Matière et Révolution

Résonance et rythmologie de la matière/lumière

Robert Paris — 2017-11-24T23:26:00Z

Voilà un exemple de résonance : celle entre le rythme du vent et la période propre du pont : la résonance va amplifier les vibrations au point de casser le pont !!!

Voilà un autre exemple de résonance : celle des pendules couplés

Et (ci-dessous) deux métronomes dont les vibrations sont couplées par résonance :

Voici un tout autre exemple : les cellules cardiaques qui sont des oscillateurs couplés

Phénomène de résonance quantique

Résonance de l'archet et du violoncelle

Poudres sur une plaque vibrante

Voilà la résonance entre la fréquence propre d'un verre et celle de la vibration qui le casse :

Résonance et rythmologie de la matière/lumière

Diderot dans « Entretien entre d'Alembert et Diderot :

« C'est ce qui m'a fait quelquefois comparer les fibres de nos organes à des cordes vibrantes sensibles. La corde vibrante sensible oscille, résonne longtemps encore après qu'on l'a pincée. C'est cette oscillation, cette espèce de résonance nécessaire qui tient l'objet présent, tandis que l'entendement s'occupe de la qualité qui lui convient. Mais les cordes vibrantes ont encore une autre propriété, c'est d'en faire frémir d'autres ; et c'est ainsi qu'une première idée en rappelle une seconde, ces deux-là une troisième, toutes les trois une quatrième, et ainsi de suite, sans qu'on puisse fixer la limite des idées réveillées, enchaînées, du philosophe qui médite ou qui s'écoute dans le silence et l'obscurité. Cet instrument a des sauts étonnants, et une idée réveillée va faire quelquefois frémir une harmonique qui en est à un intervalle incompréhensible. Si le phénomène s'observe entre des cordes sonores, inertes et séparées, comment n'aurait-il pas lieu entre des points vivants et liés, entre des fibres continues et sensibles ?... L'analogie, dans les cas les plus composés, n'est qu'une règle de trois qui s'exécute dans l'instrument sensible. Si tel phénomène connu en nature est suivi de tel autre phénomène connu en nature, quel sera le quatrième phénomène conséquent à un troisième, ou donné par la nature, ou imaginé à l'imitation de la nature ? Si la lance d'un guerrier ordinaire a dix pieds de long, quelle sera la lance d'Ajax ? Si je puis lancer une pierre de quatre livres, Diomède doit remuer un quartier de rocher. Les enjambées des dieux et les bonds de leurs chevaux seront dans le rapport imaginé des dieux à l'homme. C'est une quatrième corde harmonique et proportionnelle à trois autres dont l'animal attend la résonance qui se fait toujours en lui-même, mais qui ne se fait pas toujours en nature. Peu importe au poète, il n'en est pas moins vrai. C'est autre chose pour le philosophe ; il faut qu'il interroge ensuite la nature qui, lui donnant souvent un phénomène tout à fait différent de celui qu'il avait présumé, alors il s'aperçoit que l'analogie l'a séduit. »

Maurice Jacob dans « Au cœur de la matière » :

« Une résonance est un phénomène bien connu en physique. Un objet peut vibrer sur une fréquence particulière. L'exemple le plus connu est le pendule qui, suspendu dans le champ d'attraction terrestre, bat à une fréquence qui ne dépend que de sa longueur. Une masse attachée à un ressort se comporte de la même façon. Elle vibre naturellement à une fréquence qui dépend de la valeur de la constante de rappel du ressort. Il en est de même d'un circuit élémentaire de radio. La fréquence naturelle dépend dans ce cas de la self et de la capacité du condensateur qui le constituent. Soumis à une force extérieure périodique, pour le système masse-ressort, ou à une tension périodique, pour le circuit self-capacité, ces systèmes oscillent selon la variation de la force ou de la tension appliquée mais, si la fréquence s'approche de leur fréquence naturelle d'oscillation, ils s'emballent et les oscillations prennent des amplitudes énormes. Quiconque a utilisé une balançoire a pu expérimenter le phénomène. On dit qu'il y a « résonance. »

La résonance est une propriété des oscillateurs couplés, c'est-à-dire de phénomènes périodiques qui parviennent spontanément à augmenter leurs effets en agissant au même rythme.

Qu'est-ce que la résonance ?

Ce qui est rythmique est un oscillateur : il dépend de trois éléments, la fréquence, l'amplitude et la phase.

Par exemple, la balançoire, fréquemment citée comme exemple d'oscillateur, a un mouvement périodique dont on peut visualiser aisément la fréquence, l'amplitude et la phase.

Mais l'utilisation de la notion d'oscillateur dépasse largement quelques petits exemples de mécanique. Il a été à la base de la découverte par Planck et Einstein des fondements de la Physique quantique en étudiant l'absorption et l'émission de lumière par la matière, puisque c'est en assimilant la lumière et la matière à des oscillateurs que ce domaine des sciences a été découvert.

Il y a deux possibilités pour qu'un phénomène conserve sa périodicité : soit il n'est pas amorti (pas de frottements), soit il est amorti mais aussi entretenu (il reçoit de l'énergie de l'extérieur).

La fréquence est le nombre fois que le phénomène périodique se reproduit par unité de mesure du temps. La période est le temps nécessaire pour revenir à la position de départ). La fréquence est donc l'inverse de la période.

L'amplitude est le niveau quantitatif de l'oscillation maximale.

La phase est le stade instantané du mouvement. La phase indique le retard ou l'avancée du mouvement. Quand deux mouvements interactifs ont accroché leurs périodes, ils peuvent être en phase ou en opposition de phase.

La résonance, qui fonde un très grand nombre de phénomènes d'interaction, est reliée aux corrélations, inattendues, des rythmes des phénomènes d'avantage qu'à leurs attributs physiques. C'est ainsi que sont reliés le photon lumineux et la matière (atome ou particule), la matière et le vide, le corps et le cerveau, les réseaux neuronaux et les événements mentaux. Les systèmes et les lois concernés par la résonance ont une particularité soulignée par le grand physicien Poincaré : la possibilité de sauter, brutalement et de manière inattendue, d'une structure à une autre, complètement nouvelle.

Il y a en effet des rythmes dans la matière aussi bien que dans la lumière. On sait que la matière est quantique et donc aussi ondulatoire que particulaire, donc elle a des fréquences ! En témoignent les fréquences d'ondes que l'on trouve dans l'un comme dans l'autre. Les fentes de Young démontrent que matière et lumière interfèrent avec eux-mêmes. C'est par la résonance entre l'atome et le champ de l'atome que, dès 1928, Dirac avait expliqué l'instabilité des états stationnaires excités, le fait que 1'atome rejoint spontanément son état fondamental en émettant un (ou des) photon(s).

« Le temps et l'éternité » d'Ilya Prigogine et Isabelle Stengers :

« Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l'hypothèse d'un champ induit par l'atome et entrant en résonance avec lui. »

Ces rythmes peuvent entrer en résonance, ce qui veut dire que, lorsque des matières et lumières interagissent, elles vont le faire plus favorablement si leurs fréquences sont identiques ou proportionnelles, dans des proportions simples, qui sont des rapports de petits nombres entiers comme 1/5, 2/3 ou 3/4. Dans ce cas, ces rythmes vont devenir liés et échanger mutuellement de l'énergie, fondant une structure ordonnée qui lie les deux états. La liaison entre matière comme entre matière et lumière est fondée sur de tels échanges d'énergie qui constitue une structure plus stable que leur existence isolée.

Chaque objet possède une fréquence qui lui est propre que l'on appelle « fréquence de résonance ».

L'exemple le plus simple de la résonance est la balançoire. Celle-ci a un certain rythme de mouvement avec une amplitude et une fréquence. Elle va et vient selon un certain rythme. Si la balançoire reçoit une poussée au bon moment et dans le bon sens, l'amplitude de son mouvement va augmenter. Pour cela, il faut qu'elle reçoive de l'énergie au bon moment (de préférence lors de son amplitude extrême et dans la bonne direction, celle de son mouvement spontané). Du coup, le mouvement de la balançoire est favorisé et son amplitude s'accroît. Il peut suffire que ce « coup de main » se produise une fois sur deux, une fois sur trois, etc., pour que l'aide au mouvement joue ainsi un rôle. Il suffit donc que l' « aide » ait une fréquence proportionnée au mouvement sur lequel elle agit.

Le pendule n'est pas le seul exemple connu. On se souvient des soldats qui ont rompu un pont en marchant au pas au rythme propre du pont. Ou encore de Nikola Tesla qui, en 1898, attacha un petit oscillateur au pilier de fonte central soutenant l'immeuble où se trouvait son laboratoire new-yorkais (imaginez une sorte de petit pendule se balançant et venant frapper le pilier selon une cadence régulière calculée au préalable). Tesla observa la mise en résonance successive de tous les objets de la pièce, un à un, au fur et à mesure que la fréquence augmentait. Mais peu à peu, à l'insu du savant, la vibration de très basse fréquence s'était communiquée au pilier, puis au sous-sol et aux immeubles avoisinants. Ceux-ci se mirent à trembler, des vitres explosèrent, les habitants affolés se ruaient hors des immeubles. Vers la fin du 19ème siècle Nikola Tesla avait émis l'hypothèse que l'ionosphère autour de la terre (partie de l'atmosphère à 60 km au-dessus de nos têtes) jouait comme une caisse de résonance pour l'électromagnétisme de la terre. Ceci fut confirmé et observé en 1960 au travers d'ondes radio-électriques.

La chaleur est donc la part de l'énergie qui peut se changer en un rayonnement dont la fréquence correspond à certains seuils précis qui lui permettent d'entrer en résonance avec les structures de la matière ayant des tailles comparables à la longueur d'onde de cette énergie. Rappelons que le rayonnement n'est plus conçu comme ondulatoire mais comme une dualité onde/corpuscule fondée sur les couples particules/antiparticules du vide fondant les corpuscules dits photons. L'agitation capable de se transformer en photons dont les énergies correspondent aux dimensions des molécules est donc la seule capable de se changer en « chaleur » et c'est loin d'être la totalité de l'agitation interne. Certes, la transmission de chaleur augmente la température mais les deux sont loin d'être identiques, contrairement à ce que croit le sens commun.

On constate d'autres résonances dans les mouvements planétaires comme la résonance entre les mouvements de précession des orbites de la terre et de Mars, comme la résonance entre les mouvements de précession de Mercure, Vénus et Jupiter. La précession est l'un des paramètres caractérisant le mouvement d'une planète. Du coup, il est difficile de dire si une forte augmentation de l'excentricité du mouvement elliptique d'une planète ne serait pas possible dans un intervalle de cent millions d'années, augmentation pouvant donner une énergie suffisante pour que cette planète sorte du système solaire. L'augmentation de l'excentricité du mouvement elliptique peut causer un choc entre deux planètes comme le montrent les extrapolations de calcul effectuées par Laskar dans une simulation sur ordinateur des équations sur dix milliards d'années. Ce seraient également ces mouvements chaotiques causés par des résonances qui expliqueraient la capacité de certaines trajectoires d'entraîner le corps hors du système, expliquant ainsi les trous dans la ceinture de Kirkwood des astéroïdes (un million de blocs rocheux de moins d'un kilomètre de diamètre qui voyagent entre Jupiter et Mars.)

La résonance signifie le retour régulier d'une interaction brutale. C'est un effet d'entraînement équivalent à l'entretien d'un pendule amorti. On se souvient de l'effet chaotique de cette intervention qui transmet de l'énergie de façon ponctuée au pendule : le mouvement devient chaotique et son avenir est imprédictible. On se souvient par exemple de l'encensoir cité au chapitre « Rétroaction du lent et du rapide » de cette étude. C'est le chaos qui permet de synchroniser les rythmes de la matière, que ce soit les horloges des particules (par le chaos quantique du vide), les circuits électroniques et les lasers (signal électrique entrant chaotique), les oscillations chimiques (comme la glycolyse responsable du principal mode de production d'énergie des cellules vivantes ou les rythmes cardiaques des animaux (chaos causé par la rétroaction des cellules pace-makers du cœur). La raison de cette capacité des messages chaotiques de piloter un système à grande échelle appelée « la maîtrise du chaos » par William Ditto et Louis Pecora, qui écrivent que « Si deux systèmes sont lâchés en opposition de phase, ils le restent pour toujours. (...) En changeant, le signal d'entraînement en un certain type de signal chaotique, deux systèmes peuvent fonctionner en phase. » Cette capacité des résonances au sein du désordre de coordonner les rythmes est une propriété fondamentale du chaos déterministe. Aucune loi non chaotique ne permet à deux ou à un grand nombre de rythmes de s'accrocher ainsi.

Dans toutes les dynamiques produisant des résonances, Poincaré a montré que se retrouvaient des phénomènes du même type (les trajectoires stables sont imbriquées à l'infini dans les trajectoires instables comme dans l'exemple de la dynamique en selle de cheval ou en col) que nous avons appelé « le chaos déterministe ». Dans d'autres domaines que la physique, cette notion allait se révéler productive. La théorie du chaos déterministe a montré d'autre part que des lois peuvent produire des sauts entre des valeurs (discontinuité) et des apparences ressemblant considérablement à du pur hasard. Par exemple, le biologiste Robert May démontrait que, pour certaines valeurs des conditions initiales, une dynamique apparemment régulière autrement, se met à sauter d'une valeur à une autre sans la moindre prédictibilité. Etudiant l'évolution d'une population animale d'une saison à l'autre représentée sous la forme de l'itération d'une suite du type k fois x fois (1-x) et démontrait que, malgré le caractère mathématiquement simple de la fonction, l'itération avec un temps discontinu entraînant une grande complexité des résultats. Et il élargissait ce résultat à d'autres domaines : « Non seulement en recherche, mais aussi dans le monde quotidien de la politique et de l'économie, il serait bénéfique pour tous si plus de gens réalisaient que les systèmes non linéaires simples ne possèdent pas nécessairement des propriétés dynamiques simples. »

De telles résonances peuvent se produire entre une structure et une vibration, si les deux ont des dimensions et des longueurs d'onde proches ou proches d'une proportion simple. C'est le cas, par exemple, entre matière et lumière (on entend par lumière tout phénomène électromagnétique), si la matière a des dimensions caractéristiques (celles des molécules ou celles de la structure cristalline) proches ou proches de la proportion simple par rapport à la longueur d'onde de la lumière.

Il peut également y avoir résonance sans interaction, par exemple entre deux vibrations qui, si elles se produisent à bonne périodicité et phase, additionnent leurs effets périodiquement, additionnent donc leurs énergies et peuvent aller au-delà de l'effet de chacune d'elles.

Un système susceptible d'entrer en résonance, c'est-à-dire susceptible d'être le siège d'oscillations amorties, est un oscillateur. Un tel système a la particularité de pouvoir emmagasiner temporairement de l'énergie sous deux formes : potentielle ou cinétique. L'oscillation est le phénomène par lequel l'énergie du système passe d'une forme à l'autre, de façon périodique.

Par exemple, dans un système mécanique, l'énergie passe de la forme potentielle à la forme cinétique : une corde vibrante aura son énergie sous forme entièrement potentielle au moment où elle passe par son maximum d'élongation. Au moment où la corde passe par sa position d'équilibre, sa vitesse est maximale, et son énergie est entièrement sous forme cinétique.

Dans un circuit RLC, l'énergie est sous forme potentielle quand la tension est maximale aux bornes du condensateur. L'énergie est sous forme cinétique (ou magnétique) quand le courant est maximum dans la bobine (et la tension nulle sur le condensateur).

Si on injecte une énergie potentielle au moment où l'énergie potentielle déjà emmagasinée est maximale, l'énergie ainsi injectée s'ajoute à l'énergie déjà emmagasinée et l'amplitude de l'oscillation va augmenter, ainsi que l'énergie totale. De la même façon, si on injecte de l'énergie cinétique au moment où l'énergie cinétique est maximale, l'énergie totale augmentera. Si on apporte ainsi de l'énergie avec une périodicité égale (ou proche) de la périodicité propre du système, l'énergie totale va augmenter régulièrement. L'amplitude des oscillations du système va ainsi croître. L'exemple le plus simple est celui d'une balançoire : l'énergie de chaque poussée s'ajoute à l'énergie totale, à condition de pousser au bon moment...

Le phénomène de résonance n'est rien d'autre que cet effet d'accumulation de l'énergie en injectant celle-ci au moment où elle peut s'ajouter à l'énergie déjà accumulée, c'est-à-dire « en phase » avec cette dernière.

"Entre le temps et l'éternité" de Prigogine et Stengers :

« La raison du chaos quantique est l'apparition des résonances. (...) Ces résonances, qui caractérisent l'ensemble des situations fondamentales de la mécanique quantique, correspondent à des interactions entre champs (c'est-à-dire aussi aux interactions matière-lumière). On peut affirmer que notre accès au monde quantique a pour condition l'existence des systèmes chaotiques quantiques… en 1892, Poincaré montra qu'en général il est impossible de définir la transformation unitaire qui ferait des « actions » des invariants du système. La plupart des systèmes dynamiques n'admettent pas d'invariants en dehors de l'énergie et de la quantité de mouvement, et dès lors ne sont pas intégrables. La raison de l'impossibilité de définir les invariants du mouvement qui correspondent à la représentation d'un système dynamique intégrable tient à un mécanisme de résonance. (…) Le mécanisme de résonance peut être caractérisé comme un transfert d'énergie entre deux mouvements périodiques couplés dont les fréquences sont entre elles dans un rapport simple. Ce sont ces phénomènes de résonance – mais, cette fois, entre les différents degrés de liberté qui caractérisent un même système dynamique – qui empêchent que ce système soit mis sous une forme intégrable. La résonance la plus simple entre les fréquences se produit quand ces fréquences sont égales, mais elle se produit aussi à chaque fois que les fréquences sont commensurables, c'est-à-dire chaque fois qu'elles ont entre elles un rapport rationnel. Le problème se complique du fait que de manière générale les fréquences ne sont pas constantes. (…) Ce qui fait que, dans l'espace des phases d'un système dynamique, il y aura des points caractérisés par une résonance, alors que d'autres ne le seront pas. L'existence des points de résonance interdit en général la représentation en termes de variables cycliques, c'est-à-dire une décomposition du mouvement en mouvements périodiques indépendants. Les points de résonance, c'est-à-dire les points auxquels les fréquences ont entre elles un rapport rationnel, sont rares, comme sont rares les nombres rationnels par rapport aux nombres irrationnels. Dès lors, presque partout dans l'espace des phases, nous aurons des comportements périodiques de type habituel. Néanmoins, les points de résonance existent dans tout le volume fini de l'espace des phases. D'où le caractère effroyablement compliqué de l'image des systèmes dynamiques telle qu'elle nous a été révélée par la dynamique moderne initiée par Poincaré et poursuivie par les travaux de Kolmogoroff, Arnold et Moser. Si les systèmes dynamiques étaient intégrables, la dynamique ne pourrait nous livrer qu'une image statique du monde, image dont le mouvement du pendule ou de la planète sur sa trajectoire képlérienne constituerait le prototype. Cependant l'existence des résonances dans les systèmes dynamiques à plus de deux corps ne suffit pas pour transformer cette image et la rendre cohérente avec les processus évolutifs étudiés précédemment. Lorsque le volume reste petit, ce sont toujours les comportements périodiques qui dominent. (…) Cependant, pour les grands systèmes, la situation s'inverse. Les résonances s'accumulent dans l'espace des phases, elles se produisent désormais non plus en tout point rationnel, mais en tout point réel. (…) Dès lors, les comportements non périodiques dominent, comme c'est le cas dans les systèmes chaotiques. (…) Dans le cas d'un système de sphères dures en collision, Sinaï a pu démontrer l'identité entre comportement cinétique et chaotique, et définir la relation entre une grandeur cinétique comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions) et le temps de Lyapounov qui caractérise l'horizon temporel des systèmes chaotiques. (…) Or, l'atome en interaction avec son champ constitue un « grand système quantique » auquel, nous l'avons démontré, le théorème de Poincaré peut être étendu. (…) La « catastrophe » de Poincaré se répète dans ce cas : contrairement à ce que présupposait la représentation quantique usuelle, les systèmes caractérisés par l'existence de telles résonances ne peuvent être décrits en termes de superposition de fonctions propres de l'opérateur hamiltonien, c'est-à-dire d'invariants du mouvement. Les systèmes quantiques caractérisés par des temps de vie moyens, ou par des comportements correspondants à des « collisions », constituent donc la forme quantique des systèmes dynamiques au comportement chaotique (…) L'abandon du modèle des systèmes intégrables a des conséquences aussi radicales en mécanique quantique qu'en mécanique classique. Dans ce dernier cas, il impliquait l'abandon de la notion de point et de loi d'évolution réversible qui lui correspond. Dans le second, il implique l'abandon de la fonction d'onde et de son évolution réversible dans l'espace de Hilbert. Dans les deux cas, cet abandon a la même signification : il nous permet de déchiffrer le message de l'entropie. (…) La collision, transfert de quantité de mouvement et d'énergie cinétique entre deux particules, constitue, du point de vue dynamique, un exemple de résonance. Or, c'est l'existence des points de résonance qui, on le sait depuis Poincaré, empêche de définir la plupart des systèmes dynamiques comme intégrables. La théorie cinétique, qui correspond au cas d'un grand système dynamique ayant des points de résonance « presque partout » dans l'espace des phases , marque donc la transformation de la notion de résonance : celle-ci cesse d'être un obstacle à la description en termes de trajectoires déterministes et prédictibles, pour devenir un nouveau principe de description, intrinsèquement irréversible et probabiliste. C'est cette notion de résonance que nous avons retrouvée au cœur de la mécanique quantique, puisque c'est elle qu'utilisa Dirac pour expliquer les événements qui ouvrent un accès expérimental à l'atome, l'émission et l'absorption de photons d'énergie spécifique, dont le spectre constitue la véritable signature de chaque type d'atome. (…) Le temps de vie, qui caractérise de manière intrinsèque un niveau excité, dépend, dans le formalisme actuel de la mécanique quantique, d'une approximation et perd son sens si le calcul est poussé plus loin. Dès lors, la mécanique quantique a dû reconnaître l'événement sans pouvoir lui donner de sens objectif. C'est pourquoi elle a pu paraître mettre en question la réalité même du monde observable qu'elle devait rendre intelligible. (…) Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l'hypothèse d'un champ induit par l'atome et entrant en résonance avec lui. Le système fini que représente l'atome isolé n'est donc qu'une abstraction. L'atome en interaction avec son champ est, lui, un « grand système quantique », et c'est à son niveau que se produit la « catastrophe de Poincaré ». L'atome en interaction avec le champ qu'il induit ne constitue pas, en effet, un système intégrable et ne peut donc pas plus être représenté par l'évolution de fonction d'onde qu'un système classique caractérisé par des points de résonance ne peut être caractérisé par une trajectoire. C'est là la faille que recélait l'édifice impressionnant de la mécanique quantique. (…) Il est significatif que, partout, nous ayons rencontré la notion de « brisement de symétrie ». Cette notion implique une référence apparemment indépassable à la symétrie affirmée par les lois fondamentales qui constituent l'héritage de la physique. Et, en effet, dans un premier temps, ce sont ces lois qui ont guidé notre recherche. (…) La description à symétrie temporelle brisée permet de comprendre la symétrie elle-même comme relative à la particularité des objets autrefois privilégiés par la physique, c'est-à-dire de situer leur particularité au sein d'une théorie plus générale. »

Richard Feynman dans son « Cours de Physique – Mécanique 1 » :

« Si nous maintenons un pendule à l'extrémité d'un fil et si nous le secouons à la bonne fréquence, nous pouvons le faire se balancer extrêmement haut… L'importance des phénomènes de résonance réside dans le fait qu'ils se manifestent dans de très nombreuses circonstances… En mécanique, on trouvera que la fréquence de résonance a un carré égal à la rigidité divisée par la masse et en électricité le carré de la fréquence de résonance est l'inverse du produit de L (inductance) et C (capacité électrique)… Les applications de la résonance les plus simples et les plus étendues d'un point de vue technique se trouvent en électricité… On trouve des exemples dans de nombreux domaines et on peut montrer à chaque fois que l'équation de résonance se retrouve être la même. Il y a de nombreuses circonstances dans la nature dans lesquelles quelque chose « oscille », et qui donnent lieu à des phénomènes de résonance… Les deux premiers exemples viennent de la mécanique, le premier sur une grande échelle : l'atmosphère de toute la Terre. Si l'atmosphère que nous supposons entourer la terre uniformément de tous les côtés est tirée d'un côté par la lune, ou plutôt s'écrase en s'allongeant pour former une double marée, et si nous pouvions ensuite la laisser partir, elle se mettrait à osciller ; c'est un oscillateur. Cet oscillateur est couplé à la lune qui tourne effectivement autour de la terre… La réponse de l'atmosphère de la terre à l'attraction de la lune est celle d'un oscillateur…

Nous descendons maintenant à une petite échelle. Cette fois-ci nous prenons un cristal de chlorure de sodium, qui contient des ions sodium et des ions chlore proches les uns des autres. Ces ions sont alternativement chargés électriquement plus et moins. On peut avoir dans ce cas une intéressante oscillation. Supposez que nous puissions écarter toutes les charges positives vers la droite et toutes les charges négatives vers la gauche, et que nous les laissons aller ; elles se mettraient alors à osciller, le réseau de sodium se déplaçant par rapport au réseau de chlore. Comment pouvons-nous réaliser une telle chose ? C'est facile, car si nous appliquons un champ électrique sur le cristal, il va pousser les charges plus dans un certain sens et les charges moins dans l'autre sens ! Ainsi en ayant un champ électrique externe nous pouvons peut-être faire en sorte que le cristal oscille. La fréquence du champ électrique nécessaire est si élevée, cependant, que cela correspond à des rayons infra-rouge ! (…)

Nous passons maintenant à l'exemple de l'oscillation d'un aimant. Si nous plaçons un aimant, avec des pôles Nord et Sud, dans un champ magnétique constant, l'extrémité N sera tirée dans un sens et l'extrémité S dans l'autre sens, et un couple s'exerce en général sur l'aimant, de telle sorte qu'il va vibrer autour de sa position d'équilibre, comme une aiguille de boussole.

Cependant, les aimants dont nous parlons sont les atomes. Ces atomes ont un moment cinétique, le couple ne produit pas un simple mouvement dans la direction du champ, mais au lieu de cela produit, bien sûr, une précession. En la regardant de côté, n'importe quelle composante « oscille », et nous pouvons perturber et entretenir cette oscillation et mesurer une absorption….

Nous allons encore plus loin. Notre exemple suivant se rapporte aux noyaux atomiques. Les mouvements des neutrons et des protons dans les noyaux sont d'une certaine manière oscillants, et nous pouvons démontrer ceci par l'expérience suivante. Nous bombardons un atome de lithium avec des protons, et nous découvrons qu'une certaine réaction, produisant des rayons gamma, a en réalité un maximum très aigu, typique de la résonance. »

« Du vide à l'univers » de Edgar Gunzig, article de l'ouvrage collectif « Le vide » :

« Le face-à-face de la gravitation classique et du monde quantique s'exprime réellement dans ce qu'il a de plus spécifique les liens intimes qu'entretiennent la géométrie de l'espace-temps et les fluctuations du vide, la réponse de l'espace-temps classique à l'univers fluctuant du vide quantique…La géométrie, qui s'était déjà dynamisée en géométrie générale, devient, au terme de ce face-à-face avec la théorie quantique des champs, un partenaire énergétique. La géométrie entre en résonance avec le vide quantique et fluctue classiquement en réponse avec ses fluctuations quantiques. »

« L'objet quantique » de Lochak, Diner et Farge :

« Dans son état de repos, on peut dire que les électrons de l'atome gravitent autour du noyau de sorte que leur onde associée soit en quelque sorte que leur onde associée soit en quelque sorte « accordée » sur l'un des modes de résonance de l'atome. Si une onde électromagnétique tombe alors sur cet atome, elle va faire vibrer ces électrons autour de ce mouvement stationnaire.

Dans le cas général, fréquence de l'onde quelconque, cette vibration va garder la même fréquence et avoir une amplitude assez faible, proportionnelle à celle de l'onde incidente. On a affaire à ce que l'on appelle une oscillation forcée.

Or, l'électron est une particule chargée d'électricité, il va donc se comporter comme une petite antenne et rayonner lui aussi dans toutes les directions une onde électromagnétique de même fréquence. C'est ce qu'on appelle une « diffusion » parce que la lumière va non seulement être transmise dans la direction du faisceau incident, mais aussi être réémise de tous les côtés. C'est, à l'échelle atomique, le même phénomène que celui qui nous permet de voir les rayons du soleil diffusés par la fumée ou la brume.

Si la lumière a une couleur bien déterminée, celle-ci ne changera pas, mais comme l'amplitude diffusée dépend de la fréquence de l'onde, la répartition spectrale d'une lumière blanche, polychromatique, va varier. Dans le domaine visible, ce sont les radiations de courte longueur d'onde qui sont ainsi favorisées. Ceci explique par exemple la couleur bleue du ciel, due à la diffusion de la lumière blanche émise par le soleil par les molécules de la haute atmosphère. Sans diffusion notre ciel serait noir comme celui de la lune qui n'a pas d'atmosphère.

Mais ce phénomène n'est pas à proprement parler quantique. Ce qui l'est, c'est ce qui se passe pour les fameuses fréquences qui correspondent aux raies d'absorption ou d'émission de l'atome. Dans ce cas il y a résonance entre l'onde incidente et le mouvement des électrons. Un exemple tiré de l'expérience courante permet de le comprendre.

Considérons le mouvement d'une balançoire. Si on veut en augmenter l'amplitude, on sait qu'il est inutile de faire un effort violent, et qu'il suffit de quelques coups donnés au bon moment (quand le siège commence juste à redescendre) et répétés bien régulièrement, en synchronisme avec le mouvement pour y arriver.

On voit bien quelles sont les deux conditions pour un bon transfert d'énergie entre l'extérieur et le système oscillant :

1) avoir la même fréquence

2) synchroniser les impulsions pour qu'elles arrivent au bon moment.

Dans ce cas l'amplitude croît régulièrement, et peut même devenir catastrophique, jusqu'à faire complètement changer l'allure du mouvement : de simplement oscillant avec des allers-retours, le balancement peut se transformer en révolutions complètes (tours complets).

C'est un phénomène analogue qui se passe dans un atome. Pour certaines fréquences privilégiées de l'onde incidente, le mouvement de l'électron « décroche » de l'état stationnaire où il se trouvait, son amplitude croît énormément, puis se stabilise à nouveau sur un autre régime stationnaire, de plus haute énergie. Il y a cependant des différences frappantes avec le mouvement classique de la balançoire.

Tout d'abord les fréquences caractéristiques ne sont pas celles qu'on pourrait éventuellement attribuer au mouvement de l'électron. D'une façon tout à fait étrange, et caractéristique de la théorie quantique, elles sont seulement liées aux différences d'énergie entre deux états stationnaires par l'intermédiaire de la loi de Bohr :

E2 – E1= h fois la fréquence nu

dans laquelle E2 – E1 est la différence d'énergie entre les deux états stationnaires, h est la constante de Planck et nu la fréquence du rayonnement ainsi absorbé.

D'autre part, cette même relation montre que, comme l'énergie se conserve, l'électron ne peut pas absorber n'importe quelle quantité d'énergie, mais seulement h fois nu, ce que Planck appelait justement un « quantum » d'énergie, en langage moderne un « photon ».

Reprenons l'image de la balançoire. Si, au lieu d'accentuer son mouvement, on veut au contraire le diminuer, il ne faut pas essayer de s'y opposer d'un coup, ce qui nécessite un effort extrêmement violent, mais il vaut mieux donner une série de petites impulsions de freinage un tout petit peu avant que la balançoire ne passe par le sommet de sa trajectoire. Encore une fois ceci nécessite de synchroniser ces impulsions avec le mouvement, mais cette fois-ci à un instant légèrement différent du précédent. On voit que suivant les cas le même type d'action peut aussi bien s'opposer au mouvement que le favoriser.

Il se passe la même chose dans le monde atomique. Supposons que l'électron atomique soit dans un état de grande énergie, qu'on appelle état « excité ». Il arrive parfois qu'une onde électromagnétique incidente, à condition qu'elle soit accordée sur la bonne fréquence de transition, celle qui est donnée par la loi de Bohr, mette en mouvement l'électron et le fasse à nouveau décrocher, mais cette fois-ci en perdant de l'énergie. Il passe alors sur un « niveau inférieur », état de moindre énergie. Afin de conserver l'énergie, il aura bien entendu cédé à l'onde un photon d'énergie h fois nu. Ce dernier, par le processus même qui a présidé à sa formation, a une propriété remarquable : il est en phase avec l'onde incidente. »

Des films sur les phénomènes de résonance

De multiples cas de résonance :

Qu'est-ce que l'imprédictibilité ?

Robert Paris — 2010-03-28T08:05:12Z

Un noyau atomique se décompose, brusquement et de manière imprédictible, en noyaux plus légers et émet du rayonnement radioactif. Un atome (ou une particule) émet un photon, de manière aussi brutale qu'inattendue. Une cellule vivante se divise tout à coup (méiose), de façon imprédictible. Une synapse neuronale se décharge violemment. Avec l'instabilité de ses couches de neige, une avalanche se déclenche de façon violente et inattendue. Le climat nous réserve des chocs du même type : cyclones et tempêtes. Périodes de glaciation et de réchauffement s'enchaînent, brutalement, sans nous permettre de les prédire. Elles sont aussi inattendues que radicales dans leur temps d'action et dans l'ampleur de leur transformation. A notre échelle aussi, la météo nous réserve ses surprises, aussi brutales que violentes, déchaînant ici une tempête inattendue ou précipitant brutalement là des tonnes d'eau ou de glace sur l'observateur étonné. Une vague de froid se propage au cœur de l'été. Au beau milieu de la chaleur du désert, un orage inonde l'oued et noie ses occupants. Dans un liquide où un sel est dissous, le sel cristallise. L'instant est à chaque fois inattendu. L'événement est brutal. Nul ne peut le prédire exactement, ni le moment de son déclenchement, ni son ampleur. L'intervalle entre deux chocs change sans cesse et on ne peut mettre en évidence qu'une probabilité moyenne. Présenter le phénomène comme le produit d'une action régulière, d'une évolution progressive, ne peut donner l'idée du processus qui, lui, est discontinu. Le changement est qualitatif. Il n'y a même pas passage du continu au discontinu, contrairement à ce que les mesures quantitatives laissent parfois croire, mais des sauts de petite ampleur suivis d'un saut de plus grande ampleur. Ces « effets de pointe » se rencontrent dans tous les domaines : de la lutte sociale aux cours de la bourse, des bifurcations du vivant aux modifications des états de la matière. Une quantité de petites discontinuités en tous sens deviennent brutalement cohérentes, entrent en résonance, et produisent une discontinuité à grande échelle. La résonance, qui fonde un très grand nombre de phénomènes d'interaction, est reliée aux corrélations, inattendues, des rythmes des phénomènes d'avantage qu'à leurs attributs physiques. C'est ainsi que sont reliés le photon lumineux et la matière (atome ou particule), la matière et le vide, le corps et le cerveau, les réseaux neuronaux et les événements mentaux. Les systèmes et les lois concernés par la résonance ont une particularité soulignée par le grand physicien Poincaré : la possibilité de sauter, brutalement et de manière inattendue, d'une structure à une autre, complètement nouvelle.

La nature obéit a des lois, nous dit la science et pourtant on ne peut pas savoir en combien de morceaux ce vase va se briser, on ne peut pas savoir en quel endroit va avoir lieu le prochain séisme, on ne peut pas dire si le Soleil va ou non augmenter son activité...

Vous pouvez vous dire : d'accord, pour le moment on ne dispose pas de modèles suffisants pour prédire mieux mais on s'améliore et on va bientôt y parvenir. On finira sûrement par mieux comprendre le fonctionnement des nuages et du couple atmosphère-océan. C'est faux. On ne cesse de mieux comprendre oui mais on ne peut pas prédire. La limite de prédictibilité n'est pas due à un manque de connaissances mais à la nature même du phénomène. La nature des fonctions est divergente et on mesure cette divergence par une constante appelée de Lyapounov qui décide de la manière exponentielle dont un petit écart va s'accentuer. Les écarts fins comme entre deux nuages deviennent sensibles pour un temps de quatre jours. Le chaos entraîne qu'il y a une limite réelle à la prédictibilité qui n'est pas due aux limites des capacités de l'opérateur.

Des systèmes dynamiques non linéaires, ou simplement linéaires par morceau, peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes). Cette imprédictibilité est appelée chaos. La branche des systèmes dynamiques qui s'attache à définir clairement et à étudier le chaos s'appelle la théorie du chaos. Cette branche des mathématiques décrit qualitativement les comportements à long terme des systèmes dynamiques.

suite à venir

Qu'est-ce que la résonance ?

Faber Sperber, Robert Paris — 2008-11-22T20:12:51Z

La « résonance », c'est le transfert d'énergie et de quantité de mouvement entre deux mouvements périodiques.

Maurice Jacob dans « Au cœur de la matière » :

Un exemple de résonance, le film

Ilya Prigogine dans "La fin des certitudes" :

"Tout système dynamique intégrable (au sens de Pojncaré) peut être représenté comme s'il était constitué de corps dépourvus d'interactions. (...) Poincaré n'a pas seulement démontré que l'intégrabilité s'applique seulement à une classe réduite de systèmes dynamiques, il a identifié la raison du caractère exceptionnel de cette propriété : l'existence de résonances entre les degrés de liberté du système. (...) La notion de résonance caractérise un rapport entre des fréquences. Soumettons un ressort à une force extérieure (...) La résonance se produit lorsque les deux fréquences, celle du ressort et celle de la force extérieure, correspondent à un rapport numérique simple (l'une des fréquences égale un multiple entier de l'autre). L'amplitude de la vibration du pendule augmente alors considérablement. Le même phénomène se produit en musique, lorsque nous jouons une note sur un instrument. Nous entendons les harmoniques. la résonance "couple" les sons.
Les fréquences, et en particulier la question de leur résonance, sont au coeur de la description des systèmes dynamiques. Chacun des degrés de liberté d'un système dynamique est caractérisé par une fréquence. (…) Les résonances de Poincaré jouent un rôle fondamental en physique. L'absorption et l'émission de la lumière sont dues à des résonances. Les champs en interaction créent également des résonances. Il est difficile de citer un problème important en physique quantique où les résonances ne joueraient pas un rôle. Le fait de pouvoir surmonter l'obstacle qu'elles opposent à la description dynamique des systèmes peut donc, à juste titre, être considéré comme un élargissement de la dynamique, une extension qui échappe au modèle statique et déterministe applicable aux systèmes dynamiques intégrables. (…) Donnons un bref aperçu du chemin qui mène de la théorie KAM à cet élargissement de la dynamique.
Cette théorie étudie l'influence des résonances sur les trajectoires. (…) Certains points de l'espace des phases seront caractérisés par des résonances, et d'autres pas. Corrélativement, nous observons deux types de trajectoires, des trajectoires normales, déterministes, et des trajectoires aléatoires associées aux résonances, qui errent à travers l'espace des phases. La théorie KAM décrit la manière dont se transforme la topologie de l'espace des phases pour une valeur croissante de l'énergie. A partir d'une valeur critique, le système devient chaotique : des trajectoires voisines divergent au cours du temps. Dans le cas du chaos pleinement développé, nous observons des phénomènes de diffusion, l'évolution vers une dispersion uniforme dans tout l'espace des phases. Or, les phénomènes de diffusion sont des phénomènes irréversibles (…) Comment expliquer que, partant de la dynamique classique, nous puissions observer une évolution irréversible, donc à symétrie temporelle brisée ? (…) Au niveau statistique, les résonances entraînent la rupture du déterminisme, elles introduisent l'incertitude dans le cadre de la mécanique classique et brisent la symétrie du temps. Bien sûr, lorsque nous avons à faire avec un système intégrable, il n'y a pas de terme diffusif, et nous revenons à une description en termes de trajectoires, mais ce type de description ne correspond plus qu'à un cas particulier. (…) Pendant des siècles, les trajectoires ont été considérées comme les objets fondamentaux de la physique classique : elles apparaissent maintenant comme ayant une validité limitée. »

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans "Entre le temps et l'éternité" :

"La raison du chaos quantique est l'apparition des résonances. (...) Ces résonances, qui caractérisent l'ensemble des situations fondamentales de la mécanique quantique, correspondent à des interactions entre champs (c'est-à-dire aussi aux interactions matière-lumière). On peut affirmer que notre accès au monde quantique a pour condition l'existence des systèmes chaotiques quantiques. (...)

« Nous avons surtout souligné les dimensions négatives du chaos dynamique, la nécessité qu'il implique d'abandonner les notions de trajectoire et de déterminisme. Mais l'étude des systèmes chaotiques est également une ouverture ; elle crée la nécessité de construire de nouveaux concepts, de nouveaux langages théoriques. Le langage classique de la dynamique implique les notions de points et de trajectoires, et, jusqu'à présent, nous-mêmes y avons eu recours alors même que nous montrions l'idéalisation – dans ce cas illégitime – dont elles procèdent. Le problème est maintenant de transformer ce langage, de sorte qu'il intègre de manière rigoureuse et cohérente les contraintes que nous venons de reconnaître.
Il ne suffit pas, en effet, d'exprimer le caractère fini de la définition d'un système dynamique en décrivant l'état initial de ce système par une région de l'espace des phases, et non par un point. Car une telle région, soumise à l'évolution que définit la dynamique classique, aura beau se fragmenter au cours du temps, elle conservera son volume dans l'espace des phases. C'est ce qu'exprime un théorème général de la dynamique, le théorème de Liouville. Toutes les tentatives de construire une fonction entropie, décrivant l'évolution d'un ensemble de trajectoires dans l'espace des phases, se sont heurtées au théorème de Liouville, au fait que l'évolution d'un tel ensemble ne peut être décrite par une fonction qui croîtrait au cours du temps.
Or, un argument simple permet de montrer l'incompatibilité, dans le cas d'un système chaotique, entre le théorème de Liouville et la contrainte selon laquelle toute description définit le « pouvoir de résolution » de nos descriptions ; il existera toujours une distance r telle que nous ne pourrons faire de différence entre des points plus proches l'un de l'autre (…) La nouvelle description des systèmes dynamiques chaotiques substitue au point un ensemble correspondant à un fragment de fibre contractante. Il s'agit d'une description non locale, qui tient compte de la contrainte d'indiscernabilité que nous avons définie. Mais cette description n'est pas relative à notre ignorance. Elle donne un sens intrinsèque au caractère fini de nos descriptions : dans le cas où le système n'est pas chaotique, où l'exposant de Lyapounov est de valeur nulle, nous retrouvons la représentation classique, ponctuelle, et les limites mises à la précision de nos mesures n'affectent plus la représentation du système dynamique.
Cette nouvelle représentation brise également la symétrie temporelle. (…) Là où une seule équation d'évolution permettait de calculer l'évolution vers le passé ou vers le futur de points eux-mêmes indifférents à cette distinction, nous avons maintenant deux équations d'évolution différentes. L'une décrirait l'évolution d'un système vers un équilibre situé dans le futur, l'autre décrirait l'évolution d'un système vers un équilibre situé dans le passé.
L'un des grands problèmes de l'interprétation probabiliste de l'évolution vers l'équilibre était que la représentation probabiliste ne donne pas sens à la distinction entre passé et futur. (…) La nouvelle description dynamique que nous avons construite incorpore, en revanche, la flèche du temps (…) Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables.
Comment comprendre cet énoncé ? Depuis les travaux de Hamilton, on sait qu'un même système dynamique peut être représenté de différentes manières équivalentes par une transformation dite canonique (ou unitaire) (…) L'hamiltonien du système est la grandeur qui détermine son évolution temporelle.
Parmi toutes les transformations unitaires, il en existe une qui permet d'aboutir à une représentation privilégiée du système. C'est celle qui fait de l'énergie, c'est-à-dire de l'hamiltonien, une fonction des seuls moments, et non plus des positions. Dans une telle représentation, les mouvements des différentes particules du système sont décrits comme s'ils ne dépendaient plus des positions relatives des particules, c'est-à-dire comme si elles n'étaient plus en interaction. (…) Les mouvements possibles de tels systèmes ont donc la simplicité des mouvements libres. (…)
Or, en 1892, Poincaré montra qu'en général il est impossible de définir la transformation unitaire qui ferait des « actions » des invariants du système. La plupart des systèmes dynamiques n'admettent pas d'invariants en dehors de l'énergie et de la quantité de mouvement, et dès lors ne sont pas intégrables.
La raison de l'impossibilité de définir les invariants du mouvement qui correspondent à la représentation d'un système dynamique intégrable tient à un mécanisme de résonance. (…) Le mécanisme de résonance peut être caractérisé comme un transfert d'énergie entre deux mouvements périodiques couplés dont les fréquences sont entre elles dans un rapport simple.
Ce sont ces phénomènes de résonance – mais, cette fois, entre les différents degrés de liberté qui caractérisent un même système dynamique – qui empêchent que ce système soit mis sous une forme intégrable. La résonance la plus simple entre les fréquences se produit quand ces fréquences sont égales, mais elle se produit aussi à chaque fois que les fréquences sont commensurables, c'est-à-dire chaque fois qu'elles ont entre elles un rapport rationnel. Le problème se complique du fait que de manière générale les fréquences ne sont pas constantes. (…) Ce qui fait que, dans l'espace des phases d'un système dynamique, il y aura des points caractérisés par une résonance, alors que d'autres ne le seront pas. L'existence des points de résonance interdit en général la représentation en termes de variables cycliques, c'est-à-dire une décomposition du mouvement en mouvements périodiques indépendants.
Les points de résonance, c'est-à-dire les points auxquels les fréquences ont entre elles un rapport rationnel, sont rares, comme sont rares les nombres rationnels par rapport aux nombres irrationnels. Dès lors, presque partout dans l'espace des phases, nous aurons des comportements périodiques de type habituel. Néanmoins, les points de résonance existent dans tout le volume fini de l'espace des phases. D'où le caractère effroyablement compliqué de l'image des systèmes dynamiques telle qu'elle nous a été révélée par la dynamique moderne initiée par Poincaré et poursuivie par les travaux de Kolmogoroff, Arnold et Moser.
Si les systèmes dynamiques étaient intégrables, la dynamique ne pourrait nous livrer qu'une image statique du monde, image dont le mouvement du pendule ou de la planète sur sa trajectoire képlérienne constituerait le prototype. Cependant l'existence des résonances dans les systèmes dynamiques à plus de deux corps ne suffit pas pour transformer cette image et la rendre cohérente avec les processus évolutifs étudiés précédemment. Lorsque le volume reste petit, ce sont toujours les comportements périodiques qui dominent. (…)
Cependant, pour les grands systèmes, la situation s'inverse. Les résonances s'accumulent dans l'espace des phases, elles se produisent désormais non plus en tout point rationnel, mais en tout point réel. (…) Dès lors, les comportements non périodiques dominent, comme c'est le cas dans les systèmes chaotiques. (…)
Dans le cas d'un système de sphères dures en collision, Sinaï a pu démontrer l'identité entre comportement cinétique et chaotique, et définir la relation entre une grandeur cinétique comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions) et le temps de Lyapounov qui caractérise l'horizon temporel des systèmes chaotiques. (…)
Or, l'atome en interaction avec son champ constitue un « grand système quantique » auquel, nous l'avons démontré, le théorème de Poincaré peut être étendu. (…) La « catastrophe » de Poincaré se répète dans ce cas : contrairement à ce que présupposait la représentation quantique usuelle, les systèmes caractérisés par l'existence de telles résonances ne peuvent être décrits en termes de superposition de fonctions propres de l'opérateur hamiltonien, c'est-à-dire d'invariants du mouvement. Les systèmes quantiques caractérisés par des temps de vie moyens, ou par des comportements correspondants à des « collisions », constituent donc la forme quantique des systèmes dynamiques au comportement chaotique (…)
L'abandon du modèle des systèmes intégrables a des conséquences aussi radicales en mécanique quantique qu'en mécanique classique. Dans ce dernier cas, il impliquait l'abandon de la notion de point et de loi d'évolution réversible qui lui correspond. Dans le second, il implique l'abandon de la fonction d'onde et de son évolution réversible dans l'espace de Hilbert. Dans les deux cas, cet abandon a la même signification : il nous permet de déchiffrer le message de l'entropie. (…)
La collision, transfert de quantité de mouvement et d'énergie cinétique entre deux particules, constitue, du point de vue dynamique, un exemple de résonance. Or, c'est l'existence des points de résonance qui, on le sait depuis Poincaré, empêche de définir la plupart des systèmes dynamiques comme intégrables. La théorie cinétique, qui correspond au cas d'un grand système dynamique ayant des points de résonance « presque partout » dans l'espace des phases , marque donc la transformation de la notion de résonance : celle-ci cesse d'être un obstacle à la description en termes de trajectoires déterministes et prédictibles, pour devenir un nouveau principe de description, intrinsèquement irréversible et probabiliste.
C'est cette notion de résonance que nous avons retrouvée au cœur de la mécanique quantique, puisque c'est elle qu'utilisa Dirac pour expliquer les événements qui ouvrent un accès expérimental à l'atome, l'émission et l'absorption de photons d'énergie spécifique, dont le spectre constitue la véritable signature de chaque type d'atome. (…) Le temps de vie, qui caractérise de manière intrinsèque un niveau excité, dépend, dans le formalisme actuel de la mécanique quantique, d'une approximation et perd son sens si le calcul est poussé plus loin. Dès lors, la mécanique quantique a dû reconnaître l'événement sans pouvoir lui donner de sens objectif. C'est pourquoi elle a pu paraître mettre en question la réalité même du monde observable qu'elle devait rendre intelligible. (…)
Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l'hypothèse d'un champ induit par l'atome et entrant en résonance avec lui. Le système fini que représente l'atome isolé n'est donc qu'une abstraction. L'atome en interaction avec son champ est, lui, un « grand système quantique », et c'est à son niveau que se produit la « catastrophe de Poincaré ».
L'atome en interaction avec le champ qu'il induit ne constitue pas, en effet, un système intégrable et ne peut donc pas plus être représenté par l'évolution de fonction d'onde qu'un système classique caractérisé par des points de résonance ne peut être caractérisé par une trajectoire. C'est là la faille que recélait l'édifice impressionnant de la mécanique quantique. (…) Il est significatif que, partout, nous ayons rencontré la notion de « brisement de symétrie ». Cette notion implique une référence apparemment indépassable à la symétrie affirmée par les lois fondamentales qui constituent l'héritage de la physique. Et, en effet, dans un premier temps, ce sont ces lois qui ont guidé notre recherche. (…) La description à symétrie temporelle brisée permet de comprendre la symétrie elle-même comme relative à la particularité des objets autrefois privilégiés par la physique, c'est-à-dire de situer leur particularité au sein d'une théorie plus générale. »

The effect of resonance" class="spip_out" rel="external">Effect of resonance on rice ; Effet de la résonance sur du riz

Résonance sur wikipedia

Henri Poincaré invente le chaos déterministe

Robert Paris — 2008-10-24T16:08:37Z

Gravitation à trois corps

Le chaos dans le système solaire, le film

Qui est Henri Poincaré ?

Mouvement d'une boussole devant un pendule métallique

« On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. Rien n'est plus propre à nous donner une idée de la complexité du problème des trois corps, et, en général, de tous les problèmes de la dynamique où il n'y a pas d'intégrale uniforme… »

Henri Poincaré
Dans « Méthodes nouvelles de la mécanique céleste »

Quand Henri Poincaré inventait le chaos déterministe

Extrait de « Sciences et méthode » :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

LA "SENSIBILITÉ AUX CONDITIONS INITIALES" SIGNIFIE QUE LES LOIS NE PERMETTENT PAS DE PRÉDIRE PARCE QU'UN TOUT PETIT CHANGEMENT DES VALEURS DE DÉPART ENTRAINE UN AVENIR TRÈS DIFFÉRENT

En 1889, le mathématicien et physicien Henri Poincaré cherchait à répondre à la question de la stabilité du système solaire. Son mémoire intitulé « sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique » remporta le prix du concours ouvert à Stockholm par le roi Oscar II entre les mathématiciens du monde entier, apportant à Poincaré une notoriété internationale. Et c'est dans l'étude du système solaire que l'on a découvert pour la première fois un phénomène chaotique ! En effet, il devait montrer que la gravitation avait beau obéir à des lois, celles-ci engendraient le chaos, cette imbrication d'ordre et de désordre que l'on appelle chaos déterministe. Je rappelle que déterministe signifie un phénomène issu de lois. Poincaré a ainsi montré que certaines lois non linéaires, les lois de l'attraction universelle de Newton en l'occurrence, peuvent engendrer des mouvements chaotiques. Poincaré a également montré qu'un mouvement chaotique peut paraître stable durant quelques dizaines ou centaines de millions d'années avant de quitter la zone de stabilité appelée par lui « un îlot » de stabilité. Et pour cette étude il a considérablement simplifié le problème du système solaire. Il a étudié le mouvement de trois corps. Poincaré a ainsi découvert en étudiant mathématiquement la loi de Newton pour ces trois corps qu'on y trouvait des possibilités nombreuses de mouvements imprédictibles. Etonné et en même temps déçu, il aurait déclaré : « si j'avais su qu'en étudiant les lois de la physique on ne pourrait rien prédire, j'aurais préféré me faire boulanger ou postier que physicien et mathématicien ! »

Mais Poincaré avait rapidement compris que ce n'était pas une faiblesse personnelle qui l'empêchait ainsi de pénétrer le fonctionnement de la nature mais une propriété fondamentale de ce fonctionnement et de sa relation avec l'entendement humain. N'oublions pas que Poincaré, même s'il était un grand scientifique, a plutôt souligné le caractère humain et sensible de l'activité intellectuelle de la science. Je le cite commentant l'activité de la découverte scientifique et expliquant qu'entre deux périodes de travail conscient, il se réalise un travail inconscient. « Le moi inconscient ou, comme on dit, le moi subliminal, joue un rôle capital dans l'invention mathématique […] le moi subliminal n'est nullement inférieur au moi conscient ; il n'est pas purement automatique, il est capable de discernement, il a du tact, de la délicatesse ; il sait choisir, il sait deviner…les phénomènes inconscients privilégiés, ceux qui sont susceptibles de devenir conscients, ce sont ceux qui, directement ou indirectement, affectent le plus profondément notre sensibilité. On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. » C'est un passage du chapitre « L'invention mathématique », dans l'ouvrage « Science et méthode » de Poincaré.

Et l'un des résultats de ses travaux sera de relativiser le caractère purement objectif des énoncés scientifiques. Il montre que la science reste une conjecture et non un domaine du certain comme on l'a longtemps cru de façon un peu prétentieuse, à la suite de Laplace. Selon lui, la science est une activité humaine et la relation entre l'homme et la nature reste une recherche sans réponse finale. La meilleure preuve en est que ses propres travaux allaient être rapidement contredits puisqu'il concluait que le système solaire était stable ce que, par la suite, il allait lui-même corriger. Par contre, il a inventé à cette occasion la plupart des méthodes théoriques aujourd'hui appliquées dans un domaine qui n'existait pas à l'époque : l'étude des systèmes dynamiques, autrement appelée chaos déterministe. Il écrit : « Une cause très petite qui nous échappe détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir et alors nous disons que cet effet est dû au hasard ». C'est la notion de sensibilité aux conditions initiales.

Dans « Science et méthode », Henri Poincaré explique que l'origine de l'apparence de hasard par le caractère des lois universelles pour lesquelles un petit changement peut produire un grand effet. Du coup, il faudrait connaître tous les détails de la situation, à toutes les échelles, pour prédire : « Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement (...). Il peut arriver que des petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. » C'est la notion de « sensibilité aux conditions initiales ».

Poincaré va notamment inventer des méthodes d'étude (espace des phases, section de Poincaré, …) de systèmes pris dans leur ensemble sans étudier les éléments du système pris un par un, méthode particulièrement novatrice. Il va étudier non une seule trajectoire mais l'ensemble des trajectoires possibles et leur relation entre elles. Enfin, il va montrer que les phénomènes physiques sont du domaine de la géométrie et non des formules mathématiques. Je le répète, sa conclusion est qu'avec trois corps interagissant par attraction gravitationnelle on a déjà du chaos c'est-à-dire un phénomène obéissant à la propriété de la sensibilité aux conditions initiales : un tout petit changement de celles-ci peut entraîner un grand changement de la suite de l'évolution. Rappelons que cette thèse révolutionne la conception que l'on avait de la gravitation depuis Newton. Ce dernier pensait que si l'on connaissait précisément les positions et les vitesses de tous les corps célestes on pouvait connaître à tout moment la suite des positions. Poincaré infirme cette thèse. Essayons d'expliquer pourquoi. Je vous rappelle que pour deux corps, du moment que l'on connaît la masse des deux corps et les données de position et de vitesse à l'instant initial on peut calculer les positions des deux corps à tout instant. On connaît en effet une solution analytique qui indique le mouvement et il y a une seule trajectoire possible qui est une ellipse.

On pourrait imaginer que l'on est certain d'avoir une solution puisque l'on connaît les équations du mouvement mais ce n'est pas du tout le cas. La plupart des équations mathématiques non linéaires n'ont pas de solution ou une infinité de solutions.

Une solution analytique est une formule qui indiquera positions et déplacements à tout instant. Les équations ne permettent pas de le dire. Les équations de Newton relient par une formule les diverses dérivées de ces quantités, c'est-à-dire position, vitesse et accélération. Lorsque l'on peut revenir des dérivées aux quantités elles-mêmes on dit que le système d'équations est intégrable mais généralement ce n'est pas le cas. Un exemple bien connu d'intégration est l'équation du mouvement d'un boulet de canon si on connaît la vitesse initiale et l'angle de lancement. Et justement dans le cas du système solaire, en se contentant de trois corps, Poincaré a montré que le système n'est pas intégrable. Il n'y a pas de solution analytique des équations de Newton du mouvement. Poincaré en a même expliqué la raison : il n'y a pas assez d'équations par rapport au nombre d'inconnues. Ce que l'on appelle les inconnues ce sont les positions des corps et leurs variations. Les équations indiquent la conservation d'un certain nombre de quantités qui ne peuvent que s'échanger et non diminuer ou augmenter : l'énergie, la quantité de mouvement et la quantité de rotation.

Il a montré que la multiplicité des trajectoires très proches et imbriquées rend improbable que le système soit intégrable. Les équations ne sont pas assez nombreuses pour en déduire une solution. Il a également montré qu'il en découle une infinité de trajectoires possibles et que l'on n'a aucun moyen de trancher entre elles. En plus la proximité des trajectoires signifie qu'une petite perturbation peut faire sauter le corps d'une trajectoire à une autre imperceptiblement avec du coup un avenir tout à fait différent au bout d'un certain temps. Quelle en est la raison ? Dans le mouvement des trois corps, aucun n'est négligeable. A tout instant la position d'un corps et son mouvement sont modifiés par la position précédente d'un autre corps qui est elle-même modifiée par celle du troisième. C'est ce qui rend impossible les approximations. Impossible par conséquent de dire que tel objet est trop petit pour influencer le système sur le long terme. Impossible de dire que telle modification de distance est négligeable puisqu'elle peut entraîner un changement de trajectoire qui peut être considérable sur le long terme. Impossible même de distinguer l'une des planètes comme un objet indépendant du système. Impossible aussi de distinguer passé et présent. En effet, la position d'une planète dépend de l'ensemble des positions précédentes, de toute l'histoire passée du système. C'est ainsi que, pour prédire, il faudrait connaître avec une précision infinie l'ensemble des conditions précédentes et pas seulement les conditions initiales, c'est-à-dire à un instant donné, du système. Du coup, les trajectoires possibles étant infiniment proches les unes des autres, il suffit d'un petit changement dans les conditions initiales ou d'une petite imprécision pour changer relativement vite l'ensemble de l'histoire de tout le système. Poincaré venait de découvrir le premier domaine d'étude d'un phénomène d'un type nouveau : le chaos déterministe.

Parmi les successeurs des travaux de Poincaré, il convient d'abord de citer Kolmogorov, Arnold et Moser. Ces trois scientifiques vont reprendre le travail de Poincaré et montrer en 1962 dans un théorème appelé KAM de leurs initiales que, dans certaines conditions initiales particulières, il peut y avoir stabilité. Il y a alors des mouvements quasi périodiques et des perturbations suffisamment petites ne peuvent éloigner durablement la planète de sa trajectoire.

Ils ont donc fait la démonstration que, si les masses et les inclinaisons des ellipses parcourues restent faibles, ces trajectoires restent contraintes à n'évoluer qu'autour d'une espèce de tuyau refermé sur lui-même et appelé le tore. Cette contrainte entraîne une garantie de stabilité, une espèce de garde fou pour le mouvement.
Mais le débat n'était pas achevé pour autant car d'autres physiciens allaient montrer que le théorème KAM s'applique bien à des interactions entre plusieurs corps mais pas au système solaire qui ne satisfait pas aux conditions initiales nécessaires.

Ainsi, en 1998, les savants américains Sussman et Wisdom intègrent le mouvement de Pluton sur un ordinateur et ce mouvement s'avère chaotique. Ils démontrent que ce mouvement obéit à ce que l'on appelle la « sensibilité aux conditions initiales » ou encore la propriété de divergence exponentielle. Exponentielle signifie ici qu'une perturbation au lieu d'additionner ses effets les multiplie et c'est là que réside la source du chaos. En effet, ces deux scientifiques ont calculé que l'incertitude sur les conditions initiales est multipliée par trois tous les 20 millions d'années. Cela signifie qu'en 400 millions d'années, durée sur laquelle on cherche à obtenir une réponse de stabilité, la position de Pluton est complètement imprédictible. L'incertitude est en effet multipliée par trois à la puissance vingt soit 3.486.784.401. Une erreur d'un centimètre se traduit au bout de 400 millions d'années par une modification du résultat de trois milliards et demi de centimètres ! !

Mais c'est surtout dans la foulée des travaux de Jacques Laskar, directeur de recherches au bureau des longitudes de Paris qu'ont été faites les principales découvertes tendant à prouver le caractère chaotique du système solaire. Il a notamment mis en équation le calcul des perturbations qui permet d'extrapoler pour trouver les positions des planètes et il a montré que ce calcul n'était pas valable sur un temps de plusieurs centaines de millions d'années. Les calculs que nous faisons pour positionner les planètes ne sont pas faux mais ils ne sont pas extrapolables pour en déduire la position d'une planète sur une aussi longue durée. La raison ne provient pas d'une erreur ni d'une approximation mais du principe lui-même du calcul. Toute petite approximation entraîne sur un temps aussi long une modification considérable du fait du caractère exponentiel des divergences. Comment ces perturbations peuvent-elles se multiplier ainsi au lieu de simplement s'additionner ? L'explication provient de la rétroaction qui se produit parfois entre deux trajectoires, c'est-à-dire qu'elles ont des fréquences que l'on dit accrochées ou en résonance. Sont en résonance deux phénomènes réguliers dont les périodes sont dans un rapport simple par exemple un sur deux ou trois sur cinq. Dès que deux phénomènes sont dans ce cas, ils interagissent bien plus que la proportion de leur cause. C'est ce qui se produit avec une personne poussant en résonance une balançoire. Cela a pour effet d'accumuler des effets d'entraînement pouvant aller jusqu'au tour complet. Or le rapport entre les périodes des mouvements de Saturne et Jupiter autour du Soleil est exactement dans la fraction 2 sur 5. Cela signifie qu'ils vont se trouver à intervalle régulier dans des positions susceptibles de déformer leurs trajectoires et toujours dans le même sens.

Comme l'expose le physicien David Ruelle dans « Où le chaos intervient-il ? », « Le mot chaos fut introduit en 1975 par Jim Jorke, mathématicien à l'Université du Maryland et, vers le milieu des années 1970, le chaos devint une discipline scientifique à part entière. Les nouvelles idées étaient appliquées dans des domaines variés. Robert May, qui travaillait alors au département de zoologie de l'Université de Princeton, montra en 1976 comment le chaos justifie l'existence de fluctuations irrégulières dans les populations animales. En chimie, on savait que certaines réactions étaient oscillantes : je suggérai en 1973 que l'on cherche des oscillations chimiques chaotiques. Plus tard, en effet, on les découvrit et cela a donné, à partir de 1980, à une reconstruction complète de la dynamique des réactions chimiques oscillantes par un groupe de chimistes de l'Université de Bordeaux. Parmi les travaux récents inspirés du chaos, les plus passionnants sont, à mon avis, accomplis en astronomie. Jack Wisdon, de l'Institut de Technologie du Massachussets, Jacques Laskar du Bureau des longitudes de Paris et quelques autres étudièrent, à la lumière de la théorie du chaos, les trajectoires des planètes du système solaire. (...) Il existe en biologie de nombreux phénomènes périodiques d'importance vitale : les rythmes cardiaque, respiratoire, hormonal, entre autres. Il est vraisemblable que la théorie des systèmes dynamiques sera utile pour analyser ces rythmes et quelques résultats appréciables sont déjà apparus, en particulier le travail de Léon Glass à Montréal sur le fonctionnement des cellules cardiaques. » Quelles sont les questions des sciences auxquelles la théorie du chaos offre des approches nouvelles. Je vais en citer quelques unes : l'émergence, l'instabilité dans la stabilité, l'interprétation de la multi-stationnarité (plusieurs états stationnaires possibles avec des sauts de l'un à l'autre), la théorie de la bifurcation (permettant de visionner un changement qualitatif), l'interprétation de l'imprédictibilité de certaines lois non linéaires, etc…"

Extraits de "Entre le temps et l'éternité" de Prigogine et Stengers :

Si les systèmes dynamiques étaient intégrables, la dynamique ne pourrait nous livrer qu'une image statique du monde, image dont le mouvement du pendule ou de la planète sur sa trajectoire képlérienne constituerait le prototype. Cependant l'existence des résonances dans les systèmes dynamiques à plus de deux corps ne suffit pas pour transformer cette image et la rendre cohérente avec les processus évolutifs étudiés précédemment. Lorsque le volume reste petit, ce sont toujours les comportements périodiques qui dominent. (…)
Cependant, pour les grands systèmes, la situation s'inverse. Les résonances s'accumulent dans l'espace des phases, elles se produisent désormais non plus en tout point rationnel, mais en tout point réel. (…) Dès lors, les comportements non périodiques dominent, comme c'est le cas dans les systèmes chaotiques. (…)
Dans le cas d'un système de sphères dures en collision, Sinaï a pu démontrer l'identité entre comportement cinétique et chaotique, et définir la relation entre une grandeur cinétique comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions) et le temps de Lyapounov qui caractérise l'horizon temporel des systèmes chaotiques. (…)
Or, l'atome en interaction avec son champ constitue un « grand système quantique » auquel, nous l'avons démontré, le théorème de Poincaré peut être étendu. (…) La « catastrophe » de Poincaré se répète dans ce cas : contrairement à ce que présupposait la représentation quantique usuelle, les systèmes caractérisés par l'existence de telles résonances ne peuvent être décrits en termes de superposition de fonctions propres de l'opérateur hamiltonien, c'est-à-dire d'invariants du mouvement. Les systèmes quantiques caractérisés par des temps de vie moyens, ou par des comportements correspondants à des « collisions », constituent donc la forme quantique des systèmes dynamiques au comportement chaotique (…)
L'abandon du modèle des systèmes intégrables a des conséquences aussi radicales en mécanique quantique qu'en mécanique classique. Dans ce dernier cas, il impliquait l'abandon de la notion de point et de loi d'évolution réversible qui lui correspond. Dans le second, il implique l'abandon de la fonction d'onde et de son évolution réversible dans l'espace de Hilbert. Dans les deux cas, cet abandon a la même signification : il nous permet de déchiffrer le message de l'entropie. (…)
La collision, transfert de quantité de mouvement et d'énergie cinétique entre deux particules, constitue, du point de vue dynamique, un exemple de résonance. Or, c'est l'existence des points de résonance qui, on le sait depuis Poincaré, empêche de définir la plupart des systèmes dynamiques comme intégrables. La théorie cinétique, qui correspond au cas d'un grand système dynamique ayant des points de résonance « presque partout » dans l'espace des phases , marque donc la transformation de la notion de résonance : celle-ci cesse d'être un obstacle à la description en termes de trajectoires déterministes et prédictibles, pour devenir un nouveau principe de description, intrinsèquement irréversible et probabiliste.
C'est cette notion de résonance que nous avons retrouvée au cœur de la mécanique quantique, puisque c'est elle qu'utilisa Dirac pour expliquer les événements qui ouvrent un accès expérimental à l'atome, l'émission et l'absorption de photons d'énergie spécifique, dont le spectre constitue la véritable signature de chaque type d'atome. (…) Le temps de vie, qui caractérise de manière intrinsèque un niveau excité, dépend, dans le formalisme actuel de la mécanique quantique, d'une approximation et perd son sens si le calcul est poussé plus loin. Dès lors, la mécanique quantique a dû reconnaître l'événement sans pouvoir lui donner de sens objectif. C'est pourquoi elle a pu paraître mettre en question la réalité même du monde observable qu'elle devait rendre intelligible. (…)
Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l'hypothèse d'un champ induit par l'atome et entrant en résonance avec lui. Le système fini que représente l'atome isolé n'est donc qu'une abstraction. L'atome en interaction avec son champ est, lui, un « grand système quantique », et c'est à son niveau que se produit la « catastrophe de Poincaré ».
L'atome en interaction avec le champ qu'il induit ne constitue pas, en effet, un système intégrable et ne peut donc pas plus être représenté par l'évolution de fonction d'onde qu'un système classique caractérisé par des points de résonance ne peut être caractérisé par une trajectoire. C'est là la faille que recélait l'édifice impressionnant de la mécanique quantique. (…) Il est significatif que, partout, nous ayons rencontré la notion de « brisement de symétrie ». Cette notion implique une référence apparemment indépassable à la symétrie affirmée par les lois fondamentales qui constituent l'héritage de la physique. Et, en effet, dans un premier temps, ce sont ces lois qui ont guidé notre recherche. (…) La description à symétrie temporelle brisée permet de comprendre la symétrie elle-même comme relative à la particularité des objets autrefois privilégiés par la physique, c'est-à-dire de situer leur particularité au sein d'une théorie plus générale. »

Poincaré invente le chaos déterministe

Le chaos dans le système solaire

Le coeur : d'où vient son fonctionnement dynamique ?

Robert Paris — 2008-01-28T16:18:25Z

A la fin de ce texte, un recueil d'articles scientifiques sur le coeur chaotique

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Le plan de cet article est le suivant :

– un petit historique de la manière dont on a introduit cette notion à propos du cœur

– une description du mode de propagation de l'impulsion électrique dans le cœur

– une analyse de la propagation de l'onde grâce à l'électrocardiogramme

– les arguments principaux en faveur de la périodicité du rythme cardiaque et ceux en faveur du chaos

– les applications pour soigner une maladie cardiaque : la fibrillation

– et enfin les conséquences concernant les pacemakers, les simulateurs artificiels du rythme cardiaque

Comme chacun le sait, le battement cardiaque nous est vital et sa fin est synonyme de mort. Mais d'où vient que nous ayons un tel rythme régulier en nous ? La réponse classique est de dire que la biologie contient certains rythmes d'horloge. Il s'agit d'une horloge très particulière puisque le cœur peut changer brutalement de rythme, dès que nous changeons d'activité, dès que nous subissons une forte émotion ou dès que les conditions extérieures changent. Alors comment fait le cœur pour varier ainsi son mécanisme d'horloge et pourquoi ce rythme s'altère-t-il brusquement en cas de crise cardiaque ? Voilà une thèse à priori assez surprenante : ce cœur que nous croyons généralement régulier comme une horloge, serait en fait chaotique.

Citons un des principaux scientifiques qui a développé cette thèse, Ary Goldberger : « la sagesse médicale classique attribuait la maladie et le vieillissement à des forces qui déréglaient un système ordonné et automatique : on croyait qu'elles perturbaient le mécanisme en introduisant des effets aléatoires qui modifiaient les rythmes périodiques normaux. Nous avons découvert que le cœur jeune et sain peut avoir un comportement plus chaotique qu'un cœur vieux et malade. » Le cœur ne deviendrait régulier que lorsqu'il perd sa souplesse et sa capacité à s'adapter. C'est-à-dire qu'il est périodique à la limite de la crise cardiaque. En somme, le chaos, c'est la santé ! Il ne s'agit donc pas d'étudier l'ensemble des processus du cœur, de sa physiologie et de ses maladies, des problèmes sanguins, ni des malformations du cœur, des valves ou des artères, ni des lésions mais seulement un domaine très particulier qu'est la transmission de l'excitation électrique qui engendre le rythme cardiaque. L'objet de cette étude n'est pas le cœur machine mécanique mais le cœur machine électrique. La question qui est posée est : le rythme cardiaque est-il périodique ou chaotique ?

Petit historique de la théorie du chaos déterministe appliqué au coeur

En 1914, chercheur à l'université Mac Gill de Montréal, Georges Mines conçoit un appareil capable d'envoyer dans le cœur de petites impulsions électriques bien réglées. On le retrouvera atteint par une crise cardiaque due au fait qu'il a essayé sur lui-même son appareil. Mais ce qui en résulte de manière certaine, c'est qu'une petite impulsion peut entraîner un grand effet puisque le cœur s'arrête. Dans le cas de Mines, un petit choc a entraîné une fibrillation. C'est une maladie cardiaque grave puisqu'elle entraîne la mort et les cardiologues peinent à la combattre. Bien sûr, Mines ne jouait pas à s'électrocuter. Sa grande idée et qu'il a développé théoriquement était que si une petite impulsion peut détraquer le mécanisme cardiaque, une autre peut le rétablir. Sur les pas de Mines, soixante ans plus tard, des centaines de chercheurs vont étudier le petit choc électrique permettant d'entraîner une défibrillation, c'est-à-dire de ramener le cœur par un choc brutal à l'équilibre. L'étape suivante, c'est un modèle mathématique du battement cardiaque. Ce sont les chercheurs Van der Pol et Van der Mark qui le trouvent en 1920. Il y a un petit point auquel personne ne prêtera attention à l'époque : leur modèle entraîne le chaos à certains moments. Dans les années 70, Bernardo Huberman travaille à l'université Santa Cruz qui était le plus récent campus du complexe de l'université de Californie et un véritable laboratoire d'idées pour physiciens anticonformistes et brillants qui ont fait le succès technique des grandes sociétés comme Bell Telephone et IBM. Dans ses travaux sur le mouvement oculaire des schizophrènes, Huberman développe la première étude importante sur le chaos en physiologie. C'est à lui que l'on doit l'idée que « le chaos c'est la santé. » Ses travaux sont repris par Arnold Mandell psychiatre et dynamicien de San Diego, qui non seulement prit la défense d'Huberman mais montra en 1977 que certaines enzymes du cerveau avaient un comportement explicable seulement par le chaos et il en déduisit qu'il ne fallait pas rejeter les mathématiques non linéaires. Le principal théoricien du chaos cardiaque sera Léon Glass, encore un chercheur de l'université Mac Gill de Montréal. Glass va s'intéresser aux nombres et à leurs irrégularités puis il travaille à la Harvard Medical School. En 1981, il résume dans la revue américaine « Science » ses travaux sur les agrégats de cellules cardiaques prélevés sur des embryons de poulets âgés d'une semaine. Placés dans une coupelle puis agités, ces agrégats trouvent spontanément une pulsation commune sans intervention d'une vibration extérieure. Puis il introduit une micro électrode dans l'une des cellules et fait ainsi apparaître de nombreuses fréquences dans les agrégats. Il met ainsi en évidence un dédoublement de période, phénomène caractéristique de la formation du chaos. Léon Glass a montré que lorsque l'on perturbe même de manière périodique des oscillateurs biologiques, on obtient du chaos. Cela signifie que le message qui commande ces phénomènes est en fait chaotique et peut se traduire dans un grand nombre d'oscillations périodiques avec des périodes variées. Un autre grand nom du chaos cardiaque est Arthur Winfree, biologiste théoricien qui commença par étudier les horloges biologiques avant de se tourner vers les rythmes cardiaques. En 1983, Winfree étudie la fibrillation à l'aide de la théorie du chaos et publie un article dans la revue « Scientific American ». C'est Raymond Ideker, du Duke University Medical Center, qui devait tenter expérimentalement d'appliquer les idées de Winfree deux ans plus tard. Il a mis au point des dispositifs électriques pour bloquer la fibrillation. En même temps, Richard Cohen, cardiologue et physicien, dans une étude de sciences médicales conjointe au MIT et à Harvard, va montrer dans le mécanisme cardiaque un spectre de dédoublement de période lors d'expériences sur des chiens, or on sait que c'est ce dédoublement de période qui reproduit plusieurs fois est un chemin de la périodicité vers le chaos. Ary Goldberger, codirecteur du laboratoire des arythmies cardiaques de l'hôpital Beth Israël de Boston, a étudié les bifurcations brutales dans le comportement cardiaque et ainsi mis en évidence que les modèles de type classique c'est-à-dire linéaires ne pouvaient en rendre compte. C'est lui qui a mis en relations physiologistes et mathématiciens pour les amener à agir dans l'interdisciplinarité, ce que les uns et les autres étaient réticents à faire. Les mathématiciens du Courant Institute University de New York étudient le cœur artificiel dans les années 80 et s'attaquent au problème des valvules artificielles. Celles-ci posent notamment de gros problèmes de turbulences pouvant entraîner la formation de caillots du sang, causant des attaques. C'est en observant la manière dont le sang déformait les parois du cœur de manière dynamique et non-linéaire qu'il ont pu comprendre ce qui empêchait cette formation de caillots dans le mécanisme naturel. On a ainsi constaté que, dans les appareils artificiels qui aident le cœur à assurer son rythme, la non-linéarité est indispensable pour imiter les pace makers naturels.

Le mécanisme du rythme cardiaque

Quels sont donc ces pace-makers naturels du cœur et quel est leur fonctionnement normal ? Comme chacun sait, le cœur est un muscle creux appelé myocarde et constitué de quatre cavités : deux oreillettes et deux ventricules, dont les contractions servent à réaliser le mécanisme de pompe qui permet la circulation sanguine. Son fonctionnement est une succession régulière de contractions, appelées les systoles et de relâchements, appelés les diastoles. Les contractions sont transmises des oreillettes aux ventricules. La transmission se fait grâce à un tissu musculaire appelé tissu nodal. Il ne s'agit pas de cellules nerveuses mais de cellules musculaires d'un type très particulier où la transmission de l'onde de contraction est très rapide et transmise quasi instantanément à tout le muscle ce qui permet à toute une zone, appelée noeud, de vibrer en phase. Le tissu nodal est chargé de la rythmicité et de l'automatisme de la contraction du muscle du myocarde. Il forme trois zones : le noeud sino-auriculaire de l'oreillette droite, le noeud atrio-ventriculaire situé entre les deux oreillettes et enfin le faisceau de His qui se ramifie ensuite en forme de réseau. Le faisceau de His transmet la contraction des oreillettes aux ventricules. C'est une fonction essentielle. Toute interruption de ce faisceau nécessite la pose d'un pacemaker artificiel. Le rythme cardiaque vient de ces trois zones : les deux noeuds et le faisceau. On a vu que le tissu nodal est caractérisé par son automatisme. Cela signifie qu'il fonctionne spontanément, sans être stimulé. Même si un cœur est isolé, coupé du reste du corps, dans un liquide maintenu à bonne température, il va continuer un certain temps à maintenir son rythme, pendant des heures et même des jours. Ces trois zones sont donc non seulement les transmetteurs mais les producteurs d'un des rythmes essentiels à la vie. Comment se fait-il que le tissu nodal agisse automatiquement pour fabriquer le rythme ? Il est constitué de cellules interconnectées qui transportent des ions calcium, des ions potassium et des ions sodium. Le transfert d'ions entrant et sortant par les membranes des cellules signifie qu'entre les cellules se fait un transport d'électricité. Le mouvement des ions entraîne des polarisations et dépolarisations. Rappelons qu'en électricité, on a un pôle lorsqu'une zone est électriquement positive d'un côté et négative de l'autre, le total des deux charges électriques étant nul. L'automatisme cardiaque est donc lié au mouvement des ions entrant et sortant des membranes des cellules du tissu nodal. Ce mouvement cause une série de polarisations et de dépolarisations de façon rythmique et qui se propage dans tout le tissu nodal puis entraîne l'action de pompe du muscle myocarde par contraction musculaire puis relâchement. Chacun des ions a une fonction bien particulière dans le mécanisme cardiaque. Le sodium contribue à l'automatisme et exerce une action dépressive. Une diminution du potassium augmente l'excitabilité du myocarde. Enfin, le calcium renforce le tonus du myocarde et augmente l'amplitude et la durée de la systole, c'est-à-dire de la contraction du myocarde. L'essentiel dans le transfert d'électricité, ce n'est pas la quantité mais le rythme. En effet, le muscle myocarde se contracte à la plus petite stimulation. Par contre, le muscle a un temps de relâchement pendant lequel il ne peut se recontracter. Dans le cas d'un cœur sain, le rythme permet que le cœur ne reçoive un ordre de contraction que lorsqu'il y a eu relâchement. La maladie signifie au contraire que des ordres de contraction arrivent au cœur à des mauvais moments. Le point important est donc le rythme. Ce qui le commande, c'est l'onde, envoyée régulièrement par le noeud sino-auriculaire.

Les étapes du cycle cardiaque sont les suivantes : contraction de l'oreillette droite puis de l'oreillette gauche puis des deux ventricules puis relâchement puis on recommence.

Détaillons un peu : 1° Le noeud sino-auriculaire déclenche le cycle en émettant des ondes au rythme de 120 par minute en moyenne qui contractent immédiatement l'oreillette droite. 2° L'onde gagne une zone appelée noeud atrio-ventriculaire, qui propage la contraction à l'oreillette gauche. C'est la systole auriculaire 3°) Puis, elle gagne le faisceau de His, une zone particulièrement importante qui conduit les impulsions électriques des oreillettes aux deux cavités ventriculaires. Celles-ci se contractent : c'est la systole ventriculaire. Chaque cycle correspond à une contraction du cœur suivi d'un relâchement. Le rythme des contractions est, au repos, en moyenne pour un adulte de 65 à 80 contractions par minute. Ce rythme moyen dépend de l'âge : 120 à 140 battements par minute chez le nouveau-né, 100 battements par minute chez le jeune enfant, 65 à 80 battements par minute en moyenne chez l'adulte, 80 à 90 battements par minute chez une personne âgée. Et le rythme est environ de dix battements par minute de plus chez la femme que chez l'homme. Ce qui est essentiel est que ce rythme change suivant les conditions extérieures par exemple la température et suivant les mouvements du corps comme un effort. Cela sous-entend une très grande adaptabilité du rythme cardiaque. Indiquons ainsi que du simple fait de passer de la position couchée à la station debout, le rythme du cœur change spontanément. Le système nerveux a une relation directe avec ce battement cardiaque. Recevoir un courrier avec une nouvelle alarmante ou énervante amène le cœur à changer très vite de rythme.

L'analyse de la propagation de l'onde, réalisée grâce à l'électrocardiogramme

L'une des meilleures sources de renseignement dont nous disposons sur le rythme cardiaque est l'électrocardiogramme. Ce graphique nous indique les variations électriques liées au mouvement de polarisation et de dépolarisation électrique du muscle cardiaque.

Dans un fonctionnement normal, la courbe est représentée comme suit : une petite bosse ronde qu'on appelle P, une petite cavité Q, une pointe R, une petite cavité S et à nouveau une bosse ronde T. Que représentent ces oscillations en bosse ou en creux par rapport aux différents moments du cycle de la pompe cardiaque ? L'onde P est l'émission de l'excitation par le premier sinus, suivie de la contraction de l'oreillette droite. C'est cette onde de polarisation qui lance le cycle cardiaque et en donne le rythme. La série QRS est la phase de dépolarisation correspondant à la contraction des deux ventricules L'onde T est l'onde lente de repolarisation des ventricules. Une série PQRST correspond à une systole (contraction du myocarde) suivi d'une diastole (relâchement du muscle cardiaque). La systole ventriculaire dure du début de Q à la fin de T et la diastole dure de la fin de T à la fin de P. Pour que le cycle soit bien en phase, il faut que la repolarisation enclenchée par le noeud sino-auriculaire commence juste quand a fini la dépolarisation. C'est la fonction de pace-maker ou producteur de rythme. Cette courbe PQRST se reproduisant apparemment identique à elle même, on a pu en conclure un peu rapidement que le cœur est périodique et répète régulièrement les mêmes impulsions avec une régularité d'horloge. Ce serait même le simple bon sens lorsque l'on observe sur un court laps de temps la courbe de base PQRST d'électrocardiogramme qui se reproduit identique à elle-même. Il y a reproduction périodique du mouvement et même nous connaissons la source de cette oscillation : le sinus de l'oreillette droite.

Les arguments principaux en faveur de la périodicité et ceux en faveur du chaos déterministe Le modèle périodique pose de nombreux problèmes. Le premier est celui de la variation du rythme cardiaque. On l'a dit, au long de la journée le cœur change extrêmement souvent de rythme. Cette capacité d'adaptation, comment peut-elle être décrite par un simple mouvement de pendule ayant une seule période ? Autre question à la conception périodique : comment se fait-il que si on change une condition puis ont revient à la condition initiale, on retrouve le même rythme ? Ce n'est pas le cas pour un mouvement périodique. Passons aux maladies cardiaques. On sait qu'une des méthodes expérimentales pour soigner une perte de rythme est de provoquer un arrêt instantané du cœur qui repart ensuite sur le bon rythme. C'est un effet de choc qui correspond très bien avec le chaos mais pas du tout avec le rythme périodique. La thèse périodique souligne qu'il y a une seule source régulière du battement cardiaque : le sinus auriculaire mais comment se fait-il que le sinus bat à 120 alors que le cœur bat sur de nombreux rythmes et en moyenne de 65 à 80 ? A toutes ces questions le modèle d'un simple oscillateur périodique est incapable de répondre.

Posons maintenant quelques questions au modèle chaotique. Peut-il y avoir chaos quand une seule source produit des ondes ? La réponse est non. Peut-il y avoir chaos dans un mouvement décrit par un électrocardiogramme c'est à dire où deux variables interagissent comme sur notre classique courbe PQRST ? Encore une fois la réponse est non. D'ailleurs le chaos est un désordre apparent alors que l'électrocardiogramme montre plutôt apparemment un ordre ?

Nous allons répondre à chacune de ces objections mais d'abord pourquoi avoir pensé au modèle chaotique ? Examinons le battement cardiaque d'un foetus. On constate qu'au départ, le foetus n'a pas un battement cardiaque périodique mais chaotique. Ce n'est que plus tard qu'il va apprendre à passer de ce chaos à la régularité du type PQRST. Il faut donc une adaptation de l'organisme, une évolution pour que le cœur devienne capable de lire dans ce message chaotique, divers messages périodiques. La capacité d'adaptation du coeur est le résultat d'un apprentissage. On le sait puisqu'un sportif peut apprendre à baisser son rythme cardiaque de départ et arriver à un rythme très élevé au moment de l'effort. Il y a donc un véritable entraînement à la lecture du message cardiaque qui est un message complexe.

Il y a un autre argument en faveur du chaos : c'est l'effet de choc électrique qui permet de soigner des arythmies. Cela signifie que lorsque l'on interrompt brutalement un cycle, on revient au début et il reprend sur un rythme normal.

Quelques caractéristiques chaotiques du fonctionnement du coeur : 1°) l'autosimilarité est, rappelons le, la ressemblance d'allure de la courbe aux différentes échelles. On remarque que la courbe des battements cardiaques est du même type aux différentes échelles. On indique l'intervalle entre des battements cardiaques sur diverses périodes. On s'aperçoit alors, contrairement à l'électrocardiogramme qui pouvait faire croire à la périodicité, que nous avons du désordre mais que ce désordre est autosimilaire et fractal. Un tel graphique a été reproduit par Ary Goldberger dans la revue « Pour la science » et montre qu'au delà de l'irrégularité il y a similarité des courbes effectuées en changeant la distance de temps entre les relevés. 2°) le processus de feed-back dans le cycle de l'onde cardiaque qui passe du premier sinus au deuxième, au faisceau de His, au réseau puis revient au premier sinus. Il y a un feed-back car il y a réintroduction des données puisque c'est la fin du cycle qui indique au pace maker le moment pour relancer. Et il y a une fonction de contrôle et de régulation comme dans le chaos déterministe. Au contraire, un processus linéaire de feed-back, soumis à un petit choc, tend à modifier légèrement son évolution alors qu'un processus non-linéaire tend à revenir à son point de départ. 3°) la souplesse et l'interactivité du mécanisme cardiaque qui change de rythme en cours de journée, à toute vitesse si nécessaire comme aucun mécanisme périodique n'est capable de le faire, le chaos en est capable. 4°) l'effet de pointe puisqu'un petit choc entraîne une fibrillation (petite cause, grand effet) 5°) la superposition de plusieurs modes ordonnés dont aucun ne prédomine ordinairement. 6°) L'action conjointe d'au moins trois acteurs qui est nécessaire à la production du chaos. En effet, il n'y a pas une émission mais trois. Les deux sinus et le faisceau de His sont à la fois récepteurs et émetteurs de battements. On le sait car on peut interrompre l'émission du premier sinus, le deuxième fonctionne à un rythme différent. Et si on interrompt encore le deuxième sinus, le faisceau de His émet lui aussi avec un rythme encore différent. On a donc trois oscillateurs ce qui est la situation normale pour obtenir le chaos. Le premier sinus pulse à 120 par minute mais il transmet de manière beaucoup plus réduite soit une onde de contraction de 60 à 80 par minute chez l'adulte au repos, le deuxième sinus a un rythme naturel de 50 contractions par minute, le troisième point rythmique, le faisceau de His, émet de 30 à 40 contractions par minute. En fait il y a donc trois horloges qui ont non seulement des rythmes internes différents mais en plus sont des émetteurs récepteurs qui propagent les signaux à des vitesses différentes : le premier sinus diffuse à la vitesse de un mètre par seconde, le deuxième à 5 centimètre par seconde, le faisceau de His a une vitesse qui va de 2 à 4 mètres par seconde et il propage ses contractions à un réseau qui diffuse aux ventricules à la vitesse de 0,4 mètre par seconde. Comment fait le cœur pour faire de tout cela une contraction régulière de l'ensemble du cœur suivie d'une décontraction ? Comment le cœur peut-il fabriquer de l'ordre à l'aide d'un tel total d'informations apparemment désordonné ? Comment cela peut-il donner cette apparence périodique que nous connaissons ? Cette capacité de faire du signal de trois horloges échangeant sans cesse des énergies un signal unique périodique, c'est ce que l'on appelle l'autorégulation des horloges. En effet, des horloges battant à des rythmes différents mais qui échangent des vibrations donc de l'énergie peuvent se coordonner sans intervention extérieure. Elles constituent ainsi spontanément ce fameux rythme complexe dont on parlait. Elles trouvent des accrochages de fréquence qui leur permettent d'avoir un battement d'ensemble. Ce phénomène a lieu spontanément car la synchronisation des horloges permet de minimiser les échanges d'énergie et c'est donc l'état vers lequel va tendre spontanément le système. C'est ce qui explique aussi que c'est un phénomène stable bien que dynamique et même agité.

Mais comment le cœur peut-il avoir une telle variété de fréquences de battement et pourquoi cette variété se réduit elle tout à coup dans le cas de la fibrillation ? L'explication vient du faisceau de His. En effet, il a une capacité de vibrer sur de nombreux modes et de passer de l'un à l'autre grâce à sa forme fractale. Il a en effet une forme complexe, avec conservation des formes aux différentes échelles, forme qui lui permet de vibrer sur plusieurs modes. Comparons le à un arbre. Chacun a déjà remarqué comment lors d'un courant d'air, on constate parfois qu'une branche s'agite extraordinairement alors que le reste de l'arbre est quasi immobile. La vibration de l'air entre alors en résonance avec cette branche car elle a la forme convenable. La constitution fractale permet non seulement au faisceau de His de vibrer sur un très grand nombre de fréquences mais permet aussi qu'en cas de lésion, le faisceau continue à fonctionner, à recevoir et transmettre les impulsions. La thèse défendue ici souligne donc la capacité du cœur de réagir de manière dynamique à tous les incidents de l'existence et cette réaction consiste dans la capacité de changer son rythme. C'est cette dynamique adaptative que l'homme peut perdre avec l'âge. Il se met alors sur un rythme périodique mais qui est beaucoup plus instable car il est incapable de réagir à un changement. Les rythmes pathologiques sont plus réguliers que les rythmes d'un individu sain. Si on compare les diagrammes du rythme d'un individu proche de l'arrêt cardiaque et le rythme cardiaque pathologique de type périodique et en bas le rythme d'un individu sain, on remarque que c'est ce dernier qui, paradoxalement apparaît le plus agité.

Un moyen de soigner la maladie cardiaque de la fibrillation

Nous allons voir maintenant que ces constatations et cette analyse ont de nombreuses implications et d'abord en ce qui concerne une maladie grave et mortelle : la fibrillation. Des médecins cherchent aujourd'hui une méthode pour supprimer les fibrillations ventriculaires, c'est-à-dire les contractions irrégulières des cavités supérieures et inférieures du cœur, irrégularités qui empêchent le cœur de fonctionner efficacement. En effet, quand le rythme des contractions et relâchement n'est pas respecté, le muscle myocarde n'est plus en état de se recontracter et donc il ne peut plus pomper suffisamment le sang. La fibrillation ventriculaire est la plus dangereuse car elle entraîne généralement la mort subite. Elle se manifeste par des contractions complètement anarchiques des ventricules nécessitant immédiatement une réanimation. Le cœur en état de fibrillation n'est ni vraiment contracté ni vraiment relâché. Une des caractéristiques intrigantes de la fibrillation est que les nombreux composants individuels du cœur peuvent très bien fonctionner normalement. Une autopsie ne révèle aucune détérioration du tissu musculaire. Il ne s'agit donc pas d'une maladie due aux différents organes mais à leur liaison, à une perte de rythme des échanges par les ondes électriques. C'est l'ensemble en tant que complexe qui est dérangé et non l'un de ses éléments. Ainsi les différents centres d'envoi d'ondes fonctionnent correctement, même si le résultat n'est pas un cycle normal du cœur. C'est ce qui a amené les théoriciens du chaos à dire que c'est dans le chaos du système complexe que naît la maladie. Dans la fibrillation auriculaire, l'oreillette est parcourue de multiples ondes électriques qui se propagent de façon anarchique à une très grande vitesse, supérieure à 350 par minute, au lieu de 120 environ normalement. La plupart des ondes sont bloquées au niveau du deuxième noeud sinusal qui joue le rôle de filtre et qui permet que les ventricules ne soient pas sujets à la même agitation que les oreillettes. Mais la contraction ventriculaire est irrégulière aboutissant à une arythmie dans le mouvement du sang perceptible au niveau du pouls. Un choc électrique externe est le moyen le plus efficace pour rétablir le rythme sinusal. Le problème de la fibrillation, c'est qu'elle ne peut pas disparaître d'elle même. C'est un apparent désordre très stable. Cependant on constate qu'avec un grand choc, on peut revenir à l'ordre. Ce serait très étonnant et impressionnant pour un système périodique mais très classique pour un système chaotique. La décharge équivaut à une énorme perturbation qui produit classiquement dans un chaos déterministe un retour au point de départ. Cette technique de soin de la fibrillation est donc un argument en faveur du rythme chaotique du coeur. Mais en même temps, le fait que le cœur soit chaotique peut être un moyen de le soigner, de régler la défibrillation. La défibrillation consiste à faire passer au travers du myocarde une décharge brève de courant continu. L'action peut être brusque et ponctuelle comme dans une opération ou régulière dans le cas de l'implantation d'un défibrillateur disposé à l'intérieur ou en surface. Le contrôle du chaos peut nous faire espérer demain de construire un défibrillateur automatique. En effet, la machine pourrait réaliser ce qu'a fait en électronique la méthode OGY, c'est-à-dire que la machine saurait à quel moment et avec quelle perturbation il faudrait intervenir sur l'émission chaotique pour retrouver l'orbite périodique voulue.

Les conséquences concernant les pace-makers

La théorie du chaos a une autre application dans le domaine des appareils pour pallier aux faiblesses cardiaques. La première expérience de cœur artificiel a été celle de l'allemand Wilhelm Kolff en 1958. C'est dans ce laboratoire que sera expérimenté le cœur artificiel de Jarvik le 1er décembre 1982. Le malade survivra 112 jours mais avec de nombreuses interventions. Comme on le voit le cœur artificiel pose bien des problèmes. Bien des tentatives de cœur artificiel ont été des échecs et on s'est aperçu que cela était dû au fait que l'on voulait construire une pompe mécanique régulière alors que le cœur est chaotique. De nos jours, on est parvenu à y pallier en implantant non un cœur artificiel mais le cœur d'un autre individu qui vient de mourir et on peut espérer que la maîtrise des défenses immunitaires nous permettra à l'avenir de faciliter les transplantations cardiaques et d'éviter d'utiliser la technique du cœur artificiel. Par contre, le problème du rythme chaotique s'est reposé pour les troubles du rythme cardiaque, pour lesquels on a été conduit à implanter des simulateurs électriques qui remplacent le sinus naturel. Ce sont les pace-makers artificiels. C'est un des plus gros succès dans les organes artificiels implantables. Ils sont chargés, devant la déficience du sinus naturel, de provoquer une onde qui entraîne la contraction au rythme voulu. Mais les difficultés et les échecs ont au début été nombreux. Un des types d'échecs a été dû à une surprise des chercheurs : un pacemaker à rythme tout à fait régulier entraînait de nombreux échecs alors qu'une certaine variation chaotique des émissions était beaucoup plus favorable ... Les derniers types de pacemakers ont, en plus de leur fonction de simulateur cardiaque donnant le rythme, une fonction de défibrillation.

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ANALYSE NON LINEAIRE DE LA
FREQUENCE CARDIAQUE.

Nguyen Phong Chau, Centre de Bioinformatique, U263, Université Paris 7.

Il est relativement facile de mesurer la fréquence cardiaque par le Holter ECG. La mesure n'est pas traumatisante pour le sujet. Notons qu'un appareil a été mis au point récemment (le système Finaprès) permettant de mesurer simultanément, de façon non Evasive et en continu, la fréquence cardiaque et la pression artérielle.
Cependant, l'analyse de la fréquence cardiaque chez le sujet normal et le sujet pathologique est un sujet difficile. L'arythmie cardiaque est un phénomène complexe. Le lien entre les mécanismes de contrôle de la fréquence cardiaque et de la pression artérielle dans des pathologies telles que le diabète est encore mal compris.
Jusqu'à une date récente, l'analyse de la fréquence cardiaque est dominée par les méthodes spectrales. Lorsque les mesures sont faites dans des conditions standardisées, avec contrôle de la respiration, le spectre de fréquence comporte 2 pics, l'un, dans la bande de haute fréquence (0.15‑0.4 Hz), interprété comme le marqueur du contrôle parasympathique, centré sur la fréquence respiratoire, l'autre, de basse fréquence (0.040.15 Hz), réflétant à la fois le contrôle sympathique et parasympathique, fortement influencé par le système des baro-récepteurs. Cependant, dans la plupart des cas, ces deux pics ne sont pas évidents et l'on se contente alors d'examiner la décroissance du spectre de la zone de basse fréquence à la zone de haute fréquence.
Dès les premiers développements des méthodes non linéaires, l'analyse de la fréquence cardiaque a été un des domaines privilégiés d'application. D'abord les variations complexes des battement cardiaques semblent suggérer des mécanismes de contrôle non linéaires. Ensuite, les méthodes d'analyses de séries temporelles non linéaires requièrent souvent de très longues séries de données, et ces longues séries sont fournies par des mesures de battements cardiaques.
Le but de cet exposé est de présenter l'idée des quelques modèles non linéaires du rythme cardiaque et de quelques méthodes non linéaires effectivement appliquées ou potentiellement applicables à l'analyse des mesures de fréquence cardiaque. Ces méthodes opèrent dans le domaine temporel. Nous mentionnons, mais ne développons pas des méthodes spectrales, car elles sont bien connues et sont pratiquées par plusieurs participants de cet atelier.
Il n'est pas question ici, bien entendu, de faire une revue exhaustive des travaux sur les rythmes cardiaques. Pour un temps limité, il a fallu faire un choix. Pour l'aspect modèle, nous allons présenter le modèle de Guevara‑Glass conçu pour interpréter le phénomène de verrouillage de phases. Ce modèle est choisi, car c'est un bon exemple d'application des idées non linéaires développées dans l'exposé d'introduction sur le chaos. Ensuite, nous présenterons plusieurs méthodes non linéaires d'analyse des données. Notre choix porte sur les méthodes géométriques et intuitives. Seuls les concepts seront présentés, évitant les détails et aspects techniques ou calculatoires. Toutes ces méthodes sont fortement discutées et critiquées, aucune n'a été admise sans réserve. Il faut se rendre compte que pour les phénomènes se rapprochant du chaos, nous naviguons à la frontière difficile à cerner entre le déterminisme et l'aléatoire.

I. MODELE DE GUEVARA‑GLASS (G‑G).
Beaucoup d'auteurs ont étudié l'effet des stimulations électriques sur le rythme cardiaque. Pour certaines fréquences de stimulation, la fréquence du cœur peut être entraînée et verrouillée sur la fréquence de stimulation.
Pour d'autres fréquences de stimulation, on observe des phénomènes périodiques (par exemple un sursaut du potentiel d'action) qui ont lieu à une période M, alors que le stimulus a la période N. Ce phénomène de verrouillage aux périodes M:N, a été observé par plusieurs auteurs.
Sous l'effet des stimulations électriques, en dehors des verrouillage de fréquences, des rythmes complexes ont été observés. Ils sont en général interprétés comme l'effet des "bruits externes, qui ont tendance à détruire la périodicité des couplages.
Indépendante de toute stimulation externe, l'activité cardiaque elle‑même a été aussi modélisée comme un couplage d'oscillateurs. On suppose que le cœur contient deux ou plusieurs zones capables de générer des potentiels périodiques de fréquences différentes. Une désynchronisation de ces périodes peut être à l'origine de l'arythmie cardiaque.
Dès 1928, van der Pol et van der Mark ont proposé un modèle du rythme cardiaque composé de 3 oscillateurs couplés. Le cœur est conçu comme 3 unités fonctionnelles : le nœud sinusal, les atria, et les ventricules. L'oscillateur correspondant au nœud sino‑atrial a la période la plus courte, celui de l'atrium a une période plus longue, celui des ventricules une période encore plus longue. Pour des valeurs particulières des couplages, certains battements ventriculaires sont bloqués.
Nous avons vu qu'un oscillateur périodique peut être profondément perturbé sous l'effet d'une stimulation périodique. Cette idée intéresse évidemment beaucoup les chercheurs de l'arythmie cardiaque. Guevara et Glass ont construit un modèle très simple pour interpréter les phénomènes d'accrochage de fréquences, et l'existence des rythmes complexes de fréquence cardiaque. C'est un bon exemple d'application des idées de non linéarité et du chaos.

Le modèle.
Le point de départ du modèle de G‑G est un potentiel d'action du cœur, qui est simplement un ocillateur harmonique. Nous allons partir simplement d'un potentiel sinuoïdal, bien qu'il existe des modèles de potentiel trans‑membranaire fournissant un potentiel oscillatoire. Par un choix convenable d'unité de temps, on peut supposer que la période est l'unité. On prend donc l'équation du potentiel sous la forme x(t) = cos(2pt). Ce signal peut être représenté par un point M en mouvement uniforme sur un cercle de rayon 1, faisant un tour du cercle en une unité de temps (figure 1).

FIGURE 1
Nous supposons qu'à intervalle régulier t, M subit un stimulus qui le tire vers un point M' parallèlement à l'axe des abscisses, sur une longueur fixe b. Après quoi, pour raison de stabilité, M' cherchera à rejoindre le cercle pendant un court laps de temps. Pour simplifier, on va même supposer que M' rejoint immédiatement le cercle suivant la direction du rayon OM'. Ainsi, après chaque stimulus, le potentiel passe immédiatement de M à M" (voir figure 1). On ne cherche pas à modéliser le mouvement complet, mais seulement le passage de M à M". Notre prélèvement, ou section de Poincaré, est donc le passage de l'instant juste avant un stimulus à l'instant juste avant le stimulus suivant.
Soit donc t0, la phase juste avant un choc (0£ t0£1). On calcule par une formule simple l'angle t0" du point M0" en fonction de t0. D'où l'on déduit la phase Juste avant le choc suivant

t1= t0"+ t
De la même façon, on calculera t2, t3, tn Ce sont des instants qui précèdent le stimulus externe.
L'application tn =f(tn 1) est notre modèle de récurrence. La fonction f dépend évidemment des paramètres t et b.
Ce modèle possède beaucoup de propriétés intéressantes, comme nous allons le voir.

Quelques exemples,

La figure 2 donne trois exemples de fonction f et de suite tn .
tau=0.2

FIGURE 2

Dans ces exemples, pour étudier le rôle de la force de stimulation (coefficient b), on garde, dans les 3 cas, t=0.2. A gauche, on a dessiné le modèle tn=f(tn-l). Suivant la valeur de b. on voit que le modèle peut prendre des formes très variées. Le deuxième exemple rapelle l'application de Bernoulli, mais ici la pente est moins forte. Regardez surtout le ou les intersections de f(x) avec la diagonale. Ce sont des points fixes. Si la pente de f en un point fixe est faible (entre ‑45° et 45°) alors le point fixe est stable. Si non, il est instable. Les suites In engendrées par les modèles sont dessinées à droite. Notez que le modèle de G‑G interprète les périodes cardiaques et non les formes des potentiels, donc il ne faut pas attacher d'importance aux formes précises des courbes.

Exemples de battement périodique. Premier exemple d'accrochage de fréquence.
Pour certaines valeurs de b et de t, la séquence est périodique. On peut montrer d'ailleurs que le modèle est susceptible de générer des suites de périodes 2, 4, 8, etc ... La figure 3 donne un exemple de période 4 (b=0.95, 0.70).

Période 4

FIGURE 3
Vous constatez que ni f. ni f2, ni f3 ne coupe la diagonale avec des pentes faibles. Par contre, f4 coupe la diagonale avec des pentes faibles. La dynamique a une période 4 stable. Si nous partons d'une valeur initiale quelconque, la suite engendrée va évoluer vers une suite périodique, de période 4. C'est ce que montre la figure 3. Notez qu'en suivant les 4 points de stimulation d'une période, on a fait 3 tours du cercle. Le mouvement périodique est dit de type 4:3. Rappelons encore que le modèle de G‑G interprète les périodes cardiaques donc il faut interpréter seulement les périodes, pas la forme des courbes.

Phénomène d'accrochage de fréquence.
Le résultat le plus intéressant de ce modèle est qu'il prédit des “accrochages de fréquences”, phénomène bien observé dans des expérimentations.
Pour comprendre le phénomène, il faut construire un diagramme de bifurcation, qui résume le comportement à long terme de la phase, pour différentes périodes de stimulation, t.
Voici comment on construit le diagramme (voir figure 4). On garde b fixe, par exemple, b=0.95, et l'on étudie la suite xn pour différentes valeurs de la période d'excitation t allant de 0 à 1.
On commence par fixer une valeur de t faible, par exemple t=0.01 (excitation très fréquente). On génère une suite, t0, t1, ..., tn, et regarde son comportement lorsque n devient très grand. Pour t=0.01, on constate que la suite tend vers un point fixe tc. On construit un diagramme, avec en abscisse, l'unique valeur de t, (égale à 0.01) et en ordonnée, la position de plusieurs valeurs de tn lorsque n est très grand. Ici, pour n grand, t tend vers une constante et l'on a un point unique (t=0.01, tc ). Ensuite, on donne à t une valeur un peu plus élevée, par exemple t=0.02. Pour cette nouvelle valeur de t, la suite engendrée tend encore vers un point fixe, tc', mais tc' est un peu plus élevée que tc. On marque sur le diagramme le nouveau point (t,tc') soit (0.02, tc'). La même situation se retrouve jusqu'à t=0.2 environ. Ainsi, lorsque l'oscillateur de base est soumis à une excitation périodique de période t faible mais variant dans une plage assez large (de 0 à 0.2), le cœur se bat toujours de façon périodique : il y a accrochage du battement cardiaque à un mouvement périodique de période 1.

Diagramme de bifurcation
b=0.95

FIGURE 4

Lorsque t dépasse la valeur 0.2, un phénomène tout à fait inattendu se passe, et ce de façon absolument brutale. Pour légèrement plus grand que 0.2, la suite In change complètement de comportement. En partant d'une valeur ta quelconque, on constate que la suite té continue à errer de façon imprévisible dans l'intervalle (0, 1), et ce même pour n très grand. On n'a ni point fixe, ni point périodique. Si l'on marque, au niveau de l'abscisse a, les points tri pour n très grand, on a une foule de points sur la ligne d'ordonnés : la série tri est devenue (subitement) chaotique.
La suite de l'histoire est racontée par la figure 4. Pour déposant 0.2, on continue à avoir un régime chaotique. Pour t dans une petite plage au environ de 0.3, il y a accrochage à la période 4. Ce qui veut dire que pour des stimulii de périodes variables mais variant dans un voisinage de 0.3, les battements cardiaques gardent toujours la même période 4. La figure 4 montre qu'il y a un accrochage à la période 3, et un autre accrochage à la période 2 celle‑ci sur une large plage de t. La deuxième partie de la figure (pour t>0.5) est symétrique de la première, ce qu'on peut démontrer sur les équations théoriques.
Le modèle n'explique pas toutes les observations des arythmies. Comme l'existence d'une période réfractaire n'est pas modélisée, on ne s'attend pas à trouver des biginémies, et des extrasystoles. Cependant, il est remarquable que l'idée de l'accrochage de fréquences, qui est un phénomène observée, peut être interprété par un modèle non lingère aussi simple.

II. ANALYSE NON LINEAIRES DES DONNEES.

Nous allons maintenant discuter quelques méthodes appliquées ou applicables à l'analyse de la fréquence cardiaque ou à des intervalles RR. Nous discuterons la représentation récurrente de Eckman‑Kampshorst‑Ruelle (EKR), la dimension de corrélation de Proccacia‑Grassberger, la méthode de prédiction de Sugihara‑May, l'entropie approchée de Pincus, et l'indice de déterminisme de Glass‑Kaplan, et surtout l'idée de données alternatives (surrogate data), qui semble être un outil essentiel pour évaluer ces méthodes.

ANALYSE DES RECURENCES. METHODE D' ECKMANN‑RUELLE KAMPSHORST (EKR).

Principe.
Considérons d'abord un signal périodique, comme une fonction sinusoïdale, par exemple, et soit la suite x1, x2, ..., xn obtenue de ce signal à intervalle fixe.
Partons d'une valeur de x. Traçons une ligne horizontale au niveau x. Alors, à cause de la périodicité du signal, on retrouve le niveau x, à des intervalles réguliers de temps. La méthode de EKR consiste à faire les opérations suivantes : 1. On définit une distance d(xi,xj) entre les points xi et A, 2. On se donne ensuite une valeur r. fixée d'avance, 3.
On dessine un carré nxn. 4. On marque un point à l'endroit (ij) du carré s'il existe 2 mesures Xi et xj dont la distance d(xi,xj) est inférieure à r.
De façon pratique, on part de l'indice i, en commencent par i=1. Ensuite on parcourt l'indice j. j=1, 2, ...n. Dès qu'on rencontre un point xj tel que lx1‑xjl

FIGURE 5

La figure 5 donne 3 exemples.
Si le signal est un cosinus, la représentation récurrente est formée des lignes obliques.
Si le signal est en palier périodique, la représentation récurrente est un damier.
Si le signal est une somme de 2 cosinus, alors la représentation récurrente est plus compliquée (voir fig 5). Notons les courbes rondes symétriques par rapport à la diagonale principale que l'on ne trouve pas dans les autres types de signaux.
Pour des données réelles, qui peuvent comporter des périodes cachées, des phases stationnaires, et du bruit, on aura un mélange de ces types de figures. La figure 6 donne un exemple de représentation récurrente d'une série de intervalles cardiaques. La représentation suggère qu'il s'agit d'un signal composé de plusieurs composantes périodiques, et qui est fortement bruité.

FIGURE 6

Lignes diagonales et l'exposant de Lyapounov.

Supposons qu'on ait identifié 2 points voisins xi et xj (Ixi‑xj]

xi, xi+1., xi+2.
et
xj, xj+1, xj+2. .
Si l'on a constamment

[xi+k.xj+kl Pour une évaluation plus complète de l'évolution des trajectoires voisines, on peut compter le nombre de cas où 2 trajectoires restent voisines sur une longueur k. La figure 7 donne 1'histogramme de ces nombres, pour différentes valeurs de k. Un histogramme allongé (à pente faible) peut caractériser un fort degré de déterminisme de la série.
La méthode de représentation récurrente peut être pratiquée dans un espace d'immersion de dimension quelconque. Lorsque seule une série longitudinale est disponible, on déploie la série dans un espace d'immersion de dimension de plus en plus grande, et on discute les diagrammes de récurrence dans ces espaces.

FIGURE 7

Indices définis sur le diagramme de récurrence.

Zbilut et Webber (1994) ont defini plusieurs indices à partir du diagramme de récurrence. Le premier est le pourcentage des points marqués dans le diagramme (% de récurrence). Le deuxième est le pourcentage des lignes diagonales de longueur au moins égale à 2, rapporté au nombre de points marqués (% de déterminisme).
Les auteurs ont aussi déterminé l'histogramme des lignes diagonales et calculé l'entropie de Shannon de cette distribution.
Dans l'article (Am J Phys, 76(2):965‑973, 1994), Webber et Zbilut ont étudié le rythme respiratoire (tracé de pression mesurée dans un ballon implanté dans l'espace interthoracique) du rat éveillé et au cours d'une anesthésie par pentobarbital (injection intrapéritonéale, dose 50 mg/kg de poids corporel). Au cours de l'épreuve, la période respiratoire s'allonge, la moyenne et l'écart type de ces périodes (calculés sur des fenêtres de 200 cycles) atteignent rapidement des plateaux. Cependant, les % de récurrences et de déterminisme continuent à fluctuer. L'origine de ces fluctuations persistantes ne sont pas encore comprise, mais les auteurs suggèrent, par cette expérience, que la représentation de récurrence permet d'analyser de façon plus fine les variabilités des séries temporelles, plus que les calculs classiques de moyenne et d'écart-type.

TEST DE PREDICTABILITE : METHODE DE SUGIHARA‑MAY.

‑ Le but de cette méthode, qui est très simple et intuitive, est de tester le caractère déterministe (ou aléatoire) d'une série, en explorant sa capacité de prédire son propre futur.
Soit une série x1, x2, ...,xn, avec n=1000, par exemple.
On divise la série en 2 parties égales, (x1, x2, ..., x500), servant de 'base de connaissance', et (x501, ,x502, ) servant au test. Pour simplifier, on notera la 2è partie (y1, y2,-y500).
On plonge la série dans un espace d'immersion de dimension p. c'est à dire qu'on construit une suite de vecteurs
X1=(x1, x2, xp)
X2=(x2, x3, xp+1),
¼
Y1=(y1, y2, yp)
Y2=(y2, y3, yp+1),

Le problème posé est de savoir si, connaissant les Xi, on peut prédire le futur des Yj. Considérons d'abord le vecteur Y1. Son futur "à un intervalle de temps" est Y2. En fait, la seule nouvelle composante est yp+1‑ Supposons qu'on ne connaisse pas yp+1On va utiliser la base Xi pour prédire cette valeur. Pour cela, on identifie dans la base les vecteur Xk qui 'ressemblent' à Y1. Dans ce but, on se donne une constante r. assez petite. On considère qu'un vecteur Xk ‘ressemble' à Y1 si :
distance(Xk, Y1) On peut trouver un certain nombre de ces vecteurs Xk, par exemple X2, X7, X10, X34 X400. On connaît l'avenir à 'un temps dans le futur' de chacun des vecteurs Xk Il suffit de les utiliser pour établir une valeur qui serait le futur prédit de l'élément yp. Appelons la valeur prédite y'p+1 On connaît yp+1 La question posée est donc: Est‑ce que Y'p+1 est très proche de Yp+1 ?
Pour répondre à la question, on recommence les calculs pour Y2, Y3, .... Finalement, on obtient les valeurs prédites Y'p+l, Y'p+2, ... pour les valeurs mesurées Yp+1. Yp+2, ...Pour savoir si la prédiction est bonne, il suffit de faire une corrélation des y' sur les y. Notons r1 le coefficient de corrélation, l'indice 1 est utilisé pour la prédiction à un temps dans le futur. On peut faire un calcul de prédiction pour '2 temps dans le futur', ou '3 temps dans le futur' etc... Finalement, on obtient des coefficients de corrélation ri, r2, r3, ..rk, . pour les prédictions à 1, 2, ...k temps dans le futur.
Si rk décroît très vite, la série a une pauvre capacité de prédiction. En revanche, si rk persiste à rester significatif, la série a une grande capacité de prédiction: elle a un grand contenu déterministe.

A titre d'exemple, la figure 8 donne la courbe rk pour une série une série complètement déterministe, pour une série déterministe chaotique, et une série complètement aléatoire.

Dans le premier cas, la prédiction est bonne et persiste dans le futur, dans le troisième cas, la prédiction est mauvaise. Dans le cas chaotique, due à la sensibilité aux conditions initiales, la prédiction décroît très vite lorsqu'on veut aller loin dans le futur.

durée de prédiction durée de prédiction durée de prédiction

FIGURE 8

CALCUL DE DIMENSION FRACTALE : DIMENSION DE CORRELATION DE PROCCACIA-GRASSBERGER.

La méthode la plus populaire est de loin le calcul de dimension de corrélation de Grassberger‑Proccacia. Les auteurs ont proposé une méthode très simple et très pratique pour calculer la dimension fractale des séries longitudinales, évitant la méthode de comptage dans les hypercubes, qui est difficile à pratiquer.

On se place dans un espace d'immersion de dimension p. et on construit les m=np+1 vecteur Xi, suivant la méthode de Takens. Pour différentes valeurs du rayon r. on compte le nombre de couples (i,j) (i>j) dont la distance de Xi à Xj est inférieure à r. Soit C(r) ce nombre. Ce nombre est approximativement le nombre de points obtenus si l'on compte dans les hypersphères centrées en tous les points de l'attracteur. Pour r très petit, on tente donc d'estimer C(r) par l'expression k.exp(d), et d sera interprétée comme une dimension fractale de l'attracteur déployé dans l'espace d'immersion. Pour obtenir d, on représente Log(C(r)) en fonction de Log(r). La pente de cette représentation, estimée pour de faibles valeurs de r. est appelée la "dimension de corrélations de la série. En pratique, on estime d sur plusieurs fenêtres de valeur de r. et l'on garde la valeur de d dans la zone de r ou d est approximativement constante.
On a testé la méthode sur données générées par des modèles déterministes théoriques, évidemment. Si le modèle a une dimension P (dimension de l'espace de phase), et qu'on calcule la dimension de corrélation à partir d'une composante, x(t), alors la dimension de corrélation est stabilisée lorsque la dimension de l'espace d'immersion, p. dépasse 2P. Par contre, si le signal est aléatoire, la dimension de corrélation augmente indéfiniment avec p (voir des exemples dans le livre de Bergé).
La grande difficulté de cette méthode, pour ce qui concerne la fréquence cardiaque, est que la représentation Log(C(r)) en fonction de Log(r) ne contient pas toujours de zone linéaire évidente.

CALCUL D'ENTROPIE : ENTROPIE APPROCHEE DE PINCUS.

L'entropie approchée de Pincus est un mélange d'idée d'entropie et de prédictabilité.

Dans l'espace d'immersion de dimension d, on se donne une valeur fixe de r. et pour chaque indice i, on compte le nombre C(i,d,r) de points Xj (j=1, 2, ...m), dont la distance à Xi est inférieure à r. Soit C(d,r) la somme des Log(C(i,d,r)) pour toutes les valeurs de i. Alors, l'entropie de Pincus est définie par

EnAp=C(d+ 1,r)/(n-d)‑C(d,r)/(n-d+ 1)

On voit que les données sont déployées dans deux espaces d'immersion, de dimension d et d+ 1. Les vecteurs reconstruits sont donc :

Xi =(xi, xi+l, xi+d‑l)
et
X'i=(,xi, xi+l, , xi+d).

L'entropie de Pincus veut estimer la probabilité que Xi+1 reste encore proche de Xj+1
lorsque Xi est proche de Xj.

Pincus et coll ont publié plusieurs articles sur cette entropie. Les auteurs interprètent EnAp comme une sorte d'indice de complexité. Ils tiennent à convaincre que la dynamique des phénomènes biologiques est plus complexes dans l'état normal, et qu'une diminution de cette complexité est un signe de pathologie.

TEST DE DETERMINISME : L'INDICE DE KAPLAN‑GLASS.

Pour introduire cet indice, considérons une suite xn, et un point, x50, par exemple. On veut étudier le comportement de la suite lorsqu'elle passe dans le voisinage de x50. On suit donc la suite depuis x1. Dès que la suite passe près de x50, on l'examine sur quelques temps vers le futur. Si la suite est très "déterministe" au voisinage de x50, les trajectoires sortant du voisinage de x50 seront plutôt parallèles. Si non, ces trajectoires iront dans tous les sens. La figure 9 donne un exemple (suite de pressions artérielles). Dans cette figure les trajectoires sortant du voisinage de x50, et de x78, sont assez déterministes.

FIGURE 9

Pour définir l'indice de Kaplan‑Glass, on se met, comme toujours, dans un espace d'immersion de dimension p. Pour simplifier, supposons que p=2 (les trajectories sont donc les points (xi,xi+1)). Kaplan et Glass subdivisent le plan en maillages de petits carrés. Dans chaque carré du maillage, ils construisent des vecteurs de longueur unité parallèles aux trajectoires sortant du carré et calculent la somme géométrique de ces vecteurs. Si les vecteurs sortant sont à peu près parallèles, leur somme aura une longueur proche de l'unité. Par contre, si les vecteurs sortant se dirigent dans tous les sens, leur somme aura une longueur proche de zéro (voir deux exemples en bas de la figure). Dans la figure 9, on a dessiné 2 exemples des vecteurs sommes dans les différents petits carrés. La figure en haut correspond à une dynamique plus déterministe que la figure en bas. Kaplan et Glass définissent un indice permettant d'estimer le caractère déterministe des trajectoires, en se référant à une situation théorique où les vecteurs unitaires se promenaient de façon totalement aléatoire.
La même méthode s'applique bien‑entendu pour un espace d'immersion de dimension quelconque.
L'indice de déterminisme a été testé sur plusieurs séries de données simulées par les modèles non linéaires classiques. lI ne semble pas que cet indice ait été testé sur les données de fréquence cardiaque.

TESTS DE NON LINEARITE. DONNEES ALTERNATIVES DE THEILER

L'idée de Theiler est illustrée dans la figure 10.

FIGURE 10

La partie A représente une série de pressions artérielles systoliques. A droite, on a dessiné le spectre des fréquences de la série, obtenu par transformée rapide de Fourier. La deuxième ligne (partie B) représente une série d'allure complètement différente, ayant cependant exactement la même moyenne et la même variance que la série observée. La troisième ligne (partie C) représente une série d'allure légèrement différente de la première, ayant non seulement la même moyenne et la même variance, mais aussi exactement le même spectre de fréquence que la première.

La série B a été obtenue en gardant les valeurs de la série A, mais en changeant l'ordre des valeurs, de façon aléatoire. La série C a été obtenue en gardant le même spectre de fréquence de A, mais en modifiant les phases des fréquences, de façon aléatoire aussi.
Avec l'ordinateur, on peut simuler un grand nombre de suites de type B. et un grand nombre de suites de type C. Supposons qu'on détermine un indice (c'est à dire une statistique) quelconque sur la série A. On peut estimer ce même indice sur les séries B. Si la valeur de cet indice estimé sur A n'est pas statistiquement différente des valeurs estimées sur les séries B. on peut considérer que l'indice n'évalue rien de plus que la moyenne et l'écart-type des observations.

On peut répéter le même raisonnement sur les séries C. Si l'indice calculé sur A est significativement différent de l'indice calculé sur les séries C, c'est que notre indice exprime une propriété de non linéarité de la série.

RESUME ET CONCLUSION.

Dans cet exposé introductif, nous avons présenté 2 aspects de 1'analyse de la fréquence cardiaque. D'abord, l'aspect modèle, avec l'exemple du modèle de Kaplan-Glass, qui donne une application intéressante des idées de non linéarité et de stabilité des systèmes dynamiques. De tels modèles, enrichis d'hypothèses biologiques supplémentaires, par exemple l'existence de périodes réfractaires, seraient très intéressants pour l'analyse des phénomènes d'arythmie.

Pour ce qui est de l'analyse des données, nous avons présenté quelques méthodes simples et intuitives. Il faut dire que la présentation passe sous silence de nombreux problèmes numériques et techniques. Toutes ces méthodes comportent un grand nombre de calculs et requirent de longues séries de mesures. Certaines ont été testées sur la fréquence cardiaque. D'autres sont potentiellement applicables. Il est sûrement intéressant de les tester toutes sur les données de fréquence cardiaque ou de pression artérielle. Il faut cependant étre conscient du fait que l'utilisation répétée des mêmes échantillons de données leur fait perdre le caractère de représentants aléatoires. Avant d'appliquer une méthode, il faut bien analyser les capacités et les limites de la méthode. Surtout, il faut se mettre dans dans conditions précises de mesure, et tester des hypothèses biologiques précises.

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