Matière et Révolution

Three principles of dialectical analysis are examined in terms of nonlinear dynamics models. The three principles are the transformation of quantity into quality, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. The first two of these especially are interpreted within the frameworks of catastrophe, chaos, and emergent dynamics complexity theoretic models, with the concept of bifurcation playing a central role. Problems with this viewpoint are also discussed.

I. Introduction

Among the deepest problems in political economy is that of the qualitative transformation of economic systems from one mode to another. A long tradition, based on Marx, argues that this can be explained by a materialist interpretation of the dialectical method of analysis as developed by Hegel. Although Marx can be argued to have been the first clear and rigorous mathematical economist (Mirowski, 1986), this aspect of his analysis generally eschewed mathematics. Indeed some (Georgescu-Roegen, 1971) argue that the dialectical method is in deep conflict with arithmomorphism, or a precisely quantitative mathematical approach, that its very essence involves the unavoidable invocation of a penumbral fuzziness that defies and defeats using most forms of mathematics in political economy.

However, this paper will argue that nonlinear dynamics offers a way in which a mathematical analogue to certain aspects of the dialectical approach can be modelled, in particular, that of the difficult problem of qualitative transformation alluded to above. This is not the entirety of the dialectical method, which remains extremely controversial and redolent with remaining complications. We shall not attempt to either explicate or defend the entirety of the dialectical approach, much less resolve its various contradictions, although we shall note how some of its aspects relate to this more specific argument.

In particular, we shall discuss certain elements of catastrophe theory, chaos theory, and complex emergent dynamics theory models that allow for a mathematical modelling of quantitative change leading to qualitative change, one of the widely claimed foundational concepts of the dialectical approach, and a key to its analysis of systemic political economic transformation. These approaches are all special cases of nonlinear dynamics, and their special aspects which allow for this analogue depend on their nonlinearity. We note that there are some linear models that generate discontinuities and various exotic dynamics,e.g. models of coupled markets linked by incommensurate irrational frequencies. However, we shall not investigate these examples further. In most linear models, continuous changes in inputs do not lead to discontinuous changes in outputs, which will be our mathematical interpretation of the famous quantitative change leading to qualitative change formulation.

Part II of this paper briefly reviews basic dialectical concepts. Part III discusses how catastrophe theory can imply dialectical results. Part IV considers chaos theory from a dialectical perspective. Part V examines some emergent complexity concepts along similar lines, culminating in a broader synthesis. Part VI will present conclusions.

II. Basic Dialectical Concepts

In a famous formulation, Engels (1940, p. 26) identifies the laws of dialectics as being reducible to three basic concepts: 1) the transformation of quantity into quality and vice versa, 2) the interpenetration of opposites, and 3) the negation of the negation, although Engels's approach differs from that of many others on many grounds (Hegel, 1842; Georgescu-Roegen, 1971; Ilyenkov, 1977; Habermas, 1979). Whereas Marx largely used these concepts to analyze historical change, Engels drew on Kant and Hegel to extend this approach to science. Although his discussion in “The Dialectics of Nature” was reasonably current with regard to science for the time of its writing (the 1870s and early 1880s), much of its content is seen to be scientifically inaccurate by today's standards, and many of its examples thus hopelessly muddled and wrongheaded. Furthermore, the arguments of this book would later be used to justify the ideological control and deformation of science under Stalin and Khrushchev in the USSR, most notoriously with regard to the Lysenkoist controversy in genetics.1

For both Marx and Engels (1848), the first of these was the central key to the change from one mode of production to another, their historical materialist approach seeing history unfolding in qualitatively distinct stages such as ancient slavery, feudalism, and capitalism. Engels (1954, p. 67) would later identify this with Hegel's (1842, p. 217) example of the boiling or freezing of water at specific temperatures, qualitative (discontinuous) leaps arising from quantitative (continuous) changes. In modern physics this is a phase transition and can be analyzed using spin glass or other complexity type models (Kac, 1968). In modern evolutionary theory this idea has shown up in the concept of punctuated equilibria (Eldredge and Gould, 1972), which Mokyr (1990) and Rosser (1991, Chap. 12) link with the Schumpeterian (1934) theory of discontinuous technological change. Such phenomena can arise from catastrophe theoretic, chaos theoretic, and complex emergent dynamics models.

The interpenetration of opposites leads to some of the most controversial and difficult ideas associated with dialectical analysis. Implicit in this idea are several related concepts. One is that of contradiction, and the argument that dynamics reflect the conflict of contradicting opposites that are simultaneously united in their opposition. According to Ilyenkov (1977, p. 153), We thought of a dynamic process only as one of the gradual engendering of oppositions, of determinations of one and the same thing, i.e. of nature as a whole, that mutually negated one another.

Setterfield (1996) notes that contradictions may be logical in nature or between real conflicting forces, with Marx probably favoring the latter view, although it is difficult to distinguish genuine dialectical contradictions from mere differences. For Marx and Engels (1848) these real conflicting forces were the classes in conflict over control of the social surplus and of the means of production, although they also argued, as is laid out more fully in Marx (1977), that a crucial contradiction is between the forces and relations of production, united in the mode of production. This in turn fundamentally arises from the evolution of the contradiction between use-value and exchange value within the commodity itself, yet another union of conflicting opposites.

Another interpretation is that this unity of opposites implies a negation of the idea of the excluded middle in logic. Thus, both A and not A can simultaneously be true. Georgescu-Roegen (1971) makes much of this aspect in his denigration of arithmomorphism, and interprets this as meaning that between two opposites there is penumbra of fuzziness in their boundary in which they coexist and interpenetrate, much as water and ice coexist in slush (Ockenden and Hodgkins, 1974). Such an approach can be dealt with using fuzzy logic (Zimmermann, 1988), which in turn ultimately relies on a probabilistic approach. Georgescu-Roegen (1971, pp. 52-59) further argues that the probabilistic nature of reality itself is evidence of the fuzzily dialectical nature of reality in that truth criteria in a probabilistic world are simply arbitrary. This leads him to argue that there is a deeper contradiction between continuous human consciousness and discontinuous physical reality, discrete at the quantum level. Rosser (1991, Chap. 1) argues that this is a matter of perspective or the level of analysis of the observer.

Engels (1940, pp. 18-19) confronted the contradiction between the apparently simultaneous acceptance of discontinuity arising from the idea of qualitative leaps and of continuity arising from the fuzziness implied by the interpenetration of opposites in the dialectical approach. He dealt with this by following Darwin (1859) in accepting a gradualistic view of organic evolution in which species continuously change from one into another, while arguing that in human history, the role of human consciousness and choice allow for the discontinuous transformation of quantity into quality as modes of production discontinuously evolve.

Finally there is the idea of wholes consisting of related parts implied by this formulation. For Levins and Lewontin (1985) this is the most important aspect of dialectics and they use it to argue against the mindless reductionism they see in much of ecological and evolutionary theory, Levins (1968) in particular identifying holistic dialectics with his community matrix idea. This can be seen as working down from a whole to its interrelated parts, but also working up from the parts to a higher order whole. This latter concept can be identified with more recent complex emergent dynamics ideas of self-organization (Turing, 1952; Wiener, 1961), autopoesis (Maturana and Varela, 1975), emergent order (Nicolis and Prigogine, 1977, Kauffman, 1993), anagenesis (Boulding, 1978; Jantsch, 1979), and emergent hierarchy (Rosser, Folke, Günther, Isomäki, Perrings, and Puu, 1994; Rosser, 1995). It is also consistent with the general social systems approach of the dialectically oriented post-Frankfurt School (Luhmann, 1982, 1996; Habermas, 1979, 1987; Offe, 1997).

Indeed, even some Austrian economists have emphasized self-organization arguments, with Hayek (1952, 1967) developing an emergent complexity theory based on an early version of neural networks models and eventually (Hayek, 1988, p. 9) explicitly acknowledging his link with Prigogine and with Haken (1983). Lavoie (1989) argues that markets self-organize out of chaos. Sciabarra (1995) argues that Hayek in particular uses a fundamentally dialectical approach.

Finally, the negation of the negation has also been a very controversial and ideologically charged concept. It represents the combining of the previous two concepts into a dynamic formulation: the dialectical conflict of the contradictory opposites driving the dynamic to experience qualitative transformations. Again, there would appear within Marx and Engels to be at least two incompletely integrated ideas. On the one hand there is the idea of a sequence of affirmation, negation and the negation of the negation or thesis, antithesis, synthesis, as described by Marx (1992, p. 79). This implies a historical sequence of alternating stages, with Engels (1954, p. 191) suggesting the alternation of communally owned property in primitive societies, followed by privately owned property later, with a forecasted return to communally owned property under socialism in the future.2 On the other hand, in Marx and Engels (1848) this takes the form of one class being the thesis, the opposed class during the same period and mode of production being the antithesis, and the new mode of production with its new class conflict being the synthesis. We shall not attempt in this paper to resolve this contradiction, nor shall we attempt to model this explicitly in our mathematical approach.

III. Catastrophe Theory and Dialectics

The key idea for analyzing discontinuities in nonlinear dynamical systems is bifurcation, and was discovered by Poincaré (1880-1890) who developed the qualitative theory of differential equations to explain more-than-two-body celestial mechanics. Consider a general family of n differential equations whose behaviour is determined by a k-dimensional control parameter , such that

dx/dt = f(x); x  Rn,   Rk, (1)

with equilibrium solutions given by

f(x) = 0. (2)

Bifurcations will occur at singularities where the first derivative of f(x) is zero and the second derivative is also zero, meaning that the function is not at an extremum, but is rather at a degeneracy. At such points structural change can occur as an equilibrium can bifurcate into two stable and one unstable equilibria.

Catastrophe theory involves examining the stable singularities of a potential function of (1), assuming that there is a gradient. Thom (1975A) and Trotman and Zeeman (1976) determined the set of such stable singularities for various dimensionalities of control and state variables. Arnold, Gusein-Zade, and Varchenko (1985) generalized this analysis to higher orders of dimensionalities. These singularities can be viewed as points at which equilibria lose their stability with the possibility of a discontinuous change in a state variable(s) arising from a continuous change in a control variable(s).

A catastrophe form that shows most of the phenomena occurring in catastrophe models is that of the three dimensional cusp catastrophe, shown in Figure 1. In this figure J is the state variable and C and F are the control variables. Assuming that the splitting factor C is sufficiently large, continuous variations in F can lead to discontinuous changes in J. The intermediate sheet in Figure 1 represents an unstable set of equilibria points. Behaviour observable in such a dynamical system can include bimodality, inaccessibility, sudden jumps, hysteresis, and divergence, the latter arising from variations of the splitting factor C.

For René Thom this becomes the mathematical model of morphogenesis, of qualitative transformation from one thing into something else, following the analysis of D'Arcy Thompson (1917) of the emergence of organs and structures in the development of an organism. Furthermore, Thom (1975B, p. 382) explicitly links this to dialectics, albeit of an idealist sort:

Catastrophe theory...favors a dialectical, Heraclitean view of the universe, of a world which is the continual theatre of the battle of between logoi, between archetypes.

There is a serious criticism which can be joined of this view, although we tend to favor this view in this paper. It is the anti-arithmomorphic dialectic position as enunciated by Georgescu-Roegen (1971) which would argue that all we are seeing in such models is discontinuous changes in variables or functions and not a true qualitative change. The latter would presumably be something beyond the ability of mathematics to describe. It would not be simply a change in function or values of existing state variables, but the emergence of a completely new variable or even a new function or set of functions and variables. But at a minimum such structural changes imply qualitatively different dynamics, even if the variables themselves are still the same, in some sense.

Another variation on this latter point arises from considering the phenomenon of divergence associated with the change in the value of a splitting factor such as C in Figure 1. One goes from a system with one equilibrium to one with three equilibria, one of them unstable. The new equilibria themselves may actually represent new states or conditions, the qualitative change or emergence of new variables or functions in some sense. This is certainly the interpretation of Thom who identified such structural changes with the emergence of new organs in the development of organisms.

Ironically, in mainstream economics most of the criticism of catastrophe theory has come from the opposite direction, claims that it is too imprecise, too poorly specified, unable to generate forecasting models with solid theoretical foundations, too ad hoc, and so forth. Much of this criticism has probably been overdone as discussions in Rosser (1991, Chap. 2) and Guastello (1995) suggest.

Another possible difficulty is that it is not at all clear that the control versus state variable idea maps meaningfully onto the dialectical taxonomy. After all, it can be argued that it is the control variables themselves that should be undergoing some kind of qualitative change as a result of their quantitative changes, rather than some state variable controlled by them.

Yet another issue that cuts across all nonlinear dynamical interpretations of dialectics is that catastrophe theory analyzes equilibrium states and their destabilization. There is an old view among dialecticians that equilibrium is not a dialectical concept, indeed that dialectics is necessarily an anti-equilibrium concept. However, drawing on the work of Bogdanov (1912-1922), Bukharin (1925) argued that an equilibrium reflects a balance of conflicting dialectical forces and that the destabilization of such an equilibrium and the emergence of a new one is the qualitative shift. This view was sharply criticized by Lenin (1967) and was viewed by Stalin as constituting part of Bukharin's unacceptable ideology of allowing market elements to persist as an equilibrating force in socialist society. Stokes (1995) argues that Bogdanov's views provided the foundation for general systems theory as it developed through cybernetics (Wiener, 1961). These approaches would eventually lead to nonlinear complexity theories, some of them emphasizing disequilibrium or out-of-equilibrium phase transitions as in the Brussels School approach (Nicolis and Prigogine, 1977).

IV. Chaos Theory and Dialectics

The study of chaotic dynamics also originated with Poincaré's qualitative celestial mechanics. As argued in Rosser (1991, Chaps. 1 and 2) catastrophe theory and chaos theory represent two distinct faces of discontinuity, and hence arguably of dialectical quantity leading to quality. The common theme is bifurcation of equilibria of nonlinear dynamical systems at critical values.

Although there remain controversies regarding the definition of chaotic dynamics (Rosser, ibid), the most widely accepted sine qua non is that of sensitive dependence on initial conditions (SDIC), the idea that a small change in an initial value of a variable or of a parameter will lead to very large changes in the dynamical path of the system. This is also known as the butterfly effect, from the idea that a butterfly flapping its wings could cause hurricanes in another part of the world (Lorenz, 1963).

Figure 2 exhibits this divergent behavior from small initial changes that occurs when SDIC holds. This shows the two distinct paths over time for one variable with and without a perturbation to an initial condition equal to 0.0001 for a three equation system of atmospheric circulation due to Edward Lorenz (1963). Lorenz concluded that the butterfly effect implies the futility of long-range weather forecasting. Truly chaotic systems exhibit highly erratic, apparently random, yet deterministic and bounded dynamics.

A sufficient condition for SDIC to hold is for the real parts of the Lyapunov exponents of the system to be positive. Oseledec (1968) showed that these can be estimated for a system such as (1), if ft(y) is the t-th iterate of f starting from an initial point y, D is the derivative, v is a direction vector. The Lyapunov exponents are solutions to


L = lim ln(Dft(y)v)/t. (3)
t

Although there are systems that are everywhere chaotic, many are chaotic for certain parameter values and are not for others. In such cases there may be a transition to chaos as a parameter value is varied and a system experiences bifurcations of its equilibria. A pattern exhibited by many well known systems is for there to be a zone of a unique and stable equilibrium, then beyond a critical parameter value there emerges a two-period oscillation, then beyond another point emerges a four-period oscillation, an eight-period oscillation, and so forth, a sequence known as a period-doubling cascade of bifurcations (Feigenbaum, 1978). According to a special case of Sharkovsky's (1964) Theorem, the emergence of an odd-numbered orbit (>1) is a sufficient condition for the existence of chaos. In some systems, as the parameter continues to change, chaos disappears and period-halving bifurcations return the system to its original condition, although in some systems there is simply an explosion or a transition to yet other kinds of complex dynamics.

Probably the most intensively studied simple equation that generates chaotic dynamics in economic models is the difference logistic, given by

xt+1 = xt(k - xt) (4)

with  being the tuning parameter whose variations change the qualitative dynamics of the system. As  increases the period-doubling cascade of bifurcations from an initial unique equilibrium described above occurs, leading to chaotic dynamics, and culminating in explosive behaviour. May (1976) studied this equation in the context of an ecological population dynamics model, in which k has the interpretation of a carrying capacity constraint, but he also first suggested the applicability of chaos theory to economic analysis in this paper. Figure 3 shows the period-doubling transition to chaos pattern for the logistic equation, with  on the horizontal axis and the system's state variable, x, on the vertical axis.

At least two possible dialectical interpretations can be drawn from (4) and generically similar systems. One is the already mentioned idea that the cascade of bifurcations can be seen as representing qualitative changes arising from quantitative changes. A smoothly varying , or control parameter, reaches critical points where there is a discontinuous change in the nature of the dynamics. Now, an anti-arithmomorphic dialectician can again deny that this is what is meant by qualitative change in the Hegelian sense. Yes, variables are behaving differently, but they are just the same old variables, this argument runs. But, we note that if chaotic dynamics herald a larger-scale catastrophic discontinuity, then there may be a greater chance for a deeper-level qualitative change to happen. Such instances may be chaostrophes associated with the blue-sky disappearance of an attractor after a chaotic interlude (Abraham, 1985), or lead to chaotic hysteresis (Rosser, 1991, Chap. 17; Rosser and Rosser, 1994). Although not labeled as such, an example of such a chaotic hysteretic model is a modified Hicks-Goodwin nonlinear business cycle model due to Puu (1997) in which chaotic dynamics appear at points of discontinuous jumps in a hysteresis cycle.

The second such interpretation involves the concept of the interpenetration of opposites. This interpretation can be derived from considering the dual role of the x variable in (4).

It operates both in a positive way and in a negative way, both tending to push up and to push down. Now, this may seem fairly trivial, as many such equations exist. But indeed, at the heart of most chaotic dynamics is a conflict between factors pushing in opposite directions. In effect, as  increases, the strength of this conflict can be thought of as intensifying.

In the population ecology model of May (1976),  represents the intrinsic growth rate of the population, and the negative aspect represents the effect of the population crashing into the ecological carrying capacity, k. One can view this system dialectically and holistically as a population with its environment. Conflicting forces operate through the same variable, the population, hence the interpenetration of the opposites whose interaction drives the dynamics. As this conflict heightens, bifurcations occur and quantitative changes lead to qualitative changes in dynamics as the system transits to chaos.

V. Emergent Dynamics Complexity and Dialectics

In contrast to the theories of catastrophe and chaos, there is no single criterion or model of complex dynamics, but rather a steadily increasing plethora which we shall not attempt explicate in any detail here (Arthur, Durlauf, and Lane, 1997; Rosser, 1998). Indeed Horgan (1997) reports up to 45 different definitions of complexity, including some such as algorithmic complexity in which we are not interested. Almost all involve some degrees of stochasticity in their formulation, yet some are analytical equilibrium models involving such phenomena as the spin glass models that imply phase transitions and hence could be viewed as the modern versions of the Hegel-Engels boiling/freezing water example (Brock, 1993; Rosser and Rosser, 1997). Some involve non-chaotic strange attractors, fractal basin boundaries, or other complicated nonlinear phenomena, besides catastrophe and chaos, although some of these can exhibit them as well (Lorenz, 1992; Rosser and Rosser, 1996; Brock and Hommes, 1997; Feldpausch, 1997). Virtually all of these models can be seen to exhibit the sort of dialectical dynamics associated with chaotic dynamics in terms of bifurcation points generating qualitative dynamical changes and conflicts between opposing elements driving the dynamics.

In contrast there are dissipative systems models that imply either fully out-of-equilibrium dynamics, as in the Brussels School models (Nicolis and Prigogine, 1977) mode-locking entrainment models (Sterman and Mosekilde, 1994), the Santa Fe adaptive stock market dynamics models (Arthur, Holland, LeBaron, Palmer, and Taylor, 1997) and edge of chaos models (Kauffman, 1993), or a temporary equilibrium that differs from a presumed long-run equilibrium as with the self-organized criticality approach (Bak, Chen, Scheinkman, and Woodford, 1993). Many of these models involve large-scale equations systems and simulations with self-organization phenomena emerging from the dynamics of conflicting forces. Such self-organization has long been identified by many observers as constituting exactly the kind of qualitative change that the dialecticians seek, and may represent overcoming the problem of the lack of new variables or functions emerging associated with the catastrophe and chaos models. All of these models can be united under the label emergent dynamics complexity.

However, at this point we need to step back a bit and consider how the currents involving complexity and dialectics have developed. A central point that appears is the gulf that exists between the analytic Anglo-American tradition and the Continental tradition. Urban/regional models based on the Brussels School order through fluctuations approach (Allen and Sanglier, 1981) exhibited polarizing outcomes and multiple equilibria long before such models became popular at Santa Fe. In a survey of urban/regional modeling, Lung (1988) attributes this to the tradition of dialectical discourses of French culture in contrast with Anglo-American approaches, the dialectical tendency extending beyond the Germanic Hegelian base into Latin Europe as well. Indeed we have already seen this with René Thom's willingness to put a dialectical interpretation upon catastrophe theory.

Without doubt the dialectical method/approach is in very ill repute in many Anglo-American circles, where the emphasis is upon reductionism, positivism, a narrow version of Aristotelian logic, comparative statics, and forecastibility along Newtonian-Laplacian lines. The dialectical method is viewed as unscientific, fuzzy-minded, and given to ideological mumbo-jumbo. This latter view has increased especially in economics with the increasing tendency for dialecticians in the Anglo-American economics world to be Marxists. Of course, in Continental Europe Marxist analysis tends to be more accepted, but non-Marxist dialectical approaches or interpretations are more widespread, as the discussions by Thom, Prigogine, and even the possibly dialectical element showing up in Hayek indicates. Thus, Europeans in general are more willing to admit the dialectical interpretations of emergent order and self-organization in complex dynamical systems as we have presented them above than are their American counterparts.

As a final frisson to this discussion, let us consider somewhat more closely the Stuttgart School synergetics approach of Haken (1983) that is very closely related to Prigogine's Brussels School approach. We can see in this approach the integration of several of our kinds of nonlinear dynamics with their related dialectical interpretations. As with Allen and Sanglier (1981) and the Brussels School approach, Weidlich and Haag (1987) use the synergetics approach to model multiple equilibria and polarization in urban/regional models, followed by the analytical results of Fujita (1989) and the more recent simulation modelling at Santa Fe by Krugman (1996).

Unsurprisingly, Krugman completely ignores any dialectical interpretation of the self-organization phenomenon, reflecting the Anglo-American bias.

Following Haken (1983, Chap. 12), there is a division between slow dynamics, given by the vector F, and fast dynamics, given by the vector q, corresponding respectively to the control and state variables in catastrophe theory. F is said to slave q through a procedure known as adiabatic approximation, and the variables in F are the order parameters whose gradual (quantitative change) leads to structural change in the system.

A general model is given by

dq/dt = Aq + B(F)q + C(F) + , (5)

where A, B, and C are matrices and  is a stochastic disturbance term. Adiabatic approximation allows this to be transformed into

dq/dt = -(A + B(F))-1C(F), (6)

which implies that the slow variables are determined by A + B(F). Order parameters are those with the least absolute values, and ironically are dynamically unstable in the sense of possessing positive real parts of their eigenvalues in contrast to the fast slaved variables.

This implies a rather curious possibility regarding structural change within the synergetics framework. Haken (ibid) identifies the emergence of chaotic dynamics with the destabilization of a previously stable slaved variable as the real part of its eigenvalue passes the zero value and goes positive. Such a bifurcation can lead to a complete restructuring of the system, a chaostrophic discontinuity with more substantial qualitative implications in terms of the relations between variables, if not necessarily for their
existence. The former slave can become an order parameter, and Diener and Poston (1984) call this particular phenomenon, the revolt of the slaved variables. If this is not a dialectical outcome, then there are none in nonlinear dynamics.

VI. Conclusions

We have reviewed the three main laws of dialectics as presented by Engels in The Dialectics of Nature (1940, p. 26). These are the transformation of quantity into quality and vice versa, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. We have seen how such nonlinear dynamical models, such as those capable of generating catastrophic discontinuities, chaotic dynamics, and a variety of other complex dynamics such as self-organization can be interpreted as manifesting these laws, especially the first two. In particular the role of bifurcation is seen as central to implying the first of these concepts, although we note that we have presented at best a very superficial overview of these various nonlinear dynamical models.

However, we must conclude with a caveat that has floated throughout this paper. Dialecticians who oppose the use of mathematical modelling at all, who identify such modelling with arithmomorphism and a denial of essential dialectical fuzziness, will remain unconvinced by all of the above. They will see the kinds of discontinuous changes implied by the various bifurcations in these models as simply sudden changes in the values or behaviors of already existing variables, rather than the true qualitative emergence that cannot be captured mathematically. They might have a harder time maintaining such a position with regard to complexity models with self-organizing or emergent hierarchy dynamics, but even with these they can make similar arguments that one is simply seeing different behavior of already existing variables, however new and different that behavior might appear.

Of course, this hard core position is exactly that which is derided by the analytic Anglo-American tradition that sees dialecticians as hopelessly fuzzy and unscientific. The debate between these strongly held positions can itself be viewed as a dialectic that remains unresolved.

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Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Robert Paris — 2021-06-01T22:05:00Z

Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Bien entendu, on ne se pose pas la question pour rien : chacun se demande comment peut se terminer la pandémie actuelle, celle de covid !!! Cette question se complique par le fait que les variants de covid peuvent avoir des propriétés très différentes les uns des autres. En même temps, les chercheurs ont admis que cela peut être une source d'espoir car il y a une probabilité qu'à un moment, les variations produisent un virus covid qui soit à la fois très propagatif et très peu agressif, dominant ainsi tous les autres variants, remplaçant toutes les sortes de vaccins, en mieux, et donnant finalement une espèce de grippe ou de rhume… Bel espoir mais très hypothétique pour le moment… Il faut compter sur le hasard des mutations, pas sur des mesures de santé !

D'autre part, les lois du chaos déterministe qui déterminent les lois des populations pourraient bien être déterminantes pour piloter la fin des épidémies.

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Des auteurs qui pointent en effet le lien des hauts et des bas de la croissance et de la fin des épidémies avec le chaos déterministe et les attracteurs étranges

Il semble bien que le chaos déterministe pilote la dynamique des épidémies.

Le premier à l'avoir souligné est sans doute Robert May.

Une étape dans l'histoire de la notion de chaos a été la publication par le physicien et écologiste Robert M. May, en 1972, d'un article intitulé “Simple mathematical models with very complicated dynamics” (Nature, vol. 261, p. 459). Cet article, sans doute l'un des plus cités lorsqu'il est question de chaos, présente un modèle très simple d'évolution du nombre d'individus d'une population, volontairement le plus simple qu'on puisse imaginer pour décrire la dynamique d'une population : x n + 1 = ax n (1 – x n).
Ce modèle est appelé « application logistique », par référence à « l'équation logistique » introduite par le belge Pierre-François Verhulst en 1846. L'effectif de la population au temps t + 1 dépend bien sûr de la période précédente t. Ce modèle prend en compte par le terme 1 – xn la contrainte liée au « logis » : une population ne peut pas croître indéfiniment sur un territoire donné. Le paramètre a est le taux de croissance effectif. Les valeurs a < 0 et a > 4 du paramètre sont exclues car elles conduisent à des valeurs de la population relative x situées en dehors de l'intervalle acceptable [0,1] car x représente le pourcentage de l'effectif maximum dans le territoire donné. May étudia donc cette évolution pour a variant dans [0,4] et obtint une richesse de comportements de dynamique des populations à l'époque insoupçonnée, certains présentant une « apparence erratique et imprédictible à long terme », et aujourd'hui qualifiés de « chaotiques ». Cet article de May inspira de nombreux travaux, portant entre autres sur les variations cycliques ou chaotiques de populations de pucerons, de sauterelles, de lemmings, de sardines, ou encore de systèmes prédateur-proie (le choix des espèces étudiées est déterminé soit par l'occurrence de phénomènes remarquables, comme les invasions de sauterelles ou les « suicides collectifs » de lemmings, soit par la présence de données fiables et précises sur une longue durée, typiquement plus d'un siècle, fournis par les registres des criées aux poissons, ou ceux des peausseries pour divers couples prédateur-proie, comme les lynx et les lièvres). Mais l'étude du chaos en biologie ne se limite pas à la dynamique des populations, et d'autres domaines d'investigation sont : – l'épidémiologie de certaines maladies infectieuses (rougeole, grippe1) ; – le rythme cardiaque ; – les neurosciences, tant à l'échelle neuronale (enregistrement de l'activité électrique d'un neurone) qu'à l'échelle cérébrale (activité enregistrée par électroencéphalogramme) ; – le métabolisme et les rythmes intracellulaires, observés au niveau de concentrations de certaines molécules (glucose, hormones, ions calcium ou potassium, ...). Ils illustrent et prolongent in vivo les comportements chaotiques manifestés par certaines réactions chimiques2.

Source : « Le chaos en biologie »

« Avec l'épidémiologiste Roy Anderson, May a développé une série de modèles analytiques perspicaces, résumés dans leur livre de 1991 Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Leur principale innovation consistait à réduire le problème de la compréhension du pourquoi et du moment des maladies à quelques variables clés. Si, par exemple, le nombre de nouvelles infections d'un cas primaire (le facteur de transmission, R0) dépasse un, la maladie a le potentiel de devenir une épidémie. Anderson et May ont calculé le facteur de transmission efficace si une fraction de la population est immunisée, par exemple à la suite de la vaccination. Cela leur a permis de prédire la proportion de la population qui aurait besoin d'être vaccinée pour éviter la propagation d'une maladie. Ces informations constituent le fondement de notre compréhension de la pandémie de coronavirus, alors que R0 est passé de documents techniques à des bulletins d'information à travers le monde. »

“With the epidemiologist Roy Anderson, May developed a series of insightful analytical models, summarized in their 1991 book Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Their key innovation was reducing the problem of understanding why and when diseases spread to a few key variables. If, for example, the number of new infections from one primary case (the transmission factor, R0) exceeds one, the disease has the potential to become an epidemic. Anderson and May calculated the effective transmission factor if a fraction of the population is immune, for instance as a result of vaccination. This allowed them to predict the proportion of the population that would need to be vaccinated to prevent the spread of a disease. These insights form the foundation of our understanding of the coronavirus pandemic, as R0 has moved from technical papers into news bulletins around the world.”
https://www.nature.com/articles/d41586-020-01364-y

Robert May and Roy Anderson, Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control
https://books.google.fr/books?id=HT0--xXBguQC&pg=PP9&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Vale Robert May, the legendary scientist who helped us understand ecosystems, chaos theory and even pandemics

https://theconversation.com/vale-robert-may-the-legendary-scientist-who-helped-us-understand-ecosystems-chaos-theory-and-even-pandemics-137595

Robert May, Chaos and the dynamics of biological populations
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https://www.jstor.org/stable/49933?seq=1

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https://www.nature.com/articles/s41598-020-60945-z

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https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0960077920307700?via%3Dihub

Dirk Stiefs, Ezio Venturino and Ulrike Feudel, Evidence of chaos in eco-epidemic models
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L. Billings & I. B. Schwartz, Journal of Mathematical Biology,Exciting chaos with noise : unexpected dynamics in epidemic outbreaks
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Stability or Chaos in Discrete Epidemic Models, Kenneth L.Cooke Daniel, F.Calef Eric V.Level
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124341500500138

Detecting Nonlinearity and Chaos in Epidemic Data, S Ellner, AR Gallant, J Theiler

https://books.google.fr/books?hl=fr&lr=&id=MZRkdfOBylYC&oi=fnd&pg=PA229&dq=epidemic+and+chaos&ots=afeDW5XEQg&sig=2EwQNFxuV_tVrU3zzWB2dmsBtd0#v=onepage&q=epidemic%20and%20chaos&f=false

S. Mangiarotti, M. Peyre, Y. Zhang, M. Huc, F. Roger, and Y. Kerr, Chaos theory applied to the outbreak of COVID-19 : an ancillary approach to decision making in pandemic context
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7231667/

Autres lectures

Sud Ouest

https://www.sudouest.fr/sante/le-coronavirus-peut-il-devenir-un-jour-un-simple-rhume-1266965.php

Futura sciences
https://www.futura-sciences.com/sante/actualites/coronavirus-pourrait-terminer-epidemie-coronavirus-81020/

The Conversation

https://theconversation.com/voici-comment-la-covid-19-pourrait-devenir-un-simple-rhume-154813

CNRS : La théorie du chaos appliquée à l'épidémie de Covid-19
https://www.insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/la-theorie-du-chaos-appliquee-lepidemie-de-covid-19

Mathématiques et pandémie
https://www.florilege-maths.fr/fiche/mathematiques-et-pandemie/

Cirad

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Youtube

https://www.youtube.com/watch?v=Z27HG2dtgck

Le Temps
https://labs.letemps.ch/interactive/2020/quiz-pandemies/

France Culture
https://www.franceculture.fr/histoire/comment-se-terminent-les-epidemies

RCF Radio

https://rcf.fr/vie-quotidienne/comment-meurent-les-epidemies

LCI

https://www.lci.fr/sante/coronavirus-covid-19-comment-vivent-et-meurent-les-epidemies-2146851.html

France Info

https://www.francetvinfo.fr/sante/maladie/ebola/sras-peste-noire-ebola-comment-meurent-les-epidemies_722095.html

Marianne

https://www.marianne.net/societe/covid-19-et-au-fait-comment-se-terminent-les-epidemies

Science et Avenir

https://www.sciencesetavenir.fr/sante/comment-se-terminent-les-epidemies_146074

Facebook

https://da-dk.facebook.com/franceculture/videos/comment-se-terminent-les-%C3%A9pid%C3%A9mies/245623736594416/

C News

https://www.cnews.fr/france/2020-07-29/coronavirus-vaccins-traitements-immunite-comment-se-terminent-les-epidemies-983094

Matière et Révolution

https://www.matierevolution.fr/spip.php?breve1132

PositivR
https://positivr.fr/comment-s-arrete-une-epidemie/

Arc Info

https://www.arcinfo.ch/dossiers/coronavirus/articles/coronavirus-comment-se-terminent-les-epidemies-939470

ICI Québec
https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/1776132/pandemie-un-an-covid-19-histoire-virus-grippe-variole-cholera-peste-mortalite

RTL

https://www.rtl.fr/actu/bien-etre/coronavirus-comment-disparait-une-epidemie-7800534490

L'Express

https://www.lexpress.fr/actualite/sciences/comment-les-pandemies-prennent-elles-fin_2126040.html

Le Nouvel Obs

https://www.nouvelobs.com/coronavirus-de-wuhan/20200322.OBS26421/de-la-peste-au-coronavirus-7-choses-a-savoir-sur-l-histoire-des-epidemies.html

Le Parisien

https://www.leparisien.fr/societe/sante/coronavirus-2019-ncov-comment-une-epidemie-prend-elle-fin-31-01-2020-8249091.php

Orange

https://actu.orange.fr/societe/videos/comment-une-pandemie-prend-elle-fin-CNT000001q9l2N.html

Le chaos du coeur : la régularité, c'est la maladie et le chaos, c'est la santé !

Robert Paris — 2017-03-07T00:51:00Z

La régularité, c'est la maladie et le chaos, c'est la santé !

Mais le chaos n'est pas synonyme du désordre, c'est une dialectique très fine de l'ordre et du désordre imbriqués et un ordre très difficile à percevoir et à distinguer du désordre.

Il est aussi difficile à distinguer de l'ordre. Au premier abord, on pourrait croire que c'est même une répétition périodique du même message... Mais ce n'est nullement le cas.

C'est l'ordre le plus solide car c'est l'ordre intégrant des désordres...

Le rythme cardiaque

Inspirées par la théorie du chaos, de nombreuses études se sont penchées sur les éventuelles caractéristiques chaotiques du rythme cardiaque, tel qu'on l'observe par électrocardiogramme. On a comparé les résultats obtenus chez des sujets sains avec ceux de sujets atteints de pathologies cardiaques. La conclusion (il y faudrait bien sûr plus de nuances) est que le rythme cardiaque sain présente une composante chaotique alors que les rythmes très réguliers sont associés à des pathologies. L'explication vient de ce qu'un rythme cardiaque exactement périodique serait peu robuste : la moindre perturbation entraînerait une désynchronisation entre le rythme cardiaque et le rythme respiratoire. Qu'en est-il pour un régime chaotique ? La sensibilité aux conditions initiales des systèmes chaotiques, responsable de leur imprédictibilité à long terme, peut aussi apparaître comme un avantage exploitable au sens où une très faible influence extérieure peut suffire à modifier qualitativement le comportement. Cette constatation a mené à l'idée du contrôle d'une dynamique chaotique à l'aide de perturbations extérieures soigneusement choisies. Dans les systèmes vivants, les mécanismes de régulation réalisant ce contrôle ont pu se mettre en place au cours de l'évolution, par sélection naturelle. Il semble donc que le rythme cardiaque illustre cette possibilité de stabiliser un régime chaotique sur une trajectoire approximativement périodique, tout en gardant « en réserve » toute la sensibilité et la richesse de la dynamique chaotique pour mieux réagir aux perturbations et s'adapter plus rapidement aux changements extérieurs. La diminution du caractère chaotique du rythme cardiaque est ainsi un signe clinique inquiétant, indiquant un risque de moindre adaptabilité et de moindre robustesse. Cependant, on voit là un exemple des nuances à apporter quand on parle de chaos en biologie : ce seront souvent des versions plus sophistiquées ou hybrides de dynamiques chaotiques qui seront rencontrées.

Qu'est-ce que que le chaos déterministe

Le chaos déterministe du rythme du coeur

« Comment le chaos peut-il envahir un organe comme le coeur ? Pourquoi un rythme qui a été régulier pendant une vie entière, soit plus de 2 milliards de cycles ininterrompus, se détraque-t-il soudain pour s'engager dans une frénésie incontrôlée, puis fatale ?
Au MIT, le physicien et cardiologue Richard COHEN a réalisé sur ordinateur une simulation des rythmes cardiaques et découvert que le doublement de période est la clé de l'apparition d'une crise cardiaque.
Dans un coeur normal, des impulsions électriques se répandent de manière régulière dans les fibres musculaires qui forcent le ventricule du coeur à se contracter et à pomper le sang. Une fois contractées, les fibres musculaires sont insensibles aux signaux électriques. Les médecins qualifient cette période de réfractaire. Selon la théorie, ce sont les variations de la période réfractaire d'une zone du ventricule du coeur à une autre qui sont la cause de la fibrillation, de la contraction spasmodique d'une crise cardiaque.

Afin d'éprouver cette théorie, Cohen et son équipe ont fait varier les périodes réfractaires de leur modèle et découvert que les troubles commençaient lorsqu'un groupe de fibres musculaires du coeur avait une période réfractaire plus longue que l'intervalle entre les battements. A cause de leur période réfractaire, ces fibres cardiaques asynchrones pouvaient être stimulées de manière à ne se contracter qu'un battement sur deux. De ce fait, des impulsions électriques provenant du coeur contracté se brisaient de part et d'autre de ces fibres déphasées telle l'eau contournant une pierre et générant de la turbulence. En augmentant légèrement les périodes réfractaires de quelques fibres, il était possible d'amener le coeur à avoir un comportement de doublement de période jusqu'à ce que, au-delà d'une valeur critique de période réfractaire, le muscle cardiaque entre dans le chaos le plus total.

A l'université McGill de Montréal, le physiologiste Léon GLASS, a utilisé un groupe de cellules de coeur de poulet battant spontanément qu'il a stimulé de manière périodique en leur appliquant un choc électrique régulier. Le résultat obtenu a été un doublement continu de la période entre battements réguliers jusqu'à atteindre le chaos.

Ces expériences suggèrent que la fibrillation dans un corps humain peut être provoquée par l'apparition de foyers anormaux secondaires à l'intérieur du corps, lesquels donnent des impulsions qui entrent en conflit avec le rythme propre au muscle cardiaque. L'interaction entre ces impulsions secondaires et le rythme principal met le coeur dans un état chaotique qui entraîne la fibrillation. Celle-ci est donc une maladie "dynamique". Elle survient parce que le coeur est un système qui à partir d'un battement normal, peut cesser de battre ou battre de manière nouvelle et imprévue. La fibrillation est une forme de chaos stable, qui ne disparaît pas de lui-même. Seule une décharge électrique produite par un appareil de défribrillation à travers le thorax du patient peut ramener le coeur à son état normal.

Certains physiologues pensent qu'une certaine dose de chaos est nécessaire au bon fonctionnement du corps. Ainsi des chercheurs tentent de mettre au point une application "chaotique" qui pourrait soulager les épileptiques. Chez ces derniers, les crises sont apparemment liées à de grands "pics" électriques dans le cerveau, comme si un grand nombre de neurones se déchargeaient en même temps. En évitant ces "pics", c'est à dire en imprimant aux neurones un comportement plus chaotique et aléatoire, on pourrait peut-être supprimer ces crises. L'idée est de "chatouiller" le cerveau en lui appliquant de petites impulsions électriques de façon à déclencher un comportement plus chaotique des neurones. Le chaos remplirait alors paradoxalement une fonction de régulation et de « contrôle ! »

D'après l'ouvrage de James Gleick "La Théorie du Chaos"

En 1914, chercheur à l'université Mac Gill de Montréal, Georges Mines conçoit un appareil capable d'envoyer dans le cœur de petites impulsions électriques bien réglées. On le retrouvera atteint par une crise cardiaque due au fait qu'il a essayé sur lui-même son appareil. Mais ce qui en résulte de manière certaine, c'est qu'une petite impulsion peut entraîner un grand effet puisque le cœur s'arrête. Dans le cas de Mines, un petit choc a entraîné une fibrillation. C'est une maladie cardiaque grave puisqu'elle entraîne la mort et les cardiologues peinent à la combattre. Bien sûr, Mines ne jouait pas à s'électrocuter. Sa grande idée et qu'il a développé théoriquement était que si une petite impulsion peut détraquer le mécanisme cardiaque, une autre peut le rétablir. Sur les pas de Mines, soixante ans plus tard, des centaines de chercheurs vont étudier le petit choc électrique permettant d'entraîner une défibrillation, c'est-à-dire de ramener le cœur par un choc brutal à l'équilibre. L'étape suivante, c'est un modèle mathématique du battement cardiaque. Ce sont les chercheurs Van der Pol et Van der Mark qui le trouvent en 1920. Il y a un petit point auquel personne ne prêtera attention à l'époque : leur modèle entraîne le chaos à certains moments. Dans les années 70, Bernardo Huberman travaille à l'université Santa Cruz qui était le plus récent campus du complexe de l'université de Californie et un véritable laboratoire d'idées pour physiciens anticonformistes et brillants qui ont fait le succès technique des grandes sociétés comme Bell Telephone et IBM. Dans ses travaux sur le mouvement oculaire des schizophrènes, Huberman développe la première étude importante sur le chaos en physiologie. C'est à lui que l'on doit l'idée que « le chaos c'est la santé. » Ses travaux sont repris par Arnold Mandell psychiatre et dynamicien de San Diego, qui non seulement prit la défense d'Huberman mais montra en 1977 que certaines enzymes du cerveau avaient un comportement explicable seulement par le chaos et il en déduisit qu'il ne fallait pas rejeter les mathématiques non linéaires. Le principal théoricien du chaos cardiaque sera Léon Glass, encore un chercheur de l'université Mac Gill de Montréal. Glass va s'intéresser aux nombres et à leurs irrégularités puis il travaille à la Harvard Medical School. En 1981, il résume dans la revue américaine « Science » ses travaux sur les agrégats de cellules cardiaques prélevés sur des embryons de poulets âgés d'une semaine. Placés dans une coupelle puis agités, ces agrégats trouvent spontanément une pulsation commune sans intervention d'une vibration extérieure. Puis il introduit une micro électrode dans l'une des cellules et fait ainsi apparaître de nombreuses fréquences dans les agrégats. Il met ainsi en évidence un dédoublement de période, phénomène caractéristique de la formation du chaos. Léon Glass a montré que lorsque l'on perturbe même de manière périodique des oscillateurs biologiques, on obtient du chaos. Cela signifie que le message qui commande ces phénomènes est en fait chaotique et peut se traduire dans un grand nombre d'oscillations périodiques avec des périodes variées. Un autre grand nom du chaos cardiaque est Arthur Winfree, biologiste théoricien qui commença par étudier les horloges biologiques avant de se tourner vers les rythmes cardiaques. En 1983, Winfree étudie la fibrillation à l'aide de la théorie du chaos et publie un article dans la revue « Scientific American ». C'est Raymond Ideker, du Duke University Medical Center, qui devait tenter expérimentalement d'appliquer les idées de Winfree deux ans plus tard. Il a mis au point des dispositifs électriques pour bloquer la fibrillation. En même temps, Richard Cohen, cardiologue et physicien, dans une étude de sciences médicales conjointe au MIT et à Harvard, va montrer dans le mécanisme cardiaque un spectre de dédoublement de période lors d'expériences sur des chiens, or on sait que c'est ce dédoublement de période qui reproduit plusieurs fois est un chemin de la périodicité vers le chaos. Ary Goldberger, codirecteur du laboratoire des arythmies cardiaques de l'hôpital Beth Israël de Boston, a étudié les bifurcations brutales dans le comportement cardiaque et ainsi mis en évidence que les modèles de type classique c'est-à-dire linéaires ne pouvaient en rendre compte. C'est lui qui a mis en relations physiologistes et mathématiciens pour les amener à agir dans l'interdisciplinarité, ce que les uns et les autres étaient réticents à faire. Les mathématiciens du Courant Institute University de New York étudient le cœur artificiel dans les années 80 et s'attaquent au problème des valvules artificielles. Celles-ci posent notamment de gros problèmes de turbulences pouvant entraîner la formation de caillots du sang, causant des attaques. C'est en observant la manière dont le sang déformait les parois du cœur de manière dynamique et non-linéaire qu'il ont pu comprendre ce qui empêchait cette formation de caillots dans le mécanisme naturel. On a ainsi constaté que, dans les appareils artificiels qui aident le cœur à assurer son rythme, la non-linéarité est indispensable pour imiter les pacemakers naturels.

Quelques caractéristiques chaotiques du fonctionnement du coeur : 1°) l'autosimilarité est, rappelons le, la ressemblance d'allure de la courbe aux différentes échelles. On remarque que la courbe des battements cardiaques est du même type aux différentes échelles. On indique l'intervalle entre des battements cardiaques sur diverses périodes. On s'aperçoit alors, contrairement à l'électrocardiogramme qui pouvait faire croire à la périodicité, que nous avons du désordre mais que ce désordre est autosimilaire et fractal. Un tel graphique a été reproduit par Ary Goldberger dans la revue « Pour la science » et montre qu'au delà de l'irrégularité il y a similarité des courbes effectuées en changeant la distance de temps entre les relevés. 2°) le processus de feed-back dans le cycle de l'onde cardiaque qui passe du premier sinus au deuxième, au faisceau de His, au réseau puis revient au premier sinus. Il y a un feed-back car il y a réintroduction des données puisque c'est la fin du cycle qui indique au pace maker le moment pour relancer. Et il y a une fonction de contrôle et de régulation comme dans le chaos déterministe. Au contraire, un processus linéaire de feed-back, soumis à un petit choc, tend à modifier légèrement son évolution alors qu'un processus non-linéaire tend à revenir à son point de départ. 3°) la souplesse et l'interactivité du mécanisme cardiaque qui change de rythme en cours de journée, à toute vitesse si nécessaire comme aucun mécanisme périodique n'est capable de le faire, le chaos en est capable. 4°) l'effet de pointe puisqu'un petit choc entraîne une fibrillation (petite cause, grand effet) 5°) la superposition de plusieurs modes ordonnés dont aucun ne prédomine ordinairement. 6°) L'action conjointe d'au moins trois acteurs qui est nécessaire à la production du chaos. En effet, il n'y a pas une émission mais trois. Les deux sinus et le faisceau de His sont à la fois récepteurs et émetteurs de battements. On le sait car on peut interrompre l'émission du premier sinus, le deuxième fonctionne à un rythme différent. Et si on interrompt encore le deuxième sinus, le faisceau de His émet lui aussi avec un rythme encore différent. On a donc trois oscillateurs ce qui est la situation normale pour obtenir le chaos. Le premier sinus pulse à 120 par minute mais il transmet de manière beaucoup plus réduite soit une onde de contraction de 60 à 80 par minute chez l'adulte au repos, le deuxième sinus a un rythme naturel de 50 contractions par minute, le troisième point rythmique, le faisceau de His, émet de 30 à 40 contractions par minute. En fait il y a donc trois horloges qui ont non seulement des rythmes internes différents mais en plus sont des émetteurs récepteurs qui propagent les signaux à des vitesses différentes : le premier sinus diffuse à la vitesse de un mètre par seconde, le deuxième à 5 centimètre par seconde, le faisceau de His a une vitesse qui va de 2 à 4 mètres par seconde et il propage ses contractions à un réseau qui diffuse aux ventricules à la vitesse de 0,4 mètre par seconde. Comment fait le cœur pour faire de tout cela une contraction régulière de l'ensemble du cœur suivie d'une décontraction ? Comment le cœur peut-il fabriquer de l'ordre à l'aide d'un tel total d'informations apparemment désordonné ? Comment cela peut-il donner cette apparence périodique que nous connaissons ? Cette capacité de faire du signal de trois horloges échangeant sans cesse des énergies un signal unique périodique, c'est ce que l'on appelle l'autorégulation des horloges. En effet, des horloges battant à des rythmes différents mais qui échangent des vibrations donc de l'énergie peuvent se coordonner sans intervention extérieure. Elles constituent ainsi spontanément ce fameux rythme complexe dont on parlait. Elles trouvent des accrochages de fréquence qui leur permettent d'avoir un battement d'ensemble. Ce phénomène a lieu spontanément car la synchronisation des horloges permet de minimiser les échanges d'énergie et c'est donc l'état vers lequel va tendre spontanément le système. C'est ce qui explique aussi que c'est un phénomène stable bien que dynamique et même agité.

Mais comment le cœur peut-il avoir une telle variété de fréquences de battement et pourquoi cette variété se réduit elle tout à coup dans le cas de la fibrillation ? L'explication vient du faisceau de His. En effet, il a une capacité de vibrer sur de nombreux modes et de passer de l'un à l'autre grâce à sa forme fractale. Il a en effet une forme complexe, avec conservation des formes aux différentes échelles, forme qui lui permet de vibrer sur plusieurs modes. Comparons le à un arbre. Chacun a déjà remarqué comment lors d'un courant d'air, on constate parfois qu'une branche s'agite extraordinairement alors que le reste de l'arbre est quasi immobile. La vibration de l'air entre alors en résonance avec cette branche car elle a la forme convenable. La constitution fractale permet non seulement au faisceau de His de vibrer sur un très grand nombre de fréquences mais permet aussi qu'en cas de lésion, le faisceau continue à fonctionner, à recevoir et transmettre les impulsions. La thèse défendue ici souligne donc la capacité du cœur de réagir de manière dynamique à tous les incidents de l'existence et cette réaction consiste dans la capacité de changer son rythme. C'est cette dynamique adaptative que l'homme peut perdre avec l'âge. Il se met alors sur un rythme périodique mais qui est beaucoup plus instable car il est incapable de réagir à un changement. Les rythmes pathologiques sont plus réguliers que les rythmes d'un individu sain. Si on compare les diagrammes du rythme d'un individu proche de l'arrêt cardiaque et le rythme cardiaque pathologique de type périodique et en bas le rythme d'un individu sain, on remarque que c'est ce dernier qui, paradoxalement apparaît le plus agité.

La suite

Une conférence de David Ruelle

Chaos et complexité du vivant

Chaos et déterminisme

Lire encore

Read in english : "Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems

Is the Normal Heartbeat Chaotic or Homeostatic ? by Goldberger

Chaos and Heart Rate Variability, by Leon Glass

In Heartbeat, Predictability Is Worse Than Chaos

Dynamics of Heart Rate : Chaos

L'équilibre terrestre du climat et de la biodiversité du vivant est paraît-il menacé, mais la dynamique terrestre est-elle un équilibre ou, au contraire, un état hors équilibre relié à une dialectique des contradictions, fondant des révolutions porteuses de nouveautés ?

Robert Paris — 2015-12-01T00:21:00Z

« Les révolutions sortent, non d'un accident, mais de la nécessité. »

Victor Hugo

« L'évolution est une succession infinie d'accidents, construisant, déconstruisant, et reconstruisant sans cesse, faisant naître de la nouveauté. »

Jean-Claude Ameisen dans "La sculpture du vivant"

« Bien que nous ayons beaucoup de preuves en faveur de l'existence de discontinuités, nous continuons à envisager l'évolution humaine sous la forme d'une transition en douceur d'un type d'ancêtre humain à un autre. (…) En fait, il n'en a probablement pas été ainsi. »

Christopher Wills dans "La sagesse des gènes, nouvelles perspectives sur l'évolution"

« Ce gradualisme du darwinisme a été enraciné dans les vues philosophiques de la société victorienne. De cette « évolution », on élimine tous les sauts, les changements brusques et les transformations révolutionnaires. Ces perspectives anti-dialectiques (...) ont profondément enraciné dans la pensée occidentale ce biais qui nous prédispose à rechercher la continuité et le changement progressif. »

Stephen Jay Gould

« La grande révolution de la théorie des quanta fut que des caractères de discontinuités furent découverts dans le Livre de la Nature, dans un contexte où tout autre chose que la continuité apparaissait comme absurde d'après les vues admises jusqu'à ce moment. »

Le physicien Erwin Schrödinger dans « Qu'est-ce que la vie ? »

« On a découvert que quand vous allez loin de l'équilibre, par exemple, en considérant une réaction chimique, que vous empêchez d'arriver à l'équilibre, se produisent des phénomènes extraordinaires que personne n'aurait cru possibles ; par exemple, des horloges chimiques… Donc, loin de l'équilibre, se produisent des phénomènes ordonnés qui n'existent pas près de l'équilibre… le non-équilibre, c'est la voie la plus extraordinaire que la nature ait inventée pour coordonner les phénomènes, pour rendre possibles des phénomènes complexes. »

Ilya Prigogine dans « Temps à devenir »

« La thermodynamique des processus irréversibles a découvert que les flux qui traversent certains systèmes physico-chimiques et les éloignent de l'équilibre, peuvent nourrir des phénomènes d'auto-organisation spontanée, des ruptures de symétrie, des évolutions vers une complexité et une diversité croissantes. »

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « La nouvelle alliance »

« Pendant le dernier interglaciaire, l'Eémien, la teneur en dioxyde de carbone était supérieure à celle de la période pré-industrielle et atteignait 300 ppm (contre 280 ppm dans la période préindustrielle). Sans nier l'impact de l'industrialisation sur la teneur en CO² de l'atmosphère et les problèmes d'environnement qu'il soulève, force est de constater que la teneur de dioxyde de carbone atmosphérique fluctue de façon naturelle, indépendamment de l'influence anthropique… La pompe biologique et la production de carbonates de calcium sont les mécanismes qui semblent les plus appropriés pour expliquer les variations de teneur du dioxyde de carbone atmosphérique lors des transitions glaciaire-interglaciaire… La destruction d'une chaîne de montagnes, l'accélération du taux d'expansion des dorsales ou les collisions continentales sont susceptibles de modifier les teneurs en dioxyde de carbone atmosphérique. »

Extrait de l'ouvrage collectif « Sciences de la terre et de l'univers » de Brahic, Hoffert, Schaaf et Tardy dirigé par Jean-Yves Daniel :

L'équilibre terrestre du climat et de la biodiversité du vivant est paraît-il menacé, mais la dynamique terrestre est-elle un équilibre ou, au contraire, un état hors équilibre relié à une dialectique des contradictions, fondant des révolutions porteuses de nouveautés ?

Bien des gens, scientifiques compris, estiment que l'équilibre terrestre (notamment le climat et l' « équilibre » du vivant) serait en train d'être mis en cause par la production de CO² liée à l'activité humaine. Ils préfèrent d'ailleurs souligner l'importance du CO² que du méthane et de la vapeur d'eau dans l'effet de serre qui cause globalement un réchauffement et minimisent tous les autres facteurs (soleil, océans, nuages, volcanisme...)

En réalité, la dynamique qui a produit la Terre est fondée sur des apparitions de structures nouvelles « loin de l'équilibre », sur des révolutions porteuses de nouveautés, sur l'émergence de structures qui n'ont aucune base dans l'ordre ancien et amènent même la destruction massive et brutale de celui-ci…

La vie n'est pas la seule révolution qu'ait connue la terre et n'est pas une seule mais des multiples révolutions. L'oxygène, l'eau, les continents, l'atmosphère, l'érosion, la couche d'ozone font également partie de la liste des multiples révolutions qui ont fait la Terre. Ce ne sont pas des ordres stables mais des produits de rétroactions brutales qui ont renversé l'existence précédente.

A l'origine de la Terre (4,6 milliards d'années), il y avait 0% d'oxygène (aujourd'hui 21%) dans l'atmosphère constituée à 98% de CO² (contre 0,03% aujourd'hui) et une température des continents si chaude (340° contre 13° aujourd'hui) et la pression si forte (60 bars contre 1 bar aujourd'hui) qu'aucune vie n'y aurait été possible. La seule vie existait dans les océans et elle a commencé par fonctionner sur la base du CO² (gaz carbonique) et pas de l'oxygène.

Les premiers êtres vivants bactériens étaient donc anaérobies (vivant en dehors de présence d'oxygène). Au lieu de l'oxygène, les archéobactéries utilisent le méthane, le chlorure de sodium, la forte chaleur ou le soufre pour trouver leur énergie vitale.

Dotées de chlorophylle et autres pigments récepteurs de photons, les cyanobactéries, également connues sous le nom d'algues bleues, ont utilisé le rayonnement solaire pour synthétiser leur matière nutritive à partir d'eau et de dioxyde de carbone. Ce processus s'est accompagné d'un dégagement de dioxygène, qui a été piégé dans les minéraux par des éléments chimiques réducteurs, tel le fer, avant de s'accumuler progressivement dans l'atmosphère. Une partie des molécules de dioxygène se sont ensuite dissociées sous l'effet du rayonnement ultraviolet, et les atomes libérés se sont recombinés à d'autres molécules pour former la couche d'ozone dans la stratosphère.

L'apparition de la vie date de 3,9 milliards d'années, la formation de l'oxygène atmosphérique de 2 milliards d'années, la formation de l'ozone de 1,6 milliards d'années, les premières algues de 1,2 milliards d'années, la conquête par la vie de la terre ferme de 400 millions d'années.

La terre ferme de la planète Terre a été conquise par les plantes il y a un peu plus de 400 millions d'années. En effet, il y a 420 millions d'années, la vie végétale des océans commence à coloniser les terres émergées.

Il y a environ 130 millions d'années, au Crétacé, les crocodiles, dinosaures, tortues et autres amphibiens qui peuplent la Terre sont témoins d'une révolution : les gymnospermes, plantes à graine nue qui dominent alors la flore depuis 150 millions d'années, sont supplantées par les angiospermes, les « plantes à fleurs », dont la graine se forme à l'abri d'un fruit. Les pollens fossiles l'indiquent, les premières angiospermes sont apparues il y a plus de 136 millions d'années. Elles ont ensuite colonisé toute la planète, et ce, très rapidement : des fragments de plantes ont été retrouvés en Europe, Amérique du Sud, du Nord, Asie, Nouvelle-Zélande et Antarctique, dans des terrains datés de 125 à 65 millions d'années. Cette colonisation s'est accompagnée d'une diversification elle aussi rapide, puisque dès cette dernière date, à la fin du Crétacé, les principales familles actuelles existaient.

Les premières plantes à coloniser la Terre ne se sont pas contentées de donner un peu de couleur à un paysage terne des continents désertiques. Elles ont aussi considérablement accéléré la décomposition naturelle des roches, rafraîchi l'atmosphère, provoqué une extinction massive de la vie océanique et surtout déclenché une ère glaciaire majeure.

Plantes, animaux, continents, océans, climat rétroagissent brutalement. L'apparition des algues vertes (2,5 milliards d'années) a modifié l'atmosphère brutalement la faisant passer de 0% d'oxygène à environ 10% d'où une agression d'anciennes espèces et un choc évolutif brutal. La disparition brutale des dinosaures, lors de l'extinction massive d'espèces du Crétacé, a provoqué le développement des arbres. Les premiers arbres, il y a 300 millions d'années, étaient les ancêtres des conifères (les plantes à cônes) que nous connaissons aujourd'hui. Cependant, les dinosaures sauriens, broutaient les sous-bois des immenses forêts de conifères et les jeunes plants ne pouvaient se développer jusqu'à l'âge adulte. En disparaissant, il y 65 millions d'années, les dinosaures ont probablement favorisé le renouvellement des forêts par les plantes à fleurs.

Voici la chronologie de l'histoire des principales révolutions de la Terre porteuse d'un tel changement massif, brutal et radical :

– 4,6 milliards d'années : formation de la Terre au sein du système solaire, planète chaude sans matière froides en surface

– 4,5 milliards d'années : bombardement massif de météorites porteuses d'eau donnant une planète entièrement couverte d'océans

– 4,3 milliards d'années : formation de l'atmosphère terrestre et formation des roches sédimentaires les plus anciennes

– 4 milliards d'années : début de la tectonique des plaques et formation des roches magmatiques ; la température terrestre passe en dessous de 100°, ce qui permet la formation de macromolécules

– 3,8 milliards d'années : « bombardement tardif » qui efface toutes les traces précédentes, supprimant tout enregistrement historique antécédent

– date inconnue : apparition des ARN

– date inconnue : apparition des protéines

– date inconnue : apparition de l'ADN

– 3,5 milliards d'années : apparition de la vie cellulaire ; apparition des premiers stromatolithes

– 3,2 milliards d'années : apparition des premiers acritarches

– 3 milliards d'années : apparition de la photosynthèse

– 2,9 milliards d'années : accrétion des continents (première fois que l'on trouve de vastes zones continentales)

– 2,7 milliards d'années : première cellules eurcaryotes

– 2,45 à 2,2 milliards d'années : « grand événement » d'apparition de l'oxygène avec, comme conséquence, l'effondrement du méthane et la destruction massive de formes de vie pour lesquelles l'oxygène est un poison

– 2,2 milliards d'années : première augmentation de l'énergie solaire (plus 10%)

– 2,1 milliards d'années : apparition des algues rouges

– 2 milliards d'années : émergence de la sexualité des bactéries ; apparition des pluricellulaires

– 1,56 milliards d'années : formation de cellules eucaryotes complètes

– 1 milliard d'année : terre en boule de neige et explosion des cellules eucaryotes

– 800 millions d'années : l'énergie solaire augmente considérablement (jusque là, elle était 30% plus faible)

– 720 millions d'années : glaciation globale de la Terre

– 635 millions d'années : glaciation globale de la Terre et explosion d'Ediacara

– 540 millions d'années : explosion de diversité « cambrienne » du vivant

– 500 millions d'années : apparition des chordés ainsi que des animaux à coquille

– 480 millions d'années : grande extinction du vivant ; apparition des plantes terrestres ; grand refroidissement global et des variations du niveau marin (dites glacio-eustatiques) ; le supercontinent Gondwana, alors placé au pôle Sud, porte une immense calotte glaciaire (inlandsis). Cette glaciation qui mobilisa d'énormes quantités d'eau, a fait baisser le niveau des mers

– 450 millions d'années : apparition des vertébrés

– 410 millions d'années : apparition des poissons à mâchoires

– 400 millions d'années : apparition des insectes, des graines et des sarcoptérygiens (poumons)

– 373 millions d'années : colonisation des continents par les plantes

– 370 millions d'années : grande extinction

– 365 millions d'années : apparition des tétrapodes

– 360 millions d'années : apparition des amphibiens

– 340 millions d'années : apparition des reptiles

– 320 à 270 millions d'années : glaciation

– 251 millions d'années : extinction ; grands trapps de Sibérie

– 210 millions d'années : éclatement du supercontinent qui agglomérait toutes les terres émergées

– 220 millions d'années : apparition des dinosaures

– 200 millions d'années : extinction

– 150 millions d'années : apparition des oiseaux

– 135 millions d'années : apparition des fleurs

– 115 millions d'années : apparition des euthériens

En même temps, la vie subit une nouvelle révolution générale et profonde.

A la fin du crétacé se développe un nouveau groupe de mammifères : les cuspides, comme Zalambdalestes. Ces petits animaux ressemblaient aux petits rongeurs actuels. Toutefois, sur terre, et depuis déjà 100 millions d'années, les dinosaures prospèrent et se diversifient. Notamment avec les Hadrosaures, qui furent certainement les dinosaures les plus communs de leur époque. Semblables aux Iguanodontidés mais plus évolués, on les distinguait en deux parties : les Hadrosaurinés, qui ne possédaient pas de crête, et les Lambéosaurinés, qui en avaient une. Leur caractéristique la plus frappante est leur bec de canard contenant plus d'un millier de dents capables de broyer les végétaux, même les plus costauds. Un autre groupe d'herbivores prospérait durant le Crétacé : les Ceratopsiens. Ils possédaient souvent plusieurs cornes faciales ; à part quelques exceptions comme Pachyrhinosaurus qui possédaient des excroissances à la place de la corne ; ainsi qu'une crête ornementale qui devait jouer un rôle pendant la parade nuptiale ou pour se défendre quand l'animal était attaqué. Enfin, les carnivores eurent de nouveaux et très célèbres représentants durant le Crétacé : les Tyrannosauridés. Ces grands prédateurs étaient munis de pattes arrière extrêmement puissante et d'une gueule aux mâchoires elles aussi d'une puissance phénoménale. Cependant leurs membres avant se sont atrophiés, et la cause reste encore dure à déterminer.

Dans les eaux, la vie subit une véritable révolution elle aussi. Les invertébrés se rapprochèrent peu à peu de nos crustacés actuels, ainsi que des gastéropodes et des oursins. Les poissons osseux (téléostéens) se diversifièrent énormément grâce à l'apparition d'animaux proches de nos anguilles, des carpes et des perches. Enfin, des reptiles marins comme les Mosasaures apparurent avec les tortues marines et les premiers oiseaux aquatiques.

Enfin, au Crétacé, les restes de la Pangée se divisent et forment le Gondwana (au sud) et la Laurasie (au nord). Ceux-ci se disloquaient et les continents actuels prenaient peu à peu forme. Madagascar et l'Inde se séparèrent du Gondwana afin de prendre leurs places actuelles. Bientôt un effroyable cataclysme allait tout bouleverser et tout remettre en cause : l'extinction Crétacé-Tertiaire, il y a 65 millions d'années !

– 65 millions d'années : grands trapps du Deccan et trapps de la province ignée nord-atlantique ; disparition des dinosaures et grande extinction de quantité d'autres espèces

– 40 millions d'années : trapps d'Ethiopie

– 34 millions d'années : glaciation

– 17 millions d'années : embellie climatique du Miocène qui va durer deux millions d'années ; première sortie d'Afrique par nos ancêtres grands singes

La Terre n'avait pas connu de calotte de glace importante et durable depuis le permo-carbonifère, il y a 300 millions d'années, pendant près de 250 millions d'années. Les dinosaures, par exemple, dont le règne démarre il y a 220 millions d'années et s'achève il y a 65 millions d'années, n'ont quasiment pas vu l'ombre d'une calotte de glace ! Alors que de Toumaï à aujourd'hui, les hominidés puis les hommes ont évolué, depuis 7 millions d'années, dans un monde plus froid… Les résultats concernant le CO² (pour l'optimum de température du Miocène qui dure deux millions d'années de 17 millions à 15 millions) ont été un peu inattendus… Le taux le plus élevé, 700 ppmv, conduisait à nouveau à un refroidissement très marqué…

– 14 millions d'années : trapps d'Ethiopie ; extinction

– 10 millions d'années : début de la bifurcation entre hominoïdes et autres grands singes

– 7 millions d'années : naissance du genre homo au Tchad

– 5 millions d'années : naissance de la bipédie

– de 3 millions d'années à 1,5 millions d'années : homo habilis

– de 2 millions d'années à 100.000 ans : homo erectus

– 2,7 millions d'années : glaciation

– 150.000 ans : sortie d'homo sapiens de son Afrique natale

– de 300.000 ans à 40.000 ans : homo néanderthalensis

– de 150.000 ans à aujourd'hui : homo sapiens

– 21.000 ans : glaciation

La Terre n'est pas la seule à être un produit des révolutions de son Histoire. C'est le cas de tous les éléments inertes comme vivants qui s'y trouvent : ils ont eu une apparition brutale.

Comme chaque être vivant, l'homme est un produit de l'histoire (et pas seulement de l'histoire de son cerveau). En effet, tous les éléments qui caractérisent notre physiologie sont nés à des époques diverses (apparus chez divers ancêtres de l'homme). Prenons simplement quelques éléments de son squelette :

a – la formule dentaire de base il y a 3,5 millions d'années

b – le bassin il y a 3,5 millions d'années

c – l'extrémité du scrotum il y a 2,5 millions d'années

d – le genou et le pied il y a 1,8 millions d'années

e – le coude il y a 1,5 millions d'années

f – la position du crâne par rapport à la colonne il y a 250.000 ans

g – le poignet et la forme sphérique du crâne il y a 100.000 ans qui est la dernière évolution importante du squelette.

Citons plus en détails ce patchwork historique qu'est un homme issu d'une succession de révolutions qui n'ont rien d'une progression continue ni linéaire :

– 15 milliards d'années, les particules qui constituent notre corps

– peu avant 3,5 milliards d'années, la vie, les protéines, l'ARN et l'ADN

– 2,8 milliards d'années, la vie utilisant l'oxygène

– 2,2 milliards d'années, notre noyau cellulaire

– 1 milliard d'années, la sexualité

– 670 millions, notre fonctionnement pluricellulaire

– 500 millions d'années, la vie hors de l'eau

– 450 millions d'années, les débuts de notre système vertébral

– 400 millions d'années, notre vie terrestre et formation de la mâchoire

– 200 millions d'années, notre fonctionnement de mammifères avec notamment l'invention de la mamelle

– 100 millions d'années, le placenta

– 60 millions d'années, vision trichromatique des primates

– environ 10 millions d'années, ancêtre commun des primates et des hominidés

– 6 millions d'années, notre apparition en Afrique en tant qu'être ressemblant à l'homme (australopithèque)

– 5 millions d'années, notre bipédie

– 3,8 millions d'années, notre voûte plantaire

– 3,5 millions d'années, notre formule dentaire de base et notre bassin

– 3 millions d'années, notre utilisation des outils

– 2,5 millions d'années, notre scrotum

– 2 millions d'années, notre fonctionnement chromosomique et la grande phase de céphalisation

– environ 2 millions d'années, notre pharynx notre larynx et nos zones du cerveau permettant le prélangage (lallation) puis le langage

– 1,8 millions d'années, de nouvelles étapes vers notre configuration actuelle : face plus aplatie, front relevé, incisives et canines plus développées, molaires et prémolaires plus petites, bourrelet au dessus des yeux disparu, agrandissement du cerveau (homo habilis)

– plus d'un million d'années, libération du front des muscles qui retenaient le crâne

– 1,8 millions d'années, nos os du pied et notre genou

– 1,5 millions d'années, notre coude

– 400.000 ans, notre os sphénoïde du crâne

– 338.000 ans, une génétique très proche de celle de l'homme actuel

– 250.000 ans, notre trou occipital dans le prolongement de la colonne vertébrale

– 200.000 ans, le premier homo sapiens en Afrique

– 100.000 ans, la forme sphérique du crâne et le poignet ; c'est-à-dire homo sapiens sapiens (moderne)

– 10.000 ans, l'homme agriculteur Les datations précédentes sont indiquées à titre tout à fait indicatif et seulement pour montrer combien l'homme est fait de briques de toutes époques….

La vie, elle-même, n'est pas née en une fois mais par toute une série de révolutions qui ne se sont pas déroulées régulièrement mais ont été séparées de longues périodes historiques.
Dans son ouvrage « Singularités » De Duve imagine les singularités suivantes du vivant :

1- formation des premières molécules (éventuellement dans l'espace) : chimie abiotique produisant des acides aminés, les pyrophosphates et thioesters

2- production de l'ATP et autres molécules porteuses de l'énergie des interactions du vivant

3- formation des bases U, A, G et C, les mononucléotides NMP et leurs dérivés pyrophosphatés les NTP, qui sont les briques du futur ARN (mais aussi de l'ADN qui n'apparaît que beaucoup plus tard semble-t-il) et appariement des bases. Apparition d'un protométabolisme.

4- apparition de l'ARN (acide ribonucléique) que De Duve appelle « événement charnière » car l'ARN est à l'origine des protéines et des métabolismes. Mais cela ne signifie pas une seule naissance car d'emblée apparaissent de multiples ARN.

5- réplication et transformation de l'ARN par lui-même. Formation des ARN auto-catalytique (l'ARNr ribosomial est la première molécule catalytique, avant les enzymes), ARN messager (ARNm) et de l'ARN de transfert (ARNt). Invention de la variation en même temps que la réplication. L'ARN est à la fois porteur de la mémoire génétique, dépositaire réplicable et agent de cette réplication (ce qui ne sera plus vrai avec l'apparition de l'ADN avec lequel la transcription sera complètement dissociée de la réplication). Début du mécanisme de sélection. Allongement des brins d'ARN. Développement des enzymes et du métabolisme.

6- production des protéines par l'interaction entre diverses sortes de molécules ARN (ARNm, ARNt et ARNr), traduction du langage nucléique en langage protéique, que De Duve nomme la « vraie révolution », « l'événement clef par lequel l'information est entrée dans la vie émergente ».

7- formation de la membrane cellulaire par des protéines membranaires

8- naissance de la cellule vivante (son apparition est particulièrement difficile à situer dans le temps) avec apparition de la croissance et de la multiplication par division.

9- apparition du code génétique : langage de transcription (général au vivant utilisant l'ADN) entre les bases de l'ARN (les NTP) couplées par trois (formant un codon) et les acides aminés (un acide correspondant de façon unique à un codon). Formation de la base thymine T par méthilisation de l'uracile U.

10- apparition de l'ADN (acide désoxyribonucléique), la fameuse double hélice et du double processus de réplication (un brin répliqué d'un seul coup et l'autre par segments reconstitués ensuite) puis revérification par des enzymes correcteurs. L'ordre de l'ADN est issu du désordre et des interactions des ARN qui ne disparaissent pas ensuite mais sont intégrés au processus… Les microARN (non codants) servent à réguler l'expression des gènes.

11- naissance de l'être procaryote (cellule sans noyau) puis eucaryote (cellule à noyau par l'intégration par symbiose à un procaryote d'autre procaryotes constituant mitochondries et chloroplastes). Naissent les familles de procaryotes, les bacteria et les archaea, puis les eucarya (ou eucaryotes, parmi lesquels apparaîtront notamment les animaux, les plantes et les éponges).

12- apparition des êtres pluricellulaires.

La théorie du chaos

Faber Sperber, Robert Paris — 2010-07-07T11:33:44Z

Le chaos déterministe, ni ordre, ni désordre,

Un monde dynamique non-linéaire aux frontières fractales

FRACTALES MANDELBROT ET DE JULIA

Mots clefs :

dialectique –
discontinuité –
physique quantique –
chaos déterministe –
système dynamique –
le temps -
non-linéarité –
émergence – rupture de symétrie –
inhibition –
boucle de rétroaction –
contradictions –
crise –
transition de phase –
auto-organisation – vide - révolution permanente - économie politique -
Blanqui -
Lénine -
Trotsky –
Barta -
Prigogine -
Gould

DANS LA NATURE : CROISSANCE PAR AGREGATION, PAR PERCOLATION

FOUGERE ET SON IMITATION PAR UNE FONCTION FRACTALE

FRONTIERE FRACTALE DANS UN PROCESSUS DE DIFFUSION

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L'image du chaos déterministe

Chaos déterministe (dynamique non-linéaire) et dialectique - en anglais -

La dynamique chaotique de la géophysique et de la climatologie.

Climatologie et chaos déterministe.

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Chaos cardiaque, cérébral et cellulaire : les rythmes émergents du vivant

Qu'est-ce que le chaos déterministe en sciences ?

Lire à l'extérieur du site :

James Gleick expose le chaos déterministe

Le chaos dans les système inertes et vivants

Systèmes auto-organisés

Pour ceux qui ne craignent pas les formules mathématiques

La sensibilité aux conditions initiales et le chaos

À quoi sert le chaos ? Comme on ne peut prédire le comportement à long terme des systèmes chaotiques, on a longtemps cru que le chaos serait incontrôlable et inutilisable. Pourtant, ces 30 dernières années, des chercheurs ont réussi à mettre certains phénomènes en équation et remarqué qu'il existe un côté déterministe dans ce qui apparaît être à première vu aléatoire.

C'est le cas notamment d'Edward Lorenz, du M.I.T., qui s'intéressait à la météorologie et par conséquent aux mouvements turbulents d'un fluide comme l'atmosphère. Après avoir modélisé, par les relations (très simplifiées) de thermodynamique et de mécanique des fluides, le mouvement des masses d'air, il programmait son ordinateur de façon à obtenir une simulation numérique. À l'époque, cela prenait beaucoup de temps. Un jour, pour ne pas recommencer les calculs depuis le début, il décida de reprendre son listing et de rentrer en tant que conditions initiales des valeurs prises au cours de la simulation de la veille. L'ordinateur lui donnait une précision à 5 chiffres, cependant 3 chiffres significatifs lui semblaient largement suffisant pour ce genre de mesures physiques. Il tronqua donc ces nombres et repris le calcul. Les résultats qui suivirent furent le " déclic ". D'abord la simulation semblait redonner les mêmes valeurs mais au bout d'un moment rien ne concordait, tout se passait comme si le mouvement représenté par ces valeurs changeait complètement de trajectoire et ce à cause d'une approximation de l'ordre de 10-4 !

Cette anecdote est à la base de ce que l'on appelle maintenant le chaos déterministe. À savoir, une infime variation des conditions initiales d'un système bouleverse complètement son évolution. Les exemples sont nombreux, le plus connu étant " l'effet papillon " (le battement d'aile d'un papillon à Tokyo peut entraîner une tempête à New-York (sic)).

1.2.Définitions

Chaos :

Définition Larousse : n.m. (gr. Khaos). Confusion générale des éléments, de la matière, avant la création du monde. Fig. Désordre.

Définition E.Lorenz : Un système agité par des forces où seules existent trois fréquences indépendantes, peut se déstabiliser, ses mouvements devenant alors totalement irréguliers et erratiques.

Pour identifier leur origine déterministe, on a pris l'habitude de qualifier ces comportements de " chaotiques ", alors que l'adjectif " aléatoire " est plus généralement réservé aux autres comportements erratiques.

Espace des phases :

Les trajectoires dynamiques d'un système se situent dans un espace mathématique appelé espace des phases. Cet espace, bien qu'abstrait, contient sous forme géométrique une information concrète. Les variables qui sont à la base de la construction de cet espace sont des grandeurs réelles et à chaque point correspond une situation physique bien déterminée. Ainsi l'espace des phases du balancier d'une horloge est construit à partir des variables vitesse et angle par rapport à la verticale.

Le choix de ces variables n'est pas arbitraire. L'espace doit contenir toute l'information sur la dynamique du système étudié. Les grandeurs doivent être indépendantes pour que chacune apporte sa propre information. Ce qui implique un certain nombre de variables nécessaires et introduit la notion de degrés de liberté du système que nous prendrons égal à la dimension de l'espace des phases.

Attracteur étrange :

" Un attracteur est la limite asymptotique des solutions partant de toute condition initiale située dans un bassin d'attraction qui est un domaine de volume non nul ".

Lorsque les coordonnées, dans l'espace des phases, d'un système physique sont comprises au cours du temps dans un domaine restreint de l'espace entier (i.e. aucune coordonnée ne diverge) alors l'évolution du dit système a deux comportements possibles.

Soit le système est chaotique au sens étymologique du terme, et l'évolution de ses coordonnées se fera dans l'anarchie la plus totale (comportement aléatoire). Soit il est chaotique déterministe et possède un attracteur étrange.

On distingue trois types d'attracteurs. D'une part, le point fixe et le cercle limite qui se caractérisent par des mouvements atteignant un état stationnaire ou qui se reproduisent indéfiniment. D'autre part l'attracteur étrange (expression utilisée pour la première fois en 1971 par Ruelle et Takens). L'attracteur étrange désigne une figure dans l'espace des phases représentant le comportement d'un système dynamique. Il est représentatif d'un système multi-périodique si le système possède au moins deux fréquences d'oscillation indépendantes. L'attraction des trajectoires autour de l'attracteur est liée au caractère dissipatif du système réel.

Extraits de "La théorie du chaos" de James Gleick :

"Du chaos à l'ordre

De nombreux exemples semblent montrer que l'ordre et le chaos sont dynamiquement et mystérieusement entremêlés : des systèmes complexes peuvent engendrer simultanément de la turbulence et de la cohérence, du désordre et des îlots d'ordre à l'intérieur du désordre.
La Grande Tâche Rouge de Jupiter est un immense ovale de la taille de la Terre tourbillonnant comme une gigantesque tempête qui ne déplace ni ne s'épuise jamais. Avant la sonde Voyager, de nombreuses théories avaient tenté de l'expliquer : lac de lave, trou formé lors de la collision d'un planétoïde, nouvelle lune sur le point de se détacher de la surface de la planète, corps plus ou moins solide flottant dans l'atmosphère, colonne de gaz émergeant d'un cratère, … En 1985, Philip MARCUS un jeune chercheur en astronomie et mathématiques appliquées modélisa la formation de la tâche rouge : de petits vortex se forment et se regroupent pour constituer une tâche plus grande et plus stable. Cette tâche est un système auto-organisé, engendré et régulé par les mêmes variations non linéaires à l'origine de l'agitation imprévisible qui l'entoure. C'est un chaos stable.
En mer, loin des côtes, se manifeste un autre type de turbulence. D'ordinaire, des remous apparaissent, se déchaînent et se dissipent dans le chaos familier des bas-fonds océaniques. Pourtant, des chercheurs ont découvert qu'il était possible que se produise un événement défiant le bon sens et les lois de la science. En plein cœur du fracas des vagues, le chaos aquatique s'orchestre lui-même, synchronise son désordre et se métamorphose en une seule vague régulière (un soliton) capable de parcourir des milliers de kilomètres au beau milieu des bateaux et à travers des tempêtes sans que sa forme subisse la moindre variation.
Les scientifiques envisagent qu'une autre forme de chaos synchronisé ait pu sévir en ce tristement célèbre "Lundi noir" d'octobre 1987, lorsque les cotations en bourse chutèrent de manière vertigineuse partout dans le monde. Leur hypothèse est la suivante : les échanges gérés par ordinateur et les réseaux de communication instantanée reliant les différents marchés à travers le monde auraient créé une situation dans laquelle des informations relativement pessimistes auraient pris des proportions exagérées. En l'espace d'une seule journée les comportements stochastiques et indépendants des investisseurs seraient alors combinés pour créer une catastrophe financière.

5.1 La " mémoire " du monde non linéaire

Le physicien Enrico FERMI démontra en 1955 que lorsque de l'énergie, sous forme de chaleur, est transmise au métal, elle provoque une vibration collective du réseau d'atomes, en produisant une " note " unique. En fait, il existe un grand nombre de notes ou modes vibratoires différents à l'intérieur du réseau et chacun d'eux est associé à une énergie caractéristique. A l'aide d'un modèle mathématique contenant cinq notes ou modes, il transforma le sage réseau linéaire en une arène de solitons. Les cinq modes furent activés l'un après l'autre. Jusqu'à 2500 itérations de l'équation, l'énergie était répartie de façon homogène entre les cinq modes, mais au-delà l'énergie se concentrait dans l'un ou l'autre des modes. Après 30.000 cycles, l'énergie n'obéissait plus du tout au principe d'équipartition mais s'était à nouveau rassemblée dans le premier mode !

Le calcul informatique indiquait que le réseau non linéaire disposait d'une sorte de " mémoire ", inexistante chez son équivalent linéaire. Pour peu qu'on lui laissât suffisamment de temps, le système retournerait indéfiniment à l'état qui était le sien lorsqu'il reçut sa première bouffée d'énergie. D'après l'analyse du modèle de Fermi, le phénomène met en jeu la formation d'un soliton d'énergie.
Le modèle est révélateur puisqu'il démontre que le monde non linéaire est holistique ; c'est un univers dans lequel tout est interconnecté, et dans lequel doit dès lors toujours exister un ordre subtil. Même ce qui apparaît désordonné en surface renferme un degré élevé de corrélation implicite. Parfois cette corrélation sous-jacente peut être déclenchée et émerge alors pour donner une forme au système. Le comportement du soliton est dès lors un miroir du chaos. D'un côté du miroir, le système ordonné s'effondre, victime d'un chaos attracteur ; de l'autre, le système chaotique découvre dans ses interactions la potentialité d'un ordre attracteur. D'un côté, un système simple et régulier révèle sa complexité latente. De l'autre, la complexité dévoile sa cohérence implicite.
Le soliton océanique illustre bien cette cohérence implicite. Selon certains scientifiques, la surface de l'océan est hautement modulée de sorte qu'elle contient en fait une réminiscence de toutes ses structures antérieures. Les vagues géantes qui apparaissent occasionnellement peuvent être considérées comme une émergence de la mémoire de l'océan sous la forme d'un soliton.
5.2 Le non-équilibre source de structure
Le comportement des solitons semble étonnant, mais du point de vue d'Ilya PRIGOGINE - lauréat du prix Nobel de Chimie 1977, l'émergence soudaine de l'ordre hors du chaos est la règle plutôt que l'exception. D'après lui, l'équilibre est l'état d'entropie maximum dans lequel les molécules sont paralysées ou se déplacent de manière aléatoire. Rappelons que l'entropie est la quantité qui mesure le désordre dans un ensemble d'atomes et de molécules.
L'équilibre est synonyme de non-structure et de stérilité, alors que le non-équilibre implique organisation et créativité. Nous l'observons tous les jours lorsque nous faisons bouillir de l'eau dans une casserole pour notre tasse de café du matin. La chaleur se transmet tout d'abord du fond à la surface par conduction. Le flux dans le liquide est régulier et sans-à-coups. C'est une situation proche de l'équilibre. En revanche, lorsque l'on continue à chauffer, la différence de température entre les deux régions augmente ; on atteint alors un état loin de l'équilibre et la gravité commence à exercer une attraction plus forte sur la couche supérieure, qui est plus froide et par conséquent plus dense. Des remous et des tourbillons apparaissent partout dans le liquide, qui devient de plus en plus turbulent jusqu'à ce que système frise le désordre complet. Le point de bifurcation critique est atteint lorsque la chaleur ne peut se disperser assez rapidement sans l'aide de courants de convection à grande échelle. A ce stade, le système quitte son état chaotique et les remous auparavant désordonnés se transforment à un réseau de courants hexagonaux : les cellules de Bénard. Augmentez encore la chaleur et les cellules de Bénard se dissolvent dans le chaos. L'instabilité de Bénard est un " phénomène spectaculaire " produit par des millions et millions de molécules qui se meuvent soudain de façon cohérente.

De toute évidence, une des propriétés du chaos loin de l'équilibre est sa capacité d'auto-organisation. Un autre exemple frappant d'auto-organisation a été observé dans la réaction chimique dite de Belossov-Jabotinski.
On injecte un mélange chimique dans un bain de molécules " colorées " en rouge et en bleu. Tant que le taux d'injection reste faible, le système est près de son état d'équilibre et rien d'extraordinaire ne se passe ; toutes les couleurs restent mélangées ensemble. Mais quand le taux d'injection dépasse une valeur critique, le système chimique passe à un état de non-équilibre, et un spectacle étonnant se produit : tout le mélange vire d'un coup au rouge. Deux minutes passent, et la couleur du mélange entier vire au bleu. Encore deux minutes et c'est le rouge qui revient et ainsi de suite.
L'organisation de la réaction chimique se fait à la fois dans le temps et dans l'espace. Deux sortes de structures spatiales extraordinaires apparaissent : soit des ondes circulaires concentriques de couleur bleue qui se propagent sur un fond rouge à partir d'une source centrale vers l'extérieur, soit des structures spirales bleues qui tournent comme des roues de charrette autour d'un centre, également sur un fond rouge.
Des scientifiques sont récemment parvenus à reproduire sur ordinateur la croissance de structure de la réaction de Beloussov-Jabotinsky en utilisant des équations non linéaires itératives.
De nouveau, nous constatons que les milliards de milliards d'atomes présents dans le mélange chimique ont un comportement holistique, qu'ils suivent un plan global. Un tel degré d'ordre émanant de l'activité de milliard de molécules semble incroyable et, de fait, si les horloges chimiques n'avaient pas été observées, personne ne pourrait croire qu'un tel processus soit possible.
Dans le cas de l'eau qui bout, comme dans celui du mélange chimique, quand le système est poussé au-delà d'un seuil critique, il peut sortir de son état d'équilibre pour bifurquer vers un état d'auto-organisation hautement structuré. Ilya Prigogine appelle ce genre de mélange chimique un système "dissipatif" car celui-ci doit dissiper de l'énergie pour maintenir les structures qui se développent. Telle une ville qui n'existe que tant qu'elle fonctionne et qu'elle maintient des échanges avec l'extérieur, la structure dissipative disparaît quand elle n'est pas " nourrie ". Le système peut aussi bifurquer vers un état totalement chaotique si le taux de pompage augmente. C'est comme si la matière inanimée possédait une volonté propre.
Les chimistes baptisent ces réactions "auto-catalyse" et "auto-inhibition" parce qu'elles mettent en jeu des processus au cours desquels les produits de certaines étapes rétroagissent pour leur propre production ou pour leur propre inhibition - comme quelque chose de vivant.
La théorie du chaos met ainsi en évidence la présence d'une auto-organisation au sein de la matière. Lorsqu'on s'éloigne de l'équilibre, on découvre de nouvelles situations, parfois plus organisées qu'à l'équilibre. Cela se produit à des points particuliers, qui correspondent à des changements de phase de non-équilibre, que Prigogine appelle des points de bifurcation. Une bifurcation dans un système est l'instant vital où une chose aussi petite qu'un simple photon d'énergie, une légère fluctuation de la température etérieure, un changement de densité ou la battement d'ailes d'un papillon à Hong-Kong est amplifiée par itération jusqu'à une taille telle qu'un embranchement est créé et que le système part dans une nouvelle direction.
Au fil du temps, des cascades de points de bifurcation amènent le système à se fragmenter (doublements de période) vers le chaos ou à se stabiliser dans un nouveau comportement par l'intermédiaire d'une série de boucles de rétroaction qui couplent le nouveau changement à son environnement. Une fois stabilisé par sa rétroaction, un système qui est passé par une bifurcation peut résister à des changements ultérieurs jusqu'à ce qu'une nouvelle perturbation critique amplifie la rétroaction et crée un nouveau point de bifurcation. A ces points de bifurcation, le système subissant un flux est confronté à un " choix " d'ordres. La rétroaction interne de certains de ces choix est à ce point complexe qu'il existe, de fait, une infinité de degrés de liberté.
Les points de bifurcation sont les bornes de l'évolution du système ; ils cristallisent l'histoire du système. Cachés dans toutes les formes et processus qui nous rendent uniques - dans les réactions chimiques de nos cellules et la forme de nos réseaux nerveux - se trouvent des milliers et des milliers de points de bifurcation constituant une chronologie vivante des choix par lesquels nous avons évolué en tant que système, de la cellule unique primordiale à notre forme présente.
A chaque point de bifurcation du passé de notre système, un flux survient dans lequel de nombreux futurs existent. Par itération et l'amplification du système, un futur est choisi et les autres possibilités disparaissent à jamais. Ainsi, nos points de bifurcation constituent une carte de l'irréversibilité du temps.
Le temps est inexorable et cependant dans les bifurcations, le passé est continuellement recyclé, maintenu éternel, en quelque sorte - puisqu'en stabilisant par rétroaction le chemin de bifurcation qu'il emprunte, un système incorpore les conditions exactes de l'environnement au moment où survient la bifurcation. Un vestige de la mer primaire reste dans les réactions chimiques liant les mitochondries de nos cellules au cytoplasme qui les entoure ; l'héritage de l'Age des reptiles est tapi dans la structure du système d'activation réticulaire de notre cerveau, qui régit notre niveau d'éveil.
Ainsi, la dynamique des bifurcations révèle que le temps est irréversible et cependant cumulatif. Elle démontre également que le mouvement du temps n'est pas mesurable. Chaque décision prise à un point de branchement nécessite l'amplification d'une chose initialement petite. Bien que la causalité agisse à chaque instant, le branchement s'effectue de manière imprévisible.
Les systèmes sont hautement sensibles à proximité de ces zones qui constituent la " mémoire " cristallisée de bifurcations passées. Les nations ont généralement évolué au travers de bifurcation liées à des situations de conflit intense. Elles sont donc hautement sensibles aux types d'informations qui recréent ces bifurcations. Un simple titre dans un journal peut mobiliser une nation entière pour la guerre.
A propos de la théorie du Big Bang, Prigogine dit : " L'Univers débute par une bouffée d'entropie (chaos) qui laisse la matière dans un état organisé. Ensuite, la matière se dissipe lentement et engendre dans cette dissipation, comme produit secondaire, des structures cosmologiques, la vie et finalement, nous. Vous voyez, il y a tellement d'entropie dissipée que vous pouvez l'utilisez pour construire quelque chose. ". D'après lui, la nature réelle est toujours entropique, turbulente et irréversible. Elle doit être envisagée comme une trame dynamique changeante et non comme une pyramide mécanique et hiérarchique.

MOTS CLEFS :

dialectique –
discontinuité –
physique quantique – relativité –
chaos déterministe – atome –
système dynamique – structures dissipatives –
non-linéarité – quanta –
émergence –
inhibition –
boucle de rétroaction – rupture de symétrie –
le temps -
contradictions –
crise –
transition de phase – criticalité - attracteur étrange – résonance –
auto-organisation – vide - révolution permanente - Zénon d'Elée - Antiquité -
Blanqui -
Lénine -
Trotsky – Rosa Luxemburg –
Prigogine -
Barta -
Gould - marxisme - Marx - la révolution - l'anarchisme - le stalinisme - Socrate

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Qu'est-ce qu'un attracteur étrange ?

Faber Sperber, Robert Paris — 2008-10-06T19:03:23Z

Attracteur de Lorenz

Attracteur de Hénon

L'attracteur étrange : cette courbe n'est pas celle du mouvement mais représente les états du système et elle montre que dans des cas où on aurait l'impression du désordre, il y a cependant un certain type d'ordre, des lois, d'où l'expression "chaos déterministe".
Un attracteur signifie que la dynamique a tendance à être attirée par lui. Par exemple, le fleuve est un attracteur du bassin fluvial.

Etrange signifie que la forme de cet attracteur n'est pas une courbe ni une surface et n'est même pas continue mais reconstituée point par point de manière discontinue par la dynamique qui, bien qu'apparemment désordonnée, reconstitue ce type spécial d'ordre. C'est un ordre de type chaos déterminsite car il obéit à la sensibilité aux conditions initiales (un petit changement entraîne des possibilités de changements considérables par la suite). Il y a donc à la fois attraction et mélange.

La notion d'attracteur étrange élargit considérablement le domaine de connaissance puisqu'elle permet d'étudier des phénomènes apparemment désordonnés et qui subissent cependant des contraintes tout à fait déterministes, parviennent à un certain type d'ordre dynamique qui n'est pas fondé sur une autre stabilité que celle d'une structure globale. dans le monde réle, ce type de système est courante : du nuage à l'économie et du rythme biologique à la dynamique d'une ville.

Attracteur de Lorentz du climat

attracteur étrange

La notion d'attracteur étrange signifie que la nature produit des horloges qui ne sont pas périodiques. Loin de l'équilibre, les systèmes dynamiques dissipatifs sont capables de produire des horloges, c'est-à-dire des rythmes, qui ne sont pas strictement périodiques. L'attracteur étrange signifie que le retour ne provient pas d'un passage à l'équilibre.

attracteur d'un comportement à deux périodes

Chaos dans les mouvements des fluides, le film

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « Entre le temps et l'éternité » :

« Dans le passé, (…) tous les systèmes soumis à un attracteur semblaient devoir « se ressembler ». Aujourd'hui, la notion d'attracteur symbolise au contraire la diversité qualitative des systèmes dissipatifs.
La notion d'état attracteur renvoie en effet à celle de système dissipatif, producteur d'entropie. Un pendule idéal, sans frottement, n'a pas d'état attracteur, mais poursuit indéfiniment son mouvement d'oscillation. En revanche, le mouvement d'un pendule réel s'amortit progressivement. Dans le cas du pendule simple, l'existence de l'attracteur que constitue son état d'équilibre (au sens mécanique) permet de caractériser tout mouvement pendulaire réel en toute généralité, sans avoir besoin de le connaître dans sa particularité. Quelles que soient la vitesse et la position initiale du pendule, nous savons en effet comment nous pourrons le décrire si nous attendons assez longtemps : il finira par se trouver au repos dans sa position d'équilibre. De même, l'existence de l'attracteur que constitue l'état d'équilibre thermodynamique permet d'affirmer qu'une population de milliards de milliards de particules dans une enceinte isolée évoluera vers un état dont la description ne dépend plus que d'un petit nombre de paramètres observables, tels que température et pression.
Pour nous représenter l'attracteur, introduisons un espace dans lequel cet attracteur est plongé. Cet espace possèdera autant de dimensions qu'il faut de variables pour décrire l'évolution temporelle du système. Les états d'équilibre des systèmes dissipatifs correspondent par définition à des attracteurs ponctuels, représentés par un point de cet espace. C'est également le cas pour les systèmes proches de l'équilibre thermodynamique et soumis au théorème de production d'entropie minimum. Dans tous les cas, quelle que soit la préparation initiale du système, l'évolution de celui-ci sous des conditions aux limites données – pourra être représenté par une trajectoire menant du point représentant l'état initial vers le point attracteur. Celui-ci domine donc la totalité de l'espace. Tous les systèmes représentés par les mêmes variables indépendantes aux mêmes conditions aux limites « reviennent au même », connaissent le même destin.
La découverte loin de l'équilibre des comportements cohérents, telle l' « horloge chimique », avec sa période temporelle bien déterminée, implique un premier élargissement de la notion d'attracteur. Ici, il ne s'agit plus d'un point mais d'une ligne. Cette fois, quelle que soit la situation initiale, le système évolue vers un « cycle limite ».
Un système caractérisé par un cycle limite reste un système prévisible, que l'on peut décrire de manière simple. (…)
Jusqu'à ces dernières années, on croyait que les seuls attracteurs possibles correspondaient à des variétés continues, telles que lignes, surfaces et volumes. Mais la découverte des « attracteurs étranges » a ouvert des nouvelles. Les attracteurs étranges ne sont pas caractérisés par des dimensions entières, comme une ligne ou une surface, mais par des dimensions fractionnaires. Ce sont ce que, depuis Mandelbrot, on appelle des variétés fractales. (…)
Jusqu'à il y a peu, l'existence d'un attracteur avait été synonyme de stabilité et de reproductibilité : retour au « même » malgré les perturbations, quelles que soient les particularités initiales. Aux nouveaux types d'attracteurs correspondent des comportements « sensibles aux conditions initiales » qui font perdre son sens à la notion de « même ». Dans toute région, aussi petite soit-elle, occupée par l'attracteur fractal, passent autant de trajectoires que l'on veut, et chacune de ces trajectoires connaît un destin différent des autres. En conséquence, des situations initiales aussi voisines que l'on veut peuvent engendrer des évolutions divergentes. La moindre différence, la moindre perturbation, loin d'être rendue insignifiante par l'existence de l'attracteur, a donc des conséquences considérables. (…)
Nous arrivons ici à la définition du comportement « chaotique », qui est un comportement typique des systèmes caractérisés par un attracteur étrange. Un comportement est chaotique si des trajectoires issues de points, aussi voisins que l'on veut dans l'espace des phases, s'éloignent les unes des autres au cours du temps de manière exponentielle ; la distance entre deux points quelconques appartenant à de telles trajectoires croit proportionnellement à une fonction exponentielle de l'inverse du temps de Lyapounov.
Le temps de Lyapounov permet de définir une véritable « échelle de temps ».

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « La nouvelle alliance » :

« Une notion cruciale est la notion d'attracteur. Les exemples d'attracteurs sont innombrables et bien connus de la physique. Le pendule, qui s'immobilise progressivement, rejoint son état attracteur. Le liquide chaud dont la température rejoint progressivement celle de l'environnement gagne son état attracteur. (…) Nous avons vu que, près de l'équilibre, l'état stationnaire correspond (….) à un état attracteur essentiellement analogue à l'état d'équilibre. Mais, loin de l'équilibre, d'autres types d'attracteurs peuvent apparaître, et notamment le « cycle limite », correspondant à un comportement temporel périodique adopté de manière spontanée par le système. (…) Depuis, de nouveaux types d'attracteurs ont été découverts qui enrichissent la dialectique du régulier et de l'aléatoire. (…) Ces attracteurs ne correspondent pas à un point, comme l'état d'équilibre, ou à une ligne, comme le cycle limite, mais à un ensemble dense de points, un ensemble assez dense pour que l'on puisse trouver de ces points dans toute région, aussi petite soit-elle. Il s'agit d'un ensemble auquel peut être attribué une dimension « fractale ». Les attracteurs de ce type impliquent, de la part du système qu'ils caractérisent, un comportement de type chaotique. Attracteur et stabilité cessent ici d'aller de pair. David Ruelle a caractérisé ces « attracteurs étranges », qu'on a également appelés « attracteurs fractals », par leur très grande sensibilité aux conditions initiales. Ce qui signifie que l'état attracteur ne se caractérise plus du tout par son insensibilité à de petites variations de ses paramètres. Toute petite variation est susceptible d'entraîner des effets sans mesure, de déporter le système d'un état à un autre très différent. (…) L'opposition entre déterminisme et aléatoire est battue en brèche. (…) C'est désormais autour des thèmes de la stabilité et de l'instabilité que s'organisent nos descriptions du monde, et non autour de l'opposition entre hasard et nécessité. »

ATTRACTEUR DE LORENZ DU CLIMAT

Yakov G. Sinaï explique l'attracteur étrange du climat ou attracteur de Lorenz dans « L'aléatoire du non-aléatoire », article de l'ouvrage collectif « Chaos et déterminisme » :
« Ces attracteurs étranges se manifestent dans de nombreux problèmes de la physique, de l'hydrodynamique, de la biologie, de la chimie, etc. (…) En 1963, le météorologue américain E. N. Lorenz a publié un travail dans lequel il obtenait un système de trois équations différentielles ordinaires, nommé ultérieurement système de Lorenz, qu'il étudiait à l'aide d'un ordinateur. (…) On peut considérer que c'est là le système le plus simple d'équations différentielles non linéaires. Lorenz a déduit ce système d'équations à partir du problème bien connu de la convection d'un gaz ou d'un liquide placé entre deux plaques horizontales et chauffé par le bas (convection de Bénard-Rayleigh). (…) Le modèle de Lorenz fournit un exemple typique d'attracteur étrange. (…) La trajectoire effectue des tours à droite, puis quelques tours à gauche, puis, de nouveau, quelques tours à droite et ainsi de suite de manière irrégulière. (…) Sur l'attracteur lui-même, le mouvement a un caractère instable (…) en feuillets séparés, avec une topologie lacunaire, (…) ce qui a amené à appeler cette structure topologique peu ordinaire « attracteur étrange », selon la définition donnée dans le célèbre article de D. Ruelle et F. Takens « Sur la nature de la turbulence » en 1971. »

« On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. Rien n'est plus propre à nous donner une idée de la complexité du problème des trois corps, et, en général, de tous les problèmes de la dynamique où il n'y a pas d'intégrale uniforme… »

Henri Poincaré
Dans « Méthodes nouvelles de la mécanique céleste »

Animation représentant un troisième corps en mouvement...

La loi des trois corps

Quinodoz :

La notion d'attracteur a été développée à partir des systèmes dynamiques afin de fournir une représentation de l'évolution du système en fonction du temps. Dans les systèmes dynamiques possédant peu de degrés de liberté, il est possible de fournir une représentation graphique qui serve de base pour décrire tout phénomène dépendant du temps. Mais lorsque le nombre de degrés de liberté est élevé, une représentation graphique n'est plus possible et l'on fait appel à des moyens de représentation plus globaux comme la dimension de l'attracteur et l'entropie métrique, dont on trouvera la description ailleurs (M. Dubois et coll., 1987). Jusqu'en 1963 on ne connaissait que trois types d'attracteurs : le point fixe, le cycle limite et le tore. Dans un système élémentaire, l'attracteur est représenté par un point fixe : l'exemple en est le pendule simple qui oscille en spirale en perdant de l'énergie et qui finit pas s'arrêter sur un point final appelé « point fixe ». Ce point constitue un attracteur ponctuel.

D'autres systèmes ne s'immobilisent jamais et leur évolution est cyclique et périodique, comme le pendule d'une horloge dont les oscillations sont entretenues. Dans ce cas, l'ensemble des trajectoires ne débute pas au centre de coordonnées (point fixe) mais tendent vers un cycle, et cet attracteur est appelé cycle limite . Ce dernier s'inscrit dans ce qu'on appelle l'espace des phases, c'est-à-dire dans cet espace abstrait où l'état du système peut être représenté sous forme géométrique en fonction des coordonnées du système étudié. L'intérêt de l'espace des phases pour les dynamiciens est justement « lié au fait qu'il doit contenir toute l'information sur la dynamique du système étudié » (M. Dubois et coll., 1987, p. 196). Il existe une troisième forme d'attracteur simple, l'attracteur torique, dont la surface est en forme de chambre à air et qui représente les mouvements résultant de deux oscillations indépendantes dont les trajectoires s'enroulent autour d'un tore .

D'autres systèmes plus complexes ont plusieurs attracteurs différents et leurs trajectoires sont attirées par l'un ou par l'autre des attracteurs, et l'on appelle « bassin d'attraction » d'un attracteur l'ensemble des points de l'espace des phases qui évolue vers l'attracteur considéré. En d'autres termes, on peut dire que les attracteurs attirent à eux toutes les trajectoires dynamiques engendrées à partir des diverses conditions de lancement possibles, « si bien qu'au bout d'un temps plus ou moins long, toutes ces trajectoires se retrouvent sur l'attracteur », comme l'ont souligné M. Dubois et coll. (1987, p. 193). Pour ces auteurs, le lit d'un fleuve peut être considéré comme l'équivalent d'un attracteur « pour tous les ruissellements, du plus petit au plus grand, qui prennent naissance dans son propre bassin » (ibid., p.193).

Les trois formes d'attracteurs dont nous venons de parler constituent des systèmes qu'on dit « prédictibles » car, bien que leurs mouvements soient complexes, ils sont néanmoins prévisibles à long terme. C'est sur de telles bases que l'on peut prédire longtemps à l'avance les heures des marées ou les éclipses dont la venue dépend pourtant de plusieurs mouvements périodiques.

Les attracteurs étranges

Dans les systèmes plus complexes dont l'évolution est « imprédictible », comme par exemple le chemin suivi par deux feuilles mortes tombant d'un même point de départ, les trajectoires vont se séparer pour devenir totalement dissemblables. Cette caractéristique d'amplification des écarts entre trajectoires de l'espace des phases a été nommée sensibilité aux conditions initiales. Lorsque cette propriété existe, le système correspondant est considéré comme chaotique.

Le tracé représentant l'évolution d'un système chaotique dans l'espace des phases en fonction du temps se comporte de manière « étrange » par rapport aux attracteurs des systèmes simples comme nous l'avons vu plus haut, c'est pourquoi D. Ruelle l'a nommé « attracteur étrange », ajoutant qu'il considérait sa propre expression comme « psychanalytiquement suggestive » (G. Pragier et S. Faure-Pragier, 1990, p. 1443).

Comme l'expliquent M. Dubois, P. Atten et P. Bergé (1987), le caractère étrange d'un tel attracteur vient du fait que « sa structure doit refléter deux tendances apparemment antagonistes : l'attraction des trajectoires vers l'attracteur et leur divergence sur ce dernier. L'attraction est liée au caractère dissipatif de tout système réel : sous l'effet des forces de frottement, les trajectoires tendent à venir se rejoindre sur l'attracteur. La divergence vient, quant à elle, de la sensibilité aux conditions initiales. La cohabitation de l'attraction et de la divergence apporte une contrainte d'autant plus forte que les trajectoires doivent être décrites continûment (puisqu'elles représentent une dynamique à tout moment), dans un espace confiné (puisque les valeurs des variables, vitesse, angles, etc. du système sont nécessairement limitées) et enfin qu'elles ne peuvent se couper (déterminisme) » (p. 196).

La divergence exponentielle des deux trajectoires reste cependant un phénomène local, et comme les attracteurs ont des dimensions finies, il est impossible que les deux trajectoires divergent de manière infinie, de sorte que l'attracteur doit se replier sur lui-même à un moment ou à un autre. En d'autres termes l'attracteur étrange est le résultat de trois opérations simultanées - contraction, étirement et repliement - qui vont donner naissance à une structure caractéristique en forme de fer à cheval qui va être à son tour aplatie, étirée et repliée. L'attracteur est ainsi fabriqué d'une manière analogue à celle utilisée par le boulanger pour mélanger sa pâte, de sorte qu'il présente une structure feuilletée, « la trajectoire s'emboîtant à l'intérieur d'elle-même à des échelles de plus en plus petites, puisqu'elle ne repasse jamais au même endroit. On retrouve là le concept d'autosimilarité d'un objet fractal » (ibid. p. 198)].

Ainsi, les trajectoires d'un attracteur étrange possèdent également les caractéristiques d'un objet fractal, c'est-à-dire d'un objet qui présente une structuration qui reste du même type quelle que soit l'échelle à laquelle on la regarde. Ce caractère fractal est donc une propriété générale des attracteurs étranges. Il résulte de ce qui précède que, dans un espace ayant au moins trois dimension (ou davantage), un système dynamique non-linéaire peut devenir chaotique. Comme le résument M. Dubois, et coll. « la propriété de sensibilité initiale est donc génératrice de chaos, chaos dont la signature est la présence d'un attracteur étrange dans l'espace des phases. C'est cette signature qui permet d'authentifier un comportement chaotique et de la caractériser quantitativement » (ibid. p. 197).

Multiples applications des attracteurs étranges

Je rappelle que c'est en 1963, en cherchant à comprendre pourquoi il est impossible de faire des prévisions météorologiques à long terme, que E. Lorenz a découvert qu'un modèle relativement simple de la circulation atmosphérique qu'il avait élaboré produisait des effets inattendus, largement divergents, à cause de la sensibilité du système aux conditions initiales. Cette caractéristique était nouvelle, car dans les attracteurs dont nous avons parlé en premier, qui sont non chaotiques, les erreurs ont des conséquences limitées et leur comportement reste prévisible. Par contre, dans les systèmes dynamiques, la sensibilité aux conditions initiales a pour effet que de faibles variations au départ se répercutent sur tout l'attracteur, et il devient impossible de prévoir quoi que ce soit, car il n'existe aucun lien proportionnel de cause à effet (J. Crutchfield et coll., 1987, p. 35).

Depuis ces travaux, on a cherché à trouver des attracteurs étranges dans de nombreux systèmes complexes, comme dans l'écoulement des fluides, dans le laser ou dans le fonctionnement cardiaque, etc. Mais ils ne se rencontrent pas si facilement : « les trouver ressemble plutôt à la cueillette des champignons : il faut savoir où et comment les chercher ! » (M. Dubois et coll., 1987, p. 197). Tant qu'on travaille avec trois variables, il est relativement aisé de « visualiser » le comportement chaotique et d'étudier directement la structure géométrique associée à ce type de comportement. Mais lorsque la dimension de l'espace des phases excède trois, on ne peut plus recourir à des représentations graphiques et l'on doit faire appel à des informations comme la dimension de l'attracteur.

La dimension de l'attracteur va permettre de fournir le nombre minimum de variables nécessaires pour obtenir une description simplifiée mais suffisante du fonctionnement d'un système. Un nombre de variables entre six et sept suffit en général pour le modéliser. « Le problème sera alors de bien analyser le fonctionnement du système physique, d'identifier les mécanismes principaux, les oscillateurs, et d'effectuer des approximations judicieuses. Autrement dit, trouver une dimension assez faible pour nous amener à examiner avec un oeil nouveau le désordre apparent, pour y découvrir les structures organisées sous-jacentes, leurs interactions et leur évolution. Confronté à un phénomène chaotique, il est donc essentiel de déterminer la dimension de l'attracteur étrange qui le caractérise » (ibid., p. 200).

Attracteur et dynamique chaotique

Extraits du texte cité juste au dessus :

Lorsque le système évolue vers un état final d'équilibre, représenté par un point
particulier de l'espace de phases, la trajectoire s'enroule autour de ce point. Le point
d'équilibre étant le même pour toutes les trajectoires issues de points de départ non
trop éloignés, ce point constitue un attracteur. Il peut cependant y avoir plusieurs
attracteurs, et l'ensemble des points de départ aboutissant à chaque attracteur constitue son bassin d'attraction.
Les trajectoires peuvent d'autre part s'enrouler autour d'autre chose qu'un point,
par exemple une courbe ou une surface fermées (cercle ou ellipse dans les cas à deux
variables les plus simples ; tore ou hyper-tore s'il y a plus de deux variables). On a
alors un attracteur cyclique, ce qui signifie que, quel que soit le point de départ
situé dans le bassin d'attraction, la trajectoire finit par rejoindre une figure fermée,
dite cycle limite, parcourue indéfiniment lorsqu'elle est atteinte. Les coordonnées
alors sont périodiques, revenant indéfiniment sur les mêmes valeurs (si le point de
départ est intérieur à l'attracteur cyclique, alors la trajectoire se déroule au lieu de
s'enrouler autour de ce dernier, et le résultat est le même). Enfin, on peut observer
des attracteurs chaotiques.
Deux bassins d'attraction contigus sont séparés par une ligne formée de points au
niveau desquels la trajectoire n'est pas déterminée, et qu'on appelle la ligne de
catastrophes. Cette ligne (parfois fractale) est
un « fil du rasoir » dans le voisinage duquel de petites fluctuations (par exemple
aléatoires) peuvent entraîner le système soit vers un des attracteurs, soit vers l'autre.
Lorsque l'espace d'états est de dimension supérieure ou égale à 3, la représentation des trajectoires est difficile et on a recours, pour les caractériser, aux sections de
Poincaré. On coupe l'ensemble des trajectoires par un plan, et chaque fois qu'une
trajectoire traverse ce plan, elle y marque un point. La suite temporelle de points
obtenus marque le comportement du système.
Ainsi, si la suite temporelle de points converge vers un point d'accumulation,
c'est que la coupe passe par l'attracteur ponctuel, qui est ce point. Si
l'attracteur est cyclique, le plan intersecte le cycle limite en deux points d'accumulation.

1. « Catastrophe » ne doit pas être entendue au sens de « désastre » ... même en écologie ! Il s'agit
(au sens de la théorie des catastrophes de René Thom) du basculement
qualitatif du système en direction d'un nouvel attracteur – changement brusque (et souvent
imprévu) de sa dynamique.

Oscillateurs chaotiques

"Dès 1985, Walter Freeman et ses collègues, de l'Université de Berkeley, se sont intéressés au processus de reconnaissance d'odeurs dans le bulbe olfactif du lapin. En se fondant sur leurs observations, ils ont proposé un mécanisme où la dynamique des signaux observés est chaotique et où la reconnaissance d'une odeur particulière se matérialise par un changement drastique de dynamique que l'on nomme bifurcation : on passe d'un attracteur étrange à un attracteur d'un autre type spécifique de l'odeur reconnue. dans ce modèle, on associe à chaque odeur un attracteur et c'est l'identification de cet attracteur qui permet la reconnaissance de l'odeur."

Hughes Berry et Bruno Cessac dans "Du chaos dans les neurones"

Bifurcations du type Feigenbaum

Autosimilarité

Matière et Révolution

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ASPECTS OF DIALECTICS AND NONLINEAR DYNAMICS

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Des auteurs qui pointent en effet le lien des hauts et des bas de la croissance et de la fin des épidémies avec le chaos déterministe et les attracteurs étranges

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