiste est tout aussi problématique. Que se passe-t-il entre deux instants consécutifs ? Qu'y a-t-il entre deux indivisibles consécutifs ? Comment un mobile fait-il pour sauter d'un atome à l'autre ? Quelle est la nature de ces indivisibles ?

Pour les Éléates, comme nous l'avons vu plus haut, une chose, pour exister, doit être une grandeur. Les atomes et instants, si l'on veut les penser, doivent être des grandeurs.

Voici quelques lignes que certains [17] considèrent comme parmi les seules citations textuelles de Zénon ; elles nous sont rapportées par Simplicius :

En effet, il a commencé par démontrer que : Si l'existant n'avait pas de grandeur, il n'existerait pas. Il poursuit : S'il existe, il est nécessaire que chaque existant ait une certaine grandeur, une certaine épaisseur, et qu'il ait une certaine distance de l'un par rapport à l'autre. Et le même argument vaut pour celui qui est devant lui. Car celui-ci aussi aura une grandeur, et un certain existant se trouvera devant lui. Or le dire une fois revient à le dire sans cesse. Car aucun existant n'occupera le dernier rang, et il n'est aucun existant qui n'existe pas en relation avec un autre...

Or, il ne peut y avoir qu'un nombre fini d'indivisibles dans un segment fini, car, nous dit Aristote : ... chaque fois que nous prélevons la même grandeur, nous viendrons à bout de la grandeur limitée, étant donné que toute grandeur limitée peut se trouver épuisée par la soustraction d'une quelconque grandeur finie. C'est ce que nous appelons actuellement l'axiome d'Archimède.

Zénon ne peut nous dire ce qu'il a entre deux existants, puisque c'est du non-existant. Il faut d'ailleurs plutôt voir cela comme une relation entre deux existants qu'une chose en soi.

Ces arguments peuvent nous paraître simplistes tant nous sommes habitués, en mathématiques, à considérer l'espace continu. Cependant, depuis Max Planck, les physiciens pensent que la plus petite mesure de temps à laquelle nous puissions avoir accès est de 10^-43 seconde, au-delà de cette limite les lois physiques cessent d'être valides. La Longueur de Planck, 10^-33 centimètre, serait la plus petite mesure d'espace, une frontière entre notre monde et le domaine quantique. À des échelles aussi petites, l'espace devient une sorte de bouillonnement quantique dans lequel des particules virtuelles peuvent surgir du vide pour se désintégrer aussitôt [18].
3 Annexe : quelques articles sur Zénon

Les paradoxes sont au nombre de quatre. Le paradoxe de la course à pied : Achille couvre à la vitesse uniforme d'un mètre par seconde la distance d'un kilomètre séparant le point A du point B. Considérons maintenant qu'Achille doit parcourir d'abord la moitié de la piste, parvenir au point central C, puis couvrir la moitié de la distance restante, entre C et B, et parvenir au point D.

Ce processus de division se poursuit à l'infini, puisque sans tenir compte de la longueur de plus en plus petite restant à parcourir, celle-ci peut toujours être divisée en deux parties égales. Etant donné que chaque segment fini de la piste demande un temps fini pour être parcouru et puisque nous avons affaire à un nombre infini d'intervalles finis, nous devons en conclure qu'Achille n'atteindra jamais son but. Signalons qu'il aura fallu deux mille ans aux mathématiciens pour trouver une solution à ce paradoxe. La faute de raisonnement consiste à penser que la somme d'un nombre infini d'intervalles finis d'espace et de temps doit, elle aussi, être infinie.

B. GODART WENDING, « Paradoxe », Encycl. Philo. Univers, P.U.F. Cité dans le numéro spécial SCIENCES et AVENIR : de mars 1996, « comprendre l'infini ».

Le premier des paradoxes de Zénon d'Elée met en scène le Grec Achille, universellement célèbre à l'époque (500 av. J.-C.) pour sa rapidité à la course. Or, imaginons qu'Achille ait à parcourir 100 m à la vitesse uniforme de 10 m/s (soit 36 km/h). Il lui faut d'abord, disait Zénon, franchir la moitié de cette distance, puis la moitié de la distance restante, puis la moitié suivante, et ainsi de suite.

Ce processus peut être poursuivi indéfiniment, puisque la longueur restant à parcourir, bien que de plus en plus petite, peut toujours être divisée en deux parties égales. De plus, chaque segment ainsi défini demande un temps fini pour être parcouru. Donc, concluait Zénon, puisque Achille doit franchir un nombre infini d'intervalles finis, il n'atteindra jamais son but.

Théoriquement, le raisonnement semblait parfaitement juste. Pratiquement, il était immédiatement contredit par l'expérience. Or, il faudra 2000 ans pour comprendre que ce raisonnement était faux : le point erroné dans le paradoxe du philosophe antique se trouvait dans l'idée que la somme d'un nombre infini d'intervalles finis d'espace ou de temps devait obligatoirement être infinie.

Renaud de la TAILLE, dans Science & Vie, 943 d'avril 1996, p136.

Valerio Scarani

dans "Initiation à la physique quantique" :

Zénon d'Elée avec ses sophismes (Achille et la tortue, la flèche immobile) avait déjà montré que la divisibilité à l'infini du continu abolit le mouvement et qu'un point sans dimension n'a aucune existence. Le caractère discontinu, fini, des phénomènes est une condition de l'existence elle-même ("Il est nécessaire que chaque existant ait une certaine grandeur, une certaine épaisseur, et qu'il y ait une certaine distance de l'un par rapport à l'autre"). L'infini est le signe qu'on a quitté la physique. Une physique entièrement continue est donc bien contradictoire.

Communication Afscet au Moulin d'Andé, 8-9 juin 2002

Modélisation mathématique de l'évolution : du continu classique au discret quantique.

Résumé.

Dans cette contribution, nous proposons d'évoquer divers points de la modélisation mathématique des processus d'évolution, en gardant en mémoire les aspects historiques et la lente évolution des idées. Nous évoquons un paradoxe entre les approches continues et discrètes, sa résolution par le calcul infinitésimal et les équations différentielles, approchées par la technologie moderne avec des schémas numériques discrets. La notion moderne de chaos est issue de cette approche déterministe et est associée aux grandes variations de solutions d'équations par perturbation de certains paramètres. Cette incertitude de fait s'oppose à l'incertitude inhérente au modèle quantique, efficace pour la description des petites échelles de la Nature, où les relations d'incertitude induisent des fluctuations permanentes qui rendent une évolution toujours potentielle.

1) Paradoxe entre le continu et le discret.

Rappelons que la description du mouvement comme un processus d'évolution temporelle a d'abord donné lieu à une situation paradoxale décrite par Zénon d'Elée au cinquième siècle avant Jésus Christ ; bien qu'Achille aille plus vite que la tortue, il ne la rattrape pas ! En effet, pour parcourir la moitié de la distance qui le sépare de la tortue, Achille met un certain temps. Mais durant ce temps-là, la tortue a avancé ! Il en est de même pour la distance suivante : le temps qu'Achille en parcoure la moitié, la tortue s'est encore déplacée... Donc, pour Zénon, Achille ne peut pas rattraper la tortue.
2) Equations différentielles ordinaires.

Cette contradiction est levée par la remarque suivante. La somme des intervalles de temps qui est considérée par Zénon peut s'écrire sous la forme : un demi, plus un quart, plus un huitième, plus et caetera. Cette somme comporte une infinité de termes mais il s'agit bien d'une somme finie ! On manipule en fait une série convergente'', une limite mathématique qui est un objet caractéristique du calcul infinitésimal, inventé par Newton et Leibniz au dix-septième siècle.

Cette constitution de l'analyse mathématique, du calcul sur des grandeurs infiniment petites, ouvre la voie des équations différentielles, dites ordinaires' depuis l'ouvrage d'Arnold dans les années 1960. Ce méta-modèle permet une réelle universalité trans-disciplinaire ; il permet par exemple de décrire un système mécanique simple comme une masse et un ressort, un circuit électrique, ou bien l'ensemble d'un satellite. Nous pouvons l'illustrer ici par le système des proies et des prédateurs proposé par Volterra et Lotka à la fin du dix-neuvième siècle. La présence de termes non linéaires qui prennent en compte de réelles inter-actions entre les acteurs du système conduit à uncycle limite, une oscillation auto-entretenue d'origine parfaitement non banale. Inutile de rappeler l'universalité de l'approche mathématique : une fois le phénomène modélisé avec un jeu d'équations, il peut se transcrire d'une discipline à l'autre...

3) Schémas numériques.

On retrouve les mathématiques discrètes si on essaie de calculer numérique-ment la solution approchée d'un système dynamique, i.e. de l'ensemble de deux équations formé d'une part d'une équation différentielle qui décrit l'évolution au cours du temps, et d'autre part d'une condition initiale. Au dix-huitième siècle, Euler propose d'introduire un quantum de temps, un (petit) intervalle Dt , et de chercher une valeur approchée du système pour des multiples entiers de ce Dt. Au début du vingtième siècle, Runge et Kutta ont généralisé cette démarche pour construire des algorithmes utilisés tous les jours par les ingénieurs du vingt et unième.

Ces problèmes de discrétisation sont au coeur des approches modernes qui utilisent les ordinateurs pour effectuer des calculs numériques. Une calculatrice électronique implémente un algorithme, qui est la trace discrète de l'équation différentielle du modèle continu, après l'étape cruciale de discrétisation, c'est à dire le passage d'un univers mathématique continu à un cadre discret paramétré par les nombres entiers, lequel définit un nouveau modèle, purement numérique. Cette étape contient de réelles difficultés mathématiques cachées entre la modéli-sation mathématique et la mise en oeuvre sur ordinateur, à savoir la stabilité, phénomène mathématique étudié au milieu du vingtième siècle par Von Neumann et Lax. Seuls les schémas numériques stables sont utilisables dans un ordinateur.

4) Chaos.

Le chaos peut surgir des équations différentielles. C'est une grande décou-verte des années 1960, due au météorologue E. Lorenz et au mathématicien David Ruelle. Pour des systèmesbien choisis'' d'équations différentielles, une petite perturbation des conditions initiales comme le mouvement d'une mouette'', selon Lorenz, entraîne après un temps fini un écart sur la solution du système qui est de l'ordre de grandeur de la taille de l'espace de configuration explorable. La prédiction du mouvement est impossible du point de vue pratique et algorithmique ; une discrétisation assez précise du système est trop complexe et coûterait trop cher pour assurer une prédiction correcte. On a une phénoménologie analogue avec des systèmes purement discrets et l'attracteur de Hénon (1976) en est un exemple.

Ce chaos surgi dessystèmes déterministes les plus classiques n'est pas restreint aux modèles purement abstraits. En cherchant des méthodes de prévision du mouvement des planètes du système solaire sur de très longues périodes de temps, Jacques Laskar a découvert en 1995 que ce problème n'a pas de solution ! Si le mouvement des grosses planètes (Jupiter, Saturne) est stable et possible à déterminer dans un futur même très lointain, le mouvement des planètes intérieures (Mercure, Vénus, la Terre et Mars) est chaotique sur des périodes de l'ordre du million d'années, ce qui est très peu comparé à l'âge du système solaire, de l'ordre du milliard d'années.

5) Mécanique quantique.

A petite échelle, disons le milliardième de mètre, ce qui constitue une dimension caractéristique de l'atome, on ne peut plus parler de mouvement continu, concept qui conduirait à des paradoxes pour le rayonnement électromagné-tique au sein de l'atome, en contradiction avec les observations expérimentales. On peut mettre en évidence au contraire des raies d'émission de grains de lumière'', hypothèse du photon formulée par Einstein qui lui valut le prix Nobel au début du vingtième siècle. Suite à ce choc conceptuel de la physique quantique, les physiciens sont devenus très modestes dans leur approche de la description du monde. Pour Heisenberg, la physique est simplement l'étude de nos rapports avec la Nature. En effet, l'observation, la mesure, perturbent fondamentalement le monde microscopique que l'on cherche à observer, et on n'a pas accès à la réalité en dehors de mesures perturbantes.

Ainsi, la théorie quantique de Bohr et l'ensemble de l'école de Copenhague, propose simplement de déterminer une densité de probabilité de présence d'un objet élémentaire'' pour toute position possible. L'outil mathématique est la fonction d'onde proposée initialement par De Broglie, qui suit une évolution à la fois continue et discrète ! Si on n'observe pas le système quantique, il suit l'évolution proposée par l'équation de Schrödinger (1930), version quantique de la conservation de l'énergie. Si on effectue une mesure physique, il y a réduction du paquet d'ondes'', qu'on peut interpréter comme une localisation du système observé dans un état particulier, ou une projection mathématique dans un espace de Hilbert sur un mode propre de l'appareil de mesure.
Il est étonnant de constater que ce cadre conceptuel très peu satisfaisant fournit des prédictions numériques remarquables, comme par exemple les seize chiffres significatifs de la constante de structure fine'' (environ un divisé par cent trente sept) qui caractérise la force de l'interaction électromagnétique. De plus, cette réduction du paquet d'onde peut avoir des effets non locaux en espace. L'expérience d'Alain Aspect (1980) a montré qu'avec une vision classique de l'espace, la propagation d'une éventuelle information entre les constituants disjoints d'un même être quantique s'effectue à une célérité qui peut être supérieure à celle de la lumière !

6) Relations d'incertitude.

Cette réalité quantique, ou plutôt cet incertain sur ce qu'est la réalité du monde à petite échelle, doit nous faire remettre en cause des phrases aussi simples que ``Achille est à un point précis d'Athènes et rattrape la tortue à la vitesse exacte de trente kilomètres par heure''. Les relations d'incertitude de Heisenberg montrent qu'on ne peut mesurer avec une précision arbitraire à la fois la position et l'impulsion d'un objet quantique. Une conséquence fondamentale est que l'équilibre statique, l'immobilisme est impossible aux petites échelles de la Nature. Le quantum d'action, la constante h proposée par Planck dès la fin du dix-neuvième siècle, est toujours présente pour mesurer l'incertitude fondamentale entre la position et la vitesse, même pour les états les plus stables. Il introduit des fluctuations permanentes, des mouvements infinitésimaux nécessaires, qui rendent une évolution toujours potentielle.

François Dubois, 20 juin 2002, édition août 2002.

Modernité des paradoxes de Zénon

auteur : xantox, 16 janvier 2007 in Philosophie

Il y a deux façons d'interpréter les paradoxes de Zénon d'Elée (ca. 470 av. J.C.).1

La première est qu'il ne nie pas le mouvement, mais plutôt conteste sa continuité, qui est ce qui amène aux paradoxes. En ce sens, on peut considérer que Zénon souffre d'une forme de difficulté technique, et que le problème peut aujourd'hui être résolu facilement grâce au calcul infinitesimal ou en considérant la somme convergente d'une série géometrique. Cette interprétation est toutefois réductrice, en cela qu'elle postule arbitrairement l'existence du mouvement et se concentre sur le seul argument technique de la cohérence de la continuité, qui est bien un problème mathématique et non pas physique ou philosophique. Il faut noter ici qu'on ne peut pas vraiment prouver que Zénon ait voulu contredire que la somme d'une série infinie puisse être finie, la mention “temps fini” qui apparaît dans la transcription des paradoxes2 pourrait être une interprétation d'Aristote.

La deuxième interprétation est que Zénon nie fondamentalement le mouvement, dans le sens ultramoderne de Parmenide, pour qui tout changement est illusoire et le monde est statique et éternel. Il ne nie pas l'apparence du mouvement, mais sa réalité. Les paradoxes se manifestent alors plus en profondeur, par la comparaison entre le phénomène du mouvement et sa disparition impliquée par l'analyse approfondie de son modèle : qu'il soit continu (dichotomie) ou qu'il soit discontinu (flèche). La question posée devient alors une question purement physique, dont la réponse doit s'inscrire dans une théorie physique : pourquoi l'expérience du mouvement si le mouvement apparaît logiquement impossible ?

Dans le modèle continu classique, la flèche doit assumer une infinité d'états pour parcourir la distance entre deux points. Si une telle séparation infinie entre chaque couple d'événements, modelisée par l'absence de successeur d'un nombre réel, équivaut ou non à leur isolement physique, est une question physique, sur un même plan de raisonnement que les idées sur la ‘catastrophe ultraviolette' qui amenèrent à la mécanique quantique.3 Si la divisibilité infinie est mathématiquement cohérente, elle n'est pas nécessairement physiquement significative (cfr aussi le paradoxe de Banach-Tarski).4 Cette image change avec la mécanique quantique puisque, selon le principe de Heisenberg, une particule en mouvement déterminé n'a pas de position déterminée. On peut également noter avec intérêt que Zénon prête son nom à un effet quantique décrit par le théorème de Misra-Sudarshan :5 si l'on observe continuellement si une ‘flèche quantique' a quitté la région d'espace qu'elle occupe, elle ne quittera effectivement jamais cette région par l'effet de l'observation elle-même.

Dans un modèle discret (paradoxe de la flèche), l'argument de Zénon est encore plus fort, et il est même reformulé en gravitation quantique à boucles, où le temps est considéré une variable de pure jauge, ce qui implique son inexistence fondamentale.6

1. • DICHOTOMIE : Le mouvement est impossible, car avant d'arriver à destination, ce qui se meut doit d'abord arriver au milieu, et ainsi de suite ad infinitum.
• ACHILLE : La tortue plue lente ne peut pas être rattrapée par le plus rapide Achille, car il doit d'abord aller au point où la tortue était, et entretemps elle aura déjà quitté ce point, et ainsi de suite ad infinitum.
• LA FLECHE : Une flèche lancée avec un arc occupe un espace égal à lui même au repos, et lorsqu'elle est en mouvement elle occupe toujours cet espace à chaque instant, la flèche en vol est donc immobile. [↩]
2. Aristote, “Physique”, VI:9 [↩]
3. A. Einstein, “Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt” (”On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light“), Annalen Der Physik (1905) [↩]
4. S. Banach, A. Tarski, “Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes”, Fundamenta Mathematicae, 6, 244-277 (1924) [↩]
5. B. Misra, E. C. G. Sudarshan, “The Zeno's paradox in quantum theory“, Journal of Mathematical Physics, 18, 4, 756-763 (1977) [↩]
6. J. Barbour, “The end of time“, Oxford University Press (2001) [↩]

NOTE SUR LA PARADOXE DE BANACH-TARSKI :

Le paradoxe affirme que l'on peut multiplier les petits pois ou transformer une grenouille en quelque chose de plus gros que le bœuf dès l'instant qu'on passe par une étape où elle est coupée en morceaux non mesurables, où le volume perd son sens. Par la suite, on peut réassembler ces morceaux en un objet « plus gros » sans avoir à dire que la grenouille et le bœuf ont le même volume puisque le volume du résultat n'est pas la somme des volumes des morceaux.

Ce paradoxe a été assez longtemps source d'une rupture entre les mathématiques et la physique, certains y voyaient la preuve que les mathématiques étaient incapables de décrire la nature. En pratique, une telle transformation est impossible avec des objets de la vie courante : elle nécessite des coupures infiniment fines, ce qui est physiquement impossible, à cause de la taille finie des atomes.

UN AUTRE COMMENTAIRE DE MATHEMATICIENS :

Travaux :
Les quatre paradoxes les plus réputés sont la dichotomie, l'Achille, la flèche et le stade :
1. La dichotomie : le mouvement est impossible car avant que l'objet en mouvement ne puisse atteindre sa destination, il doit d'abord atteindre la moité de son parcous, mais avant d'en atteindre la moité, il doit d'abord en atteindre le quart, mails il lui faut d'abord en atteindre le huitième, etc. Ainsi le mouvement ne peut meme jamais commencer.
2. L'Achille : Achille en pleine course ne pourra jamais rattraper une tortue marchant devant lui car il devra avant tout atteindre le point de départ de cette dernière. Or quand il aura atteint ce point, la tortue aura avancé ; il lui faudra alors atteindre sa nouvelle position, et lorsqu'il aura atteinte la tortue aura de nouveau avancé, etc. La Tortue sera donc toujours en tète.
3. La flèche : Le temps se décompose en instants, qui sont indivisibles. Une flèche est soit en mouvement soit au repos. Une flèche ne peut etre en mouvement car pour qu'elle soit, il faudrait qu'elle soit à une position donnée au début d'un instant, puis à une autre à la fin du meme instant. Ce qui revient à dire que les instants sont divisibles, ce qui est contradictoire. La flèche n'est donc jamais en mouvement.
4. Le stade : La moitié d'une durée donnée est égale au double de la meme durée. Démonstration :

première position :
0 0 0 (a)
0 0 0 (b)
0 0 0 (c)

seconde position :
0 0 0 (a)
0 0 0 (b)
0 0 0 (c)

Considérons les trois rangées ci dessus : ils sont placés au départ dans la première position. La rangée a reste immobile tandis que les rangées b et c bougent à la meme vitesse dans des directions opposées. Lorsqu'elles arrivent àà la seconde position, chaque 0 de b a franchi deux fois plus de 0 c que de 0 a. La rangée b a donc mis deux fois plus de temps à franchir la rangée a qu'elle en a mis à franchir la rangée c. Cependant, le temps mis par les rangées b et c à atteindre la position de la rangée a est le meme. D'ou le paradoxe.

Bien que ces démonstrations semblent illogiques, elles n'en demeurent pas moins ardues à réfuter. Elles ont donc posé de sérieux problèmes mathématiques. Pour les mathématiciens grecs, qui n'avaient aucune notion de convergence ou d'infinité ces raisonnement étaient incompréhensibles. Aristote les qualifia de fallacieux, sans pour autant se justifier, et ils furent ignorés pendant 2500 ans. Cependant, ils furent étudiés durant notre siècle par les mathématiciens Bertrand Russell et Lewis Caroll. Aujourd'hui, grace à des outils tels les suites convergentes et les théories de Cantor sur les séries infinies, ces paradoxes peuvent etre expliquées de manière satisfaisante. cependant le débat sur la validité de ces paradoxes et de leur rationnalisation se poursuit encore de nos jours.

Sources :
Bell, E.T.Men of mathematics. New York : Simon and Shuster, Inc, 1937
Healh, Sir Thomas. A history of Greek mathematics. Oxford : Clarendon Press, 1921
Ross, Donald A. "Zeno of Elea" Encyclopedia of World Biography. New York : McGraw-Hill, Inc, 1973
Salmon, Wesley C. Zeno's Paradoxes. New York : The Bobbs-Merrill Company, Inc, 1970
Sherwood, John C. "Zeno of Elea" Great Lives from History. Englewood Cliffs, NJ : Salem Press, 1985

LES PARADOXES EXPOSES PAR L'APMEP

Les paradoxes de Zénon
Michel Fréchet

- 23 août 2006 -

Lors de journées de la régionale de Haute Normandie, j'avais animé, avec un collègue philosophe, un atelier sur les paradoxes de Zenon. Nous avions débuté par la lecture des différents articles donnés en annexe (chapitre 3). Constatant qu'une certaine confusion règnait, nous avons ensuite exposé et tenté d'expliquer ces fameux paradoxes, qui ressortent, chaque fois qu'il est question d'infini.

1 Qui était Zénon ?
Nous ne savons rien directement de Zénon, nous le connaissons comme personnage du Parménide de Platon, et au travers de différents commentaires de Diogène Laërce, Plutarque, et Aristote.

Zénon (490, 425) vécut dans l'ancienne Hyélé, appelée plus tard Élée, petite colonie phocéenne.

Pour Platon, Zénon d'Élée, élève de Parmenide, [est un] philosophe expert en sciences naturelles et [un] authentique homme politique [1].

Aristote, quant à lui, considère Zénon comme l'inventeur de la dialectique tout comme Empédocle l'est de la rhétorique [2].

Plus près de nous, Russell tient Zénon pour « le fondateur de la philosophie de l'infini » et estime ses arguments subtils et profonds au-delà de toute mesure [3].

1.1 Zénon, homme politique

Zénon, ardent défenseur de la liberté, tenta de renverser le tyran Néarque. Arrêté, il supporta la douleur d'un interrogatoire musclé : Puissé-je être, aurait-il dit, aussi maître de mon corps que de ma langue.

Sommé de donner les noms de ses complices, il cita alors, pour se venger, les noms de tous les amis du tyran et lorsque ce dernier lui demanda s'il n'avait oublié personne, Zénon lui répondit : « Si, toi, le fléau de l'État ». Se tournant ensuite vers le peuple : « Vraiment, votre lâcheté m'étonne : comment pouvez-vous, voyant ce que j'endure, supporter l'esclavage de ce tyran ? » Mais ce n'est que lorsqu'il trancha sa propre langue pour la cracher au visage du tyran que les citoyens se révoltèrent et lapidèrent Nearque.

Cette version dûe à Diogène Laërce et de Diodore de Sicile n'est pas la seule concernant la fin héroïque et tragique de Zénon. Pour ceux que cela intéresse, il faut se reporter à (1).

1.2 Zénon, philosophe

À son sujet, Timon déclare :

La grande force inépuisable de Zénon

À la langue pendue pour le pour et le contre,

Capable de lutter contre toute doctrine,(...)

Diogène Laërce

Quant au Palamède d'Elée, ne savons-nous pas qu'il possédait une technique dialectique capable de donner à ses auditeurs l'impression que les mêmes choses étaient à la fois semblables et non semblables, unes et multiples, en repos et en mouvement ?

Platon

Zénon fut l'élève de Parménide. Ce dernier proclame que « l'Être est et le Non Être n'est pas » [4]. Pour Parménide, tout recours au mouvement et au changement doit être proscrit, car « jamais [l'Être] n'était ni ne sera, puisqu'il est maintenant tout entier à la fois un et contigu à lui-même. » Il est donc impossible de penser le devenir sans contradictions irréductibles.

D'après Élias, Zénon, pour soutenir la thèse de son propre maître qui pensait que l'Être est immobile, établit au moyen de cinq arguments que l'Être est immobile. C'est alors que, dans l'incapacité de répliquer, Antisthène le Cynique se leva et se mit à marcher, pensant que la démonstration au moyen de l'évidence sensible avait plus de force que n'importe quel argument contraire recourant à des arguments. [5] Antisthène croyait que son acte suffirait à détruire des arguments théoriques. Or, justement, c'est cette impossibilité à penser de façon cohérente une théorie du mouvement que Zénon voulait démontrer. Pour lui, le mouvement n'est qu'un phénomène. N'étant pas pensable, le mouvement ne peut pas appartenir à l'Être, car ce qui ne peut être pensé ne peut faire partie de l'Être.

Quatre arguments de Zénon nous sont parvenus : la dichotomie, l'Achille, la flèche et le stade.

2 Les quatre paradoxes de Zénon
2.1 Nature de l'espace et du temps

Avant d'exposer ses quatre paradoxes, un problème ontologique se pose :

Le temps et l'espace, sont-ils continus ou composés d'atomes ?

Hypothèse continuiste

Si l'espace est continu, on peut diviser chaque grandeur en deux, indéfiniment. C'est la notion d'illimité selon la puissance d'Aristote, par opposition à l'illimité selon la quantité ou le nombre (qui suppose l'absence de limite extérieure). Zénon énonce, dans un premier temps, deux paradoxes où l'espace et le temps sont continus : la dichotomie et l'Achille.

Cependant, pour les Éléates, une chose n'existe que si elle est un existant selon les trois dimensions. Voici un extrait de la Métaphysique d'Aristote :

[...] Zénon déclare que ce qui, par son addition ou par sa soustraction, ne rend pas une chose plus grande ou plus petite, n'est pas quelque chose d'existant, étant donné qu'évidemment l'existant qui existe est une grandeur. En outre, s'il est une grandeur, il est corporel, car le corporel est un existant selon les trois dimensions. Au contraire, les autres produiront par addition un objet plus grand, s'ils sont ajoutés d'une certaine façon. Mais, ajoutés d'une autre façon, ils ne produiront aucun accroissement : tel est le cas du plan et de la ligne. Et pour ce qui est du point et de l'unité, en aucune façon, leur addition ne produit un accroissement [6].

Le point n'a donc aucune existence, puisqu'il ne rend ni plus grand, ni plus petit par addition ou soustraction, toute grandeur donnée.

De plus, la dichotomie et l'Achille montrent, outre l'impossibilité de penser le mouvement qu'il est nécessaire qu'il existe une grandeur non partagable, puisqu'il est impossible de toucher dans un temps limité un nombre illimité de parties, en les touchant chacune l'une après l'autre, et qu'il faut nécessairement que le mobile commence par effectuer un demi-parcours. Ce qui est non partageable admet donc une première moitié [7].

Hypothèse atomiste

Puisque la thèse continuiste pose le problème de l'existence des points et du mouvement, nous sommes dans l' espace composé de grandeurs indivisibles (que, plus tard, Démocrite, élève de Zénon, nommera atomes) et dans le temps composé d'instants.

Cependant, les deux arguments, la flèche et le stade, y seront tout aussi paradoxaux.

Il y a aussi une autre façon de regrouper les quatre arguments. Dans deux arguments, la dichotomie et la flèche, il ne peut y avoir de mouvement, il y a immobilité. Dans les deux autres, le mouvement existe.

Ainsi, nous pouvons schématiser cela dans le tableau suivant :

Continuisme Atomisme
Immobilité Dichotomie Flèche
Mouvement Achille Stade

2.2 Exposition des quatre paradoxes

Aristote nous rapporte les quatre arguments de Zénon dans la Physique.

Les arguments de Zénon contre le mouvement sont au nombre de quatre ; ils causent beaucoup de soucis à ceux qui veulent les résoudre [8].

Aristote, lorsqu'il cite ces arguments, a l'intention de les réfuter, aussi ne sont-ils peut-être pas donnés dans l'intention même que Zénon leur prêtait. L'interprétation de ces arguments est donc hypothétique.

2.2.1 La dichotomie

Le premier argument porte sur l'inexistence du se mouvoir, compte tenu du fait que le mobile doit d'abord parvenir à la moitié avant d'atteindre le terme de son trajet, argument que nous avons déjà discuté auparavant. [9].

La plupart des commentateurs, qu'ils soient anciens ou modernes, ont interprété ce texte comme par exemple Morris Kline :

Le premier paradoxe de Zénon établit qu'un coureur ne pourrait jamais parvenir au terme d'une course parce qu'il doit d'abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la distance qui reste, puis la moitié de la distance qui reste encore, etc. C'est pourquoi le coureur doit courir : Zénon argumentait alors de la façon suivante : le temps requis pour couvrir un nombre infini de distances doit être infini.

Je ne pense pas qu'il faille comprendre ce premier argument de cette manière. Aristote dit que le mobile doit d'abord parvenir à la moitié avant d'atteindre le terme de son trajet. Si l'on réitère le procédé, on obtient : le mobile doit d'abord parvenir à la moitié de la moitié avant d'atteindre le milieu du trajet et ainsi de suite. Ce qui donne le schéma suivant :

Nous ne sommes plus en présence de la somme , mais de la somme , ce qui change tout. Le mouvement ne peut commencer, ou comme le dit Aristote, le « se mouvoir » n'existe pas, car il n'y a pas de point de départ, puisque nous sommes dans le cadre d'un espace et d'un temps continus. Or, il faut nécessairement que le mobile commence par effectuer un demi-parcours, si l'on veut qu'il y ait mouvement. Dire, en plus que Zénon ne saisit pas le sens d'une somme infinie de termes est pour le moins présomptueux et me semble cacher l'ambarras dans lequel on se trouve devant cet argument. Le mouvement ne peut donc commencer. Cependant, Zénon, qui n'a jamais nié le mouvement comme phénomène, va ensuite examiner ce qui se passe lorsque l'on essaye de penser ce phénomène.

2.2.2 L'Achille

Le second argument est celui que l'on appelle l'Achille. Il consiste à dire que le plus lent à la course ne peut pas être rattrapé par le plus rapide, étant donné que le poursuivant doit nécessairement atteindre le point d'où le poursuivi est parti, de telle sorte que le plus lent doit sans cesse avoir une certaine avance. [10]

Souvent confondu avec la dichotomie, cet argument suppose donc l'existence du se mouvoir.

Achille, nous dit Zénon, ne pourra pas rattraper la tortue, car elle aura toujours une longueur d'avance

aussi petite soit-elle, ce qui est contraire à l'opinion commune, d'où paradoxe.

Ici encore, il ne sert à rien d'affirmer que la somme , cette fois-ci dans le bon sens, possède une limite finie. Le problème ne se situe pas là : à chaque étape, la tortue aura toujours une longueur d'avance et ne sera pas rattrapée !

Puisque la thèse continuiste ne permet pas de penser le mouvement, considérons l'espace comme composé d'atomes et le temps d'instants consécutifs indivisibles. Nous allons voir que les deux arguments employés dans la flèche et le stade sont tout aussi paradoxaux.

2.2.3 La flèche

Le point de vue atomiste consiste à voir l'axe du temps comme constitué d'instants indivisibles, à l'image d'un collier de perles excessivement fines et insécables.

Le troisième argument est celui dont nous venons de parler, à savoir que la flèche qui se déplace est immobile. C'est ce qui résulte du fait que l'on admet que le temps est composé d'instants. Que l'on refuse cette prémisse et le raisonnement s'écroulera.

Zénon propose un paradoxe trompeur : si un objet quelconque est en repos, lorsqu'il ne s'est pas déplacé du lieu qui est égal à ses propres dimensions, et si d'autres part cet objet qui se meut est sans cesse dans ce lieu qu'il occupe présentement, la flèche qui se déplace est immobile [11].

À chaque instant, indivisible de temps, et en particulier l'instant du départ, la flèche se trouve en un lieu égal à elle-même, immobile. Si elle était mobile, à l'instant suivant, elle se trouverait aussi dans un autre lieu, immobile. Mais comme le temps est composé d'instants, il n'y a pas de temps entre deux instants consécutifs.

Elle ne peut passer du lieu A de l'instant au lieu B de l'instant suivant . Elle ne peut donc que rester immobile en A.

2.2.4 Le stade

Voici le quatrième argument tel que l'énonce Aristote :

Le quatrième argument est celui qui fait appel à deux trains [12] formés d'une succession de masses égales et qui se croisent sur un stade, en passant, l'un comme l'autre, devant un train immobile. La queue du premier train est située à l'une des extrémités du stade ; la tête de l'autre train est située au milieu ; les deux trains vont à vitesse égale. Pour Zénon, la conséquence est que la moitié est égale au double. [13]

Cet argument, le plus instructif, selon Bergson [14], est, de loin, celui que tout le monde dédaigne. Est-ce parce qu'on le trouve trop simpliste ou parce qu'on ne le comprend pas, ce qui revient peut-être au même ?

Ici, il y a mouvement, mais le penser va conduire, là encore, à une contradiction.

Le stade est une métaphore. Imaginons que les masses représentent trois par trois des indivisibles consécutifs de l'espace : , et sont trois indivisibles consécutifs ainsi que les trois piquets carrés et , et .

On compte les instants par rapport aux piquets carrés.

La Figure 1a. représente un instant, 1b. l'instant suivant.

Or, si l'on ne tient pas compte des piquets carrés, une question se pose : en quel instant, les points et se sont-ils croisées (Figure 2b.) ?

Cela doit avoir été dans l'intervalle des deux instants que nous imaginons consécutifs [15], il y a donc un autre instant entre deux instants consécutifs, ce qui est contradictoire.

Ce que Zénon traduit par « La moitié est égale au double ».

Bergson trouve instructif ce dernier paradoxe, car on y voit clairement que le temps est assimilé à de l'espace, ce qu'il considère comme la source de tous les problèmes que l'on peut rencontrer lorsque l'on travaille avec le temps.

2.3 Quelques remarques

Zénon nous montre qu'espace et temps, qu'ils soient divisibles à l'infini (continus) ou composés d'indivisibles, d'atomes, ne peuvent pas nous permettre de penser logiquement le mouvement, phénomène que tout un chacun peut constater. Ce n'est donc, pour lui, qu'une illusion.

Parménide et son disciple Zénon, sont les premiers à séparer sensible et intelligible. Zénon nous apprend à nous méfier des apparences et nous fait réfléchir sur la notion de théorie. Une théorie peut-elle tout expliquer ? Est-elle pertinente pour rendre compte des faits que nous observons ? N'y a-t-il qu'une seule théorie possible ? L'influence de Zénon sur l'évolution ultérieure de la pensée scientifique, nous dit Taton, a été immense, non seulement dans le domaine des mathématiques, mais dans celui de la physique [16].

A-t-on résolu les problèmes soulevés par ces paradoxes ? Je ne le pense pas. Mais est-ce si grave que cela ? Toute théorie est un modèle parmi d'autres de la réalité, un filet plaqué sur elle ; comme le filet, elle comporte des trous, des zones non expliquées. Depuis Gödel, nous savons que nous ne pourrons jamais tout démontrer, tout expliquer, que le filet ne peut être une bâche.

En ce qui concerne l'hypothèse continuiste, j'avoue n'avoir toujours pas compris en quoi le fait, supposé ignoré des anciens, qu'une somme infinie de termes puisse être finie, permette de résoudre ces paradoxes. Qui n'a jamais eu à répondre à la question suivante : lorsque l'on enlève le point A au segment [AB], pourquoi n'y a-t-il plus de point qui ferme le segment ? C'est en fait la même chose que la dichotomie, quel est le premier point que va toucher le mobile après son départ ? Il est donné par la limite de la somme , c'est le point de départ, le mobile restera donc immobile ! Zénon ne dit pas autre chose, sous une autre forme évidemment.

Quant à Achille, il ne rattrapera jamais la tortue. Elle aura toujours une longueur d'avance. Pour les sceptiques, montrons-le par récurrence :

- Au départ, l'avance de la tortue est

Supposons qu'à la étape, lorsqu'Achille est en , la tortue ait une avance de ; lorsqu'Achille sera en , la tortue sera en , son avance sera donc ..

La tortue aura toujours une avance sur Achille !

L'hypothèse atomiste est tout aussi problématique. Que se passe-t-il entre deux instants consécutifs ? Qu'y a-t-il entre deux indivisibles consécutifs ? Comment un mobile fait-il pour sauter d'un atome à l'autre ? Quelle est la nature de ces indivisibles ?

Pour les Éléates, comme nous l'avons vu plus haut, une chose, pour exister, doit être une grandeur. Les atomes et instants, si l'on veut les penser, doivent être des grandeurs.

Voici quelques lignes que certains [17] considèrent comme parmi les seules citations textuelles de Zénon ; elles nous sont rapportées par Simplicius :

En effet, il a commencé par démontrer que : Si l'existant n'avait pas de grandeur, il n'existerait pas. Il poursuit : S'il existe, il est nécessaire que chaque existant ait une certaine grandeur, une certaine épaisseur, et qu'il ait une certaine distance de l'un par rapport à l'autre. Et le même argument vaut pour celui qui est devant lui. Car celui-ci aussi aura une grandeur, et un certain existant se trouvera devant lui. Or le dire une fois revient à le dire sans cesse. Car aucun existant n'occupera le dernier rang, et il n'est aucun existant qui n'existe pas en relation avec un autre...

Or, il ne peut y avoir qu'un nombre fini d'indivisibles dans un segment fini, car, nous dit Aristote : ... chaque fois que nous prélevons la même grandeur, nous viendrons à bout de la grandeur limitée, étant donné que toute grandeur limitée peut se trouver épuisée par la soustraction d'une quelconque grandeur finie. C'est ce que nous appelons actuellement l'axiome d'Archimède.

Zénon ne peut nous dire ce qu'il a entre deux existants, puisque c'est du non-existant. Il faut d'ailleurs plutôt voir cela comme une relation entre deux existants qu'une chose en soi.

Ces arguments peuvent nous paraître simplistes tant nous sommes habitués, en mathématiques, à considérer l'espace continu. Cependant, depuis Max Planck, les physiciens pensent que la plus petite mesure de temps à laquelle nous puissions avoir accès est de seconde, au-delà de cette limite les lois physiques cessent d'être valides. La Longueur de Planck, centimètre, serait la plus petite mesure d'espace, une frontière entre notre monde et le domaine quantique. À des échelles aussi petites, l'espace devient une sorte de bouillonnement quantique dans lequel des particules virtuelles peuvent surgir du vide pour se désintégrer aussitôt [18].

3 Annexe : quelques articles sur Zénon
Les paradoxes sont au nombre de quatre. Le paradoxe de la course à pied : Achille couvre à la vitesse uniforme d'un mètre par seconde la distance d'un kilomètre séparant le point A du point B. Considérons maintenant qu'Achille doit parcourir d'abord la moitié de la piste, parvenir au point central C, puis couvrir la moitié de la distance restante, entre C et B, et parvenir au point D.

Ce processus de division se poursuit à l'infini, puisque sans tenir compte de la longueur de plus en plus petite restant à parcourir, celle-ci peut toujours être divisée en deux parties égales. Etant donné que chaque segment fini de la piste demande un temps fini pour être parcouru et puisque nous avons affaire à un nombre infini d'intervalles finis, nous devons en conclure qu'Achille n'atteindra jamais son but. Signalons qu'il aura fallu deux mille ans aux mathématiciens pour trouver une solution à ce paradoxe. La faute de raisonnement consiste à penser que la somme d'un nombre infini d'intervalles finis d'espace et de temps doit, elle aussi, être infinie.

B. GODART WENDING, « Paradoxe », Encycl. Philo. Univers, P.U.F. Cité dans le numéro spécial SCIENCES et AVENIR : de mars 1996, « comprendre l'infini ».

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Le premier des paradoxes de Zénon d'Elée met en scène le Grec Achille, universellement célèbre à l'époque (500 av. J.-C.) pour sa rapidité à la course. Or, imaginons qu'Achille ait à parcourir 100 m à la vitesse uniforme de 10 m/s (soit 36 km/h). Il lui faut d'abord, disait Zénon, franchir la moitié de cette distance, puis la moitié de la distance restante, puis la moitié suivante, et ainsi de suite.

Ce processus peut être poursuivi indéfiniment, puisque la longueur restant à parcourir, bien que de plus en plus petite, peut toujours être divisée en deux parties égales. De plus, chaque segment ainsi défini demande un temps fini pour être parcouru. Donc, concluait Zénon, puisque Achille doit franchir un nombre infini d'intervalles finis, il n'atteindra jamais son but.

Théoriquement, le raisonnement semblait parfaitement juste. Pratiquement, il était immédiatement contredit par l'expérience. Or, il faudra 2000 ans pour comprendre que ce raisonnement était faux : le point erroné dans le paradoxe du philosophe antique se trouvait dans l'idée que la somme d'un nombre infini d'intervalles finis d'espace ou de temps devait obligatoirement être infinie.

Renaud de la TAILLE, dans Science & Vie, 943 d'avril 1996, p136.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Zénon ou un autre Grec a présenté une version du paradoxe où non seulement le coureur ne parvient pas à son but, mais ne peut même pas démarrer. En effet, considérons le fait qu'Achille doive d'abord atteindre le point central C. Mais avant cela il doit atteindre le point D, situé à égale distance de A et de C, et ainsi de suite à l'infini, puisqu'il existe toujours une infinité de points entre deux points quelconques d'une même ligne continue. Donc, le coureur ne peut pas partir, car il n'y a pas de point suivant. Nous avons là encore affaire à la même série infinie, dont la limite est toujours 1.

(...)

Russell écrit à ce sujet dans son article, « Historique du problème de l'infini » : « Cet argument est essentiellement le même que le précédent [celui de la dichotomie]. Il prouve que, si jamais Achille dépasse la tortue, ce sera après un nombre infini d'instants écoulés depuis son départ. En fait, cela est vrai ; ce qui est faux, c'est l'idée qu'un nombre infini d'instants donne un temps infiniment long : et donc la conclusion qu'Achille ne dépassera jamais la tortue ne s'ensuit pas. »

Nicholas FALLETTA ; « le livre des paradoxes »

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Dans ses deux derniers paradoxes, Zénon semble tout aussi opposé à l'hypothèse adverse, savoir : que la droite n'est pas divisible jusqu'à l'infini, mais est composée d'un nombre discret de points que l'on peut dénombrer : 1, 2, 3, Nous n'indiquerons pas ces deux paradoxes dont l'intelligence est plus complexe que celle des précédents. En tout cas, ces paradoxes constituent un mur d'airain au-delà duquel il apparaît impossible de progresser. Ces difficultés, qui, il y a une soixantaine d'années, semblaient une fois pour toutes résolues, ne le sont plus aujourd'hui pour tous les mathématiciens.

Source : André DELACHET, L'analyse mathématique Collection « que sais-je ».

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
L'argument le plus explicite encore dans la dichotomie : avant de pouvoir parcourir une ligne tout entière, un mobile doit d'abord couvrir la moitié de cette ligne, puis la moitié de cette moitié, et ainsi de suite à l'infini. Zénon constitue mentalement la série , dont la somme vaut 1, mais n'arrive pas à en saisir intuitivement le contenu. Les notions modernes de limite et de convergence d'une série permettent d'affirmer qu'à partir d'un certain rang l'écart entre Achille et la tortue devient inférieur à un nombre e donné que l'on aura choisi aussi petit que l'on voudra.

A. DAHAN DAMAMDICO / J. PEIFFER, Une histoire des mathématiques.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Le premier paradoxe de Zénon établit qu'un coureur ne pourrait jamais parvenir au terme d'une course parce qu'il doit d'abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la distance qui reste, puis la moitié de la distance qui reste encore, etc. C'est pourquoi le coureur doit courir : Zénon argumentait alors de la façon suivante : le temps requis pour couvrir un nombre infini de distances doit être infini.

Une solution physique au paradoxe de Zénon qui soit en même temps la plus évidente est qu'un coureur couvrira la distance en un nombre fini de pas. Toutefois, si l'on accepte l'analyse mathématique de Zénon, le temps requis pourrait être minute minute et ainsi de suite, et la somme de tous ces nombres infinis d'intervalles de temps est juste une minute. Cette analyse diverge du processus physique mais le résultat n'en demeure pas moins.

Morris KLINE, « Mathématiques : la fin de la certitude ».

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Les deux premiers arguments (la dichotomie et l'Achille) sont plus subtils et relèvent, pour la démonstration de leur inanité (lorsqu'on les considèrent comme voulant réellement démontrer qu'Achille ne rattrapera jamais la tortue, ou que le mobile parti de A n'atteindra jamais C), du calcul infinitésimal (que ne pouvait évidemment connaître Zénon). Dans l'un et l'autre cas, les distances à parcourir pour atteindre le but sont de plus en plus petites, et, en conséquence, les temps mis pour les parcourir sont de plus en plus courts ; si l'espace est divisible à l'infini, le temps l'est également, de sorte que la distance finie pourra être parcourue en un temps fini. (...)

Dans les deux premiers arguments, il veut montrer que, si l'on admet l'infinie divisibilité de l'espace, le mouvement (par rapport à un point fixe ou par rapport à un autre mobile) est impossible : si le segment de droite est composé d'une infinité de points, il ne pourra être parcouru par un mobile en un temps fini (car le mobile n'aura jamais épuisé cette infinité de points par lesquels il doit passer avant de parvenir à l'extrémité du segment). En fait, comme on l'a dit ci-dessus, Zénon ne tient pas compte ici du fait que le temps peut-être, lui aussi, infiniment divisé, et qu'ainsi au segment de droite limité composé d'une infinité de points peut correspondre un laps de temps composé d'une infinité d'instants.

André PICHOT, « La naissance de la science, tome 2 Grèce présocratique. »

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
L'histoire des infinitésimaux (ou infiniment petits) est beaucoup moins simple que celle de leur cousin l'infini, et les considérations du style de celles de Zénon y ont joué un rôle important. Le paradoxe dit de la dichotomie s'attaque à la divisibilité infinie de l'espace. Pour qu'un objet puisse se déplacer d'une certaine distance, il doit d'abord parcourir la moitié de cette distance ; mais avant de parcourir cette moitié, il doit nécessairement en parcourir le quart, et ainsi de suite. Obligé de faire une infinité de chose dans l'ordre inverse, il est dans l'impossibilité de prendre le départ. Le scénario d'Achille et la Tortue est assez analogue. Il s'agit cette fois du bouillant Achille qui ne parvient pas à rattraper la tortue beaucoup plus lente que lui ; mais partie plus tôt ; Chaque fois qu'il atteint un emplacement où se trouvait la tortue, celle-ci a progressé pendant le déplacement d'Achille, et elle conserve ainsi une certaine avance.

(...)

Les paradoxes de Zénon sont plus subtils qu'il n'y parait, et si on les considère sous l'angle de la nature physique de l'espace-temps plutôt que sous l'angle purement mathématique, ils posent encore aujourd'hui des questions délicates. Les grecs jugèrent ces paradoxes redoutables, ce qui contribuera à les dégoutter encore plus des nombres et à se réfugier dans la géométrie.

Ian STEWART : « Les mathématiques ».

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Au ve siècle avant notre ère, dans la ville grecque d'Élée, le philosophe Zénon bute sur un grave paradoxe, la Dichotomie, quand il analyse le mouvement : pour atteindre un point donné, un mobile doit d'abord parcourir la moitié de la distance qui l'en sépare, puis la moitié de la moitié et ainsi de suite à l'infini. Comment parcourir cette infinité de moitiés en un temps fini ?

Une variante de ce paradoxe est celui d'Achille et la tortue : jamais le véloce Achille ne rattrapera une tortue car il est nécessaire que le poursuivant gagne d'abord le point d'où a pris son départ le poursuivi, en sorte qu'il est nécessaire que le plus lent, à chaque fois, ait quelque avance, explique Aristote dans la Physique.

Zénon d'Élée est aussi célèbre pour avoir posé le paradoxe de la flèche, qui affirme qu'une flèche ne peut atteindre son but. À chaque instant, la flèche se trouve à un endroit précis. Si l'instant est très court, la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Comme on peut raisonner de même pour chaque instant du parcours de la flèche, celle-ci est donc toujours immobile. E pur si muove...

Michel BLAY : Les mathématiques de l'infini, in Les génies de la science, 22, fév - mai 2005.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
References

[1] J. P. Dumont. Les écoles présocratiques. Éd. Gallimard, Coll folio essais, 1991.

[2] Galilée. Dialogues et lettres choisies. Éd. Hermann, 1966.

[3] R. Taton. La science antique et médiévale. Éd. Quadrige/P.U.F., 1994.

[4] J. P. Cléro. La notion d'infini en mathématiques dans la philosophie d'Aristote. in Cahiers pédagogiques de philosophie et d'histoire des mathématiques, Éd. IREM Rouen/CRDP Rouen.

[5] J. P. Dumont. L'infini paradoxal de Zénon d'Élée : la dialectique de l'espace et du nombre. in Histoire d'infini, Éd. IREM Brest, 1992.

[6] J. M. Nicolle. Pour son aide et son amitié.

[1] Platon, l'Alcibiade

[2] Diogène Laërce in (1)

[3] Russel, Mysticism and logic

[4] Parménide, De la nature

[5] Elias, Commentaires sur les catégories d'Aristote, 109, 6 in (1)

[6] Aristote, Métaphysique, B, IV, 1001,b 7

[7] Pseudo-Aristote, Des lignes insécables.

[8] Aristote, Physique, VI, IX, 239, b 9.

[9] Aristote, Physique, VI, IX, 239, b 9.

[10] Aristote, Physique, VI, IX, 239, b 14.

[11] Aristote, Physique, VI, IX, b 30.

[12] C'est comme cela qu'est traduit ce terme dans l'édition établie par J. -P. Dumont, du livre : Les écoles présocratiques . Là encore, l'image du collier de perles serait beaucoup plus appropriée.

[13] Aristote, Physique, VI, ix, 239, b 33.

[14] Bergson, Matière et Mémoire

[15] Russell, La méthode scientifique en philosophie

[16] Taton, La science antique et médiévale des origines à 1450

[17] Dumont, in (5)

[18] Donald Nadon,

Antoine Danchin

Jusqu'ici (1) j'ai rappelé, d'une façon certainement non dépourvue de parti pris, et avec des interprétations personnelles et modernes, trois approches différentes conduisant à la production, au souvenir ou à la découverte de la Connaissance : les milésiens inventent des modèles explicatifs cohérents, proches des phénomènes astronomiques et météorologiques, les pythagoriciens donnent plus d'importance à la sagesse immanente du Nombre (2), créateur de la Loi qui gouverne le monde, et les auteurs inspirés disent de façon prophétique un savoir qu'ils héritent soit de la Vérité elle même, soit de ses apparences, soit encore de la mémoire de leur histoire passée. Dans tous les cas se pose le problème des relations entre le monde réel et ce qu'on en perçoit. C'est peut être Empédocle qui discute le plus en profondeur la façon dont nous pouvons approcher la Vérité, par le seul canal de nos organes sensoriels. Il n'en tire cependant pas de conclusions générales sur la nature intrinsèque des choses et c'est à l'Ecole de Parménide, lui-même héritier de Pythagore et en partie de Xénophane que revient le mérite d'avoir approfondi cette dualité : que pouvons-nous dire du monde réel et de ses apparences si nous affirmons que les Lois de l'Univers doivent rester inchangées quel que soit le point d'observation choisi ?
La Grèce de l'Ouest était le berceau de la réflexion sur les propriétés arithmétiques du monde, grâce au développement de l'école ésotérique de Pythagore et de ses successeurs. Cette recherche, qui prenait ses racines dans l'antique savoir de Babylone et d'Egypte, vit son succès se répandre avec l'intérêt que suscitaient ses applications : mise en forme de l'harmonie musicale, création raisonnée des alliages métalliques et d'une métallurgie, règle des proportions en peinture, en sculpture et en architecture, mise en évidence des cycles biologiques, associés aux cycles météorologiques et astronomiques... Toute cette réflexion, répandue dans cette partie du monde grec jusqu'à l'enseignement d'Empédocle était assise sur la théorie qui voulait, tout à l'opposé de ce qu'avaient mis en place les physiciens d'Ionie, producteurs d'hypothèses et de modèles, que des prophètes privilégiés parlent à une petite élite de la vérité qu'ils ont reçue. L'originalité de Parménide et de ses successeurs fut donc de divulguer la substance de leur initiation aux mystères de la Vérité, en mettant en évidence les paradoxes soulevés par les voies proposées par leurs prédécesseurs et contemporains, pythagoriciens en particulier. Parménide naquit vers 515 dans la ville d'Elée (fondée vers 540 par des Ioniens fuyant la conquête Perse). Il composa en texte en vers, De la Nature, dans lequel il expose à usage public, sa pensée (3). Ce texte est à la fois cosmologie et épistémologie (4), l'une n'allant pas sans l'autre, et décrit les voies de la connaissance ainsi que son objet. Ces voies sont au nombre de deux, la Voie de la Vérité et la Voie des Opinions (5). La Vérité correspond à l'état intrinsèque de la nature, état totalement indépendant (objectif) de son observateur ; et l'opinion à notre perception, ou rationalisation de celle-ci.
Ce que Parménide cherche à mettre en évidence c'est, d'abord, par un raisonnement logique, les contradictions où nous conduisent nécessairement nos sens. La vérité n'est pas contradictoire (par définition) et s'il apparaît en quelque point un paradoxe c'est non pas que la vérité soit différente mais que nos sens nous font illusion. Tout être (et comme nous le verrons il existe un Etre unique et immobile pour Parménide) résulte de la fusion d'un principe moteur qui lui donne vie, esprit et pensée avec une structure matérielle.
La vérité se réduit à la suite raisonnée, dont les conséquences sont innombrables :
(i) L'Etre est, le Non-être n'est pas
(ii) L'Etre est éternel : incréé et impérissable
(iii) L'Etre est complet (global, sans membres séparés), immobile et sans fin
(iv) L'Etre est éternellement présent : il n'a ni ni passé ni avenir
(v) L'Etre est Un et continu
Ces propriétés de l'Etre sont issues de l'enchaînement logique simple suivant :
1. Ce qui est ne peut pas ne pas être
2. Commencer ou finir présuppose la non existence avant ou après, en vertu de 1. c'est impossible
3. De même le mouvement est impossible, car il suppose que l'Etre apparaisse là où il n'était pas auparavant et disparaisse là où il se trouvait.
4. Ce raisonnement appliqué à l'espace s'applique aussi au temps ; l'Etre n'a donc ni passé ni a- venir.
5. L'Etre est non divisible et homogène sinon il lui manquerait quelque chose en un point et quelqu'autre chose ailleurs ; or, s'il lui manquait quelque chose il lui man- querait tout, toujours en vertu de 1. (en effet il y aurait du Non-Etre localement, ce qui est impossible).
6. En conséquence l'Etre est continu et Un, et le vide n'existe pas.
Parménide ne va pas au delà de ces simples conséquences et, en particulier, il imagine que l'Etre n'est pas sans limites (car il possède tous les attributs, donc la limite) et l'Etre est alors identifié à la Sphère, mais pas seulement à la Sphère d'Anaximandre, dont on conçoit bien qu'elle est plongée dans quelque chose, mais une Sphère, forme pure, voisine de la Sphère immuable de l'Espace-Temps (sous réserve de l'anachronisme conceptuel correspondant).
Même demeurant dans le même, en soi-même il repose
Et ainsi reste immobile dans le même lieu, car la toute puissante nécessité
La maintient dans les liens de la limite qui enclôt son contour.

Au surplus, puisqu'il existe une ultime limite l'Etre est achevé :

De toutes parts semblable à la masse d'une sphère bien arrondie
A partir du centre identique dans toutes les directions.

Cela l'oppose explicitement à l'élément premier d'Anaximandre, infini, générateur de changement intrinsèque, alors que l'Etre de Parménide fixe la permanence éternelle. Voilà donc la voie de la Vérité ; et pourtant l'on sait bien, par l'observation courante, voir autrement :

Aussi n'est-ce que pur Nom
Tout ce que les mortels ont édicté,
persuadés qu'en cela gisait la vérité. (6)
Naître et disparaître, être ou ne pas être
Aussi bien que changer de lieu ou modifier
son éclat grâce à la couleur.

Voilà donc la voie de l'opinion, qui ne peut qu'égarer et à laquelle pourtant il est impossible d'échapper :

Alors que l'Etre est, elle enseigne le Non-être,
À l'éternité elle oppose la perpétuité, naissance et mort,
À la permanence le changement,
À l'immobilité le mouvement, au global le local,
Au présent le passé et l'avenir,
À l'unité la variété,
À l'homogène l'hétérogène et au continu le discontinu.

Et à partir de cette démesure que nous enseignent nos sens abusés nous pouvons imaginer une cosmogonie, foncièrement discontinue dans laquelle le monde est constitué d'objets distincts, d'éléments aux qualités particulières : cela donne une description du monde, empreinte d'une part de vérité et d'autre part d'opinion, assez proche de celle des milésiens (d'Anaximandre en particulier), une description de la biologie imprégnée de pythagorisme ("à droite les garçons, à gauche les filles") et la mise en évidence d'un principe attractif qui n'est pas sans rappeler Empédocle.
Ainsi la découverte majeure du chef de file de l'Ecole Eléate est la suivante : la discontinuité est une caractéristique intrinsèque de nos possibilités de perception, d'observer et de mesurer, elle sous-tend donc toutes nos représentations du monde et il nous est donc impossible de nous en affranchir ; or, dès que l'on est amené à la mettre en question par le raisonnement (du type, affirmer l'existence du Non-être est une proposition contradictoire) on est conduit à une impasse ; n'est il donc pas possible d'imaginer que la réalité, qui ne peut être contradictoire, soit continue au lieu d'être discontinue et que les apparents paradoxes issus de cette continuité essentielle ne sont que le signe de notre position biaisée d'observateurs, nécessairement astreints à ne percevoir le monde que par des éclairs, fragments séparés et disjoints, nous donnant l'illusion du discontinu. Et c'est alors l'acte humain qui consiste à nommer les choses qui est producteur de notre connaissance scientifique, avec l'inévitable erreur associée à l'opinion qui s'y attache nécessairement.
Parménide se trouve donc opposé de façon radicale à la discontinuité intrinsèque de la théorie du Nombre, chère à l'école pythagoricienne, mais aussi à la Loi héraclitéenne de l'éternel changement. Sa position majeure est de soutenir qu'il existe quelque chose de permanent, quelque chose qui se conserve et nous permet, par référence, de raisonner sur le monde. Son successeur Zénon va détailler plus clairement ce qui est criticable, et loin de la vérité, dans l'opinion qui veut que le discontinu constitue une caractéristique essentielle du monde.
Comme Parménide natif d'Elée, Zénon fut le disciple zêlé du maître. On ignore presque tout de sa vie (sauf qu'il mourut sans doute de mort violente, pour des raisons politiques) et beaucoup de son oeuvre. Il semble qu'il consacra sa réflexion à une critique détaillée des concepts de discontinu à l'oeuvre chez les disciples de l'Ecole de Crotone. Pythagoricien hétérodoxe, comme le furent tous les tenants de l'Ecole Eléate, il fut en butte à la critique de ceux-ci qui l'accusèrent de rompre le secret qui devait être la règle. Et Zénon pour se défendre prétendit qu'on lui avait volé son manuscrit, et publié, avant qu'il ait pu décider si le contenu pouvait en être divulgué. Zénon n'écrivit pas de cosmologie, et sa contribution est essentiellement due à l'invention d'une méthode : la démonstration par l'absurde. On n'en a presque rien conservé et il ne reste que trois fragments intacts où la technique de son raisonnement est remarquablement illustrée, et six thèmes, développés par Aristote et malheureusement considérablement altérés par celui-ci, qui cherchait à ridiculiser l'Eléate plutôt qu'à comprendre son point de vue.
Nous avons tous plus ou moins appris qu'il existe un argument de Zénon sur la nature du mouvement, mais rares sont ceux qui ont appris comment se posait le problème. Les pythagoriciens de l'Ecole de Crotone affirmaient que toutes choses sont composées d'entités distinctes et mesurables, et ainsi que le monde est réductible au Fini. Parmi ceux-ci, ceux qui avaient la pensée la plus élaborée, imaginaient que ces entités peuvent constituer des rapports de nombres entiers (7), mais que leur arrangement correspond à une structure réellement discontinue et de l'espace et du temps. Ce n'est qu'après les démonstrations de Zénon et la mise en évidence du principe de divisibilité à l'infini par Anaxagore, qu'Archytas utilisa le déplacement de lignes pour engendrer des formes géométriques, implicitement continues. L'argument de Zénon se développe donc en deux temps, d'abord l'énoncé d'une hypothèse conforme aux principes pythagoriciens, puis un enchaînement logique qui démontre par l'absurde que l'hypothèse ne tient pas. Comme il existait deux courants différents dans la pensée des pythagoriciens, les uns imaginant l'existence de grandeurs en unités de type arithmétique, les autres invoquant des unités infiniment petites mais non sommables à l'infini, Zénon proposa des arguments distincts pour réfuter séparément chacune de ces façons de voir. Ainsi trouve-t-on dans les arguments de Zénon deux sortes d'espace (non infiniment divisible et infiniment divisible) et deux sortes de temps (non infiniment divisible et infiniment divisible). Cela l'oblige, en les combinant deux à deux, à imaginer quatre façons de voir le monde, toutes incompatibles avec la notion de mouvement, pourtant d'observation courante. Trois nous ont été grossièrement restituées par Aristote :
a. Cas de la dichotomie (espace infiniment divisible, temps non divisible à l'infini) : un mobile doit parvenir à mi-chemin avant son terme s'il doit jamais parvenir au but ; de même, dans la moitié restante il doit d'abord atteindre la moitié, et ainsi de suite à l'infini (puisque l'espace peut se diviser infiniment en entités rationnelles). En vertu de la structure discontinue de l'espace et du temps on doit associer à chaque étape un temps minimum, correspondant à l'unité de temps, finie, la plus petite (qui existe par hypothèse). Le mobile mettra donc un temps infini (somme d'une infinité d'éléments de taille minimale finie) à parvenir au but, ce qui est contradictoire avec l'observation courante : si le mouvement existe, alors le temps et l'espace ne peuvent donc pas avoir la structure discontinue postulée initialement.
b. Achille et la tortue (espace infiniment divisible et temps infiniment divisible) : Achille et la tortue doivent parcourir le même chemin, et la tortue part la première, au moment où Achille prend son départ il doit parcourir au moins le trajet déjà effectué par la tortue pour la rattraper ; mais arrivé à ce point la tortue aura eu le temps d'avancer d'une certaine longueur, et le problème se pose à nouveau dans les mêmes termes et ainsi de suite à l'infini. Or si l'on admet la discontinuité fondamentale du temps et de l'espace, on doit supposer que la somme infinie de temps élémentaires, même infiniment petits, n'est pas finie, et par conséquent qu'Achille n'atteint pas la tortue (8), ce qui à nouveau est contraire à l'observation et implique donc que le postulat de discontinuité est à rejeter, avec les hypothèses correspondantes sur la structure fine de l'espace et du temps.
c. Argument de la flèche (espace non divisible à l'infini, temps divisible à l'infini) : si l'espace est formé d'unités distinctes et mesurables il est nécessaire que la flèche puisse sauter de l'un des intervalles au suivant (9) ; en effet la flèche occupe un espace égal à elle-même, puisqu'elle ne peut être en deux endroits en même temps (car l'espace est supposé être constitué d'entités discrètes) elle est donc au repos ; au cours de son mouvement la flèche se trouve donc immobile à chaque instant, or comme le temps est divisible à l'infini cela veut dire qu'à deux instants voisins mais distincts la flèche se trouvera au même endroit, ce qui est contraire à l'hypothèse du mouvement ; par conséquent on doit rejeter les conjectures faites sur la structure du temps et de l'espace.
d. Argument des corps en mouvement (espace non divisible à l'infini, temps non divisible à l'infini) : Zénon imagine ici une famille de masses égales se mouvant en sens contraire, à partir des deux extrémités du stade, le long de repères régulièrement espacés, correspondants aux unités spatiales distinctes. On se rend compte qu'il apparaît immédiatement un paradoxe, du fait que la vitesse apparente des corps en mouvement les uns par rapport aux autres est égale (du fait que les unités de temps sont elles aussi finies) à la vitesse de ces mêmes corps par rapport aux repères fixes, ce qui est évidemment contraire à l'observation courante. Ainsi cette structure particulière du temps et de l'espace ne semble pas plus raisonnable que les autres.
Deux derniers arguments nous ont été conservés. L'un joue sur l'enchaînement du raisonnement :
Si tout être doit se situer en un lieu, alors puisque ce lieu est lui-même un être il doit se trouver en un lieu et ainsi de suite. Cela prouve que tout être est identique à son lieu. On a certainement là l'une des premières manifestations du caractère géométrique de la logique, sur lequel je reviendrai.
Le dernier argument, considéré par certains comme puéril, paraît être l'illustration de la nécessité de définir avec précision les concepts utilisés avant de construire un raisonnement : si une certaine quantité de grain tombe en émettant un son, alors c'est qu'il existe une relation entre la masse et le son, en conséquence de quoi un seul grain, ou une fraction infime de grain, devrait tomber en émettant un son ; si l'on admet au contraire qu'il n'y a pas de relation entre le son et la masse, il existe alors une quantité minimale qui tombe sans bruit, et il suffirait alors d'ajouter une quantité infime pour que le bruit apparaisse, ce qui, par raison de symétrie (10), paraît absurde.
La conclusion des quatre paradoxes de Zénon est claire : quelles que soient les hypothèses impliquant une discontinuité du temps et de l'espace il est impossible de rendre compte du mouvement ; ces hypothèses sont donc inadéquates et il s'en suit qu'il convient d'imaginer que temps et espace sont continus. Les fragments intacts qui nous restent appliquent ce genre de méthode de démonstration par l'absurde à la structure de l'espace, et aux "unités" qui le composent, et là encore Zénon conclut à l'inadéquation inhérente au discontinu.
Pourtant le monde de Parménide ainsi justifié par l'absurdité du discontinu n'est pas exempt de paradoxes, et c'est à un troisième Eléate, Mélissos de Samos, que revient le mérite d'avoir précisé la nature de ces paradoxes.
Des rivages de l'Asie Mineure la pensée grecque s'était répandue et développée vers l'ouest en Sicile et au sud de l'Italie. Par un juste retour des choses c'est à Samos, près des côtes de l'Asie Mineure, déjà célèbre par la naissance de Pythagore, que vint finir l'école Eléate. En effet son dernier maître, et sans doute son plus profond penseur fut un amiral samien qui infligea une sévère défaite en 441-440 à la flotte de Périclès. Une telle injure à la puissance d'Athènes alors à son apogée ne pouvait rester impunie et, l'année suivante, Samos fut réduite et Mélissos disparut (peut-être fut-il tué). Plus grave, sa mémoire fut systématiquement éliminée et bientôt il ne resta presque plus rien de ses écrits - De la Nature ou De l'Etre - alors que les doxographes passèrent leur temps à le ridiculiser, plus encore que Parménide. Dans ce concert de critiques Aristote prend une place à part à cause de son animosité violente contre ce penseur original si profondément éloigné du dualisme aristotélicien : l'Etre éléate - animé, bien entendu - est Un, et surtout du reste pythagoricien qui hante le discours du Lycée et attribue au Fini les caractères de la perfection.
En effet Mélissos reprend à son compte les arguments de Parménide sur la nécessité rationnelle de penser que quelque chose (l'Etre) existe qui se conserve. Mais il y ajoute un raisonnement approprié pour se débarrasser d'une faiblesse surprenante de la théorie de Parménide : la finitude spatiale de l'Etre. L'argument de Mélissos est semblable à celui qu'avancera Archytas (cf.Pythagoriciens) et conduit à dire que l'Etre est non-limité. Mais Mélissos va beaucoup plus loin. En effet, il affirme par le raisonnement que les deux infinis, l'infini du temps et l'infini de l'espace sont nécessairement liés dans la définition de ce-qui-ne-change-pas. Il introduit donc une homogénéité dans les propriétés de ces notions premières que sont l'espace et le temps. Cette façon de voir sera écartée pendant plus de deux millénaires après les déclarations définitives d'Aristote qui affirme que la finitude est un des attributs essentiels de l'harmonie de l'espace. Et pourtant Platon, dont la célébrité et l'influence ne sont pas moindres que celles d'Aristote, adopta le mode de raisonnement de Mélissos sur l'Etre, en en reconnaissant d'ailleurs la paternité aux Eléates. Mais le dualisme de sa pensée, incompatible avec le monisme rigoureux de l'école d'Elée voua cette dernière à l'oubli. La sphéricité de l'Etre, sa perfection, son homogénéité, son immobilité sont pour Mélissos attribués à l'espace-temps. Il reprend en effet les arguments de Parménide et pousse cette fois leur logique à son terme : Rien ne naît de rien : cela implique que le temps n'est pas fini, mais tout ce qui naît a un début et une fin. Et l'on peut donc conjecturer que ce qui n'est pas né n'a pas de limites (11). Ce qui est infini dans le temps est donc aussi infini dans l'espace : L'Etre devient donc un invariant absolu, obtenu par un raisonnement et nécessaire au raisonnement, comme seule référence permettant de distinguer la cause et l'effet, l'action et la réaction. L'observation des choses, on le sait, ne révèle pas l'immuabilité de l'Etre, et aucune chose, aucun phénomène, pris isolément ne pourra jamais atteindre l'éternité et tout aura une fin : Il est en effet impossible que soit éternel ce qui n'est pas totalité. Le principe invariant est donc le Tout qui reste inchangé en quantité et en qualité :
Il n'est pas possible que son apparence se
modifie car l'univers existant
antérieurement ne peut se détruire ni celui
qui n'existe pas, naître. Puisque rien ne se
crée, rien ne se perd, ni ne change,
comment après une modification, compterait-il
encore parmi les êtres ?

Si ce qui existe se transforme en effet, il
sera nécessairement non homogène, car ce qui
était auparavant disparaîtra et ce qui
n'existait pas naîtra.
Ainsi le principe global d'invariance s'applique à l'ensemble des choses, ce qui permet de le considérer comme continu et homogène. Nos sens ne peuvent, par notre position d'observateurs - et là encore Mélissos est un génial précurseur - que nous transmettre une image de l'ensemble, qui n'est donc pas le monde réel. Mais notre raison tend à appliquer à chaque chose le raisonnement qui a conduit à l'Etre et donc lui attribuer une identité, somme organisée de ses qualités. Cela devrait assurer la permanence aux objets, et pourtant les objets, nous le voyons, ne cessent de changer ; comment pouvons-nous alors être certains que ce sont les mêmes objets aujourd'hui qu'hier nous considérions ?

S'il y avait en effet pluralité,
ces nombreux objets devraient être
exactement définis comme je dis être l'Un.
Dans cette discordance entre la raison et l'observation Mélissos choisit la voie de la raison qui affirme l'erreur des sens. Il existe donc un principe de conservation, au-delà de l'observation courante et, au-delà des objets qui changent : il faudra toujours chercher à suivre le chemin de la vérité et découvrir le principe d'invariance sous-jacent.
Mélissos, par ailleurs, reprit les arguments de Parménide et de Zénon pour tenter de démontrer que l'être est immobile, sans se rendre compte que la question du mouvement n'avait plus de sens pour être développé dans l'espace et dans le temps... A ce stade il pouvait paraître que l'école Eléate allait ouvrir de nouveaux chemins de la connaissance. Mais l'histoire en a décidé autrement : Samos fut réduite par Athènes et le nom de Mélissos autrefois vainqueur de la cité de Pallas fut vaincu. Platon pourtant fit la louange de la grandeur de la pensée éléate, mais Anaxagore avait déjà indiqué le chemin du dualisme que Platon reprit et l'Académie à sa suite. Plus graves, quelques années après furent les attaques d'Aristote obnubilé par le développement de sa propre pensée et incapable de comprendre la solution du paradoxe de la permanence et du changement ; et l'espace temps imaginé par une amiral samien sombré dans l'oubli.

1 : Outre les sources déjà citées mon commentaire s'appuie ici sur la remarquable étude de J. Zafiropoulo L'Ecole Eléate ed. Les Belles Lettres 1950.
2 : En fait du petit nombre. Comme dans toutes les symboliques numériques on dépasse rarement le nombre des jours du cycle lunaire ou solaire... et les propriétés géométriques des polyèdres n'existent que pour quelques petits nombres.
3 : Il y a une certaine contradiction entre le désir d'enseignement public de Parménide et l'usage des vers. En effet les contraintes de la poésie, rythmiques en particulier, sont difficilement compatibles avec la précision requise par les sujets de ses démonstrations. Il s'agit très probablement d'un reste de tradition pythagoricienne dont on sait que l'ésotérisme empêchait la divulgation, et donc l'écriture ; les disciples de Pythagore devaient donc tout savoir par coeur et, dans ce cas, la versification est un soutien certain, en particulier pour les textes de grande ampleur. Le prologue du poème de Parménide est d'ailleurs clairement le rappel de l'initiation reçue par l'auteur des mains de la Déesse (Vérité).
4 : L'épistémologie sera développée plus loin.
5 : A ces deux voies correspondent deux modes d'accès à la connaissance, un mode subjectif qui correspond à la perception directe de la vérité, grâce à l'élément animé qui se trouve en chacun de nous et qui communie directement avec l'âme du monde, un mode objectif qui perçoit essentiellement l'architecture des choses en en oubliant le moteur, et qui donne une opinion sur le monde.
6 : Le nominalisme reste une préoccupation constante, de nos jours encore, et l'on se souvient du poème de Jose Luis Borges, El Golem :
"Si (como el griego afirma en el Cratilo)
El nombre es arquetipo de la cosa,
En las letras de rosa esta la rosa
Y todo el Nilo en la palabra Nilo. (...)
N'est-ce pas Borges (Jorge de Burgos ?) et son poème, qui sont au coeur énigmatique du fameux livre d'Umberto Eco : "Pristina rosa stat nomine nomina nuda tenemus" ?
7 : Des nombres rationnels, par conséquent.
8 : Les définitions mathématiques du continu n'existaient pas encore et on ne pouvait concevoir que 1/2n soit un nombre fini. D'ailleurs l'association d'une unité minimale à chaque intervalle de temps conduit bien à une somme infinie.
9 : Il existe aujourd'hui un analogue formel de ce paradoxe, et qui ne prête pas à sourire : on parle sans question de la "promotion" d'un électron qui saute d'une "orbitale" à une orbitale supérieure après absorption d'un photon par exemple...
10 : Dans cet argument il y a en germe toute une réflexion sur le continu, qui, redécouverte deux millénaires plus tard, conduira à une certaine définition du continu en mathématiques. On y trouve en plus un raisonnement algébrique sur les extrema qui opère encore aujourd'hui très efficacement. Enfin, les problèmes liés à la symétrie sont toujours d'actualité. On les retrouve dans toutes les lois qui gouvernent l'Univers ; on considère le plus souvent que lors des transformations d'espace ou de temps il y a conservation de la symétrie, ou que toute action implique une réaction ; il arrive parfois qu'on soit obligé, pour conserver d'autres caractéristiques du modèle, de postuler une violation spontanée de la symétrie ; il conviendrait dans ce cas (mais c'est rarement fait !) de se souvenir de l'argumentation de l'Eléate, et de se demander si toute la théorie n'est pas à reconsidérer plutôt que d'introduire un postulat de ce type. Cependant le raisonnement éléate implique une forme d'équilibre des forces en présence imposant la symétrie. Il va de soi que dans d'autres circonstances la symétrie, au contraire, est très difficile à maintenir, et se brise spontanément : si l'on doit tomber d'un sommet, on ne peut le faire que d'un côté ou de l'autre, pas des deux à la fois.
11 : Ce raisonnement n'est pas un syllogisme et il est donc en butte aux sarcasmes d'Aristote. Il convient pourtant de se souvenir que les règles du syllogisme - établies par Aristote - n'avaient pas encore été proposées au temps de Mélissos, comme le remarque J. Zafiropoulo.

Trouvé sur le net :

Les Maths et la Physique sont incompatibles...

Voici les amis la problématique illustrée :

C'est l'histoire du verre plein d'eau qu'on boit chaque minute la moitié de ce qu'il contient...

Maths :
Un verre contient 1 litre d'eau, chaque minute nous buvons la motié de ce qu'il contient. Après combien de temps le verre sera vide ?
1/2 = 0.5 litres après 1 minute
0.5/2 = 0.25 litres après 2 minutes
0.25/2 = 0.125 litres après 3 minutes
etc...
Mathématiquement on ne pourra jamais vider le verre d'eau, on peut continuer à l'infini.

Physique :

Un verre contient 1 litre d'eau, chaque minute nous buvons la moitié de ce qu'il contient. Après combien de temps le verre sera vide ?
1/2 = 0.5 litres après 1 minute
0.5/2 = 0.25 litres après 2 minutes
0.25/2 = 0.125 litres après 3 minutes
etc... on arrive au stade critique
il ne reste plus que 2 molécules d'eau dans le verre après x minutes
il ne reste plus qu'une particule d'eau dans le verre après x+1 minutes
La dernière molécule d'eau ne peut etre partagé, sinon on n'a plus d'eau dans le verre...
En physique le même problème à une fin, on pourra définir après combien de temps l'expérience a pris fin.

Je me dis par cet exemple que dans les maths il y a un truc qui cloche, qu'en pensez vous ?

Discussion sur Zénon dans wikipedia :

Le temps est, par exemple pour Newton, un flux continu. Qu'est-ce que ce terme de « continu » signifie au juste vis-à-vis du temps ? Comme bien souvent, l'analogie avec le mouvement – largement exploitée par les philosophes de toutes époques, à divers degrés d'abstractions – permet de donner un premier éclairage au concept du temps.

La continuité d'un mouvement n'est pas une chose facile à imaginer. Zénon, dans ses célèbres paradoxes, avait mis au jour la dualité entre le mouvement fini et le temps infini du parcours. En effet, la première intuition du mouvement est celle d'une transition spatiale, continuelle, entre deux points de l'espace séparés par d'infinies positions intermédiaires. De manière analogue à la suite infinie des divisions entières[8], l'espace semble être un continuum infini. Pourtant, les mouvements perçus par nos sens s'effectuent bel et bien en un temps fini ! De sorte qu'on a du mal à imaginer comment une infinité de positions peut être parcourue en une durée limitée. Imaginer des bonds dans un espace de points séparés par du vide pour définir le mouvement, comme l'ont fait les pythagoriciens, n'est pas satisfaisant, car cela conduirait par exemple à admettre une vitesse uniforme pour tous les mouvements. Un mouvement plus lent serait un mouvement plus long, et un mouvement moins rapide, un mouvement plus court. On peut, pour dresser un premier état des lieux, conclure avec Russell que « la continuité du mouvement ne peut consister dans l'occupation par un corps de positions consécutives à des dates consécutives. »[9]

Tout le problème du temps, et de l'espace, repose ici sur la difficulté à imaginer des grandeurs infinitésimales. Il ne s'agit pas d'une lacune : c'est que précisément, il n'y a pas de distances infinitésimales, mais une infinité de distances finies. Pour résoudre le paradoxe du mouvement dans l'espace, il faut imaginer que le temps est également conceptualisable de façon analogue : il existe une infinité de durées finies dans le parcours d'un mouvement, mais aucune « durée infinie ». Si on imagine couper une distance finie en deux, puis l'une de ses moitiés en deux, et cela indéfiniment, il en ressort que plus la distance est petite (et finie), plus la durée nécessaire à son parcours sera courte (et toujours finie). La progression des séries de termes infinis, les séries mathématiques compactes, illustre ce mécanisme de pensée. Il n'est pas important ici de savoir si cette modélisation correspond exactement à la réalité physique du monde : il suffit pour avancer qu'elle l'illustre fidèlement, qu'elle la traduise correctement. Une infinité de grandeur finies, donc, pour finir : cela ressemble à un cercle vicieux.

Le raisonnement de la série compacte est le plus simple qu'on puisse imaginer et qui corresponde de près à l'expérience. Il conduit directement à penser qu'il faut considérer en dernier ressort, au moins théoriquement, des instants sans durée, supports des moments et des durées, et par-là du temps tout entier. Cette philosophie, rattachée à la pensée scientifique moderne mais qui ne lui est pas exclusive, n'a pas fait l'unanimité. Ainsi Bergson défendait-il l'idée d'un mouvement et d'un temps indivisibles, irréductibles à une série d'états. En effet, la perception est impensable si on n'admet pas que je perçois le passé dans le présent, ce qui vient d'arriver dans ce qui persiste. L'instant pur est donc une abstraction, une vue de l'esprit. Poussée à bout, cette doctrine s'oppose pourtant à l'expérience quotidienne, dans la droite ligne de la vision pythagoricienne du monde. Nous pouvons considérer une ligne, une aire ou un volume comme un groupe infini de points, l'essentiel est que nous ne pouvons pas en atteindre tous les points, les énumérer, les compter, en un temps fini – par exemple, la division successive en moitiés égales d'une distance peut bien être répétée à l'infini : il est dès lors impossible d'arriver à une quelconque fin dans cette énumération de divisions.

La connaissance du temps gagne en précision par ces remarques tirées de la théorie mathématique de l'espace, car pour l'homme, il est facile de mélanger temps, infini, éternité… en une seule et même idée floue. Kant, pour qui le temps était une forme a priori de l'intuition (interne), et non pas un concept, distinguait illimation du temps et infinité : « Il faut que la représentation originaire de temps soit donnée comme illimitée. »[10] Le temps n'est pas en soi infini, mais c'est qu'il n'existe pas en soi. Il n'a pas non plus de commencement. Nous percevons toujours un instant antérieur, mais c'est nous qui introduisons dans l'expérience cette régression. Le temps n'est donc ni infini ni fini, parce qu'il n'est pas un être mais une forme de notre propre intuition. Les choses en soi ne sont ni dans le temps ni dans l'espace. Si on jauge l'idée du temps par nos impressions, il nous semble qu'il est parfois fugace, mais tout aussi bien interminable ; il est évident et en même temps insaisissable, comme le notait Saint Augustin : chacun a fait l'expérience de ces contradictions d'apparence. Elles sont amplifiées par le langage, qui par le mot « temps » désigne tout et son contraire. Mais connaître le caractère d'infini du temps, c'est bien déjà connaître le temps tel qu'il nous vient – et chercher une vérité transcendantale au-delà de cette notion d'infini est peut-être bien tout à fait vain. Il ne suffirait pas de conclure que l'infini caractérise le temps de façon essentielle, car on n'a pas meilleure connaissance de l'infini… et le concept d'infini n'est pas celui de temps ! En revenant au problème de l'infini dans l'espace, on peut constater que « de Zénon à Bergson, [une longue lignée de philosophes] ont basé une grande part de leur métaphysique sur la prétendue impossibilité de collections infinies. »[9] Pourtant, on sait depuis Euclide et sa géométrie que des nombres expriment des grandeurs dites « incommensurables » (les nombres irrationnels, formalisant une idée qui fut fatale à la philosophie des pythagoriciens pour laquelle tout, dans le monde, était nombre – entier). Certains éléments résistent, en effet, à la simple mesure, et se placent sur un autre plan. Qu'en est-il du temps et de l'idée de l'incommensurable ? La mesure du temps peut-elle nous donner les clés de la compréhension du temps, comme nous l'espérons depuis les temps les plus anciens ?

Un retour à Zénon peut donner quelque indice de réflexion. Ses paradoxes, qui touchent aussi au temps, reposent sur plusieurs axiomes – principalement la croyance en un nombre fini d'états finis pour caractériser les phénomènes, que ce soit en termes d'espace ou de temps : nombre finis de points dans l'espace, etc. Ces paradoxes mènent à plusieurs « solutions » métaphysiques : on peut rejeter la réalité de l'espace et/ou du temps (Zénon semble l'avoir fait, au moins pour le temps et en théorie, de sorte qu'il était en quelque sorte pris à son propre piège) ; on peut aussi décider de s'en tenir aux prémisses de Zénon et considérer que le temps est absolu et indivisible, comme chez Bergson, avec les difficultés de retour à l'expérience qu'on sait et qui ont entraîné la chute de la mécanique classique. On peut enfin considérer que les bases mêmes des paradoxes sont fausses, et étudier la possibilité de collections infinies, comme on l'a également vu avec les séries compactes. Russell expose l'erreur de raisonnement qui caractérise selon lui la doctrine kantienne, mais qui ne lui est pas exclusive. Kant ne voulait pas admettre la possibilité d'un infini en acte, il assimilait l'infinité à une régression illimitée. L'infini n'était qu'en puissance, et supposait un sujet. Ainsi, les nombres naturels sont infinis, mais seulement en ce sens que le sujet ne parvient jamais au plus grand des entiers. Selon une des branches de l'antinomie kantienne, qui ne saurait être confondue avec la solution kantienne elle-même, le passé doit avoir un commencement dans le temps, car, selon l'autre branche de la même antinomie, en supposant le temps infini, comment serions-nous arrivés jusqu'à aujourd'hui ? Un temps infini n'aurait pu en effet s'écouler tout entier. Certes, de façon analogue, le futur est borné par l'instant présent, et s'étend sur le cours du temps, mais cela ne pose aucun problème à Kant, car la question de l'avenir n'est pas symétrique de celle du passé. L'avenir n'est pas encore. Son infinité est « en puissance », et non pas en acte. L'avenir est illimité, mais pas infini en acte. Le tour de force de Kant sera d'appliquer ce raisonnement au passé lui-même. C'est le sujet qui régresse toujours vers un passé antérieur, afin d'expliquer le présent. La série n'existe pas en soi, elle exprime la nature de notre perception. C'est nous qui portons avec nous la forme du temps, elle n'est pas une dimension de l'Être en soi, par ailleurs inconnaissable.

On peut du moins répondre à un aspect du problème de l'infinité du temps, en laissant de côté la question de l'écoulement du temps, et en l'assimilant à l'espace. Est-il impossible qu'une collection d'états en nombre infini soit complète, comme le suggère la tradition philosophique à la suite de Zénon ? On peut répondre par la négative par un argument simple qui découle des suites mathématiques compactes, mais qui se retrouve tout aussi bien en philosophie. Le point décisif est qu'une suite infinie peut être bornée, comme l'examen attentif du passé, du présent et du futur nous en donne l'indice. Elle connaît un début, et aucune fin, mais il existe des valeurs supérieures à elle. Ainsi, l'unité est supérieure à une infinité de fractions entières qui lui sont toutes inférieures[11]. Cette somme a un nombre infini de termes, et pourtant la voilà bien ancrée dans un cadre discret.

C'est que compter les durées ne permettra jamais de saisir le temps comme un ensemble, tout comme compter les éléments un à un d'une série de termes en nombre infini ne permettra jamais d'en saisir l'idée essentielle. Ainsi, le temps est dépendant d'autres aspects dont nous avons également conscience, et c'est sa relation avec l'espace et la matière qui constitue l'enveloppe « ontologique » de notre Univers. Cette doctrine métaphysique s'accorde bien avec la théorie de la relativité, qui a bouleversé l'idée métaphysique du temps, car elle suggère que le temps est une propriété de l'univers, et non son cadre. L'espace-temps n'est pas une notion seulement scientifique, loin de là. Cette vision du monde n'est en fait pas fondamentalement opposée à celles qui prévalaient chez Kant ou chez Newton : il s'agit au juste de replacer le temps à son niveau, de lui redonner une consistance propre. Si le temps est mieux décrit et compris au terme de ces progressions, il n'est toutefois toujours pas connu essentiellement.

Rencontre entre Zénon, Parménide et Socrate

La suite sur la validité des paradoxes de Zénon dans la réalité

Zénon et Socrate

Robert Paris — 2015-03-02T02:11:00Z

Zénon d'Élée :

« La nature nous a donné deux oreilles et une bouche afin de pouvoir écouter davantage et parler moins ». (plus exactement il a dit : entendre deux fois plus que ce que nous disons)

« Je me suis gardé de faire de la vérité une idole, préférant lui laisser son nom plus humble d'exactitude. »
Zénon affirme :
« Si une unité ponctuelle sans dimension était ajoutée à une autre, elle ne l'augmenterait d'aucune unité, car en ajoutant ce qui n'a pas de dimension, on ne peut accroître une dimension d'une unité. (…) Un point ajouté à un point ne produit pas de distance. (…) Si le multiple existe, d'autres s'intercalent entre les existants et dans l'intervalle entre eux il y en a encore d'autres, ainsi de suite entre d'autres intervalles il y en a en nombre indéterminé. (…) Si un point est dimensionné, il occupe un espace et définit une distance. Il y a donc d'autres points en son sein et ainsi de suite. »
" Car, si l'être était divisible, supposons-le sectionné en deux, et ensuite chacune des parties en deux, et que cela se reproduise sans cesse, il est évident que : ou bien il subsisterait certaines grandeurs ultimes qui seraient minimales et insécables, mais infinies en nombre ; ou bien il s'évanouirait et se résoudrait en ce qui n'est plus rien, et serait constitué de ce qui n'est plus rien ; deux conclusions qui précisément sont absurdes. Donc il ne sera pas divisé, mais demeurera un. De plus, en effet, puisqu'il est semblable en tout point, si on lui attribue la divisibilité il sera divisible semblablement en tout point, et non pas ici divisible et là non. Supposons-le donc divisé en tout point : alors il est évident que rien ne subsistera, qu'il s'évanouira, et que s'il est vrai qu'il soit constitué, il sera à nouveau de ce qui n'est rien. Car tant que quelque chose en subsistera, le procès de division en tout point ne sera pas encore achevé. En sorte que il est encore manifeste d'après ce qui précède que l'Etre est indivisible, et sans parties, et un. (…) Mais s'il est, il est nécessaire que chacun ait quelque grandeur, et quelque épaisseur, et que l'une de ses deux parties soit en dehors de l'autre. Même raisonnement pour celle des deux qui précède l'autre. Car celle-là aussi aura grandeur et quelque chose en elle précédera le reste. Assurément dire cela une fois revient au même que de le répéter indéfiniment. Car, de telles parties aucune ne sera l'ultime, ni telle qu'il n'y ait pas de relation d'une de ses parties à l'autre."

Grèce antique : la philosophie de Zénon d'Elée et de Socrate
: lire ici

Les paradoxes de Zénon d'Élée

La philosophie de Socrate

Qui était Socrate

Qui était Zénon d'Elée

Zénon, Socrate, Parménide et … Platon

Les mêmes dialoguent…

La Grèce antique

La réalité des paradoxes de Zénon

Le secret Socrate

Pour l'histoire de la science hellène

La suite

Lire encore

Grèce antique : la philosophie de Zénon d'Elée et de Socrate

Robert Paris, Tiekoura Levi Hamed — 2014-12-06T03:56:00Z

Zénon et ses paradoxes

Que défendait Socrate ?

Socrate n'a pas écrit de textes et on ne connaît ses idées que par les écrits de ses amis ou de ses proches.

Qu'est-ce que la science demande Socrate, conversant directement avec le géomètre Théodore et Théétète (rapporté par Platon dans « Théétère »)

« C'est précisément cela qui cause mon embarras et je n'arrive pas à concevoir par moi-même assez clairement ce que peut bien être la science. (…) Vous dites que tout se meut et tout s'écoule. (…) Donc nous avons distingué deux formes du mouvement : déplacement et changement. (…) Mais on ne peut pas tabler qu'il y ait déplacement sans altération. (…) Donc la chose se dérobe toujours puisqu'on a dit qu'elle s'écoule sans cesse et change donc sans cesse. (…) Dès lors, on ne peut pas dire que la sensation est science. (…) Ce n'est point dans les impressions des sens que réside la science, mais dans le raisonnement sur les impressions. (…) Lors donc que, s'étant rendu possesseur d'une science, on l'a enfermée dans l'enclos, on peut dire que l'on a appris ou trouvé la chose dont est faite sa science (…) Nous disons que quand on transmet ses connaissances, on enseigne ; que quand on les reçoit, on apprend ; et que quand on les a, qu'on les possède comme les oiseaux dans un colombier, on sait. (…) Si l'on est depuis longtemps possesseur de sciences qu'on a apprises et qu'on sait, on peut rapprendre à nouveau ces mêmes sciences, en ressaisissant la science chaque objet, qu'on avait en sa possession, mais qu'on n'avait pas présente à la pensée. (…) Celui qui ne peut donner ni recevoir l'explication rationnelle d'une chose reste dans l'ignorance au sujet de cette chose. Si à l'opinion juste sur la chose justement examinée, il joint cette explication, il possède la science parfaite. (…) Quelle science pourrait-il y avoir en dehors de la raison ? »

Qu'est-ce qu'un philosophe pour Socrate ? (conversant avec le géomètre Théodore et Théétète et rapporté par Platon dans « Théétère »)

« Des philosophes, il faut dire d'abord que, dès leur jeunesse, ils ne connaissent pas quel chemin conduit à l'agora, ni où se trouvent le tribunal, la salle du conseil ou toute autre salle de réunion publique. Ils n'ont ni yeux, ni oreilles pour les lois et les décrets proclamés ou écrits. (…) Est-il arrivé quelque bonheur ou quelque malheur à l'Etat, (…), le philosophe n'en a pas plus connaissance que du nombre de gouttes d'eau de la mer. Il ne sait même pas qu'il ignore tout cela (…) c'est que son corps seul est présent et séjourne dans la ville, tandis que sa pensée, considérant tout cela avec dédain comme des choses mesquines et sans valeur, promène partout son vol (…) scrutant de toutes les façons la nature (…) Voilà donc, ami, comme je le disais en commençant, ce qu'est notre philosophe dans les rapports privés et publics qu'il a avec ses semblables. Quand il est forcé de discuter dans un tribunal ou quelque part ailleurs (…) sa terrible gaucherie le fait passe pour un imbécile. Dans les assauts d'injures, il ne peut tirer de son cru aucune injure contre personne. (…) Quand les gens se louent et se vantent, comme on le voit rire, mais tout de bon, on le prend pour un niais. Entend-il faire l'éloge d'un tyran ou d'un roi, il s'imagine entendre exalter le bonheur de quelque pâtre, porcher, berger ou vacher, qui tire beaucoup de lait de son troupeau. (…) Entend-il parler d'un homme qui possède une très grande surface de terres comme d'un homme prodigieusement riche, il trouve que c'est très peu de chose, habitué qu'il est à considérer sienne la terre entière. Quant à ceux qui chantent la noblesse et disent qu'un homme est bien né parce qu'il peut prouver qu'il a sept aïeux riches, il pense que cet éloge vient de gens qui ont la vue basse et courte parce que, faute d'éducation, ils ne peuvent jamais fixer leurs yeux sur le genre humain tout entier, ni se rendre compte que chacun de nous a d'innombrables myriades d'aïeux et d'ancêtres, parmi lesquels des riches et des gueux, des rois et des esclaves, des barbares et des Grecs qui se sont succédé par milliers dans toutes les familles. Qu'on se glorifie d'une série de vingt-cinq ancêtres et qu'on fasse remonter son origine à Héraclès, fils d'Amphitryon, il ne voit là qu'une étrange petitesse d'esprit. (…) Dans toutes ces circonstances, le vulgaire se moque du philosophe, qui tantôt lui paraît dédaigneux, tantôt ignorant de ce qui est à ses pieds et embarrassé sur toutes choses. »

Introduction de l'œuvre de Platon, « Gorgias », par Monique Canto :

« Les interlocuteurs de Socrate, dont il démolit systématiquement l'hypocrisie sociale sont successivement Polos, Gorgias et Calliclès. (…)

Le rhéteur Gorgias était originaire de Léontium, en Sicile, une colonie grecque de Naxos. (…) Gorgias fameux à Athènes, devint synonyme de la bonne manière de parler en public. Les griefs de Socrate (…) ne portent pas tant sur les moyens rhétoriques dont Gorgias fait usage (…) que sur l'objectif de sa rhétorique : faire passer pour vrai ce qui ne l'est pas (…) La rhétorique ne s'intéresse pas à la vérité, elle se soucie seulement de l'apparence et du vraisemblable. (…)

Le rhéteur Polos nous est beaucoup moins connu que Gorgias. Il serait lui aussi originaire de Sicile. (…) Il serait l'auteur d'un « Art oratoire » (…) et d'un certain nombre de livres. (…) Ce traité de Polos sur l'art oratoire a dû avoir un certain succès, puisque Aristote semble en citer, au début de la « Métaphysique », un court extrait. (…) L'idéal de vie de Polos se laisserait définir comme la volonté d'être tout-puissant parmi les hommes, d'avoir du succès et de l'influence à n'importe quel prix, tout en voulant garder une certaine respectabilité et la réputation d'un homme de bien. (…) Le Polos du « Gorgias » est donc le représentant d'une forme d'hypocrisie sociale contre laquelle Socrate s'est battu avec une grande énergie.

Calliclès est un jeune homme doué, qui espère une carrière politique glorieuse, s'est plus ou moins associé à Alcibiade et n'a de sympathie pour le peuple qu'en tant qu'il est convaincu que le pouvoir politique, dans une démocratie comme Athènes, dépend directement des faveurs de la foule. (…) L'autre trait caractéristique est son attitude à l'égard de la philosophie : à la fois intérêt et défiance. Intérêt, parce que la philosophie peut servir comme instrument de pouvoir (…) Et hostilité à l'égard de la philosophie répandue dans les cercles politiques athéniens.

Le Socrate de « Gorgias » est l'une des évocations les plus poignantes que Platon ait données de son ancien maître. Tous les engagements forts qui ont pu guider son existence (le retrait à l'égard de la vie publique, le courage, sinon la violence, des critiques adressées aux valeurs de prestige athéniennes, la défense de la philosophie, l'énergie des convictions, la lucidité à l'égard du caractère impitoyable de la politique d'Athènes, la certitude de sa propre impuissance et la prescience de son tragique destin) sont, dans le « Gorgias », explicitement énoncés, soumis à la menace, mais l'un après l'autre justifiés et délibérément assumés par Socrate. (…)

Socrate se joue des valeurs de la Cité et des opinions politiques ordinaires qui sont exposées par Gorgias, Polos et Calliclès. Par rapport aux valeurs sociales de ces trois interlocuteurs, Socrate représente le véritable anticonformiste. A plusieurs reprises, il emploie des formules qui le mettent en position d'extériorité à l'égard de la Cité et du groupe formé par ses interlocuteurs : « Je ne suis pas homme à m'occuper des affaires de la Cité ».

Le contexte historique de la période de « Gorgias » :

Au départ, la richesse d'Athènes, comme celle de la Grèce, n'a pas été conquise par des guerres ni par la puissance d'un Etat. Il s'agit d'un territoire d'agriculteurs qui a trouvé sa place dans le commerce régional puis international, devenant ainsi de plus en plus riche, fondant des villes prospères d'artisans, de petits commerçants et de grands négociants. La richesse a développé les inégalités : propriétaire fonciers d'un côté prolétaires agricoles de l'autre, grands négociants et travailleurs des villes et des campagnes. Et, bien entendu, les esclaves… La richesse des villes a nécessité progressivement, pour les classes dirigeantes, la mise en place d'un Etat. Mais ce n'est encore achevé à l'époque de Socrate. Il n'y a même pas de police pour l'arrêter quand il est condamné. Cependant, la richesse d'Athènes résulte de plus en plus de l'exploitation de l'empire commercial et de l'exploitation des esclaves et des travailleurs et l'oppression commence à nécessiter un régime politique d'oppression. Athènes résout le problème en développant son impérialisme par un développement de son armée et par des conquêtes militaires… La fuite en avant du militarisme est rendue indispensable par le développement des contradictions sociales.

Une cinquantaine d'années séparent la fin des Guerres médiques (480 av. J.-C. environ) du début de la Guerre du Péloponnèse (430 av. J.-C. environ). Cette période, décrite par Thucydide, correspond dans les faits à l'âge d'or de la cité d'Athènes, période dont la figure principale reste Périclès, la cité marquant alors son hégémonie sur l'ensemble du monde grec. Celui-ci voit la montée progressive de l'impérialisme athénien : grâce à la puissance de sa flotte mise sur pied par Thémistocle, grâce à son armée et à ses murailles, Athènes impose sa mainmise sur ses alliés de la ligue de Délos, créée à l'origine pour combattre la menace de l'empire achéménide. La guerre oppose d'abord Athènes à Corinthe et Mégare. Sparte s'oppose à l'impérialisme athénien, ouvrant la guerre du Péloponnèse. Athènes tente de profiter de l'affaiblissement de Sparte, dû notamment à la révolte des Hilotes. Partout, Athènes feint d'intervenir pour mettre en place la démocratie mais la ville construit son empire commercial.

En -431, début de la guerre du Péloponnèse qui ouvre l'époque la plus mouvementée de l'histoire d'Athènes. Les révolutions se sont succédées en Grèce de -411 à -403.

En -429, mort de Périclès.

En -427, arrivée de Gorgias à Athènes. Elle coïncide avec une arrivée de rhéteurs chargés de justifier aux yeux du peuple la politique des classes dirigeantes. La rhétorique se pratique dans les assemblées du pouvoir auquel le peuple assiste.

Progressivement, l'impopularité d'Athènes grandit et son impérialisme est contesté en Grèce.

En -415, Alcibiade lance une offensive en Sicile qui se termine par un échec puis Alcibiade, jugé, passa dans le camp de Sparte.

En -406, Alicibiade étant à nouveau jugé et exilé, Socrate devient président du Conseil d'Athènes.

Athènes se reprend en un dernier sursaut, promettant la citoyenneté aux métèques et aux esclaves pour constituer une flotte qui bat Callicratidas à la Bataille des îles Arginuses. Ce succès est cependant terni par la mise à mort des stratèges victorieux (dont Périclès le Jeune et Thrasyle ). Athènes, dans un accès de colère, élimine donc elle-même ses meilleurs généraux.
C'est par réprobation des décisions que Socrate va se retirer définitivement de la vie politique publique.
Lysandre, remplaçant Callicratidas mort aux Arginuses, reprend le commandement de la flotte spartiate. La flotte athénienne, en position dans les Dardanelles afin de garantir la route du blé venant de Mer Noire, est surprise et écrasée à Aigos Potamos. Les dernières sources de ravitaillement d'Athènes disparaissent avec sa flotte. Athènes aux abois tente de résister encore : elle offre le droit de cité aux Samiens, derniers alliés fidèles, et consolide ses fortifications. Mais, soumise au blocus terrestre et maritime, accablée par la famine, elle doit capituler en 404.

La paix contraint Athènes à dissoudre la ligue de Délos, à détruire les Longs Murs et les fortifications du Pirée et à livrer sa flotte, sauf douze navires. Athènes entre dans la ligue du Péloponnèse et la démocratie est remplacée par la tyrannie des Trente.
Sous la tyrannie des Trente, qui dura huit mois, il fut interdit à Socrate d'enseigner. On lui intima l'ordre de procéder à l'arrestation d'un citoyen, Léon, qu'il considérait comme innocent. Il refusa de se soumettre à cet acte inique. Il échappa par chance aux purges des Trente. Socrate est à la veille de sa propre arrestation, mais la dictature tombe.

Socrate ne fait, officiellement, plus de politique mais, sous couvert d'une université gratuite en plein air, il constitue un groupe de jeunes révolutionnaires dont il espère qu'ils vont changer la société et fonder une société socialiste. Les classes dirigeantes, averties, décident d'en finir et le condamnent à mort. La mort de Socrate, citoyen d'Athènes et philosophe condamné à boire la ciguë par sa Cité en 399 avant notre ère, est presque aussi connue que celle de Jésus de Nazareth.

Socrate raconté par Platon dans « Gorgias » :

« Socrate : Gorgias, dis-nous toi même comment il faut t'appeler et quel est l'art que tu connais.

Gorgias : La rhétorique, Socrate.

Socrate : Il faut donc t'appeler orateur ?

Gorgias : Oui, et même bon orateur, selon le titre dont je me fais gloire (…)

Socrate : Quel est l'objet que la rhétorique fait connaître ?

Gorgias : Les discours.

Socrate : Quels discours, Gorgias ? Les discours qui indiquent aux malades le traitement qu'ils doivent suivre pour être en bonne santé ?

Gorgias : Non.

Socrate : Donc la rhétorique ne porte pas sur la totalité des discours.

Gorgias : Non, certes. (…)

Socrate : En ce cas, dis-je, sur quel objet portent les discours dont la rhétorique se sert ? (…)

Gorgias : Sur les plus importantes des choses, Socrate, et les meilleures. (…) En vérité, Socrate, ce bien est le bien suprême. Il est à la fois cause de liberté pour les hommes qui le possèdent et principe de commandement que chaque individu, dans sa propre cité, exerce sur autrui.

Socrate : Mais enfin de quoi parles-tu ?

Gorgias : Je parle du pouvoir de convaincre, grâce aux discours, les juges du Tribunal, les membres du Conseil de la Cité, et l'ensemble des citoyens à l'Assemblée, bref du pouvoir de convaincre dans n'importe quelle réunion de citoyens. En fait, si tu disposes d'un tel pouvoir, tu feras du médecin un esclave, un esclave de l'entraîneur et, pour ce qui est de ton homme d'affaires, il aura l'air d'avoir fait de l'argent, pas pour lui-même – plutôt pour toi, qui peux parler aux masses et qui sais les convaincre. (…)

Socrate : La rhétorique est donc, semble-t-il, productrice de conviction ; elle fait croire que le juste et l'injuste sont ceci et cela, mais elle ne les fait pas connaître.

Gorgias : En effet. (…)

Socrate : Bon, allons, essayons toujours, voyons ce que nous pouvons dire de la rhétorique, car, moi, en tout cas, je n'arrive pas encore à me représenter ce qu'il faut en penser. Quand on réunit les citoyens pour sélectionner des médecins, des constructeurs de navires, ou toute autre profession, a-t-on jamais prié l'orateur de donner son avis ? Non, car il est évident qu'il faut, dans chaque cas, choisir le meilleur spécialiste. (…) En fait, puisque c'est toi qui prétends être orateur et former d'autres orateurs, le mieux est de te demander à toi ce qui définit ton art. (…) Quel bien trouverons-nous à te fréquenter, Gorgias ? Dans quel domaine serons-nous capables d'être les conseillers de la Cité ? (…)

Gorgias : Certes, ce que je tenterai de faire, Socrate, c'est de te révéler, avec clarté, toute la puissance de la rhétorique. Car tu as, toi-même, fort bien ouvert la voie. Tu n'ignores sans doute pas que les arsenaux dont tu parles, les murs d'Athènes et l'aménagement de ses ports, on les doit, les uns, aux conseils de Thémistocle, les autres, à ceux de Périclès, et non pas aux conseils des hommes qui eurent à les construire. (…) Pour chacun des choix que tu évoquais tout à l'heure, Socrate, tu peux voir que les orateurs sont en fait les conseillers et qu'ils font triompher leur point de vue. (…) En effet, l'orateur est capable de parler de tout devant toutes sortes de public, sa puissance de convaincre est donc encore plus grande auprès des masses, quoi qu'il veuille obtenir d'elles – pour le dire en un mot. (…) Même s'il arrive, je peux l'imaginer, qu'un individu, une fois devenu orateur, se serve à tort du pouvoir que lui donne la connaissance de l'art, l'homme qu'il faut honnir et bannir des cités n'est pas son maître de rhétorique. (…) C'est donc l'homme qui s'est mal servi de son art, mais pas celui qui fut son maître. (…)

Socrate : Bon, écoute bien, Gorgias, quelque chose m'étonne dans ce que tu dis. (…) Tu prétends que si un homme souhaite apprendre la rhétorique avec toi, tu peux en faire un orateur.

Gorgias : Oui.

Socrate : Un orateur qui sache donc convaincre son public, quel que soit le sujet dont il parle, sans lui donner la moindre connaissance de ce sujet, mais par persuasion.

Gorgias : Oui, c'est tout à fait cela.

Socrate : Or, tout à l'heure, tu disais que, même sur des questions de santé, l'orateur est plus convaincant que le médecin.

Gorgias : En effet, je l'ai dit – quand l'orateur parle en public. (…)

Socrate : Mais si l'orateur est plus persuasif que le médecin, alors, il convainc mieux qu'un connaisseur !

Gorgias : Oui, parfaitement !

Socrate : Pourtant, il n'est pas médecin, n'est-ce pas ?

Gorgias : Non, bien sûr. (...)

Socrate : Donc l'orateur, qui n'y connaît rien, convaincra mieux que le connaisseur s'il s'adresse à des gens qui n'en connaissent pas plus que lui. (…) Ou les choses se passent autrement ?

Gorgias : Non, c'est bien ce qui arrive, dans le cas de la médecine, du moins. (…)

Socrate : Eh bien, vois-tu, quand tu affirmais que la rhétorique traitait de la justice, je me suis dit qu'elle ne pourrait jamais être une chose injuste – s'il est bien vrai que les discours qu'elle sait composer ne parlent que de justice. Mais quand, un peu plus tard, tu as déclaré qu'un orateur pouvait se servir sans aucune justice de la rhétorique, j'en ai été tout étonné. (…)

Polos : Qu'est-ce que tu racontes, Socrate ? (…) Parce que Gorgias a été gêné de ne pas te concéder que l'orateur ne pouvait pas ne pas connaître le juste (…) qu'il a admis que, si on venait à le trouver, tout ignorant de ces questions, ce serait à lui de les enseigner, …c'est à cause de cette concession, bien sûr, qu'il a eu l'air de se contredire, oui, c'est cela qui te fait le plus grand plaisir, surtout si c'est toi qui y pousses avec tes questions ! (…) Pour parler comme cela, il faut être vraiment mal dégrossi !

Socrate : Eh là, merveilleux Polos, heureusement qu'en pareils moments nous pouvons compter sur nos fils et nos jeunes collègues ! Comme cela, si nous, les vieux, nous faisons fausse route, c'est à vous, les jeunes, d'être là pour corriger notre façon de vivre, dans les actes comme dans les propos. Surtout maintenant, si Gorgias et moi, nous nous sommes trompés au cours de notre discussion, toi, tu es là pour nous corriger. C'est même ton devoir. (…) D'ailleurs, je suis sûr que tu prétends savoir faire tout ce que sait faire Gorgias, est-ce vrai ?

Polos : Oui, je le prétends. (…) Puisqu'à ton avis, Gorgias n'a rien à dire sur ce qu'est la rhétorique, qu'en dis-tu, toi ? (…)

Socrate : La rhétorique, j'en fais une partie de la flatterie. (…) Tu ne vas sans doute pas comprendre ma réponse : en fait, comme je la conçois, la rhétorique est la contrefaçon d'une partie de la politique.

Polos : Quoi ? Que veux-tu dire ? Dans ce cas, est-elle belle ou laide ?

Socrate : Laide, à mon avis. (…)

Polos : Ainsi, les orateurs de qualité te paraissent être mal considérés dans leurs cités, on les prend pour des flatteurs !

Socrate : A vrai dire, ils ne me paraissent même pas faire l'objet de la moinbdre considération.

Polos : Comment cela ? Pas la moindre considération ! Les orateurs ne sont-ils pas tout-puissants dans leurs cités ?

Socrate : Non. Pas si la puissance dont tu parles est un bien pour son possesseur.

Polos : Mais, bien sûr, je parle de cette puissance-là !

Socrate : En ce cas, les orateurs n'ont, à mon sens, presque aucun pouvoir dans leurs cités.

Polos : Tu plaisantes ! Les orateurs ne sont-ils pas comme les tyrans ? Ne font-ils pas périr qui ils veulent ? N'exilent-ils pas de la cité qui leur plaît, ne le dépouillent-ils pas de ses richesses ? (…)

Socrate : Les hommes qui commettent pareilles actions agissent-ils toujours ainsi pour en retirer un bien ? (…) Personne ne veut donc massacrer, bannir, confisquer des richesses, pour le simple plaisir d'agir ainsi. (….)

Polos : C'est la vérité. (…)

Socrate : Je disais donc la vérité quand j'affirmais qu'il était possible qu'un homme qui fait ce qui lui plait dans la cité en question, n'y eût presque pas de pouvoir et n'y fît pas non plus tout ce qu'il voulait.

Polos : A t'entendre, Socrate, il te serait indifférent d'être capable de faire ce qui te plaît dans la cité, tu préférerais n'y avoir aucun pouvoir, et tu n'éprouverais aucune envie pour l'homme que tu verrais ainsi tuer qui il veut, le dépouiller de ses richesses et le jeter dans les fers.

Socrate : Parles-tu d'un homme qui fait tout cela justement ou injustement ?

Polos : Qu'il le fasse d'une façon ou d'une autre, dans les deux cas, n'est-ce pas à envier ?

Socrate : Fais attention à ce que tu dis, Polos !

Polos : Qu'y a-t-il ? (…)

Socrate : En effet, mon cher, je disais que l'homme qui tue sans justice est malheureux, et j'ajoutais qu'il est à plaindre ; quant à l'homme qui tue justement, je dis qu'il n'est pas à envier. (…)

Polos : Que veut-tu dire, Socrate ?

Socrate : Rien qu'une chose : le plus grand mal, c'est l'injustice. (…)

Polos : Donc, toi, tu aimerais mieux subir l'injustice que la commettre ! (…) Tu refuserais donc le pouvoir d'un tyran !

Socrate : Oui, je le refuserais, si, quand tu parles de tyrannie, tu penses à ce que je pense.

Polos : Eh bien, je pense à ce que j'ai dit tout à l'heure : avoir le pouvoir de faire tout ce qu'on veut, pouvoir tuer, exiler, et faire tout ce dont on a envie.

Socrate : Si, à l'heure où la place du marché est pleine de monde, ej venais à toi, un poignard glissé dans la manche, et si je te disais : « Polos, un fameux pouvoir, une étonnante tyrannie vient de m'échoir. (…) L'homme que je veux tuer sera tué. (…) A ce compte, tu pourrrais également aller incendier la maison que tu veux, et pourquoi pas les arsenaux d'Athènes, les trières de la cité et tous les bateaux de commerce, publics ou privés.

Polos : L'homme qui agit comme cela sera nécessairement puni.

Socrate : Donc tuer et bannir des hommes, les dépouiller de leurs richesses, est quelques fois ce qu'il y a de mieux à faire. Mais d'autres fois non. Seulement si cela est puni ? (…) Etre tout puissant et faire ce qu'on veut, ce n'est pas la même chose. (…) Archélaos, par exemple, tu vois bien qu'il règne sur la Macédoine, à ton vais est-il heureux ou malheureux ?

Polos : Je ne sais pas, je ne l'ai jamais rencontré. (…) Mais, de la façon dont tu raisonnes, il ne peut qu'être malheureux. Comment ferait-il pour ne pas l'être ? Rien ne le destinait au pouvoir qu'il a aujourd'hui. Il est le fils d'une femme esclave d'Alkétès, le frère de Perdiccas. (…) D'abord, il fit mander Alkétès, qui était à la fois son maître et son oncle, et lui dit qu'il lui remettrait le pouvoir dont Perdiccas l'avait dépouillé. Il invita donc chez lui Alkétès et son fils Alexandre, son propre cousin, à peu près du même âge que lui. Dès qu'ils furent chez lui, il les rendit complètement ivres, les jeta au fond d'un char, et les emmena de nuit pour les égorger tous les deux et faire disparaître les corps. Or, bien qu'il eût commis une pareille injustice, il ne vit pas qu'il était devenu le plus malheureux des hommes et n'éprouva donc aucun regret de ce qu'il avait fait. Au contraire. Peu de temps après, à l'égard de son frère, le fils légitime de Perdiccas, un enfant d'environ sept ans et auquel, selon la justice, le pouvoir devait revenir, il ne voulut pas se rendre heureux et par une action juste, en éduquant cet enfant et en lui remettant le pouvoir de son père, mais il le jeta dans un puit, le noya….

Socrate : Je ne suis d'accord avec aucune des remarques que tu fais.

Polos : Parce que tu ne veux pas l'être, mais en fait tu penses exactement comme moi ! (…) Si un homme est devenu tyran, il a passé sa vie à commander dans la cité, en faisant ce qui lui plaît, en homme envié et aimé par les citoyens comme par les étrangers ! (…)

Socrate : Polos, je ne suis pas homme à m'occuper des affaires de la Cité. L'année dernière, quand j'ai été tiré au sort pour siéger à l'Assemblée et quand ce fut à ma tribu d'exercer la prytanie, j'ai pu faire voter les citoyens mais tout le monde a ri, parce que je ne savais pas comment mener une procédure de vote. (…)

Polos : Voyons, toi, tu aimerais mieux subir l'injustice que de la commettre !

Socrate : Par conséquent, s'il s'agit de se défendre lorsqu'on est accusé d'une injustice qu'on a soi-même commise, ou qu'ont commise ses parents, ses camarades, ses enfants, sa patrie même quand elle est coupable, la rhétorique, Polos, ne nous sera d'aucune utilité. (…)

Calliclès : Dis moi, Chéréphon, est-ce que Socrate par le sérieusement ? Est-ce qu'il plaisante ?

Chéréphon : j'ai l'impression, Calliclès, qu'il parle tout à fait sérieusement.

Calliclès : Dis-moi, Socrate, faut-il supposer qu'en ce moment tu parles sérieusement, ou bien est-ce que tu plaisantes ? (…)

Socrate : Calliclès, je me rend compte que toi, tu as beau être malin, à chaque fois que l'occasion s'en présente, tu n'es jamais capable de contredire celui que tu aimes quand il dit ceci ou cela, et tu le laisse t'entraîner de tous les côtés à la fois. A l'Assemblée, si tu dis quelque chose, et si le Démos d'Athènes, lui, ne parle pas comme toi, tu changes d'avis et tu finis par dire tout ce que Démos d'Athènes veut que tu dises. (…) Mais comprend bien que c'est pareil pour moi. (…) je fais de la philosophie ma bien-aimée (…) et tout ce que tu m'entends dire, c'est ce qu'elle me fait dire. Ces phrases qui maintenant t'étonnent, c'est la philosophie qui les fait prononcer. (…) Calliclès, j'estime qu'il vaut mieux ne pas être d'accord avec la plupart des gens et dire le contraire de ce qu'ils disent plutôt que d'être, moi tout seul, mal accordé avec moi-même et de contredire mes propres principes.

Calliclès : Socrate, tu as l'air d'un chien fou, tu parles comme si tu étais en train d'haranguer le peuple entier. Mais, à propos, pourquoi nous fait-tu cette harangue ? Parce que Polos a éprouvé la même gêne qu'il a accusé Gorgias de ressentir face à toi. (…) Et moi, je n'aime pas beaucoup ce qu'a fait Polos quand il t'a concédé que commettre l'injustice est plus vilain que la subir. En fait, dès qu'il t'a accordé cela, tu l'as fait s'empêtrer dans ce qu'il disait et ut lui as cloué le bec ; tout cela parce qu'il a eu honte de dire ce qu'il pensait. (…) L'homme qui se trouve dans la situation de devoir subir l'injustice n'est pas un homme, c'est un esclave, pour qui mourir est mieux que vivre s'il n'est même pas capable de se porter assistance à lui-même, ou aux êtres qui lui sont chers, quand on lui fait un tort injuste et qu'on l'outrage. Certes ce sont les faibles, la masse des gens, qui établissent les lois (d'Athènes), j'en suis sûr. C'est donc en fonction d'eux-mêmes et de leur intérêt personnel que les faibles font les lois, qu'ils attribuent des louanges, qu'ils répartissent des blâmes. Ils veulent faire peur aux hommes plus forts qu'eux et qui peuvent leur être supérieurs. Car, ce qui plaît aux faibles, c'est d'avoir l'air d'être égaux à de tels hommes, alors qu'ils sont inférieurs. (…) Partout il en est ainsi, c'est que la nature enseigne, chez toutes les espèces animales, chez toutes les races humaines et dans toutes les cités ! Si le plus fort domine le moins fort et s'il est supérieur à lui, c'est là le signe que c'est juste. De quelle justice Xerxès s'est-il servi lorsque avec son armée il attaqua la Grèce, ou son père quand il fit la guerre aux Scythes (…) Eh bien, Xerxès et son père ont agi, j'en suis sûr, conformément à la nature du droit, c'est-à-dire conformément à la loi, oui par Zeus, à la loi de la nature. (…) C'est la vérité que je dis, et tu le comprendras si tu abandonnes enfin la philosophie pour aborder les plus grandes questions. La philosophie, oui, bien sûr, Socrate, c'est une chose charmante, à condition de s'y attacher modérément, quand on est jeune ; mais si on passe plus de temps qu'il ne faut à philosopher, c'est une ruine pour l'homme. (…) Pourquoi ? Parce que petit à petit on devient ignorant des lois en vigueur dans sa propre cité, on ne connaît plus les formules dont les hommes doivent se servir pour traiter entre eux et pour pouvoir conclure des affaires privées et des contrats publics, on n'a plus l'expérience des plaisirs et des passions humaines, enfin, pour le dire en un mot, on ne sait plus du tout ce que sont les façons de vivre des hommes. (…) Aussi, quand je me trouve, Socrate, en face d'hommes qui philosophaillent, j'éprouve exactement le même sentiment qu'en face de gens qui babillent et s'expriment comme des enfants. (…) Si c'est un homme d'un certain âge que je vois en train de faire de la philosophie, un homme qui n'arrive pas à s'en débarrasser, à mon avis, Socrate, cet homme-là ne mérite plus que des coups. C'est ce que je disais tout à l'heure : cet homme, aussi doué soit-il, ne pourra jamais être autre chose qu'un sous-homme, qui cherche à fuir le centre de la Cité, la place des débats publics, là où, dit le poète, « les hommes se rendent remarquables ». Oui, un homme comme cela s'en trouve écarté pour tout le reste de sa vie, une vie qu'il passera à chuchoter dans son coin avec trois ou quatre jeunes gens, sans jamais proférer la moindre parole libre, décisive, efficace. (…) Tout de même, mon cher Socrate, tu vois, tu ne m'énerves pas du tout, regarde comme je te parle gentiment, à ton avis, n'est-ce pas une vilaine chose de se trouver dans cette situation misérable ? Eh bien, c'est celle que connaissent, j'en suis sûr, les gens qui s'obstinent à pousser plus loin qu'il ne faut l'étude de la philosophie ! Car, maintenant, si on t'arrêtait, toi ou quelqu'un comme toi, si on te jetait en prison, accusé d'avoir commis une injustice que tu n'as pas commise (…) on te condamnerait à mort pour peu que ton accusateur ait la moindre envie que tu meures. (…) Alors, dis-moi quelle est cette étrange sagesse, Socrate, quel est cet art (…) qui rend hors d'état de se porter secours à soi-même, quel est donc cet art qui fait d'un être doué un homme que ses ennemis peuvent dépouiller de toute sa fortune, un homme qui vit, privé d'estime, dans sa propre cité ? Un tel homme, même si c'est un peu dur à dire, on a le droit de lui taper sur la tête, impunément ! Allez, mon bon, laisse-toi convaincre par moi, achève tes discussions et réfutations, exerce-toi à la musique des affaires humaines, entraîne-toi à avoir l'air d'un sage, et laisse à d'autres ces finasseries – délires ou paroles creuses – à cause desquelles tu finiras par habiter une maison vide. Ne prends pas pour modèles ces philosophes qui font des réputations dérisoires, mais imite les citoyens qui ont une vie de qualité, une excellente réputation et jouissent de tous les autres bienfaits de l'existence. (…)

Socrate : Si par hasard mon âme était en or, Calliclès, peux-tu imaginer comme je serais heureux de trouver une de ces pierres de touche qui servent à contrôler l'or ! (…)

Calliclès : Puis-je savoir pourquoi tu me demandes cela, Socrate ?

Socrate : Je suis convaincu que si on doit contrôler une âme et la mettre à l'épreuve pour voir si elle vit bien ou mal, il faut avoir trois qualités ; or, toi tu les as toutes les trois. Il s'agit de la compétence, de la bienveillance et de la franchise. (…) Regarde, tes amis, Gorgias et Polos, ce sont des gens compétents et ils ont de l'amitié pour moi, mais ils n'ont pas assez de franchise, ils éprouvent trop de gêne. (…) Donc, tu as, toi, ces trois qualités que les autres n'ont pas. (…) Ce n'est pas toi qui me ferais la moindre concession, que ce soit par manque de compétence ou par excès de gêne. (…) La plus belle de toutes les questions que tu m'as reproché de poser : quel genre d'homme faut-il être, dans quel activité s'engager et jusqu'à quel point ? (…) Explique moi cette justice dont vous dites qu'elle est selon la nature. Est-ce le fait que l'homme supérieur enlève les biens de l'être inférieur, que le meilleur commande aux moins bons, et que celui qui vaut plus l'emporte sur celui qui vaut moins ? (…)

Calliclès : En effet, c'est ce que j'ai dit tout à l'heure et je le répète maintenant. (…)

Socrate : Est-ce que ce sont les plus forts que tu appelles supérieurs ? Et est-ce aux plus forts que les plus faibles doivent obéir ? J'ai l'impression que c'est ce que tu voulais exprimer tout à l'heure, quand tu disais que c'était conformément au droit de la nature que les grandes cités attaquaient les petites, puisqu'elles étaient à la fois supérieures et plus fortes. Alors, être supérieur, être plus fort, être meilleur, est-ce la même chose ?

Calliclès : Pour moi, je le dis clairement, c'est pareil.

Socrate : En ce cas, n'est-il pas conforme à la nature qu'une masse de gens soit supérieure à un seul individu ?

Calliclès : Comment pourrait-il en être autrement ?

Socrate : Par conséquent, les lois établies par la masse sont les lois des hommes supérieurs. (…) Or la masse n'estime-t-elle pas – comme d'ailleurs tu l'as dit toi-même – que la justice n'est faite que d'égalité et que commettre l'injustice est plus vilain que la subir ?

Calliclès : Eh bien, oui, en effet, la masse pense comme cela.

Socrate : Par conséquent, il y a des chances que tu n'aies pas dit la vérité.

Calliclès : Cet individu-là ne cessera jamais de parler pour rien ! Dis-moi, Socrate, ne te sens-tu pas un peu gêné, à ton âge, de faire la chasse aux mots ? (…) Crois-tu que je dise qu'être supérieur et être meilleur, c'est différent ? Est-ce que je ne te dis pas depuis longtemps que c'est la même chose ? Crois-tu que je puisse dire d'un ramassis d'esclaves, de sous-hommes, de moins-que-rien – sinon peut-être qu'ils sont physiquement plus forts -, crois-tu que je dise que tout ce que cette masse peut raconter, ce sont des lois ? (…)

Socrate : Je t'assure que je ne fais pas la chasse aux mots. Quand tu affirmes qu'un seul individu est supérieur à des milliers d'autres…

Calliclès : Mais c'est ce que je dis ! Car, le juste selon la nature, d'après moi, c'est que l'être le meilleur et le plus intelligent commande aux êtres inférieurs et qu'il ait plus de choses qu'eux. (…)

Socrate : Doit-il disposer, sous prétexte qu'il est le meilleur, de la plus grosse part des vivres que nous avons en commun ? (…) Calliclès, en est-il ainsi, oui ou non, mon bon ? (…) Dis moi enfin qui sont les hommes supérieurs et les meilleurs et en quoi ils le sont !

Calliclès : Mais je l'ai déjà dit : ce sont des hommes intelligents, qui savent s'occuper des affaires de la cité et qui sont courageux. Voilà quels sont les hommes qui méritent d'exercer le pouvoir dans leur propre cité ! Il est juste que ces hommes aient plus de choses que les autres, oui que les chefs aient plus que ceux à qui ils commandent !

Socrate : Chaque individu se commande soi-même, (…) ce qui veut dire être raisonnable, commander aux plaisirs et passions qui résident en soi-même.

Calliclès : (…) Si on veut vivre comme il faut, on doit laisser aller ses propres passions, si grandes soit-elles, et ne pas les réprimer. Au contraire, il faut être capable de mettre son courage et son intelligence au service de si grandes passions et de les assouvir avec tout ce qu'elles peuvent désirer. Seulement, tout le monde n'est pas capable, j'imagine, de vivre comme cela. C'est pourquoi la masse des gens blâme les hommes qui vivent ainsi, gênée qu'elle est de devoir dissimuler sa propre incapacité à le faire. La masse déclare donc bien haut que le dérèglement est une vilaine chose. C'est ainsi qu'elle réduit à l'état d'esclaves les hommes dotés d'une plus forte nature que celle des hommes de la masse ; et ces derniers, qui sont eux-mêmes incapables de se procurer les plaisirs qui les combleraient, font la louange de la tempérance et de la justice à cause du manque de courage de leur âme. Car, bien sûr, pour tous les hommes qui, dès le départ, se trouvent dans la situation d'exercer le pouvoir, qu'ils soient nés fils de rois ou que la force de leur nature les ait rendus capables de s'emparer du pouvoir – que ce soit le pouvoir d'un seul homme ou celui d'un groupe d'individus – oui, pour ces hommes-là, qu'est-ce qui serait plus vilain et plus mauvais que la tempérance et la justice ? (…) Ecoute, Socrate, tu prétends que tu poursuis la vérité, eh bien, voici la vérité : si la facilité de la vie, le dérèglement, la liberté de faire ce qu'on veut, demeurant dans l'impunité, ils font la vertu et le bonheur ! Tout le reste, ce ne sont que des manières, des conventions, faites par les hommes, à l'encontre de la nature. Rien que des paroles en l'air qui ne valent rien !

Socrate : Calliclès, tu viens de dire clairement ce que les autres pensent et ne veulent pas dire. (…) Donc je ne te convaincs pas de dire que les hommes dont la vie est ordonnée, sont plus heureux que ceux dont la vie est déréglée ?

Calliclès : Tu l'as bien dit, Socrate, et très bien ! C'est vrai : je ne changerai par d'avis !

Socrate : (…) Quel est donc l'art qui nous donne les moyens de ne pas subir d'injustice, ou du moins, d'en subir le moins possible ? (…) Il faut être au pouvoir dans sa propre cité, ou encore être un tyran, ou bien être partisan du gouvernement en place !

Calliclès : Tu vois, Socrate, comme je suis prêt à te féliciter dès que tu dis quelque chose de bien ! Ce que tu viens de dire me paraît être parfaitement juste !

Socrate : Eh bien, regarde si ce que je vais dire après te paraît être aussi bien. Les meilleurs amis du monde ce sont les êtres qui sont l'un à l'autre semblables. Es-tu d'accord ?

Calliclès : Oui, je suis d'accord.

Socrate : En conséquence, quand l'homme qui exerce le pouvoir est un tyran grossier, sans éducation ni culture, s'il y a dans la cité un homme bien supérieur à lui, le tyran, probablement, aura peur d'un tel homme et ne pourra jamais, au plus profond de son âme, devenir son ami.

Calliclès : Oui, en effet.

Socrate : (…) Suppose qu'un jeune homme, qui vit dans cette cité, commence à se demander : « par quel moyen pourrais-je devenir tout-puissant et m'arranger pour que personne ne me fasse la moindre injustice ? », la route qu'il devrait suivre serait, semble-t-il, de s'habituer dès sa jeunesse d'aimer les mêmes choses que le tyran et de détester les mêmes choses que son despote a en horreur ; bref qu'il se donne les moyens de lui ressembler le plus possible. Est-ce vrai ?

Calliclès : Oui.

Socrate : Un tel homme se trouvera dans la situation où il lui sera possible de commettre le plus grand nombre d'injustices et de les commettre sans en être puni, n'est-ce pas ?

Calliclès : Oui, apparemment.

Socrate : Dans ce cas, c'est le plus grave de tous les maux qui sera donné à cet homme : son âme sera misérable, souillée par l'imitation du despote et par l'exercice du pouvoir.

Calliclès : Je ne sais pas comment tu fais, Socrate, pour arriver à chaque fois à retourner sens dessus dessous tout ce qu'on a dit. Ne sait tu pas que l'homme qui imite le tyran va pouvoir tuer, s'il en a envie, tous ceux qui ne veulent pas l'imiter et qu'il va pouvoir les dépouiller de tout ce qu'ils ont ?

Socrate : Je sais, mon bon Calliclès. ( …) le fait est que cet homme, s'il le veut, tuera, mais c'est un scélérat qui tuera un homme de bien ! (…) Or, n'est-ce pas pour entreprendre d'améliorer le corps et l'âme de nos citoyens (…) que nous devons entreprendre de nous occuper de la cité et des citoyens ?

Calliclès : Oui, tout à fait, si cela peut te faire plaisir ! (…)

Socrate : Maintenant, fais un effort de mémoire, et, à propos des hommes illustres dont tu as parlé un peu avant, dis-moi si tu penses encore qu'ils ont été de bons citoyens ? (…) Donc quand Périclès a commencé à parler au peuple, les Athéniens étaient en plus mauvais état que lorsqu'il s'est adressé à eux pour la dernière fois.

Calliclès : Peut-être.

Socrate : (…) Dit-on que les Athéniens, sous l'influence de Périclès, se sont améliorés, ou bien, au contraire, qu'ils ont été corrompus par lui ?

Calliclès : Tu as dû entendre cela dans le parti spartiate, chez les hommes aux oreilles déchirées, Socrate !

Socrate : En ce cas, voici maintenant quelque chose que je n'ai pas entendu dire, mais que je sais parfaitement, et toi aussi. Au début, Périclès avait bonne réputation auprès des Athéniens (…) En revanche, à la fin de la vie de Périclès, quand les citoyens d'Athènes étaient devenus, grâce à lui, des hommes de bien, ils ont voté contre lui une condamnation pour vol et l'ont à peu de chose près condamné à mort, parce qu'ils pensaient évidemment que c'était un scélérat.

Calliclès : Et alors ? Est-ce une raison pour dire que Périclès était mauvais ?

Socrate : Toi, tu es bien d'accord pour dire que, parmi nos contemporains, il n'y en a pas un seul qui ait eu une bonne politique, mais malgré tout tu choisis ceux dont on vient de parler. (…) Toi, tu es bien d'accord pour dire que, parmi nos contemporains, il n'y en a pas un seul qui ait eu une bonne politique, mais malgré tout tu choisis ceux dont on vient de parler. (…) Toi, Calliclès, pour le moment, tu agis exactement comme cela. Tu fais l'éloge d'hommes qui ont nourri les Athéniens et qui les ont comblé de tout ce dont ils avaient envie. Certes, ces hommes ont agrandi la ville, mais en fait, grâce leur politique, elle est devenue une Cité tout enflée de pus – ce dont on ne se rend pas compte ! En effet, sans jamais se demander ce qui était raisonnable ou juste, ils ont gorgé la Cité d'arsenaux, de murs, de tributs et d'autres vanités du même genre ! Or, quand la crise arrive, sous la forme d'un accès de faiblesse, les hommes qu'on accuse sont ceux qui se trouvent là, à essayer de conseiller la Cité et, en revanche, on fait l'éloge de Thémistocle, de Cimon, de Périclès, qui sont les vrais responsables de ces maux ! (…) Alors, tu m'engages à prendre soin de la cité, mais comment ?

Calliclès : Sache que si tu ne le fais pas…

Socrate : Ne me répète pas ce que tu m'as déjà dit plusieurs fois – que celui qui veut me tuer me tuera ! – pour que je n'aie pas à tr redire que ce serait un scélérat qui tuerait un homme de bien ! Ne me dit pas non plus qu'on me dépouillerait de tout ce que j'ai, pour que je n'aie pas à te répéter que, tout au contraire, si on me dépouille de mes biens, on ne pourrait rien faire d'utile avec eux…

Calliclès : Tu m'as l'air d'être sûr, Socrate, que tu ne seras pas victime d'un tel sort, que tu peux vivre à l'abri et que tu ne risque pas d'être traîné devant un tribunal, accusé par un homme qui, sans doute, sera extrêmement méchant et médiocre !

Socrate : Je suis vraiment fou, Calliclès, si je pense que, dans notre Cité, on puisse être, selon les circonstances, à l'abri d'un tel sort ! (…) Certes, si je suis condamné à mort, cela n'aurait rien d'étrange !

Socrate dans « La république » de Platon (Allégorie de la caverne) :

« La Cité où ceux qui doivent détenir le pouvoir sont le moins désireux du pouvoir est nécessairement celle qui est la mieux et la plus paisiblement dirigée. »

Socrate face à Glaucon :

"Voyons d'abord l'Etat. (...) Quelle constitution entend-on par oligarchie ? C'est la forme de gouvernement fondée sur le cens, où les riches commandent et où les pauvres n'ont point de part à l'autorité. (...) Ce trésor où chacun entasse l'or, voilà ce qui perd cette sorte de gouvernement. Tout d'abord ils découvrent des sujets de dépense et, pour y satisfaire, ils tournent les lois et ne leur obéissent plus, ni eux, ni leurs femmes. (...) Nécessairement, un tel Etat n'en est pas un, mais deux : celui des pauvres et celui des riches, qui habitent le même sol et conspirent sans cesse les uns contre les autres. (...) Il est certain que, si on n'y met aucun obstacle, les uns seront riches à l'excès et les autres indigents. (...) Il est manifeste que partout où tu vois des mendiants dans un Etat, le même endroit recèle des voleurs, des coupeurs de bourse, des sacrilèges et des malfaiteurs de toute espèce. (...) Or, comme il suffit à un petit corps débile d'un petit ébranlement du dehors pour tomber malade, que parfois même des troubles éclatent sans cause extérieure, ainsi un Etat, dans une situation analogue, devient à la moindre occasion la proie de la maladie et de la guerre intestine. (...) N'en va-t-il pas de même dans la démocratie fondée sur l'argent ? N'est-ce pas la richesse excessive qui a servi à l'établissement de l'oligarchie ? (...) Eh bien, c'est la même recherche de l'argent , le même désir insatiable, qui cause la perte de la démocratie fondée sur le même désir insatiable d'accumulation de biens. (...) La même maladie qui, née dans l'oligarchie, a causé sa ruine, naissant aussi dans la démocratie, s'y développe avec plus de force et de virulence et réduit à l'esclavage l'Etat démocratique. (...) Partageons par la pensée l'Etat démocratique en trois classes, dont il est composé. La première est la même engeance qui s'est développée à la tête de l'oligarchie. (...) Il y a ensuite une autre classe qui se distingue toujours de la multitude. C'est celle qui recherche de l'argent. (...) La troisième classe, c'est le peuple, c'est-à-dire tous les ouvriers manuels et les particuliers étrangers aux affaires publiques qui n'ont qu'un petit avoir. Dans la démocratie, ce serait la classe la plus nombreuse et donc la plus puissante si elle était assemblée. Mais elle n'est guère disposée à s'assembler. (...) Le peuple a l'habitude de choisir un favori qu'il met à sa tête et dont il nourrit et accroit le pouvoir. (...) Et le protecteur du peuple commence à se transformer en tyran. (...) C'est le moment pour tous les ambitieux qui en sont venus à ce point de recourir à la fameuse requête du tyran, de demander au peuple des gardes du corps, afin que le "défenseur du peuple" se conserve pour le servir. Et le peuple lui en donne ; car toutes ses craintes sont pour le défenseur du peuple. Pour sa propre défense, il ne fait rien : il est trop plein d'assurance. (...) Dans les premiers jours, il n'a que sourires et saluts pour tous ceux qu'il rencontre, qu'il se défend d'être un tyran, qu'il multiplie les promesses en particulier et en public, qu'il remet des dettes et partage des terres au peuple et à ses favoris et affecte la bienveillance et la douceur envers tout le monde. (...) Mais, quand il en a fini avec ses ennemis du dehors, (...) il ne cesse de susciter des guerres pour que le peuple ait besoin d'un chef. Et aussi, il se débrouille pour que les citoyens soient appauvris par les impôts et soient ainsi forcés de s'appliquer à leurs besoins journaliers et conspirent moins contre lui. Et s'il soupçonne que certains d'entre eux ont l'esprit trop indépendant pour se plier à sa domination, la guerre lui donne un prétexte de les perdre, en les livrant à l'ennemi. Pour toutes ces raisons, un tyran est toujours contraint de fomenter des guerres. (...) Ainsi, en réalité, quoiqu'en pensent certaines gens, le véritable tyran est un véritable esclave, d'une bassesse et d'une servilité extrêmes, réduit qu'il est à flatter les hommes les plus méchants, impuissant à satisfaire tant soi peu ses désirs (...) Il passe sa vie dans une frayeur continuelle, en proie à des douleurs convulsives. (...) Mais outre ces maux, il est victime de ceux que le pouvoir développe encore davantage, je veux dire l'envie, la perfidie, l'injustice, le manque d'amis. (...) Ainsi donc le sage refusera de prendre part aux affaires publiques, s'il a de telles idées ? Non par le Chien ! Il s'en occupera dans son propre Etat et activement. J'entends, répondis-t-il, tu parles de l'Etat dont nous venons de tracer le plan, et qui n'existe que dans nos discours ; car je ne crois pas qu'il y en ait un pareil en aucun lieu du monde. (...) Peu importe que cet Etat soit réalisé quelque part ou soit encore à réaliser, c'est sur celui-là et lui seul qu'il se fixera et dont il suivra les lois."

Et si Platon, Démocrite, Socrate, Parménide, Zénon et les anciens philosophes Grecs revenaient…

Robert Paris — 2014-11-21T01:51:00Z

Et si Platon, Démocrite, Socrate, Parménide, Zénon et les anciens philosophes Grecs revenaient…

Introduction :

Nous donnons la parole ici à quelques anciens philosophes grecs de l'Antiquité qui pourront ainsi donner leur opinion sur les avancées de la science et de la philosophie en ce vingt et unième siècle. Nous recevrons Thalès, Pythagore, Platon, Anaxagore, Anaximandre, Démocrite, Zénon, Lucrèce, Epicure, Archimède, Aristote, Socrate, Parménide, Empédocle, Epicure, Epictète, Euclide ou Héraclite et bien d'autres. A vous la parole, philosophes de l'Antiquité, que vous soyez au pays des morts, au paradis ou aux enfers, avec Hadès ou avec Dionysos, sur le Styx, au Tartare à la plaine des Asphodèles ou aux Champs-Elysées, ou encore en promenade parmi nous sur terre, n'hésitez pas à nous communiquer vos observations sur comment on vit et comment on pense en 2014 sur la planète terre…

Tous les lecteurs du monde actuel peuvent également participer à cette conversation à travers le temps.

LE DEBAT DES ANCIENS PHILOSOPHES GRECS

– Parménide : Permettez-moi de parler en premier, moi qui suis sans doute le plus inconnu aujourd'hui de toute la liste de philosophes fameux. Je tiens à combler une lacune : hommes du vingt-et-unième siècle, vous n'avez quasiment pas entendu parler de moi et je vais moi-même me présenter ! Mais je vais d'abord présenter nos amis qui participent à ce débat. Il serait bien trop long de rapporter tous leurs apports philosophiques je vais donc me contenter de rapporter leurs pensées qui peuvent sembler correspondre le plus à la conception moderne de la matière. Il convient cependant de rappeler que nous tous, philosophes de l'antiquité grecque c'est-à-dire qui habitions de l'Egypte à l'Asie en passant par l'Italie et la Perse, - n'oublions pas que l'on a appelé Grèce antique un monde qui couvrait toutes les rives de la Méditerranée -, avons commencé à raisonner sur le monde à une époque où les connaissances scientifiques étaient plus que ténues, où les possibilités d'expérimenter n'existaient quasiment pas, où le bagage scientifique était à peine naissant.
Je vois déjà les personnes hostiles à l'interférence de la philosophie en sciences s'interroger pourquoi demander à ces vieux philosophes de discuter des découvertes scientifiques récentes puisqu'ils ne pouvaient même pas, à l'époque où ils ont développé leur philosophie, en avoir la première notion ? En somme, pourquoi vouloir verser du vin nouveau dans d'aussi vieux tonneaux ? Eh bien, il est passé de l'eau sous les ponts depuis les premières philosophies grecques mais cela ne signifie pas qu'elles n'aient plus d'intérêt pour nous et les débats qui se sont déroulés dans la Grèce antique ont tellement agité les principes fondamentaux que les scientifiques modernes eux-mêmes sont amenés à s'y référer pour discuter de leurs idées sur la matière et son fonctionnement. On trouve des références à ces philosophes dans les écrits d'Heisenberg, de Bohr, de Schrödinger, d'Einstein et de bien d'autres. Et, contrairement à ce que l'on pourrait croire, la science moderne n'a même pas tranché définitivement leurs anciens débats. C'est justement ce que l'on va tenter de montrer dans ce débat.

– Socrate : cher Parménide, tu me permettras une courte interruption pour rétablir un fait qui est peu connu de nos amis du siècle actuel. On dit que nous ne disposions pas de terrain d'expérience et que nous aurions tout pensé dans notre tête, de manière purement abstraite. Pour moi, qui ai toujours philosophé en amoureux des artisans et des arts, des métiers manuels, je ne puis laisser dire une telle contrevérité. J'ai moi-même pratiqué certains des artisanats qui caractérisaient la Grèce antique et je sais qu'ils sont à la base de bien des pensées des hommes sur la manière dont la nature se comporte. Les Grecs étaient marins et, comme tels, intéressés au climat, aux étoiles, au repérage dans le temps et l'espace. J'ai moi-même étudié la discontinuité en observant les sauts de puces, ce qui a donné tant de raisons de se gratter violemment contre moi à Aristophane ! Et j'ai également observé sur cette question hautement philosophique la démarche d'autres animaux pour savoir si le déplacement est continu ou discontinu. Et je ne suis pas le seul à m'être appuyé sur des observations pour étayer mes dires philosophiques, fussent-ils très abstraits et la discontinuité est effectivement une question très théorique et très abstraite. J'espère que la suite de notre débat rappellera combien la physique quantique est d'abord une remarque inattendue : matière, déplacement, énergie et changement sont tous fondamentalement discontinus ! C'est cela qui a gêné les scientifiques à la découverte des quanta…

Mais revenons à la Grèce antique. Je disais que je n'étais pas le seul à avoir fondé mes propos sur des observations, pour ne pas dire des expérimentations et je le prouve. Leucippe, ici présent, peut m'apporter son témoignage, lui qui observait les poussières en suspension dans l'air, dans un rai de lumière, s'agitant et se heurtant en tous sens, pour imaginer comment pouvaient se comporter ce qu'il appelait les unités sphériques de feu ou encore les atomes. Démocrite est encore bien plus un observateur, lui qui examine les couleurs, observe ce qu'il appelle l'effluve, c'est-à-dire les brumes se déplaçant dans l'air, les mouvements et changements du chaud et du froid. Lucrèce a étudié l'organe de l'œil pour comprendre le mécanisme de la vue. Anaximène a poursuivi l'étude de la transformation de la matière, examinant notamment les changements d'états de l'eau et de l'air, la vaporisation et la condensation, la formation de la vapeur d'eau, la pluie et des nuages. Si ce qu'on a appelé ensuite « la pensée ionienne » a théorisé qu'au début du Devenir, il y avait un principe matériel (l'arché primitive), ce n'est pas sans avoir observé aussi la matière réelle. La philosophie du devenir et du temps est liée à l'observation des cycles temporels, journaliers, saisonniers, annuels ou pluriannuels de la nature (terre, air, ciel). Ainsi, Thalès, suite à de nombreuses observations, tu as pu prédire l'éclipse du soleil du 28 mai 585 avant J.-C., (je reprends ici la datation actuelle pour le lecteur contemporain). Anaximandre, non seulement tu fabriques des cadrans solaires, mais ta contribution à l'étude du cosmos est prodigieuse avec notamment « la notice de la Souda ». Tu as, le premier, découvert les solstices, les équinoxes et l'horloge. C'est sur des observations que tu as fondé une première géométrie. Dans ton musée de Milet, Anaximandre, tu avais disposé tes appareils de mesure astronomiques, ta carte géographique de la Terre. Quant à toi, Thalès, si tu es connu pour avoir fait fortune par une heureuse spéculation sur les huiles d'olive qui t'a permis de construire ton monopole des moulins à huile, qui d'entre nous ne se souvient pas que ce succès n'était pas dû au hasard mais à tes études climatiques et végétales qui t'ont permis de prédire quand viendrait une fructueuse année à olives. C'est amusant que les hommes d'aujourd'hui n'aient retenu ton nom que pour un théorème mathématique très abstrait qui n'est pas de toi. Cependant, là encore, cela provient de ton aptitude à l'observation, puisque c'est l'image de toi en train de mesurer à l'aide d'un bâton la taille d'une ombre (en utilisant ce théorème) qui a amené à t'en attribuer la rédaction théorique alors que tu te servais surtout de sa réalisation pratique ! Mais, pour ce théorème comme pour bien des principes philosophiques abstraits, la réalité a souvent précédé la théorie, même s'il a fallu beaucoup de génie et d'imagination des humains pour trouver ces idées théoriques qui ne crèvent pas les yeux et ne découlent pas directement de l'observation ou de l'expérimentation.

Si notre ami Démocrite est connu aujourd'hui dans le monde comme inventeur de la notion d'atome, il n'en est qu'un des premiers défenseurs. Par contre, il a étudié de multiples sciences bien réelles pour lesquelles il n'est même pas cité. C'est dire comme la notoriété est trompeuse. Ainsi, Démocrite, tes quatre traités dits sur les teintures : « De l'or », « De l'argent », « Des pierres » et « Du porphyre » sont aujourd'hui inconnus. Ainsi également ton invention de la manière de ramollir l'ivoire, de traiter la pierre d'émeraude, et tout un tas d'autres techniques qui t'ont pourtant si bien servi dans tes relations avec les grands prêtres des temples égyptiens. Ainsi également tes travaux sur la clef de voûte dans les édifices qui tu as perfectionnée. Citons aussi tes travaux sur les teintures en blanc et en jaune, sur les décoctions de sels de cuivre, tes études sur l'utilisation de la cinabre avec le cuivre et de la calamine avec l'or. Tu as été un grand chimiste, même si l'homme d'aujourd'hui te prend pour un théoricien pur !

Thalès, tu es ainsi présenté dans les ouvrages modernes comme pur mathématicien dessinant des droites parallèles sur le sol pour concrétiser tes proportions égales, alors que tu te servais ce théorème pour mesurer la distance entre les bateaux en mer, ce qui a une très grande importance pour un pays qui est toujours sur les flots… Quant à Héraclite, présenté comme un dialecticien abstrait, tu avais surtout analysé des phénomènes concrets dans lesquels tu trouvais en même temps deux forces contradictoires, comme dans les sels formant dans les eaux des cristaux les effets contraires de la dissolution et de la cristallisation. C'est de là que tu tirais ton « la nature se réjouit des contraires, elle sait en tirer l'harmonie ».

Si chacun d'entre nous a eu sa propre idée sur ce que devait être le principe premier, ce qui nous caractérise quasiment tous, c'est que ce principe devait être matière ou énergie : eau pour Thalès, mouvement pour Anaximandre, feu pour les uns, air pour les autres, poussières atomiques pour les uns et éther pour les autres, ou plusieurs principes à la fois, mais toujours des principes de base réels et non mystiques. La plupart d'entre nous avons préféré la physique à la métaphysique, l'étude du monde à celle des dogmes religieux. Loin de chercher un créateur, nombre d'entre nous ont développé l'idée d'un monde matériel inengendré et en continuelle transformation. Plusieurs d'entre nous ont d'ailleurs affiché leur athéisme comme Thalès, Démocrite et Socrate. Démocrite, critiquant la peur religieuse des peuples, disait ainsi : « Lorsque les Anciens virent les événements dont le ciel est le théâtre, comme le tonnerre, les éclairs, la foudre, les conjonctions d'astres ou les éclipses de Soleil et de Lune, leur terreur leur fit penser que des dieux en étaient les auteurs. » Et tu as parfaitement su montrer que les lois de la nature n'avaient pas besoin de cette hypothèse des dieux…

Loin d'être plongés dans les mythes et les légendes qui emplissaient alors la Grèce, ce qui caractérise tous ceux qui sont ici, c'est le fait d'avoir pris pour devise que « la nature domine la nature », ton proverbe favori, Démocrite ! Les uns et les autres avons affirmé que le monde est fait d'actes matériels et pas de purs esprits.

Ainsi Thalès, le premier d'entre nous, a expliqué les éclipses non par les dieux mais par le fait que la lune passe devant le soleil et lui fait ombre, de même qu'il expliquait la lumière du soleil par le fait que la lune reflète les rayons solaires qui l'éclairent ou encore, toujours toi Thalès, qui exprimait que les astres sont comme des planètes faits de terre embrasée.

Pythagore, tu as eu une grande influence sur la philosophie grecque et pourtant, philosophiquement, tu fais plutôt exception en prenant pour principe de base un élément théorique : le nombre, et en construisant un groupe mystique autour de toi.

– Aristote : c'est aller un peu vite en besogne que de faire de toutes les écoles de philosophie de la Grèce antique des fondateurs et des soutiens du matérialisme et de la philosophie dialectique. Je ne peux laisser passer une telle affirmation osée sans réagir. Comment occulter, par exemple, que Platon a été le véritable fondateur du christianisme, que je suis moi-même l'un des fondateurs de la conception métaphysique. C'est omettre également qu'une partie des premiers philosophes appelaient les atomes du nom d' « idées », ce qui montre bien qu'ils savaient que le monde marche avec sa tête et pas seulement avec ses pieds. Ils avaient très souvent conçu un véritable idéalisme comme Anaxagore qui concevait un intellect divin fondateur du monde.

– Socrate : Je doute que Platon, qui sourit et ne dit rien, soit en réalité bien certain d'avoir œuvré pour fonder le christianisme. C'est un peu comme si on disait que sa « République » avait fondé la république romaine ! Tu lui attribues là de bien drôles d'enfants ! Quant à Anaxagore qui piaffe d'irritation à mes côtés, il se souvient encore combien tu lui a vertement reproché d'avoir conçu l'intellect divin comme un fonctionnement purement mécanique, un peu comme le dieu d'Einstein ! Et aussi, tu as cherché à le ridiculiser d'avoir affirmé que « le propre de l'homme est d'avoir des mains ». Tu lui avais d'ailleurs répondu, souviens t'en, que « Il est plus logique de penser que c'est parce qu'il est plus raisonnable que l'homme a reçu des mains, car des mains sont des outils, et la nature dispense toujours à chacun, comme le ferait un homme raisonnable, ce dont il est capable de se servir. » Je trouve qu'il est vrai de considérer que le courant principal de la philosophie grecque a défendu, à l'opposé de ta métaphysique, Aristote, la dialectique de l'ordre et du désordre, celle qui fonde la dialectique de la matière et du vide, celle de la matière et de l'énergie, celle de la matière et du mouvement, celle des lois, des concepts, des définitions conçus comme rapport dialectique entre des forces opposées, à l'opposé de ta philosophie qui est véritablement celle d'un ordre naturel, permanent et immanent, comme tu l'exposes en écrivant dans ta « Physique », contre Anaxagore et Empédocle, que « Assurément, il n'est rien de désordonné dans les choses qui sont par nature et conformes à la nature, car la nature est cause d'ordre pour toutes choses. » Et, contrairement à nombre d'entre nous, tu as conçu le mouvement et le changement comme extérieurs à la matière, en quoi j'estime que la science moderne t'a donné entièrement tort. Tu écrivais ainsi dans le même ouvrage : « D'abord, aucun changement n'est éternel. Car tout changement est par nature de quelque chose qui va vers quelque chose… En outre, nous voyons que quelque chose peut être mû sans avoir à l'intérieur de soi aucun mouvement ; par exemple, les choses inanimées, dont aucune partie ni la totalité n'est en mouvement, mais en repos, sont mues à certains moments. Or il conviendrait que le mouvement soit toujours ou bien jamais, s'il est vrai qu'il n'advient pas alors il n'est pas. Ce genre de choses est du reste bien plus manifeste chez les êtres animés, car lorsque parfois il n'y a en nous aucun mouvement, et que nous nous reposons, à un certain moment nous bougeons et un début de mouvement se produit en nous de notre propre initiative, parfois même si rien n'est mû à l'extérieur. Nous ne voyons rien de semblable chez les choses inanimées, mais c'est toujours autre chose qui les meut de l'extérieur, tandis que l'animal, affirmons-nous, se meut lui-même. Par conséquent, si le tout est à un certain moment en repos, un mouvement adviendrait dans l'immobile, de lui-même et non de l'extérieur. Et si cela peut advenir dans un animal, qu'est-ce qui empêche que la même chose arrive dans le tout ? En effet, si le mouvement advient dans un petit organisme, il adviendra aussi dans un grand, et s'il advient dans l'univers, il adviendra aussi dans l'infini, pour autant que l'infini puisse être mû et être en repos tout entier… Il est ainsi nécessaire que tout ce qui est mû soit mû par quelque chose… »

Et il me semble que la théorie physique, relativiste et quantique, affirme au contraire que tout ce qui existe est en mouvement d'une part, que tout mouvement provient d'une capacité interne de la matière à être en mouvement, que matière et mouvement s'échangent dialectiquement et non diamétralement, ce qui détruit la conception métaphysique que tu défends Aristote. D'autre part, on a maintenant de multiples exemples en physique de matière inanimée qui change d'elle-même comme le noyau atomique instable qui se décompose en émettant de l'énergie, démontrant par là même que la matière se change en énergie, l'ordre en désordre. Les étoiles ne sont rien d'autre qu'un phénomène de transformation, en sens inverse, de noyaux légers en noyaux lourds qui fusionnent spontanément, sans aucune action extérieure, sans autre moteur que le mouvement interne de la matière. Et, là encore, énergie et mouvement, ces contraires se changent l'un dans l'autre. Leur opposition qui guide leur fonctionnement est donc bel et bien dialectique et non diamétrale

Une des manières, pour moi, de rappeler que la richesse culturelle et théorique de la Grèce antique est inséparable de la richesse matérielle, c'est de remercier tous les participants d'avoir ramené les productions agricoles de leur terroir afin d'enrichir la variété de notre banquet. Nous disposons, grâce aux origines diverses de nos amis, des produits agricoles d'Elée par Parménide et Zénon, d'Athènes par Socrate, Platon et Aristote, de Milet en Ionie (la Grèce d'Asie) par Thalès, Anaximandre et Anaximène, d'Ephèse par Héraclite, de Samos par Pythagore (qui nous rapporte également des produits d'Italie du sud où il réside) et Epicure, de Rome par Lucrèce, d'Alexandrie par Euclide, d'Agrigente par Empédocle et enfin, en espérant n'avoir oublié personne, d'Abdère par Démocrite et par Leucippe qui y a fondé son école (mais il rapporte aussi des produits d'Elée, sa région d'origine). Merci à tous pour les huiles d'olive de Milet, les vins de mer Egée, de Rhodes, de Cnide, de Cos, de Thasos, de Chios et de Lesbos, des figues de Carie et des amandes, des oignons, des grenades d'un peu partout…

– Parménide : Mes amis, si vous êtes bien assis, avez tous une bonne boisson devant vous et êtes prêts à vous battre avec des mots, je vais donc introduire chacun de vous très brièvement et présenter vos mérites au lecteur de cette année 2014. Mais ne pouvant évidemment pas résumer en quelques mots toute la philosophie grecque, je vais seulement insister sur des points qui peuvent montrer le caractère moderne des anciennes pensées des uns et des autres.

On ne présente plus Thalès, d'autant que Socrate vient d'en dire quelques mots, lui qui bien au-delà du fameux théorème dont il n'est pas l'auteur comme vient de le rappeler Socrate, a été le premier à affirmer que la matière était substance concrète et objective et non mythe, doctrine, impression fugitive ou dogme. Anaximandre, très bon élève de ton maître Thalès, tu as rajouté ensuite que cette substance fondamentale n'était ni l'eau, ni l'air, ni aucune des substances composites qui nous entoure mais une substance primordiale sans âge, sans couleur, sans saveur mais, en même temps, fondement de toute la matière que nous connaissons et donc fondement de la couleur, de la saveur, de l'âge, etc… Anaximandre, tu as eu le mérite également de noter que le mouvement est éternel et que des mondes disparaissent sans cesse pendant que d'autres sont créés. Tout se transforme, disait-il, et la matière de base, au cours de ces transformations, ne change pas, elle est seulement échangée entre plusieurs substances. C'est grâce à toi, Anaximandre et en suivant tes bonnes leçons, que j'ai pu développer l'idée que la vérité sur le monde ne peut se contenter des réalités sensibles, que l'univers est éternel et infondé (inengendré par rien ni personne, même pas par un principe ou une apparition, fût-ce de matière). Et surtout que l'Univers est Un et non multiples, mais on y reviendra. Cela ne m'empêche pas d'y voir, comme Héraclite, des contradictions dialectiques (entre le mortel et l'immortel, entre l'être et le non-être, entre le jour et la nuit, entre la terre et le feu, on dira aujourd'hui entre la matière et l'énergie). Mais, malgré ces contradictions, j'estime toujours valable et riche l'idée que le monde est Un et que l'on ne peut, sans provoquer de lourdes erreurs spécifier une partie, en la considérant comme indépendante et séparable des autres… Voilà encore une question riche pour interroger la science moderne, notamment la physique, et j'espère que l'on ne s'en privera pas dans la suite du débat.

Mais il faut maintenant que je donne un coup de chapeau à notre ami Héraclite, assis à ma droite, pour avoir transformé radicalement le sujet même du débat en introduisant la notion du « devenir » et montrant que c'est cette notion qui était au centre de l'étude du monde. Pour toi, Héraclite, tout est sans cesse en devenir et c'est le développement dynamique qui explique l'existence même de l'univers. Et il trouve la source de cette dynamique dans le développement des contradictions dialectiques, un combat incessant dont les guerriers sont des forces de la nature opposées, se contredisant sans cesse mais, en même temps, faisant de leurs heurts un système unique qui contient en même temps ces forces contradictoires. Pour toi, Héraclite, - tu me contrediras si je trahis ta pensée -, la dialectique des opposés est la source même du changement et du mouvement de la matière, de toute la nature comme de la société humaine. Et ce n'est pas tout : notre ami Héraclite explique la matière par son caractère intimement dialectique : un composé contradictoire de matière inerte et de mouvement, ce dernier qu'il appelle « le feu » et que les scientifiques modernes appelleront l'énergie. Pour toi Héraclite, dialecticien sans pareil, ces deux notions s'opposent et se composent en même temps : pas de matière sans énergie et pas d'énergie sans matière. Et cependant, la matière résiste au mouvement (c'est la masse inerte) et le mouvement s'exerce pour forcer cette masse à se déplacer. On verra plus loin que c'est la pensée d'Héraclite qui m'a inspirée pour développer l'idée de l'unité du monde contre tous ceux qui prétendaient le diviser en parties séparées, en domaines qui ne se mêlaient nullement, comme ils séparaient et opposaient, diamétralement et non dialectiquement, matière et vide ou matière et énergie.

Héraclite, je ne résiste pas au plaisir de te citer au moins une fois, bien que je ne puisse absolument pas en faire autant pour chacun des participants. Tu as eu une parole en or : « Il faut connaître que toutes choses naissent selon discorde et nécessité. » Le monde n'a pas fini de peser la valeur d'une telle affirmation et t'en remercie !

J'en viens à Empédocle - ne grimace pas mon ami en craignant de ma part une présentation défavorable et partiale -, tu es resté fameux pour ta théorie des éléments. On sait que tu as développé, contre moi, l'idée du pluralisme de la matière, avec ses quatre éléments. Ne t'inquiètes pas, Empédocle, tu vas avoir toute latitude pour exposer ton point de vue bien mieux que je ne peux le faire et je t'inscris sur ma liste d'intervenants. Anaxagore a poursuivi mais lui a étudié le passage du pluriel à l'unité, et inversement, par la séparation et le mélange des substances différentes. Pour Anaxagore, la matière ne contient pas seulement des niveaux de quantité mais aussi des niveaux de qualité. Anaxagore découvre de nombreuses dualités : limité/illimité, air/éther, matière/énergie, visible/invisible, etc…

C'est toi, Anaxagore, qui a développé l'idée que tout au monde est formé à partir de la même base réelle, qu'il s'agisse de la matière ou de l'énergie (que nous appelions « le feu »). Il développe la pensée que l'on peut passer aussi bien de la matière à l'énergie que de l'énergie à la matière par des séries de transformations. On peut dire que la physique relativiste et quantique, et son sommet E = mc², soutient que la matière est de l'énergie et l'énergie peut se matérialiser également. On n'a pas retenu certes les formulations d'Anaxagore selon lesquelles on passe de l'air à l'eau, de l'eau à la pierre et de la pierre au feu, mais l'idée était lancée. Anaxagore, tu as également eu le mérite de donner ses premières leçons de philosophie à Socrate, même si les difficultés auxquelles tu t'étais heurté et les difficultés que connaissait la Grèce qui allait bientôt causer sa chute, ont amené Socrate à orienter ses études et ses leçons dans un tout autre sens que la recherche en physique et en philosophie des sciences.

Nous sommes vraiment revenus à la conception dialectique avec toi, Socrate, et tu l'as démontrée non seulement par ta capacité à contredire les adversaires de débat mais dans ta méthode de l'étude, de la définition, de la formation du concept. C'est toi qui as compris que la notion elle-même doit être intrinsèquement contradictoire, c'est-à-dire comprendre en son sein le combat entre forces adverses et associées. Ta vie elle-même, avec ses nombreuses contradictions vécues, intégrées par toi, est une démonstration dialectique, mais on en reparlera certainement puisque tu as marqué plus d'un d'entre nous…

– Socrate : Je t'interrompt encore une fois, mais pas pour te contredire. Seulement pour me féliciter de me voir rapporté par quelqu'un d'autre que Platon, ce double face qui m'a fait passer auprès du public actuel pour ce que je ne suis pas !

– Platon : Cher Socrate, mon maître et notre maître à tous sans doute aujourd'hui, ton serviteur Platon n'a eu que sa maigre capacité pour rendre tes propos mais je m'y suis employé assidument et je peux dire que, sans moi, ton existence et tes idées seraient restées enfouies dans les ténèbres du passé.

– Socrate : Platon, c'est de mon vivant que tu as commencé à interpréter mes dires et que j'ai eu l'occasion d'annoncer publiquement que cet exposé n'était pas fidèle. Aujourd'hui, les gens n'ont quasiment que ton témoignage pour juger et c'est bien triste car tu as transformé une bombe philosophique en icône inoffensive, mon nom qui sentait le soufre a été changé en celui d'un sage vieillard sans danger pour l'ordre établir et ma pensée révolutionnaire en simple goût de la discussion sans fin. Je peux difficilement faire semblant d'en être satisfait ! C'est au point que les gens du monde actuel se demandent ce qui a pris à la jeune démocratie athénienne, à peine mise en place par le renversement de la tyrannie, pour avoir condamné à mort et tué un philosophe aussi paisible et peu dangereux, ce masque derrière lequel tu as couvert mon visage après ma mort afin de couvrir également ton rôle connu de disciple de Socrate de celui du sage et pas du révolutionnaire s'attaquant à l'ordre établi ! Tu as été jusqu'à effacer qu'en acceptant la condamnation d'Athènes, et même en la suscitant, j'ai moi-même et publiquement condamné Athènes. Mais je ne peux pas retarder trop longtemps notre débat avec des considérations personnelles et je repasse la parole à Parménide.

– Parménide : Je vous cèderais volontiers ensuite la parole pour répondre à la question « qui est véritablement Socrate », qui, j'en suis sûr ne manquera pas de plaire aux lecteurs d'aujourd'hui. Est venu ensuite Démocrite, merci de ton salut, et tu as défendu, avec Leucippe, ton ami d'Abdère, la notion d'atomes, dont vous lui attribuez la création et qui signifie non sécable, et l'idée que toute la matière est fondée par des attachements entre atomes, ces éléments très petits et fondamentaux de la matière. Contrairement à moi, mais j'y reviendrais, tu as rejeté l'unité du monde et supposait une opposition diamétrale.

Chacun d'entre nous connaît bien entendu la géométrisation de l'univers conçue notamment par Platon, comme la mathématisation imaginée par Pythagore et ses disciples. Pour toi, Pythagore, tout est nombre et je ne crois pas trahir ta pensée en disant que la nature du monde, selon tes thèses, serait entièrement mathématique, idée que bien des physiciens contemporains reprennent souvent, considérant même parfois, à tort ou à raison, qu'il n'y aurait pas de sciences sans mathématiques et que les formules mathématiques seraient la seule réalité du monde. Cette thèse a eu des soutiens fameux comme celui de Galilée. Einstein, par contre, s'il manie avec aisance la physique mathématique, a toujours maintenu son soutien à l'idée « très grecque » si l'on peut dire, d'un principe de réalité fondé sur la matière et ce qui lui arrive au cours des transformations. On a pu penser que ta philosophie, Pythagore, et celle enseignée par ta fameuse école de philosophie, allait donner un fondement à l'idée d'un élément unique à la base de tout. Et cela aurait été le nombre. Mais finalement, les mathématiciens se sont heurtés aux mêmes dualités que les physiciens et les pythagoriciens ont dû reconnaître les couples de contraires associés : pair/impair, limité/illimité, continu/discontinu, point/ligne, trait circulaire/ trait droit, hasard/lois et j'en passe…

J'en viens à celui qui est resté le plus fameux d'entre nous pour le grand public, c'est toi Aristote ! Selon tes thèses, la matière est déterminée par trois choses : la forme, l'ordre et la position (nous autres grecs anciens, disons plutôt schéma, taxis et thésis). Tu reprends ainsi, Aristote, la philosophie de l'école d'Abdère mais en remplaçant par schéma ce que ces philosophes appelaient rythme or le terme de schéma est statique et représente une forme fixe alors que celui de rythme est au contraire dynamique. Cela montre bien dans quel sens allait se développer ta philosophie qui peut, à bon escient, être traitée de « philosophie de l'ordre » alors que la science contemporaine serait plutôt celle du couplage de l'ordre et du désordre. Mais, cherchant ce qui dans ta philosophie peut être tenu comme d'allure moderne, je retiendrai celle selon laquelle la logique de raisonnement et d'exposition sur les sciences provient de la logique de la nature elle-même, de son déterminisme, de ses lois.

Une autre de tes thèses, Aristote, a un retentissement moderne, c'est celle de potentiel, de monde en puissance. Aristote, qui est antidialecticien, oppose diamétralement la « causa materialis » à la « causa formalis », l'être en acte et l'être en puissance, en somme la chose ou sa substance et sa forme ou son formalisme descriptif. Il inaugure ainsi l'opposition moderne du substrat et de la forme, la dualité onde/particule, le dualisme du corps et de l'esprit de Descartes. La physique quantique notamment va souligner l'importance de ce qu'Aristote appelle « potentia » et montrer que l'univers ne se modifie pas à partir du monde en action mais du monde potentiel qui contient tous les états possibles à un instant donné. L'idée d'Aristote a donc reçu un soutien de la physique moderne, même si le débat continue pour savoir s'il faut opposer diamétralement ou dialectiquement l'onde et la particule, la matière en acte et en puissance, le virtuel et le réel, etc… Mais Aristote, tu es loin de t'en être arrêté là dans ta fureur antidialecticienne, tu as opposé diamétralement repos et mouvement, matière et vide, forme et substance, ou encore matière inerte et matière vivante et l'une des polémiques qui vont nécessairement en découler consiste à décider si les sciences modernes te donnent raison ou tort. Attend un peu, Aristote, tu n'as pas encore la parole et il faut que je fasse un peu respecter l'ordre des inscriptions, ce n'est pas à toi que je vais apprendre l'intérêt de l'ordre et de la discipline !

Les gens du vingt unième siècle ont entendu parler de vous tous, mes amis, mais ils n'ont pas entendu parler de moi, ils ne connaissent pas Parménide.

Pourtant, c'est justement contre moi que Démocrite a développé l'idée que la nature était divisée en deux sortes diamétralement opposées : la matière et le vide. Il lui semblait que le mouvement, pour exister, nécessitait un espace vide à occuper à chaque déplacement. C'est contre mes thèses qu'ont œuvré Platon et Aristote ainsi qu'Empédocle, pour ne citer que ceux-là.

Et je rends maintenant hommage à mon meilleur élève Zénon qui a su dépasser son maître et atteindre la notoriété dans le monde moderne puisque certains de ses paradoxes ont passé les siècles et que des lois de la physique moderne s'appellent principe de Zénon !

Dès ses débuts en philosophie, Zénon a su développer des arguments qui lui étaient propres sur une discussion que j'avais initiée sur l'Un et le Multiple. Il a utilisé une méthode originale à plus d'un égard : méthode du raisonnement par subdivision, méthode du raisonnement par l'absurde, méthode de l'exemple conceptuel, de l'expérience de pensée. Il a prouvé que le raisonnement par l'absurde peut démontrer qu'une hypothèse était infondée si ses conséquences sont absurdes. Ce type de raisonnement explique : supposons que tout soit divisible en parties et allons jusqu'au bout des conséquences et montrons que cela n'est pas possible car cela entraînerait que le mouvement des corps matériels est impossible. Ou encore, supposons que le temps, l'espace, la matière et l'énergie soient divisibles sans que cette opération de division soit limitée, en parties de plus en plus petites, cela signifierait certes que l'on aurait affaire à un continuum mais également que tout déplacement ou tout changement serait bloqué. Même si des auteurs nombreux ont rejeté ces raisonnements, cette remarque, aujourd'hui appelé l' « effet Zénon », est vérifiée et il y a même une pratique quantique consistant à effectuer sans cesse des mesures qui entraîne le blocage du phénomène. Bien sûr, les détracteurs, comme Platon et Aristote, ont prétendu avoir compris que Zénon disait que le mouvement n'existe pas du tout alors qu'il a seulement démontré que l'existence du mouvement est contradictoire avec celle d'un univers continu et non dialectique, avec celle du bon sens. Le caractère renversant des paradoxes comme celui d'Achille et de la Tortue sont restés fameux et c'est le même étonnement qui s'est produit quand les physiciens quantiques ont été contraints de reconnaître la discontinuité fondamentale de l'univers.

Avant que Démocrite ne développe ses arguments, j'ai raisonné le premier sur la Terre qui nous porte, vous et moi. C'est moi qui, le premier, vous ai dit qu'elle est matière, qu'elle est ronde et qu'elle peut être divisée en zones climatiques (les deux pôles, les deux zones tempérées, les deux zones tropicales et la zone équatoriale)... Vous avez, par contre, considéré que l'étude de la matière aurait donné raison à mon principal adversaire, Démocrite, considéré à tort comme l'inventeur de l'atome et comme le père de la science moderne. Je trouve cette affirmation très étonnante. Peut-être est-ce surtout de l'ignorance des débats qui avaient lieu à l'époque et que je vais tenter de vous retracer.

Tout d'abord, sachez que le débat ne portait pas d'abord sur ce qu'est la matière, mais sur le vide (le néant plus exactement qui séparerait les éléments de matière)... et, plus exactement, sur son existence ou son inexistence. Existe-t-il, entre des zones où il n'y aurait que de la matière, des zones où il n'y aurait que du vide, comme l'affirmait Démocrite, ayant développé les idées d'Empédocle ? Est-ce qu'aujourd'hui la science moderne affirme que le vide est vraiment vide, comme le pensait Démocrite. Ou, au contraire, estime-t-elle qu'un espace-temps où il n'y a rien n'existe pas, comme je l'avais pensé et défendu ?

Bien sûr, Platon et Aristote se sont chargés de démolir nos thèses à tous deux, Démocrite et moi. Platon voulait même qu'on brûle définitivement les écrits de Démocrite. C'est dire ! Platon et Aristote, qui n'apportaient rien à la compréhension de la matière et du vide, ont cependant été largement plus diffusés dans le monde moderne que nous. Mais ses thèses à lui sur le monde, elles, se sont révélées totalement fausses ! Eh bien, il se trouve que dans les textes que vous écrivez au 21ième siècle, il reste bien plus fameux dans le grand public que Démocrite et moi !

Enfin, que tout cela ne vous empêche pas de lire ce qui suit et qui retrace un combat qui reste important pour la science et la philosophie. D'autant qu'il est certain que Démocrite, Platon et Aristote ne resteront pas sans réagir...

Ceci dit, bien que vous n'ayez entendu parler de moi que par les critiques acerbes et malhonnêtes de Platon et Aristote, je voudrais redire en quelques mots quel était mon raisonnement.

En premier, il s'agissait d'affirmer que le monde est un tout qui n'est pas simplement divisible en parties. Bien sûr, intellectuellement, on arrive à parler de parties. Cette description ne suffit pas car il s'avère que le tout n'est pas la somme des parties.

J'ai défendu que l'univers est matière, est intelligible, non créé, fini et physique, sans commencement et sans fin. Et, philosophiquement, je suis l'un des premiers à défendre que "le penser et l'être sont une même chose."

Ensuite, si on considère ainsi l'ensemble du monde, il n'interagit avec rien et donc ne peut rien recevoir ni rien donner à l'extérieur. Sa description temporelle et spatiale n'est plus possible...

Réfléchissez vous-mêmes si les sciences modernes me donnent ou non raison.

Le vide est-il complètement vide ? N'est-il pas plein de photons et de particules virtuelles ?

L'espace-temps est-il concevable sans ces particules ?

La matière existe-t-elle en dehors de ces particules virtuelles ? Et donc, y a-t-il d'un côté la matière et de l'autre le vide, comme le croyait Démocrite ?

Les raisonnements sur l'univers en tant qu'une unité, que j'ai ainsi débutés, ont donné naissance à la cosmologie et ce domaine est devenu une science qui a de nombreux développements modernes. Le fait de voir que la matière à petite échelle obéit aux mêmes lois que la matière à grande échelle en est un exemple.

Bien entendu, Platon et Aristote, en diffusant mes thèses pour les discréditer, n'ont pas maqué de souligner que j'avais déclaré que le mouvement et le changement ne sont qu'illusion. Cela peut sembler bien faux et dépassé au regard des sciences. Et pourtant, du point de vue de la matière, globalement, cela ne l'est pas. Quand l'eau passe de l'état solide à l'état liquide, pour la molécule, il ne s'est rien passé. Comme je raisonnais sur l'ensemble de l'univers et sur le principe qui préside à son fonctionnement, je soulignais qu'il n'y a ni changement ni mouvement en ce qui concerne ce principe. Quand le physicien actuel suppose qu'un quanta est toujours un quanta, hier et aujourd'hui, dans le vide ou dans la matière, sur la terre ou dans le soleil, philosophiquement, il raisonne comme moi !

Tous les philosophes grecs, à commencer par Platon et Aristote, qui ont opposé diamétralement la matière et le vide. Aristote a même tellement théorisé les oppositions diamétrales qu'il divise tout en opposés, séparés, sans connexion, sans composé, sans unité : la matière et le vide, la matière et l'énergie, le mouvement et l'immobilité, etc… Nous aurons l'occasion de discuter dans la suite de la validité de telles conceptions d'oppositions diamétrales au vu des connaissances actuelles…

Pour en venir à l'atome de Démocrite, les hommes du 21ième siècle le considèrent comme l'ancêtre de l'atome moderne. Quelle erreur ! Aux débuts de la physique, avant la physique quantique, on considérait effectivement l'atome comme la brique insécable de matière, mais, aujourd'hui, on considère qu'il n'y a pas d'insécable de matière. N'oubliez pas que le quanta n'est pas de la masse ni de la charge électrique mais une quantité physique appelée de l'action. N'oubliez pas, aussi, que l'on a montré que la matière n'est pas la somme des atomes. Il s'y rajoute des interactions. Enfin et surtout, la science moderne s'est détournée de cette philosophie scientifique appelée réductionnisme et qui consiste à penser qu'il ne faut pas raisonner sur l'ensemble mais découper en parties les plus infimes possibles. On s'est aperçus depuis que les parties ne possèdent pas les propriétés du tout et que ce dernier n'est pas la simple somme des parties. Quant à la possibilité de diviser en parties, je préfèrerais donner la parole à Zénon qui avait développé avec brio cette question. Il pourra nous dire si la physique moderne lui a donné raison.

Enfin, un dernier domaine où je prétend avoir été très moderne : j'ai considéré que l'on ne devait pas séparer science, philosophie et art. Et ce débat me semble tout à fait actuel...

– Zénon : J'ai eu plus de chance de passer à la postérité grâce surtout à un de mes paradoxes, celui d'Achille et de la tortue. On se souvient de ce sportif musclé qui doit rattraper une tortue partie avant lui. Personne ne doute qu'il y arrive et pourtant… Pourtant, il doit d'abord combler la moitié de la distance, puis la moitié de la distance restante, puis encore la moitié de la moitié, etc… En tout cas, c'est ainsi que l'on est obligé de raisonner si on admet que l'on peut toujours diviser et diviser encore à l'infini. Dans ce cas, il peut continuellement se rapprocher de la tortue, la rattraper mais quand est-ce qu'il arrivera à son niveau, avant de la doubler. Apparemment jamais ! Bien sûr, ceux qui croient que l'ignorais qu'Achille doublait aisément la tortue ne sont pas bien malins. Pas besoin de raisonner pour cela. Je raisonnais pour discuter la nature même du temps, de l'espace, de la matière et du mouvement. Et, en particulier, je discutais la validité du raisonnement par dichotomie, en divisant sans cesse en deux les quantités.

Pouvait-t-on réellement le faire à l'infini ? N'oublions que, contrairement à votre époque, nous ne disposions pas de grands moyens techniques susceptibles de permettre des expériences sur la matière et nous devions seulement, comme l'avait fait, juste avant moi, Parménide, nous fier essentiellement au raisonnement. Cela nous menait déjà très loin. A votre époque, c'est plutôt l'inverse : on dispose de tellement de connaissances, de tellement de moyens technique, que l'on en oublie de raisonner, que cela n'est plus tellement à la mode. Dans l'ancienne Grèce, c'était un sport très à la mode et on y passait beaucoup de temps chez les citoyens libres. Les raisonnements de Parménide ont eu d'abord un grand succès pour finir rangés, très injustement, au magasin des curiosités. C'est le produit d'un combat des réductionnistes. Il n'y avait pas que les atomistes qui voulaient en finir avec les thèses de Parménide. C'est le cas de tous ceux qui cherchaient à décomposer la matière pour en comprendre le principe. Et c'était le cas, aussi, de tous les idéalistes qui, à la manière de Platon par exemple, voulaient donner à ce principe du monde une base idéaliste plutôt que matérialiste. La thèse de Parménide – l'univers est un tout, sur lequel on doit raisonner globalement – ou thèse holiste était une thèse matérialiste. Bien sûr, on peut se demander en quoi cette thèse serait aujourd'hui valide, dans un univers que l'on considère en expansion, qui se transforme sans cesse, qui a connu des transitions de phase avec changement qualitatif, etc… ?

Parménide a nié le vide et la physique a reconnu son existence, nous disent ses ennemis d'aujourd'hui. Mais la physique moderne a reconnu que le vide n'est pas rien. Or, le raisonnement signifiait que l'inexistant n'existe pas, soit exactement ce que disait Parménide… Les faux dialecticiens prétendaient que le monde était le fait de la lutte entre l'existant et l'inexistant. Parménide répondait que, par définition même, il n'y a pas d'inexistant. Donc ce que l'on appelle « le vide » n'est rien d'autre, comme la matière, qu'un existant… Il est de même nature que la matière nous disent les physiciens, puisque la matière elle-même est faite de particules et antiparticules du vide. Le vide est plein de matière et la matière est pleine de vide. Parménide combattait la vision mécanique de l'Univers. Quelle conception moderne ! Toute la physique a fini par abandonner la vision mécanique du monde. Qu'est cette vision ? Elle consiste à tout expliquer par des mouvements d'objets qui ne font que bouger sur un fond qui ne les contient pas. Cette conception a d'abord connu de grands succès : mécanique gravitationnelle, mécanique en astronomie des corps de l'espace, mécanique des fluides, vision mécanique de la pression et de la température des fluides, mécanique quantique, etc…. Mais cette vision a buté sur un mur. La mécanique suppose que les objets ne font que bouger d'un point à un autre, sans interagit avec un milieu matériel. La nouvelle conception quantique de la matière montre que la propriété « matière » saute d'une particule virtuelle à une autre. Ce n'est pas les objets qui se déplacent dans le vide, mais la propriété matière qui saute d'un corpuscule à un autre qui est élément de ce vide, ce qui est très différent. Le vide ne change pas dans ce mouvement, ni la matière.

Bien sûr, cela ne veut pas dire que ce que nous voyons tous les jours n'existe pas. Mais c'est un effet apparent à grande échelle de ce qui se passe à petite échelle et qui est très différent. C'est quand même une illusion. On a voulu fonder la matière à la base sur cette illusion et cela n'a pas fonctionné. On ne peut même pas dire qu'il existe des atomes et des interactions entre eux. En effet, atomes et interactions fonctionnent tous deux sur la base des mêmes particules et antiparticules du vide. Il n'y a aucun monde avec des objets existant et d'autre inexistant. Particules et antiparticules existent tous deux. Leurs contradictions agissent mais elles ne sont des contradictions de l'existence et de la non-existence. Elles sont des contradictions au sein de l'existant. Pour les logiciens, une contradiction suppose l'impossibilité. C'est pour cela que j'ai écrit surtout des paradoxes insolubles pour leur démontrer que le monde a des contradictions irréductibles, qu'il est dialectique et n'obéit pas à la logique formelle du tiers exclus. Si l'on oppose de manière formelle mouvement et non-mouvement, matière et non-matière, espace et non-espace, on arrive à des impossibilités que j'ai illustrées de 80 manières. Certaines images mathématiques de la physique ont servi à cacher ces illusions de la philosophie logique formelle derrière des calculs que l'on appelle les infinitésimaux. Il y a l'infiniment petit et l'infiniment grand. En jonglant avec ces sortes d'infinis, en faisant croire qu'il s'agit de nombres, on a réussi à camoufler les problèmes de l'image du monde physique et non à les résoudre. Mais le zéro et l'infini n'existent pas davantage. Le réel n'est ni nul ni infini. Le tout est physique donc fini. Le rien est inexistant donc on ne peut en parler.

Voilà ce que disait Parménide. Bien sûr, cela n'empêche pas la physique de se servir des mathématiques avec bonheur, mais cela empêche de prétendre que le monde matériel « est » mathématique. J'ai montré par mes paradoxes que la division à l'infini est impossible physiquement. Sinon, le mouvement d'un objet immobile ne commencerait jamais et le mouvement d'un objet ne s'arrêterait jamais. La division à l'infini de la matière est niée par l'existence des particules et antiparticules. La division à l'infini du mouvement et de l'énergie est niée par l'existence du minimum d'action ou quantité de Planck. La division à l'infini des matière-espace-temps est niée par l'existence des minimas de Planck. L'infinité de l'Univers est niée par l'existence de l'énergie qui ne peut pas être infinie. L'expansion de l'Univers peut sembler dire qu'il y a un mouvement de type mécanique. Mais telle n'est pas du tout la thèse de la physique. Ce que l'on appelle, par un terme mal choisi, « l'expansion » n'est pas un mouvement vers l'extérieur. Quand on considère l'Univers entier, aucun mouvement vers un extérieur n'a de sens. La version de Parménide que ses détracteurs, comme Platon et Aristote, ont développée est mensongère. Ils lui prêtent l'idée que rien ne bouge, que tout est continu et que l'immuable explique tout. Oui, Parménide a dit que le mouvement mécanique est illusion, mais ce n'était pas pour dire que rien ne se transforme. Cela signifiait que le changement n'est pas un « simple » déplacement au sein du « rien » sans interaction avec un milieu matériel, que le changement est le fondement du non-changement. Les transformations internes ont pour but la non-transformation de l'ensemble de la structure.

Mes paradoxes ont suscité de nombreuses remarques en tous sens et encore plus de contre-sens. En effet, certains ont voulu y voir une démonstration directe alors qu'il s'agit d'une démonstration par l'absurde. Le but du paradoxe est d'arriver à une impossibilité. Il ne s'agit pas d'affirmer que cette impossibilité a lieu mais de contredire les hypothèses de départ. Il est absurde d'affirmer qu'Achille, ce brillant coureur, ne rattrapera pas la tortue. Inutile de me dire, avec un air sage, que j'ai tort et que le mouvement existe et qu'Achille va y arriver. C'est ridicule. Dites moi plutôt quelle hypothèses fausse ai-je utilisé. Tel est le but du paradoxe : nous permettre de sortir d'une vision erronée qui n'est pas évidente à contredire. Chacun de mes paradoxes casse un apriori communément admis et qui s'avère pourtant faux. Par exemple, une heure est égale à l'addition une après l'autre de soixante minutes. C'est évident. Mais le temps n'est pas une addition d'intervalles successifs obtenus par subdivision à l'infini. La molécule est faite d'atomes, mais elle n'est pas la somme de ses atomes. L'atome est fait d'un noyau et d'électrons mais il n'est pas la somme du noyau et des électrons. Le noyau est fait de protons et de neutrons mais il n'est pas la somme de ses protons et de ses neutrons.

– Platon : A entendre mes deux prédécesseurs, les sciences et la philosophie du vingt-et-unième siècle leur aurait donné raison, notamment contre moi. Je comprends leurs arguments concernant la matière telle qu'elle est perçue aujourd'hui par la physique quantique notamment. C'est effectivement très nouveau et c'est très différent de ce que croit voir le commun des hommes quand il parle de matière. Il est vrai que cette physique a nié le non-existant auquel croyaient les philosophes avant Parménide et je lui en donne acte. Il est vrai que la physique quantique a donné en un sens raison à Zénon puisqu'elle affirme que l'on ne peut pas subdiviser à l'infini, ni la matière, ni l'espace, ni le temps, ni l'énergie, ni l'action. C'est un produit de la quantification. Et pourtant, je voudrais montrer que mes principales idées, loin d'être infirmées par cette physique, sont appuyées par elle. Tout d'abord, je ferais remarquer que je n'ai jamais contredit les idées précédemment citées qui n'étaient pas une préoccupation pour moi.

L'une des principales idées que j'ai développées est celle de l'existence de deux mondes, le monde de l'univers sensible (des ombres pour reprendre l'image de l'homme dans la caverne qui ne voit des projections de la réalité sur le fond de sa grotte) et celui de l'univers rationnel (auquel l'homme accède par son raisonnement et qui manipule des concepts). Le monde est imparfait et les idées sont parfaites. Les mathématiques, par exemple, sont du domaine des idées. On pourrait s'imaginer que la physique, ou étude de la matière, allait donner raison au point de vue matérialiste d'Anaxagore, selon lequel tout est matière. Eh bien non ! La physique quantique a renoncé aux descriptions en termes d'objets matériels se déplaçant et donné une simple description par des outils mathématiques, des objets purement mathématiques non descriptifs. La physique moderne est devenue purement mathématique et je m'en réjouis. Aucun récit à l'aide d'objets du type de ceux que l'on croit voir dans notre univers sensible ne convient pour décrire les événements qui se produisent dans les expériences de la physique quantique qui se posent la question de ce qu'est la matière à l'état fondamental ! Il convient, il me semble, de concevoir l'importance de cette situation qui faut prendre désormais comme incontournable. Zénon a raison de remarquer que la matière et le vide sont une seule et même chose et que le mouvement n'est pas un déplacement à proprement parler.

Parménide a raison de dire que le mouvement apparent de matière n'est pas un déplacement d'objets et aussi que le vide au sein duquel on croyait que la matière se déplace n'est pas le non-existant, le néant, vide de tout. Il rappelle même à juste titre que le vide et la matière sont le même milieu en termes de particules et d'antiparticules dites virtuelles. Ils ont raison de dire qu'il n'y a pas d'espace-temps dans ces particules virtuelles et que, ce n'est qu'en présence d'une propriété de masse qui n'est pas attachée à une particule virtuelle particulière, que la matière massive et que l'espace et le temps existent. La matière-espace-temps n'est donc pas un objet mais une qualité qui saute d'une particule à une autre. Je suis donc en droit de la considérer comme une idée abstraite, puisqu'elle ne s'attache pas particulièrement à une matière dont elle ne serait qu'une mesure quantitative. Finie la matière particulaire massive chargée d'expliquer la matière massive à notre échelle… Aucun récit en termes d'objets ne pourra remplacer le calcul mathématique à l'aide de concepts très différents de ceux de masse, de vitesse et d'énergie. C'est l'action et non l'énergie qui est quantifiée. Pas de déplacement tel que nous le concevons à notre échelle, de manière continue. La nature ne fait que des sauts : un, deux, trois quanta, telle est la description d'un phénomène même si il est aussi simple qu'un mouvement rectiligne ou une simple rotation. Tout est décrit par des sauts.

Effectivement, Parménide a raison de remarquer que l'univers dans son ensemble n'est pas un objet en déplacement, que le mouvement est illusion, qu'on ne peut pas se déplacer vers le néant. Le vide quantique n'est pas le « rien », le « néant », la non-existence. Sur ce point Parménide et Zénon ont raison. Le vide est formé de particules et antiparticules virtuelles, comme la matière et comme la lumière. Il n'y a pas déplacement de matière existante dans un non existant vide. Mais, sur ce point je n'étais pas intervenu et mon point de vue a, par contre, été confirmé : l'univers réel est celui des idées et pas celui des objets qui sont du domaine sensible et que j'appelle des ombres. Anaxagore, que certains croient le précurseur de la science moderne, est effectivement le fondateur de la philosophie matérialiste, ce qui est très différent. Il a supposé que tout est matière et que les idées ne sont que des reflets déformés de la réalité, alors que c'est l'inverse : l'idée parfaite et immuable admet un reflet pour les hommes qui est le monde sensible. La physique quantique a été contrainte de démolir l'univers sensible qui est celui de l'homme du commun.

Et ce n'est pas seulement vrai en physique quantique, mais dans l'ensemble des sciences. La psychanalyse, la psychologie, la neurologie nous montre que l'homme vit à la fois dans un univers conscient qui est relié à ses sens et d'un univers inconscient qu'il perçoit dans ses rêves, dans ses fantasmes, dans ses méditations. Il y a donc bel et bien un monde qui nous met des idées en tête et qui n'est pas directement dépendant de nos sens. D'autres sciences remarquent également que l'univers n'est pas fait d'objets. Ce ne sont pas les matériaux qui composent les gènes qui déterminent l'action de l'ADN, la molécule de la vie. Ce ne sont pas les seuls gènes et leur contenu moléculaire qui comptent mais surtout l'ordre d'action de ces gènes, la rythmologie de leur action. Et cette rythmologie n'est pas un objet.

La physique quantique me semble avoir surtout donné gain de cause à ma conception du monde issue des mathématiques. Bien des physiciens sont d'accord sur ce point : il n'y a pas d'autre réalité que les formes géométriques et les équations ! N'est-ce pas la géométrie que la chimie reprend pour exposer les formes des molécules : le tétraèdre régulier de la molécule de méthane par exemple. Ainsi, on y expose qu'à chaque molécule correspond une structure géométrique en trois dimensions !

– Pythagore : En mathématiques, l'existence de sommes infinies convergentes a réglé son compte définitivement à Zénon et à tous ses paradoxes. On peut diviser une dimension finie en une infinité de parties sans la moindre difficulté.

– Parménide : Eh bien non ! Si certains mathématiciens pensent avoir résolu ses paradoxes avec les sommes infinies convergentes, ils se trompent. En effet, de telles sommes supposent des termes tendant vers l'infiniment petit. Or, aucun paramètre physique, pas plus le temps, l'espace, la matière ou l'énergie ne peuvent tendre vers zéro. En effet, toutes ces quantités sont quantiques, ce qui signifie qu'elles ne peuvent descendre en dessous d'une quantité liée au quanta de Planck. Le temps de Planck, la distance de Planck, la masse de Planck sont des limites inférieures. D'ailleurs, l'idée de Zénon va bien au-delà car il discute aussi de la nécessité de mesurer à l'infini qui s'oppose à celle de laisser faire le mouvement. Effectivement, la physique quantique démontre que le phénomène ne se déroule pas si on mesure sans cesse. C'est ce qu'on appelle d'ailleurs en physique l' « effet Zénon quantique » !! C'est Zénon qui a triomphé de ses détracteurs dans les sciences modernes !

– Platon : Tout comme Zénon a été l'élève brillant de Parménide, j'ai été ton élève, Socrate, et j'ai appris à l'ombre de ta dialectique. C'est pour ta philosophie que j'ai renoncé à l'art dramatique auquel je me destinais, en même temps que Xénophon a de même décidé de suivre ton enseignement. Nous avons été ta première classe. Et c'est ton enseignement qui m'a mené à la conception de la science guidée par les mathématiques, celle qui triomphe dans les sciences actuelles. C'est elle qui m'a aussi amené à l'idée de la caverne, celle qui montre que nous ne percevons que le reflet du monde réel, idée qui là aussi a eu une suite dans la physique actuelle. Les sciences reconnaissent en effet aujourd'hui le rôle de l'observateur en tant qu'interprète qui modifie ce qu'il observe en même temps qu'il l'observe.

– Socrate : Je te remercie de m'attribuer tes idées, ce que tu as déjà fait de mon vivant, et sans mon accord. J'ai eu l'occasion de t'en faire part en public, avant qu'Athènes ne décide que j'étais un personnage gênant. Rappelles-toi que je réagissais à tes comptes-rendus de mes idées par un « Je ne suis d'accord avec aucune des remarques que tu fais. » Tu le sais très bien mais, comme tu as rédigé toute ton œuvre en prétendant te cacher derrière moi, tu ne peux que continuer, même ici en ma présence… Oui, tu as été mon élève tant que, jeune athénien, tu étais prêt à rompre avec ton milieu familial, celui des grands propriétaires. Ensuite, tu as changé et tu as refusé de t'engager dans la voie que nous proposions, dans notre cercle révolutionnaire, pour renverser à la fois l'exploitation des esclaves, l'oppression des femmes, l'ostracisme à l'égard des étrangers. Loin d'avoir fondé les bases d'une philosophie scientifique, Platon, tu as plutôt fondé celle de la religion chrétienne.

Pour moi, c'est de toi, Héraclite, que j'ai été l'élève, toi qui affirmais que « Ce monde, aucun dieu ni aucun homme ne l'a créé, mais il fut, il est et il sera un feu éternellement vivant qui s'allume et qui s'éteint selon des lois. » Et aussi de toi, Parménide, parce que tu n'as jamais craint d'affronter l'opinion publique pour pousser jusqu'au bout tes raisonnements sans craindre ni l'impopularité, ni l'isolement, ni l'insuccès, ni même l'erreur théorique. Ta conception des parties et du tout, bien des physiciens s'y réfèrent sans le savoir…

- Démocrite : je crois que ce que le public actuel ignore le plus te concernant, Platon, alors que ton œuvre est probablement l'une des plus lues à l'époque moderne, c'est que toute ton œuvre est tournée contre moi et mes idées ! Si tu ne me cites jamais, tu passes ton temps à pourfendre mes conceptions… Selon moi, l'explication n'est pas à chercher dans une autre conception de la physique, de la compréhension de la nature, mais dans ta recherche d'une vérité supérieure à la matière, d'une métaphysique. Et c'est cette conception métaphysique qui guide tes conceptions en physique, mon cher Platon ! Alors que je vois dans les mouvements des atomes un effet du hasard et de la nécessité, tu cherches à affirmer que tout ce qui existe est nécessaire, est un produit d'actions directes de cause à effet. Et, au dessus du monde des atomes, tu places un autre monde, purement rationnel, qui est à la fois la mathématique rationnelle mais également un principe spirituel rationnel qui est le dieu unique du monde. L'idée qui ressort de ton explication du monde, est que ce dernier a été conçu dans un but et qu'il est le produit de la perfection. C'est une raison pour toi de refuser que le monde soit le produit de la dialectique des contradictions du hasard et de la nécessité.

suite à venir...

Comment la physique résout la question épineuse des infinis ?

Robert Paris — 2014-07-13T01:57:00Z

Roger Apéry dans "Penser les mathématiques" (ouvrage collectif) :

« La doctrine de l'infini actuel soutenue par Leibniz et étendue par Cantor l'a été pour des raisons métaphysiques ».

Leibniz écrivait :

« Je suis tellement pour l'infini actuel qu'au lieu d'admettre que la nature l'abhorre, je tiens qu'elle l'affecte partout, pour mieux marquer la perfection de son auteur. Ainsi je crois qu'il n'y a aucune partie de la matière qui ne soit, je ne dis pas divisible, mais actuellement divisée, et par conséquent, la moindre particule doit être considérée comme un monde plein d'une infinité de créature différentes. »

Comment la physique résout la question épineuse des infinis ? Par l'apparition ou la disparition d'un saut qualitatif de niveau hiérarchique de structure.

Il convient tout d'abord de noter que les infinis existent en mathématiques (infiniment petits et infiniment grands des limites des fonctions continues, des suites, de la dérivation et de l'intégration), mais pas en physique bien que cette dernière utilisent les mathématiques du continu en question pour leurs calculs. Mais, redisons-le, en physique il n'y a aucune existence réelle de l'infini, ni grand ni petit. Il n'existe pas de matière aussi massive (ou peu massive) que l'on veut. Il n'existe pas d'énergie aussi grande (ou petite) que l'on veut. Une planète ne peut pas être aussi grande que l'on veut. Une étoile ne peut pas être aussi grande que l'on veut. Comme le dit l'adage populaire, les arbres ne vont pas jusqu'au ciel.

La physique ne connait ni l'infiniment petit ni l'infiniment grand. Il y a partout des seuils, seuils inférieurs et seuils supérieurs, qui arrêtent la progression quantitative pour la transformer en changement qualitatif, c'est-à-dire faire franchir à la matière un saut qui l'amène d'un niveau hiérarchique de structure à un autre, dans lequel ce ne sont pas seulement les mêmes paramètres qui continuent à évoluer car les lois elles-mêmes changent.

Par exemple, à un certain seuil, la matière change d'état, passant par exemple de solide à liquide ou gaz. Les changements d'état de la matière ne sont pas le seul exemple de ces seuils. Ainsi, à un certain niveau de masse, la planète devient un soleil, en démarrant des processus d'explosions thermonucléaires en chaîne dans son noyau. D'autres seuils font passer une étoile à une étoile à neutrons à une supernovae, à un trou noir. A un certain seuil d'énergie de choc entre deux particules, celles-ci se transforment brutalement en lumière. D'autres seuils encore font sauter la matière dans ses états instables ou virtuels d'un état dans un autre.

La physique des quanta est pleine de tels sauts, de tels seuils et de telles preuves de l'impossibilité de descendre vers des infiniment petits ou d'atteindre des infiniment grands. Même le vide n'est nullement le zéro agitation, le zéro énergie. La matière ne peut ni être dans une agitation infiniment grande ni dans une agitation infiniment petite. On ne peut pas descendre en dessous d'un minimum d'agitation. Les constantes de Planck sont des minima d'action, de temps, d'espace, de masse ou d'énergie en dessous desquels on ne peut pas descendre. Les inégalités d'Heisenberg sont une autre manifestation de cette impossiblité. Les paramètres étant couplés de manière que l'accroissement de l'un provoque la diminution de l'autre, les paramètres ne peuvent ni être arbitrairement petits ni arbitrairement grands. Or ces paramètres indiquent la précision des mesures. Cela signifie que l'agitation autour d'une position ne peut ni être aussi grande que l'on veut ni aussi petite. On ne peut ni diminuer arbitrairement l'agitation d'une matière ni l'augmenter arbitrairement. Tout cela provient du fait que le quanta est indivisible, irréductible et indépassable. Du coup, le saut est inévitable en physique quantique. Rien n'existe en dessous du quanta et rien aussi entre un et deux quanta ou rien entre deux et trois quanta, etc… Zénon avait raison : le monde ne correspond pas à une divisibilité à l'infini ni à une possibilité d'additionner à l'infini.

Dans aucun domaine de la physique, et pas seulement en physique quantique, on ne peut progresser quantitativement sans parvenir à un saut qui nous entraine dans une autre physique, un saut qualitatif vers un domaine où d'autres lois ont cours.

Par exemple, si on accroit la vitesse de déplacement d'une matière au point d'approcher de la vitesse de la lumière c, la masse de matière s'accroit considérablement au point d'approcher de l'infini et si on accroit l'énergie malgré tout pour forcer cette vitesse de la matière, cette matière devient de la lumière avec une masse… nulle : un vrai saut qualitatif ! Quant à la vitesse augmentant infiniment, elle n'existe ni pour la matière ni pour la lumière. Dans le vide, on peut se déplacer plus vite mais ce n'est pas un déplacement d'objet qui a lieu à plus grande vitesse : c'est le temps qui ne s'écoule pas toujours vers le futur du fait de la présence d'autant d'antimatière que de matière.

L'existence de paramètres décrivant la physique qui utilisent les méthodes mathématiques du continu, du dérivable et de l'intégrable ne signifie nullement que ces outils correspondent à une description de la réalité mais seulement que le quanta est très petit et que la vitesse de la lumière très grande, que les seuils sont relativement importants par rapport à l'échelle quantitative de la dynamique concernée pour être assimilables, relativement et seulement relativement, à des infinis.

Cela ne signifie pas que la réalité soit continue, dérivable, intégrable, et donne une signification physique aux infiniment grands et petits. C'est que le quanta h est considéré comme infiniment petit devant le nombre de quanta impliqués dans les interactions physiques usuelles dans la matière à notre échelle. Ou encore la masse de Planck par rapport aux masses usuelles, le temps de Planck par rapport aux durées des phénomènes. De même, la vitesse de la lumière c est considérée comme infiniment plus grande que les vitesses classiques de déplacement de la matière à notre échelle.

Dès que les fonctions de la physique deviennent infinies, c'est qu'on entre dans un autre niveau hiérarchique de la matière. Par exemple, lorsqu'on approche d'une particule, les fonctions physiques deviennent infinies. En effet, dans ces fonctions, la distance est au dénominateur (au carré dans l'expression de la force gravitationnelle ou électromagnétique). Que se passe-t-il quand deux particules, chargées ou non, sont à distance quasi nulle ? Leur attraction ou leur répulsion est censée devenir infinie ! En fait, deux particules ne peuvent s'approcher infiniment près du fait des lois de la physique quantique. Si on les forçait à s'approcher tout près en leur fournissant assez d'énergie, elles se transformeraient en deux photons lumineux s'éloignant à la vitesse de la lumière. En fait, quand on réduit les distances, les temps, on passe de la matière/lumière au vide quantique et on change les lois.

Même les montres les plus modernes mesurent des quantités de temps minimes mais pas infiniment petites. Jamais on n'accède dans un phénomène physique à la continuité et aucun de ces phénomènes ne peut donc imager l'écoulement prétendument continu du temps.

Les infinis posent de nombreux problèmes en physique. Les équations les plus simples de la théorie de la matière mènent en effet à des nombres infinis alors qu'aucune quantité physique mesurée jusqu'à présent n'a jamais été infinie. On ne peut concevoir une masse, une force ou une énergie infinie et l'effet qu'elle aurait sur le reste de l'univers. Alors, cela signifie-t-il que ces équations sont totalement fausses ? Non, cela signifie seulement qu'elles décrivent un domaine qui est limité par celui d'une autre loi. Ainsi, la loi de la gravitation suppose une force inversement proportionnelle au carré de la distance entre deux objets matériels. Si ces objets se touchent que se passe-t-il ? La force deviendrait infinie. Mais, lorsque ces objets atteignent une distance subatomique, les forces électromagnétiques l'emportent sur les forces de gravitation. Or, elles sont répulsives pour deux particules chargées d'électricité identique. C'est justement ce qui se produit quand deux masses macroscopiques s'approchent de très près : les électrons périphériques des deux objets se repoussent. On dit que la force électromagnétique l'emporte alors sur la gravitation. Et si les deux objets sont lancés à très grande vitesse, cette répulsion entre charges électriques sera, elle-même, dépassée par une autre force, la force nucléaire faible. Puis, il en va de même avec la force nucléaire forte. Mais, finalement, est-ce que des objets vont véritablement « se toucher » ? C'est impossible parce qu'au niveau subatomique, l'objet matériel, pourvu d'une masse, saute d'une particule sans masse (particule virtuelle). Or une particule sans masse a une durée de vie trop courte pour que cette rencontre ait lieu. Contrairement à la vision mécanique des relations subatomiques qu'avaient autrefois les physiciens, on s'aperçoit qu'il ne s'agit pas simplement de mouvements de particules dans le vide avec des chocs. Il n'y a pas de collision au sens propre dans la matière. Le contact n'est pas possible puisque de nombreuses lois sont inversement proportionnelles à la distance entre les deux objets ou particules ou une puissance de cette distance. Qui plus est, le principe d'incertitude quantique rend impossible que deux particules se trouvent exactement en un même point. A la place des chocs entre particules, on trouve des « sauts » d'état des particules. Les particules qui approchent mettent en commun, par exemple, leurs états puis s'éloignent. Elles n'ont jamais pu se toucher et ce d'autant moins qu'il n'existe pas une seule position d'une particule quantique. Au lieu d'une physique fondée sur des déplacements et des chocs entre objets élémentaires restant identiques à eux-mêmes, on a un phénomène avec des changements brutaux, des transitions, au travers desquelles on change sans cesse de niveau de la matière. Et, à chaque niveau ses lois physiques. Le problème qui reste posé aux physiciens est celui d'unifier ces lois puisqu'il est certain que, s'il y a bien des niveaux de l'univers, ceux-ci coexistent et interagissent en permanence au travers de boucles de rétroaction. C'est la théorie de ces boucles enchevêtrées et contradictoires qui reste à écrire. Mais pourquoi vouloir dépasser les lois actuelles qui fonctionnent si bien si on s'en tient à chaque niveau d'étude ? Parce que conceptuellement, ce n'est pas la même chose de penser l'univers en domaines séparés ou en niveaux emboîtés. Dans le premier cas, on a une physique du continu. Dans le deuxième, une physique du discontinu. Dans le premier cas, on a une physique fondamentalement linéaire sauf quelques cas de non-linéarité. Dans le deuxième, elle est fondamentalement non-linéaire sauf quelques cas qui approchent du linéaire à la limite. D'autre part, les lois actuelles supposent des infinis qui sont inconcevables : énergie infinie d'interaction entre une particule chargée accélérée et elle-même, par exemple. Conceptuellement enfin, les diverses lois n'indiquent pas elles-mêmes les limites de leur propre champ d'action. Aucune forme de la loi de la gravitation ne nous dit : à partir de telle distance, on passe à un autre domaine. Et que se passe-t-il aux limites d'intervention des diverses lois ? Les questions sans réponse sont restées multiples après les développements de la physique relativiste et de la physique quantique. Mais ce qui semble forcer les physiciens à aller au-delà de lois séparées, d'un côté quantique de l'autre relativité, c'est l'astronomie où les deux lois coexistent. La grande échelle des étoiles et galaxies semble donner la prépondérance à la gravité mais la densité importante de matière et les grandes énergies mises en jeu rendent toute son importance aux loi quantiques, nucléaires notamment, et probablement aussi électromagnétiques. Du coup, la nécessité d'un monde unifié réapparaît et nous rappelle que nos lois sont encore insuffisantes à décrire les mécanismes naturels.
Dans « La nature de la physique », le physicien Richard Feynman expose : « Einstein a dû modifier les lois de la gravitation (de Newton), suivant ses principes de relativité. Le premier de ces principes était que rien ne peut advenir instantanément alors que, selon Newton, la force agissait instantanément. Il lui fallut modifier les lois de Newton. Ces modifications n'ont que de très petits effets. L'un d'eux est que toutes les masses tombant, la lumière ayant de l'énergie et l'énergie équivalant à une masse, la lumière tombe donc. (…) Enfin, en relation avec les lois de la physique à petite échelle, nous avons trouvé que les lois de la matière a à petite échelle un comportement très différent de celui qu'elle montre à grande échelle. La question se pose donc, à quoi ressemble donc la gravitation sur une petite échelle ? C'est ce que l'on appelle la théorie quantique de la gravitation. Il n'y a pas à l'heure actuelle de théorie quantique de la gravitation. »
Extrait de « Rien ne va plus en physique » de Lee Smolin : « Dans la nature, on n'a jamais rencontré quelque chose de mesurable qui aurait une valeur infinie. Mais en théorie quantique aussi bien qu'en relativité générale, on trouve des prédictions selon lesquelles certaines quantités physiquement significatives sont infinies. C'est la façon dont la nature punit les théoriciens impudents qui osent briser son unité. La relativité générale a un problème avec les infinis car, à l'intérieur d'un trou noir, la densité de la matière et la force du champ gravitationnel deviennent très rapidement infinis. (…) En un point de densité infinie, les équations de la relativité générale ne tiennent plus. (…) La théorie quantique, elle aussi, génère des infinis. Ceux-ci surgissent lorsqu'on essaye d'utiliser la mécanique quantique pour décrire les champs, comme par exemple le champ électromagnétique. En effet, les champs électrique et magnétique ont des valeurs en chaque point de l'espace. Cela signifie que l'on a affaire à un nombre infini de variables. En théorie quantique, il existe des fluctuations non contrôlables des valeurs de chaque variable quantique. Avec un nombre infini de variables, dont les fluctuations sont non contrôlables, on peut obtenir des équations qui prédisent des valeurs infinies quand on leur pose des questions sur la probabilité que tel événement se produise ou sur la valeur d'une force. (…) La théorie quantique contient en son sein quelques paradoxes conceptuels qui sautent aux yeux et qui restent non résolus même quatre-vingt ans après sa création. Un électron est à la fois une onde et une particule. Même chose pour la lumière. De plus, la théorie ne donne que des prédictions statistiques du comportement subatomique. Notre capacité à faire mieux que cela se trouve limitée par le « principe d'incertitude », qui dit que la position de la particule et son impulsion ne peuvent pas être mesurées au même moment. (…) L'idée que la physique doit être unifiée a probablement motivé plus de travaux en physique que n'importe quelle autre. (…) Toutefois, il reste deux forces fondamentales dans la nature qui échappent à l'unification avec les champs électromagnétique et faible. Ce sont la gravité et les interactions nucléaires fortes (qui maintiennent ensemble les particules appelées quarks et qui sont ainsi responsables de la formation des protons et des neutrons constituant le noyau atomique). (…) Malgré son efficacité, le modèle standard (douze particules et quatre forces pour engendrer le monde) se trouve confronté à un grand problème : il contient une longue liste de constantes à ajuster. Lorsqu'on énonce les lois de la théorie, on doit spécifier les valeurs de ces constantes. (…) Celles-ci spécifient les propriétés des particules. Certaines nous fournissent les masses des quarks et des leptons, tandis que d'autres donnent les intensités des forces. Nous n'avons aucune idée de l'origine de ces nombres. Tout ce que nous avons à faire, c'est de les déterminer au début des expériences et de les insérer ensuite dans la théorie. (…) Il existe environ vingt constantes de ce type et la présence d'autant de paramètres libres dans ce que l'on suppose être la théorie fondamentale cause un grand embarras. (…) Aujourd'hui, alors que nous célébrons l'intégration de tous les phénomènes connus dans le modèle standard plus la relativité générale, nous venons de prendre conscience de la présence de deux nouveaux nuages sombres. Ce sont la matière noire et l'énergie noire. (…) Ces dernières années, les astronomes ont réalisé une expérience très simple, au cours de laquelle ils ont mesuré la distribution des masses dans une galaxie de deux façons différentes et ont comparé les résultats. Premièrement, les astronomes ont mesuré la masse en observant les vitesses orbitales des étoiles ; deuxièmement, ils ont fait une mesure plus directe de la masse en comptant les étoiles, le gaz et la poussière qu'ils voyaient dans la galaxie. L'idée qui motive cette comparaison des deux mesures est que chacune doit fournir à la fois la masse totale de la galaxie et l'information sur sa distribution. Etant donné la bonne connaissance que nous avons de la gravité, et sachant que toutes les formes connues de la matière reflètent la lumière, les deux méthodes devraient s'accorder l'une à l'autre. Or, elles ne sont pas d'accord. Les astronomes ont comparé les deux méthodes de mesure de la masse pour plus de cent galaxies différentes. Dans presque tous les cas, les deux mesures divergent, et la différence entre les valeurs est loin d'être petite, mais plutôt d'un facteur 10. De plus, l'erreur va toujours dans le même sens : on a toujours besoin de plus de masse pour expliquer le mouvement observé des étoiles que ce que l'on calcule par comptage direct de toutes les étoiles, du gaz et de la poussière. (…) S'il existe une matière que nous ne voyons pas, elle doit donc se trouver dans un état et sous une forme nouvelle, qui ni n'émet, ni ne reflète la lumière. Et puisque la divergence des résultats est aussi grande, la majorité de la matière au sein des galaxies doit exister sous cette nouvelle forme. (…) On appelle cette mystérieuse matière manquante « matière noire ». Les astronomes préfèrent cette hypothèse, en grande partie parce que sa seule concurrente – l'hypothèse selon laquelle les lois de Newton sont fausses et par extension la relativité générale – est trop effrayante pour qu'on puisse l'envisager. Puis les choses sont devenues encore plus mystérieuses. Récemment, on a découvert que selon des observations à des échelles encore plus grandes, qui correspondent à des milliards d'années-lumière, les équations de la relativité générale ne sont pas satisfaites même en rajoutant la matière noire. L'expansion de l'univers, démarrée avec le Big Bang il y a quelques 13,7 milliards d'années, s'accélère, tandis que si l'on tient compte de toute la matière observée, en rajoutant la quantité calculée de la matière noire, l'expansion de l'univers devrait au contraire ralentir. Encore une fois, il y a deux explications possibles. Il se peut que la relativité générale soit tout simplement fausse. On l'a testée avec précision seulement à l'intérieur du système solaire et des systèmes voisins de notre galaxie. (…) Une autre possibilité serait l'existence d'encore une nouvelle forme de matière – ou d'énergie (rappelez-vous l'équation d'Einstein E=mc² qui montre l'équivalence entre énergie et la masse). Cette nouvelle forme d'énergie entrerait en jeu seulement à des échelles très grandes, c'est-à-dire qu'elle n'affecterait que l'expansion de l'univers. Pour que cela soit possible, cette énergie nouvelle ne peut pas se rassembler aux alentours des galaxies ou même des amas de galaxies. Cette étrange nouvelle énergie que l'on envisage pour que les chiffres correspondent aux données observées s'appelle « énergie noire ». La majorité des types de matière se trouvent sous pression, mais l'énergie noire exerce une tension (…) parfois dite de « pression négative ». (…) Si la pression est suffisamment négative, en relativité générale, (…) elle cause l'accélération, et non la décélération de l'univers. Les observations récentes nous révèlent un univers qui, en grande partie, est constitué d'inconnu. 70% de la matière est sous forme d'énergie noire, 26% sous forme de matière noire et seulement 4% sous forme de matière ordinaire. En conséquence, moins d'une part sur vingt de la matière est observée expérimentalement et décrite à l'aide du modèle standard de la physique des particules. Des 96% restant, excepté leurs propriétés déjà mentionnées, nous ne savons absolument rien. (…) Aujourd'hui, on en sait beaucoup à propos des caractéristiques fondamentales de l'univers, telles que la densité globale de la matière et le taux d'expansion. On possède maintenant le modèle standard de la cosmologie, de la même façon qu'il existe un modèle standard de la physique des particules. Tout comme son frère, le modèle standard de la cosmologie contient aussi une liste de constantes libres, dans ce cas, il y en a environ quinze. Ces constantes comportent, entre autres, la densité des différents types de matière et d'énergie et leur taux d'expansion. Personne ne sait rien de la raison pour laquelle ces constantes ont les valeurs qu'elles ont. Comme en physique des particules, ces valeurs sont fournies par les observations et ne sont pas encore expliquées par la théorie. (…) Une grande partie de la structure du monde, à la fois social et physique, est une conséquence de la nécessité pour le monde, dans son actualité, de briser les symétries présentes dans l'espace des possibles. Un trait important de cette nécessité est la contradiction entre la symétrie et la stabilité. (…) La symétrie est brisée spontanément. Par cette notion, on entend que la symétrie se brise à un moment, mais que la façon précise dont elle le sera est hautement contingente. (…)L'utilisation de la brisure spontanée de symétrie dans la théorie fondamentale a eu des conséquences essentielles non seulement sur les lois de la nature, mais aussi sur la question plus globale de ce qu'est la nature. Avant cette époque, on croyait que les caractéristiques des particules élémentaires étaient déterminées directement par les lois éternelles et immuables de la nature. Avec la théorie de la brisure spontanée de symétrie, un nouvel élément voit le jour : les caractéristiques des particules élémentaires dépendent en partie de l'histoire et de l'environnement. La symétrie peut être brisée, ceci de diverses façons en fonction de conditions comme la densité et la température. (…) La découverte du quart de siècle qui a eu le plus de conséquences est que les neutrinos ont une masse ; cependant ce résultat peut trouver une place à l'intérieur du modèle standard à condition de l'ajuster un peu (…) Il existe de grosses différences entre les masses des particules. Par exemple, la masse de l'électron représente un 1/800ème de la masse du proton. Et le boson de Higgs, s'il existe, a une masse au moins 140 fois plus grande que celle du proton. La physique des particules semble être plutôt hiérarchisée qu'égalitaire. (…) les différentes masses forment ainsi une hiérarchie. A son sommet, se trouve la masse de Planck, limite à partir de laquelle les effets de la gravité quantique deviennent importants. Peut-être 10.000 fois plus légère que la masse de Planck se trouve l'échelle où la différence entre l'électromagnétisme et les forces nucléaires disparaît. (…) Encore plus bas dans la hiérarchie, dix millions de milliards fois moins que l'échelle de Planck, se trouve le niveau om s'unifient la force électromagnétique avec la force des interactions faibles. (…) C'est dans cette région que nous devrions enregistrer le boson de Higgs (…) La masse du proton correspond à un millième de cette masse et, un millième plus petit encore, on trouve la masse de l'électron, masse dont celle du neutrino un million de fois moins. En bas de cette échelle, se trouve l'énergie du vide qui existe à travers l'espace, même en l'absence de matière. (…) Pourquoi la matière est-elle à ce point hiérarchisée et de cette manière, avec ces rapports de grandeurs ? Mystère. (…) Le problème de la hiérarchie contient deux défis. Le premier est de trouver ce qui détermine les valeurs des constantes et ce qui fait que les rapports entre elles sont si grands. Le second est de comprendre pourquoi ces valeurs restent là où elles sont. »

« D'une certaine façon, Zénon d'Elée avec ses sophismes (Achille et la tortue, la flèche immobile) avait déjà montré que la divisibilité à l'infini du continu abolit le mouvement et qu'un point sans dimension n'a aucune existence. Le caractère discontinu, fini, des phénomènes est une condition de l'existence elle-même ("Il est nécessaire que chaque existant ait une certaine grandeur, une certaine épaisseur, et qu'il y ait une certaine distance de l'un par rapport à l'autre"). L'infini est le signe qu'on a quitté la physique. » écrit Jean Zin, dans « Initiation à la physique quantique ».

L'idée principale de Zénon d'Elée était de démontrer que, si on admettait que le mouvement, le temps et l'espace étaient divisibles à l'infini sur des trajectoires continues, le mouvement serait impossible. Aujourd'hui, au moins deux branches des sciences physiques utilisent ce paradoxe : la physique quantique et la cristallographie. En physique quantique, une loi doit être "renormalisable", c'est-à-dire fondée sur un univers où les infiniment petits sont éliminés comme les infiniment grands. Sans le paradoxe de Zénon de la physique quantique, par exemple, l'électron aurait une énergie infinie d'interaction avec son propre champ dans le vide. Quantifier la matière, les interactions et l'espace-temps, c'est exactement admettre que l'on ne peut pas descendre en dessous d'une certaine quantité : qu'il n'y a pas d'infiniment petit en physique. Quant à la démonstration de Zénon par la dichotomie et le raisonnement "par l'absurde", loin d'être contredite par la connaissance de la notion mathématique d'infiniment petit, elle rappelle les limites de cette notion malgré son efficacité mathématique dans les domaines de fonctions régulières ne connaissant pas de changement brutaux et proches de la linéarité et de la continuité. Hors de ce domaine étroit, en particulier pour toutes les transitions de phase, pour tous les systèmes dynamiques loin de l'équilibre, le calcul dit infinitésimal, qui avait tellement bien réussi à la gravitation de Newton et Leibniz, est pris en défaut.
Zénon affirme : « Si une unité ponctuelle sans dimension était ajoutée à une autre, elle ne l'augmenterait d'aucune unité, car en ajoutant ce qui n'a pas de dimension, on ne peut accroître une dimension d'une unité. (…) Un point ajouté à un point ne produit pas de distance. (…) Si le multiple existe, d'autres s'intercalent entre les existants et dans l'intervalle entre eux il y en a encore d'autres, ainsi de suite entre d'autres intervalles il y en a en nombre indéterminé. (…) Si un point est dimensionné, il occupe un espace et définit une distance. Il y a donc d'autres points en son sein et ainsi de suite. »
" Car, si l'être était divisible, supposons-le sectionné en deux, et ensuite chacune des parties en deux, et que cela se reproduise sans cesse, il est évident que : ou bien il subsisterait certaines grandeurs ultimes qui seraient minimales et insécables, mais infinies en nombre ; ou bien il s'évanouirait et se résoudrait en ce qui n'est plus rien, et serait constitué de ce qui n'est plus rien ; deux conclusions qui précisément sont absurdes. Donc il ne sera pas divisé, mais demeurera un. De plus, en effet, puisqu'il est semblable en tout point, si on lui attribue la divisibilité il sera divisible semblablement en tout point, et non pas ici divisible et là non. Supposons-le donc divisé en tout point : alors il est évident que rien ne subsistera, qu'il s'évanouira, et que s'il est vrai qu'il soit constitué, il sera à nouveau de ce qui n'est rien. Car tant que quelque chose en subsistera, le procès de division en tout point ne sera pas encore achevé. En sorte que il est encore manifeste d'après ce qui précède que l'Etre est indivisible, et sans parties, et un. (…) Mais s'il est, il est nécessaire que chacun ait quelque grandeur, et quelque épaisseur, et que l'une de ses deux parties soit en dehors de l'autre. Même raisonnement pour celle des deux qui précède l'autre. Car celle-là aussi aura grandeur et quelque chose en elle précédera le reste. Assurément dire cela une fois revient au même que de le répéter indéfiniment. Car, de telles parties aucune ne sera l'ultime, ni telle qu'il n'y ait pas de relation d'une de ses parties à l'autre."
Le point de vue de Zénon rapporté par Simplicius dans « Physique »
« D'une certaine façon, Zénon d'Elée avec ses sophismes (Achille et la tortue, la flèche immobile) avait déjà montré que la divisibilité à l'infini du continu abolit le mouvement et qu'un point sans dimension n'a aucune existence. Le caractère discontinu, fini, des phénomènes est une condition de l'existence elle-même ("Il est nécessaire que chaque existant ait une certaine grandeur, une certaine épaisseur, et qu'il y ait une certaine distance de l'un par rapport à l'autre"). L'infini est le signe qu'on a quitté la physique. Une physique entièrement continue est donc bien contradictoire. »
Valerio Scarani dans "Initiation à la physique quantique, la matière et ses phénomènes"
Toute interaction nécessite un temps fini, non nul, le temps d'interaction ajouté au temps de relaxation. Ce temps, lorsqu'il n'est pas négligeable devant le temps caractéristique de transformation des structures mises en cause, signifie qu'il n'est plus possible de considérer des infiniments petits dans les calculs. C'est ce qui explique que les lois doivent être renormalisables. C'est ce qui explique aussi qu'il y ait des mouvements et des changements de structure. Sans quoi le mouvement serait impossible comme le montrait il y a bien longtemps les paradoxes de Zénon. L'équilibre, inversement, n'a lieu que lorsqu'il y a un rapport suffisamment petit entre les deux temps (temps d'interaction-relaxation et temps propre). C'est là que se trouve la source des stabilités structurelles. L'interaction du lent et du rapide est à la base de la formation de structures durables et toutes sortes d'équilibres. L'équilibre, lui-même, change donc de représentation et devient un cas limite du paradoxe de Zénon. La composition de structures cristallines en est un exemple. On a longtemps considéré que ce qui caractérise la fractale est la dimension fractionnaire. La droite et le point montrent qu'il n'en est rien. L'outil mathématique de base doit lui-même être fractal pour représenter un monde fondé sur des résonances et non-intégrable au sens de Poincaré, sauf dans quelques cas limites. Dans une géométrie fractale, il n'y a plus un seul nombre qui représente la distance entre deux points, car cette distance dépend de l'échelle d'observation. Cette dernière est donc un premier élément. Il convient d'y rajouter la distance de deux points permettant de les séparer par observation ou « pouvoir de résolution » et aussi l' « agraindissement » qui indique quand un point est représenté par une seule position et quand il l'est par un nuage de possibles.

« L'histoire des infinitésimaux (ou infiniment petits) est beaucoup moins simple que celle de leur cousin l'infini, et les considérations du style de celles de Zénon y ont joué un rôle important. Le paradoxe dit de la dichotomie s'attaque à la divisibilité infinie de l'espace. Pour qu'un objet puisse se déplacer d'une certaine distance, il doit d'abord parcourir la moitié de cette distance ; mais avant de parcourir cette moitié, il doit nécessairement en parcourir le quart, et ainsi de suite. Obligé de faire une infinité de chose dans l'ordre inverse, il est dans l'impossibilité de prendre le départ. Le scénario d'Achille et la Tortue est assez analogue. Il s'agit cette fois du bouillant Achille qui ne parvient pas à rattraper la tortue beaucoup plus lente que lui ; mais partie plus tôt ; Chaque fois qu'il atteint un emplacement où se trouvait la tortue, celle-ci a progressé pendant le déplacement d'Achille, et elle conserve ainsi une certaine avance. (...) Les paradoxes de Zénon sont plus subtils qu'il n'y parait, et si on les considère sous l'angle de la nature physique de l'espace-temps plutôt que sous l'angle purement mathématique, ils posent encore aujourd'hui des questions délicates. Les grecs jugèrent ces paradoxes redoutables, ce qui contribuera à les dégoutter encore plus des nombres et à se réfugier dans la géométrie. » écrit Ian Stewart dans « Les mathématiques ».

Zénon combat d'abord et avant tout la possibilité de « diviser à l'infini » un segment d'espace ou de temps en un nombre indéfini de parties ou de points. Ils va même au delà en déniant la validité de l'image discontinue du point et de l'image continue du segment, non seulement en termes d'espace et de temps mais aussi de matière, de mouvement et d'énergie. C'est ce qui fait la modernité des paradoxes de Zénon pour la physique contemporaine.
Cette possibilité de division à l'infini semble pourtant attestée par les notions géométriques et algébriques de milieu et de demi somme de deux nombres. C'est ce que l'on appelle « la dichotomie ». Elle permet d'affirmer qu'il y a toujours un point entre deux points et un nombre entre deux nombres. Et donc, on montre ainsi qu'il y aurait une infinité de points entre deux points ou une infinité de nombres entre deux nombres, en répétant cette dichotomie. Zénon va utiliser cette dichotomie appliquée à l'espace et au temps pour souligner les contradictions que cela entraînerait pour le mouvement.
On pourrait croire que la division à l'infini du segment des nombres, la plus grande précision possible des nombres, correspondrait à une connaissance plus grande de la réalité. L'expérience montre le contraire. Quand on veut gagner trop en précision d'une mesure, on en perd de l'autre côté, comme le montre la physique quantique. Le plus souvent, on change en fait de niveau d'observation de la réalité. On n'observe pas mieux mais autre chose. Cela signifie que le monde réel existe en même temps à plusieurs niveaux, ce qui correspond à plusieurs échelles d'observations et aussi à plusieurs agraindissement. Le grain est le niveau de distinction entre deux éléments.
Il en découle qu'il n'y a pas une seule échelle du temps ni une seule échelle des distances, échelle sur laquelle on pourrait descendre arbitrairement bas en valeur, mais des niveaux différents emboîtés et interactifs. L'espace et le temps sont des quantités fractales et dynamiques, qui sont produites par l'interaction, donc des quantités émergentes.
Toujours pour la physique moderne, le découpage à l'infini ne fonctionne ni pour la matière, ni pour le mouvement, ni pour l'énergie. Zénon mérite donc encore toute notre attention...
Ceux qui veulent en finir rapidement avec les thèses de Zénon ont deux types d'argument :
1) Zénon ne connaissait pas les suites et sommes infinies convergentes
2) Zénon voulait démontrer l'inexistence du mouvement, alors que chacun sait qu'il existe !
En ce qui concerne le premier argument, il est certain que les connaissances mathématiques de Zénon ne pouvaient comporter les calculs des suites, séries, différentielles ou intégrales comportant des infiniment petits. Tout porte à croire qu'il ne se serait pas contenté de la possibilité mathématique de les inventer puisqu'il contestait la possibilité de diviser réellement (physiquement) à l'infini.
Mais Zénon s'oppose seulement à une conception du mouvement qui est liée à une autre conception : celle de la position. Il nie l'existence d'une position définie par un point sans dimension. Comme le rappelle la citation donnée ici au début, Zénon rappelle qu'une série de points sans dimensions ne permettraient pas de construire la dimension d'un segment. Pour qu'il y ait une distance entre deux points, il ne suffit pas d'additionner une série de points sans dimension. Zénon nie donc une conception erronée du mouvement se rapportant à une notion inexacte du temps instantané et de la position purement ponctuelle. Si ces deux dernières existaient réellement, il affirme que le mouvement ne permettrait pas d'en sortir et on serait condamné à l'immobilité. En affirmant que la position ne peut être ponctuelle et que le temps ne peut pas l'être non plus, c'est-à-dire ne peut pas être infiniment précis, il rejoint de manière étonnante la physique quantique.

Etienne Klein explique dans « Le temps, son cours et sa flèche », conférence pour l'Université de tous les savoirs combien la continuité du temps est davantage un préjugé culturel dû à la difficulté de définir un temps discret qu'un résultat de l'expérience :
« Tout au long de son histoire, la physique a considéré que l'espace est un continuum, c'est-à-dire qu'il est possible d'envisager des portions de longueurs aussi petites que l'on veut, sans jamais atteindre de limite. Le point, qui correspondrait à un nombre infini de divisions, reste toutefois hors d'atteinte, mais on peut en principe s'en rapprocher continûment. Le fait qu'il soit possible de considérer des longueurs infimes, et même nulles, fait surgir d'énormes difficultés, par exemple lorsque l'on s'intéresse au champ électrique produit par une charge électrique, disons un électron, à la distance r de celui-ci. Ce champ, variant comme 1 divisé par r au carré, devient infini lorsque la distance r s'annule. De telles divergences ou singularités conduisent à des difficultés mathématiques que les physiciens tentent d'éviter de différentes façons. (…) On peut évoquer la procédure dite de renormalisation. Celle-ci consiste à éliminer toutes les quantités infinies qui apparaissent dans les calculs en retranchant à celles-ci un petit nombre de quantités elles-mêmes infinies, de sorte d'obtenir un résultat fini. Une dernière piste, plus audacieuse, consiste à imaginer que l'espace lui-même pourrait être discret, c'est-à-dire structuré selon un réseau, dont la maille, finie et non nulle, représenterait une distance minimale au-dessous de laquelle il serait impossible de descendre. (…) Celle-ci permet de considérer des structures spatiales qui présentent un caractère discontinu mais qui ne brisent pas les symétries fondamentales. (…) Les propriétés habituelles de l'espace étant restituées aux échelles de la physique habituelle, ce n'est qu'au-dessous d'une certaine échelle que les effets de cette géométrie apparaissent. Cette échelle, qui pourrait être celle dite de Planck (10 puissance moins 35 mètres) représenterait une limite à la divisibilité de l'espace. Mais revenons-en au temps. Les physiciens le supposent constitué d'instants qui se succèdent dans une structure continue. Ces instants jouent pour le temps le même rôle que le point pour l'espace. Ils sont tout aussi inaccessibles à la perception. (…) L'idée d'un temps discontinu, c'est-à-dire d'une atomicité de la durée, est parfois évoquée (…) »

Prenons trois points essentiels de la philosophie de Zénon et examinons si la science physique contemporaine lui donne plutôt raison ou non.

Premier point
Zénon affirme que l'infiniment petit n'existe pas. On ne peut pas diviser à l'infini ni le temps, ni l'espace, ni la matière, ni le mouvement, ni l'énergie, ni rien. Par exemple, pour lui, la dichotomie sans fin (division par deux) n'est pas possible. Cela signifie qu'il y a des quanta : de seuils avec des multiples de ce seuil. Le monde est donc discontinu fondamentalement et la continuité n'est qu'apparente. Il contredit ainsi une image donnée par les mathématiciens de son temps : celle de la l'algèbre et de la géométrie selon lesquelles les nombres seraient un continuum et les segments et droites aussi, continuum constitué d'éléments singuliers en nombre infini sans rupture entre eux. L'existence de quanta suppose qu'il y a nécessairement des ruptures.

Deuxième point
Zénon affirme que le mouvement n'est qu'une apparence. Bien sûr, il voit bien que la matière bouge dans l'espace mais il affirme en même temps que c'est une interprétation de notre part qui est erronée car nous faisons comme s'il s'agissait de deux choses complètement séparées : l'objet et l'espace qui n'interagissaient pas, l'espace servant seulement de toile de fond et la matière restant égale à elle-même tout en se déplaçant….

Troisième point
La contradiction dialectique de l'unité et de la diversité, de la matière et du mouvement, de l'être et du néant, de la matière et du vide est sans cesse contenue dans tous les paradoxes de Zénon…
Vérifions la validité de ces conceptions par rapport à ce que nous apprend la physique contemporaine.

Quelques expériences simples de physique vont illustrer notre propos pour démontrer ces trois points de Zénon. Nous ferons comme lui et nous fonderons sur des processus de dichotomie, des expériences qui illustrent que l'on ne peut pas diviser à l'infini. Ce sont ce que nous pouvons valablement appeler des « effets Zénon » de la physique. On trouve un en Cristallographie, un en Mécanique, un en optique, un en Physique quantique, un en chimie, un en Biologie, en Théorie de l'évolution et on en passe.
Il suffit de trouver une expérience dans laquelle des éléments microscopiques ont deux voies possibles (par exemple fentes de Young ou passage d'un filtre, réflexion/réfraction, …) et d'itérer cette expérience en série. A chaque étape, il devrait y avoir la moitié des éléments qui passent et ensuite la moitié de la moitié, etc. Mais, en pratique, rapidement, aucun élément microscopique n'est plus capté.
Plus simplement, on considère les rebonds d'une balle qui perd à chaque fois la moitié de son énergie et ne rebondit que de la moitié de la hauteur. On pourrait théoriquement croire que la balle ne va pas cesser de rebondir même s'il s'agit de touts petits bonds mais cela est faux. La balle s'arrête.
Dans une série de miroirs qui absorbent à chaque fois la moitié du rayonnement (miroirs dits semi-réfléchissants), on retrouve la même remarque. Rapidement, si on place en série de tels miroirs en grand nombre, la dichotomie laisse croire qu'il devrait passer une fraction infime mais non nulle du rayonnement initial et c'est faux : aucun rayonnement ne passe plus au bout de la série de miroirs. On ne peut pas diviser la réalité à l'infini… Pourquoi ? Parce qu'à force de diviser on atteint un seuil en dessous duquel le phénomène n'existe plus. On dit que le phénomène est quantique pour dire qu'en dessous d'un quanta, le phénomène n'existe plus.
On peut citer ainsi un exposé de recherche de physiciens sur l'effet Zénon quantique même si bien des passages peuvent sembler obscurs au non spécialiste :
« L'effet Zénon quantique a été décrit pour la première fois par Misra et Sudarshan de l'Université du Texas en1977. Ces deux scientifiques montraient comment une série dense de mesures pouvait geler la dynamique d'un système quantique. Tous les mouvements spontanés d'un atome en direction d'un chemin quelconque sont capturés par ces mesures et ramenés à la position initiale. Il s'agit d'une expérience plus facile à réaliser (à partir d'un point initial) que celle consistant à faire parcourir un chemin donné à une particule par une série dense de mesures. L'écrivain scientifique John Gribbin a pu dire qu'une bouilloire quantique soumise à une observation continue ne pourra jamais s'échauffer. Des mesures quantiques répétées peuvent inhiber l'évolution cohérente d'un système. C'est l'effet Zénon quantique, nommé ainsi en souvenir du célèbre paradoxe du philosophe grec qui niait le mouvement. Cette inhibition est provoquée par la projection associée à la mesure quantique. La première mesure projette le système sur un état propre de l'observable mesurée. Quand le temps entre mesures est court à l'échelle du temps d'évolution du système, la seconde mesure donne avec une grande probabilité le même résultat que la première. Le système est projeté à nouveau sur son état initial, annulant toute l'évolution cohérente entre les deux mesures. Après un grand nombre de mesures, le système passera finalement dans un autre état propre, effectuant un saut quantique. Le temps moyen entre ces sauts est beaucoup plus long que le temps caractéristique d'évolution cohérente et tend vers l'infini quand l'intervalle de temps entre mesures successives tend vers zéro. Notons qu'il n'y a pas d'effet Zénon quantique pour des phénomènes incohérents, comme la relaxation. L'effet Zénon quantique a été observé sur des particules matérielles piégées. Par exemple, l'oscillation de Rabi cohérente entre deux niveaux d'un ion piégé, induite par un laser résonnant, est inhibée par des mesures répétées de l'état atomique par fluorescence. Dans l'effet Zénon quantique sur le champ de la cavité, des mesures sans démolition quantique (QND) de l'intensité du champ inhibent la croissance d'un champ sous l'influence d'une source classique résonnante avec la cavité. On parvient à un effet Zénon par des injections cohérentes en phase dans la cavité. En l'absence de mesure, toutes les amplitudes injectées s'ajoutent et l'amplitude finale est proportionnelle au nombre d'injections. Le nombre de photons, lui, croit quadratiquement avec ce nombre. Bien sûr, la relaxation de la cavité entre en jeu et, quand la durée de l'expérience est comparable avec le temps de vie de la cavité, le nombre de photons atteint une asymptote, quand les pertes compensent les injections. »

La continuité ne pourrait exister que s'il était possible que se produisent des infiniment petits dans un domaine ou un autre de la réalité. Elle ne pourrait exister que si des espaces de temps, de longueur, d'énergie ou autre étaient jointifs, collés les uns aux autres. La physique a montré que deux matières ne peuvent se toucher, qu'il y aura toujours un espace vide entre elles. La continuité suppose qu'il n'y ait aucune contradiction entre deux matières, ce qui ne correspond pas à ce que nous observons de la matière. Quand nous approchons de plus en plus une particule d'une autre, on constate qu'il y a successivement attraction puis répulsion, puis à nouveau attraction puis répulsion et ceci sans fin au fur et à mesure que la distance diminue. Mais la répulsion va augmenter sans cesse, finissant pas rendre impossible l'approche à moins que l'énergie de celle-ci soit telle qu'elle fasse exploser en rayonnement le couple des deux particules. Il n'y a jamais eu et il n'y aura jamais contact entre elles. La continuité de la matière est impossible. La physique quantique a renoncé, au niveau fondamental, aux trajectoires continues pour les particules. C'est dire que la continuité du mouvement n'est pas possible.
L'activité ne peut pas être sans fin. Il y a besoin d'un temps de relaxation. Il y a donc rupture avant et après toute activité. C'est dire que la dynamique est celle des discontinuités, des ruptures, des chocs, des mouvements brutaux. L'instantanéité n'existe pas car rien ne peut se produire en un temps nul. La discontinuité ne doit pas être confondue avec une action immédiate. Rien d'immédiat n'existe. Il faut un temps pour entrer en action ; il y a un temps maximum pendant lequel l'action peut durer et il faut toujours un temps de relaxation. Donc le temps des interactions n'est pas fait d'instants sans durée.

Un temps nul dans une interaction nécessiterait une énergie infinie. Les infiniment petits ont dû être chassés de la physique quantique par la renormalisation et elle signifie que l'on doit écarter les zéros pour écarter aussi des infinis qui n'existent pas dans l'observation du réel. On a même pu calculer une limite d'espace de durée qui est le temps de Planck. On a donc tendance à penser que le temps pourrait bien être quantifié. Mais, et c'est essentiel comme on l'a exposé plus avant, aucune expérience ne peut se réaliser en un temps nul ou infiniment petit. Par conséquent, un tel temps nul n'apparaîtrait jamais dans les phénomènes naturels ni dans les expériences…

Il n'y a aucun objet physique derrière cette apparence linéaire et continue. Si le rayon lumineux existait, il contiendrait une énergie infinie et la source devrait émettre une telle quantité d'énergie dans toutes les directions. Les photons arrivent un par un et il n'y a entre eux aucune ligne, qu'elle soit droite ou pas. La continuité du flux de particules est elle-même une illusion. Steven Weinberg expose dans « Les trois première minutes de l'univers » que « L'énergie d'un photon est très petite, et c'est pourquoi les photons semblent se fondre en un flux continu de rayonnement. » Il montre en effet que leur énergie est de l'ordre de l'électron-volt alors que les énergies nucléaires sont de l'ordre d'un million d'électronvolts par noyai atomique.

Le succès de l'emploi des fonctions continues de variables réelles provient non pas du fait qu'elles modélisent bien ou mal le réel mais du fait qu'elles permettent bien plus que les fonctions discrètes de variable discrètes de traduire une transformation par ce que l'on appelle des équations différentielles. Elles se servent pour cela de la dérivation et de l'intégration, des méthodes fondées sur le changement infiniment petit, changement par définition impossible lorsqu'il s'agit de cas discrets puisque dans ce cas on saute d'une valeur à une autre.
Bien sûr, on peut se dire que, si la mathématique du continu ne convenait pas pour décrire le réel, on s'en serait aperçus depuis le temps puisque cette méthode date de Newton et Leibniz ! Mais ce n'est pas aussi simple.
Il est en fait extrêmement difficile de distinguer le discret du continu quand les intervalles entre valeurs sont extrêmement petits au regard des tailles des phénomènes ou des objets.
Par exemple, nous sommes capables de mesurer ou de percevoir des intervalles de temps d'une certaine taille. Si les ruptures sont beaucoup plus petites, le discret peut parfaitement ressembler à du continu…
Cependant, dans le domaine du réel matériel non simplement mathématique, dans le réel physique, il est loin d'apparaître une telle continuité.
En physique, la mesure n'a rien d'un calcul exact. En temps limité, l'interaction est la seule information possible entre matières via les photons. En procédant ainsi on ne peut rien connaître avec une précision infinie. L'apparence réelle de segment n'est qu'une série de points discrets régulièrement alignés. Il n'y a aucune continuité d'un point à un autre. Il y a une infinité de points mais il y a toujours des trous entre eux. Et dans ces trous, si on observe de plus près, on trouve encore des points. Donc pas plus de continuité des trous que de continuité des points.

Le zéro et l'infini

Continuité et discontinuité sont incompatibles

La continuité, une propriété mathématique et pas physique ?

Matière et Révolution

Encore et à nouveau sur Zénon d'Elée et sa dialectique de la matière et du mouvement...

Encore et à nouveau sur Zénon d'Elée et sa philosophie dialectique de la matière et du mouvement

Ce que nous pensons de la philosophie dialectique de Zénon

Ceux qui commentent Zénon, sans bien souvent même comprendre ce qu'il dit…

Les paradoxes de Zénon, une nouvelle preuve de la force de la philosophie pour penser le monde…

Les paradoxes de Zénon, une nouvelle preuve de la force de la philosophie pour penser le monde…

Parménide, Zénon, Socrate et Platon

Platon PARMÉNIDE

Encore et à nouveau sur les paradoxes de Zénon

Encore et à nouveau sur les paradoxes de Zénon

Les paradoxes de Zénon, la dialectique de Hegel et la physique quantique

Les paradoxes de Zénon, la dialectique de Hegel et la physique quantique

Les paradoxes de Zénon d'Élée

Qui était Zénon d'Elée ?

Achille et la tortue

La pierre lancée vers un arbre

Discussion

Zénon d'Élée

Zénon et Socrate

Grèce antique : la philosophie de Zénon d'Elée et de Socrate

Et si Platon, Démocrite, Socrate, Parménide, Zénon et les anciens philosophes Grecs revenaient…

Et si Platon, Démocrite, Socrate, Parménide, Zénon et les anciens philosophes Grecs revenaient…

LE DEBAT DES ANCIENS PHILOSOPHES GRECS

Comment la physique résout la question épineuse des infinis ?

Comment la physique résout la question épineuse des infinis ? Par l'apparition ou la disparition d'un saut qualitatif de niveau hiérarchique de structure.

Platon
PARMÉNIDE