Qu’est-ce que le chaos déterministe ?

LA "SENSIBILITÉ AUX CONDITIONS INITIALES" SIGNIFIE QUE LES LOIS NE PERMETTENT PAS DE PRÉDIRE PARCE QU’UN TOUT PETIT CHANGEMENT DES VALEURS DE DÉPART ENTRAINE UN AVENIR TRÈS DIFFÉRENT

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « Entre le temps et l’éternité » :

« Dans le passé, (…) tous les systèmes soumis à un attracteur semblaient devoir « se ressembler ». Aujourd’hui, la notion d’attracteur symbolise au contraire la diversité qualitative des systèmes dissipatifs.
La notion d’état attracteur renvoie en effet à celle de système dissipatif, producteur d’entropie. Un pendule idéal, sans frottement, n’a pas d’état attracteur, mais poursuit indéfiniment son mouvement d’oscillation. En revanche, le mouvement d’un pendule réel s’amortit progressivement. Dans le cas du pendule simple, l’existence de l’attracteur que constitue son état d’équilibre (au sens mécanique) permet de caractériser tout mouvement pendulaire réel en toute généralité, sans avoir besoin de le connaître dans sa particularité. Quelles que soient la vitesse et la position initiale du pendule, nous savons en effet comment nous pourrons le décrire si nous attendons assez longtemps : il finira par se trouver au repos dans sa position d’équilibre. De même, l’existence de l’attracteur que constitue l’état d’équilibre thermodynamique permet d’affirmer qu’une population de milliards de milliards de particules dans une enceinte isolée évoluera vers un état dont la description ne dépend plus que d’un petit nombre de paramètres observables, tels que température et pression.
Pour nous représenter l’attracteur, introduisons un espace dans lequel cet attracteur est plongé. Cet espace possèdera autant de dimensions qu’il faut de variables pour décrire l’évolution temporelle du système. Les états d’équilibre des systèmes dissipatifs correspondent par définition à des attracteurs ponctuels, représentés par un point de cet espace. C’est également le cas pour les systèmes proches de l’équilibre thermodynamique et soumis au théorème de production d’entropie minimum. Dans tous les cas, quelle que soit la préparation initiale du système, l’évolution de celui-ci sous des conditions aux limites données – pourra être représenté par une trajectoire menant du point représentant l’état initial vers le point attracteur. Celui-ci domine donc la totalité de l’espace. Tous les systèmes représentés par les mêmes variables indépendantes aux mêmes conditions aux limites « reviennent au même », connaissent le même destin.
La découverte loin de l’équilibre des comportements cohérents, telle l’ « horloge chimique », avec sa période temporelle bien déterminée, implique un premier élargissement de la notion d’attracteur. Ici, il ne s’agit plus d’un point mais d’une ligne. Cette fois, quelle que soit la situation initiale, le système évolue vers un « cycle limite ».
Un système caractérisé par un cycle limite reste un système prévisible, que l’on peut décrire de manière simple. (…)
Jusqu’à ces dernières années, on croyait que les seuls attracteurs possibles correspondaient à des variétés continues, telles que lignes, surfaces et volumes. Mais la découverte des « attracteurs étranges » a ouvert des nouvelles. Les attracteurs étranges ne sont pas caractérisés par des dimensions entières, comme une ligne ou une surface, mais par des dimensions fractionnaires. Ce sont ce que, depuis Mandelbrot, on appelle des variétés fractales. (…)
Jusqu’à il y a peu, l’existence d’un attracteur avait été synonyme de stabilité et de reproductibilité : retour au « même » malgré les perturbations, quelles que soient les particularités initiales. Aux nouveaux types d’attracteurs correspondent des comportements « sensibles aux conditions initiales » qui font perdre son sens à la notion de « même ». Dans toute région, aussi petite soit-elle, occupée par l’attracteur fractal, passent autant de trajectoires que l’on veut, et chacune de ces trajectoires connaît un destin différent des autres. En conséquence, des situations initiales aussi voisines que l’on veut peuvent engendrer des évolutions divergentes. La moindre différence, la moindre perturbation, loin d’être rendue insignifiante par l’existence de l’attracteur, a donc des conséquences considérables. (…)
Nous arrivons ici à la définition du comportement « chaotique », qui est un comportement typique des systèmes caractérisés par un attracteur étrange. Un comportement est chaotique si des trajectoires issues de points, aussi voisins que l’on veut dans l’espace des phases, s’éloignent les unes des autres au cours du temps de manière exponentielle ; la distance entre deux points quelconques appartenant à de telles trajectoires croit proportionnellement à une fonction exponentielle de l’inverse du temps de Lyapounov.
Le temps de Lyapounov permet de définir une véritable « échelle de temps ».

Attracteur de Lorenz

ATTRACTEUR DE LORENZ DU CLIMAT

Yakov G. Sinaï explique l’attracteur étrange du climat ou attracteur de Lorenz dans « L’aléatoire du non-aléatoire », article de l’ouvrage collectif « Chaos et déterminisme » :
« Ces attracteurs étranges se manifestent dans de nombreux problèmes de la physique, de l’hydrodynamique, de la biologie, de la chimie, etc. (…) En 1963, le météorologue américain E. N. Lorenz a publié un travail dans lequel il obtenait un système de trois équations différentielles ordinaires, nommé ultérieurement système de Lorenz, qu’il étudiait à l’aide d’un ordinateur. (…) On peut considérer que c’est là le système le plus simple d’équations différentielles non linéaires. Lorenz a déduit ce système d’équations à partir du problème bien connu de la convection d’un gaz ou d’un liquide placé entre deux plaques horizontales et chauffé par le bas (convection de Bénard-Rayleigh). (…) Le modèle de Lorenz fournit un exemple typique d’attracteur étrange. (…) La trajectoire effectue des tours à droite, puis quelques tours à gauche, puis, de nouveau, quelques tours à droite et ainsi de suite de manière irrégulière. (…) Sur l’attracteur lui-même, le mouvement a un caractère instable (…) en feuillets séparés, avec une topologie lacunaire, (…) ce qui a amené à appeler cette structure topologique peu ordinaire « attracteur étrange », selon la définition donnée dans le célèbre article de D. Ruelle et F. Takens « Sur la nature de la turbulence » en 1971. »

NUAGES, STRUCTURE AUTO-ORGANISEE, DISSPATIVE ET INSTABLE, INTERFACE DYNAMIQUE ET FRACTALE DES PHASES GLACE, LIQUIDE ET VAPEUR D’EAU DANS L’AIR

Le chaos déterministe, ni ordre, ni désordre,

Un monde dynamique non-linéaire aux frontières fractales

FRACTALES DE JULIA ET DE MANDELBROT

Mots clefs :

dialectique –
discontinuité –
physique quantique – relativité –
chaos déterministe –
système dynamique –
non-linéarité –
émergence –
inhibition –
boucle de rétroaction –
contradictions –
crise –
transition de phase –
auto-organisation –
Blanqui -
Trotsky –
Prigogine - la révolution - l’anarchisme - le stalinisme - Socrate

FRONTIÈRE FRACTALE DANS UN PROCESSUS DE DIFFUSION

MOUVEMENT BROWNIEN

UNE MONTAGNE REPRÉSENTÉE PAR UNE FONCTION FRACTALE

SITE Matière et Révolution : www.matierevolution.fr

Pourquoi ce site mêle révolution, sciences, philosophie et politique ?

Pourquoi parler de révolution en sciences ?

La nature en révolution

Qu’est-ce que le chaos déterministe ?

Cette expression mêle des termes apparemment contradictoires : le chaos sous-entendant un désordre et déterministe signifiant un ordre qui obéit à des lois. Cette contradiction dialectique est voulue car il s’agit effectivement de décrire des phénomènes dans lesquels il y a un ordre caché derrière un apparent désordre, avec un désordre à un niveau et un ordre à un autre niveau. Cela a donné naissance à tout un domaine d’étude car les anciens moyens d’investigation n’ont pas cours dans ce cas. le réductionnisme et la description de trajectoires ne sont plus valables dans un phénomène où la structure d’ensemble ne découle pas de la somme des évolutions des éléments. L’imbrication d’ordre et de désordre n’est pas la seule caractéristique du chaos déterministe. Un point crucial est la "sensibilité aux conditions initiales" qui peut être résumée par : petite cause, grands effets. Une autre contradiction apparente est signalée : tout en obéissant à des lois, ces phénomènes ne sont pas prédictibles car susceptibles de bifurcations brutales à grande échelle.

Des systèmes dynamiques non linéaires, ou simplement linéaires par morceau, peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu’il s’agit de systèmes parfaitement déterministes). Cette imprédictibilité est appelée chaos. La branche des systèmes dynamiques qui s’attache à définir clairement et à étudier le chaos s’appelle la théorie du chaos.
Cette branche des mathématiques décrit qualitativement les comportements à long terme des systèmes dynamiques. Dans ce cadre, on ne met pas l’accent sur la recherche de solutions précises aux équations du système dynamique (ce qui, de toute façon, est souvent sans espoir), mais plutôt sur la réponse à des questions comme « Le système convergera-t-il vers un état stationnaire à long terme, et dans ce cas, quels sont les états stationnaires possibles ? » ou « Le comportement à long terme du système dépend-il des conditions initiales ? ».
Un objectif important est la description des points fixes, ou états stationnaires, du système ; ce sont les valeurs de la variable pour lesquelles elle n’évolue plus avec le temps. Certains de ces points fixes sont attractifs, ce qui veut dire que si le système parvient à leur voisinage, il va converger vers le point fixe.

« Entre le temps et l’éternité »
Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

« Dans le passé, (…) tous les systèmes soumis à un attracteur semblaient devoir « se ressembler ». Aujourd’hui, la notion d’attracteur symbolise au contraire la diversité qualitative des systèmes dissipatifs.
La notion d’état attracteur renvoie en effet à celle de système dissipatif, producteur d’entropie. Un pendule idéal, sans frottement, n’a pas d’état attracteur, mais poursuit indéfiniment son mouvement d’oscillation. En revanche, le mouvement d’un pendule réel s’amortit progressivement. Dans le cas du pendule simple, l’existence de l’attracteur que constitue son état d’équilibre (au sens mécanique) permet de caractériser tout mouvement pendulaire réel en toute généralité, sans avoir besoin de le connaître dans sa particularité. Quelles que soient la vitesse et la position initiale du pendule, nous savons en effet comment nous pourrons le décrire si nous attendons assez longtemps : il finira par se trouver au repos dans sa position d’équilibre. De même, l’existence de l’attracteur que constitue l’état d’équilibre thermodynamique permet d’affirmer qu’une population de milliards de milliards de particules dans une enceinte isolée évoluera vers un état dont la description ne dépend plus que d’un petit nombre de paramètres observables, tels que température et pression.
Pour nous représenter l’attracteur, introduisons un espace dans lequel cet attracteur est plongé. Cet espace possèdera autant de dimensions qu’il faut de variables pour décrire l’évolution temporelle du système. Les états d’équilibre des systèmes dissipatifs correspondent par définition à des attracteurs ponctuels, représentés par un point de cet espace. C’est également le cas pour les systèmes proches de l’équilibre thermodynamique et soumis au théorème de production d’entropie minimum. Dans tous les cas, quelle que soit la préparation initiale du système, l’évolution de celui-ci sous des conditions aux limites données – pourra être représenté par une trajectoire menant du point représentant l’état initial vers le point attracteur. Celui-ci domine donc la totalité de l’espace. Tous les systèmes représentés par les mêmes variables indépendantes aux mêmes conditions aux limites « reviennent au même », connaissent le même destin.
La découverte loin de l’équilibre des comportements cohérents, telle l’ « horloge chimique », avec sa période temporelle bien déterminée, implique un premier élargissement de la notion d’attracteur. Ici, il ne s’agit plus d’un point mais d’une ligne. Cette fois, quelle que soit la situation initiale, le système évolue vers un « cycle limite ».
Un système caractérisé par un cycle limite reste un système prévisible, que l’on peut décrire de manière simple. (…)
Jusqu’à ces dernières années, on croyait que les seuls attracteurs possibles correspondaient à des variétés continues, telles que lignes, surfaces et volumes. Mais la découverte des « attracteurs étranges » a ouvert des nouvelles. Les attracteurs étranges ne sont pas caractérisés par des dimensions entières, comme une ligne ou une surface, mais par des dimensions fractionnaires. Ce sont ce que, depuis Mandelbrot, on appelle des variétés fractales. (…)
Jusqu’à il y a peu, l’existence d’un attracteur avait été synonyme de stabilité et de reproductibilité : retour au « même » malgré les perturbations, quelles que soient les particularités initiales. Aux nouveaux types d’attracteurs correspondent des comportements « sensibles aux conditions initiales » qui font perdre son sens à la notion de « même ». Dans toute région, aussi petite soit-elle, occupée par l’attracteur fractal, passent autant de trajectoires que l’on veut, et chacune de ces trajectoires connaît un destin différent des autres."

Lire également sur le site Matière et Révolution :

L’image du chaos déterministe

Chaos déterministe (dynamique non-linéaire) et dialectique - en anglais -

La dynamique chaotique de la géophysique et de la climatologie.

Climatologie et chaos déterministe.

Le cœur et le chaos déterministe

Le cerveau et le chaos déterministe

Psychanalyse et chaos déterministe

Chaos cardiaque, cérébral et cellulaire : les rythmes émergents du vivant

Qu’est-ce que le chaos déterministe en sciences ?

Lire à l’extérieur du site :

James Gleick expose le chaos déterministe

Le chaos dans les système inertes et vivants

---

Pierre Bergé et Yves Pomeau

in Le Chaos, "pour la science", janvier 1995

Les éléments, le feu, l’air et la terre et l’eau,
Enfoncés, entassés, ne faisaient qu’un monceau,
Une contusion, une masse sans forme,
Un désordre, un chaos, une cohue énorme

Jean Racine, Les plaideurs.

Les scientifiques ont repris à leur compte le mot "chaos", autrefois employé par les poètes et dans les mythologies. Aussi le lecteur est il en droit de se poser quelques questions : Qu’est-ce que le chaos ? Où trouve-t-on le chaos ? Comment le chaos apparaît-il ?

En sciences, le chaos est l’art de former du complexe à partir du simple. Former du complexe à partir du complexe ne pose aucun problème : ainsi une particule en suspension dans l’eau est soumise à des millions de chocs de la part des particules qui l’entourent et le mouvement qui en résulte, le mouvement brownien, est compliqué ; cette complexité est inhérente au système.

Dans le chaos, une cause simple, ne faisant intervenir que trois variables, entraîne des effets complexes. Prenons un pendule. C’est un système à deux variables (la position et la vitesse angulaires), et son comportement est régulier : il part de la gauche passe au point le plus bas, remonte à droite, ralentit, repart vers la gauche, et recommence sans cesse. Quand on lui ajoute une troisième variable, par exemple en soulevant périodiquement son extrémité supérieure, alors le système peut devenir chaotique. Aucune des trois variables en jeu n’est aléatoire, et pourtant, on ne peut plus prévoir le mouvement de ce système, qui ne fait jamais deux fois la même chose. Le chaos est donc un phénomène réel que n’importe qui peut expérimenter chez lui. Il suffit de coupler deux systèmes qui, pris indépendamment, sont extrêmement simples. Le chaos n’est pas une cohue énorme ; son désordre n’est qu’apparent. Un système chaotique est imprévisible, mais il est parfaitement décrit par des équations simples et déterministes. Le lien entre ces deux notions paradoxales, déterminisme et imprévisibilité, est la propriété de sensibilité aux conditions initiales : deux conditions initiales semblables peuvent conduire à des états très différents du système. Cette propriété est la principale caractéristique des systèmes chaotiques.

C’est le mathématicien français Henri Poincaré qui, dès la fin du siècle dernier, a mis en évidence l’imprévisibilité d’un système de trois corps en interaction. Il a appliqué cette idée à la question de la stabilité du Système solaire, question qui préoccupe encore des chercheurs comme Michel Hénon, de l’Observatoire de Nice, ou Jacques Laskar, au Bureau des Longitudes, à Paris.

Attracteur de Hénon

L’observation des inversions du champ magnétique terrestre pourrait illustrer l’existence de comportements complexes dans un système simple. Le champ géomagnétique est un effet de dynamo : le noyau terrestre est constitué d’un liquide conducteur qui tourne sur lui même et produit un champ magnétique. Ce système s’auto alimente, car le champ magnétique induit un courant dans le liquide conducteur, qui crée lui même un champ magnétique. Un tel système, modélisé par le Japonais Rikitaké dans les années 1950, peut engendrer une série temporelle chaotique.

Quelques années après Rikitaké, le météorologue Edward Lorenz introduisait le premier modèle d’atmosphère sensible aux conditions initiales ; pourtant son système ne comportait que trois variables. Les modèles d’atmosphère actuels comportent un très grand nombre de variables, mais ils présentent aussi une grande sensibilité aux conditions initiales : dix hypothèses compatibles avec les relevés météorologiques conduisent à dix prévisions, parfois complètement différentes, du temps qu’il fera la semaine suivante. Les météorologues tentent de définir un horizon (une échéance) de prévisibilité. Actuellement, I’échéance de fiabilité des prédictions météorologiques est d’une semaine.

Cette approche serait intéressante en économie. Ainsi l’augmentation d’un impôt peut avoir un effet positif à court terme sur les finances de l’État, mais négatif à long terme s’il appauvrit les ménages. Peut on définir un horizon de prévisibilité pour un tel système ? Les concepts introduits par les théories mathématiques du chaos permettront sans doute une approche plus objective dans des domaines aussi difficiles que l’économie.

La théorie du chaos pourrait aussi avoir une implication en sociologie. Un changement de société s’opère lorsque le nombre de personnes qui interagissent dépasse un certain seuil. Dans une civilisation rurale, chaque individu possède un petit nombre d’interlocuteurs ; la situation est stable. En revanche, dans les civilisations urbaines actuelles, les rapports entre les individus sont multiples. Selon ce schéma, la révolution industrielle serait plutôt due au développement de la civilisation urbaine qu’au progrès technologique.

Enfin le concept de chaos déterministe peut s’appliquer à la biologie. Les battements cardiaques d’un individu au repos présentent des irrégularités. On sait aujourd’hui que ces irrégularités ne sont pas pathologiques,alors qu’un battement régulier l’est. Le comportement chaotique du cœur procure une meilleure adaptabilité. Ainsi lorsque vous sursautez sous l’effet de la surprise, votre cœur accélère, puis retourne vers un battement plus lent : il est capable d’explorer un large domaine de fréquences sans dépasser ses limites de fonctionnement. Toutefois les systèmes biologiques sont complexes et les lois qui les régissent ne sont pas bien connues.

Même lorsque l’on ne connaît pas les lois de la dynamique, il est possible de distinguer un comportement chaotique d’un comportement purement aléatoire. Il faut pour cela tracer un diagramme dans un espace multidimensionnel, appelé espace des phases ou espace des états ; chaque

état du système est représenté dans cet espace par un point dont les coordonnées sont égales aux valeurs numériques des variables du système. Dans cette représentation, un mouvement régulier correspond à un diagramme simple, un attracteur. Si le mouvement est aléatoire, les points représentatifs du système remplissent l’espace des phases au hasard : aucune structure n’apparaît. Quand le mouvement est chaotique, les points représentatifs paraissent à première vue aléatoires. Néanmoins, quand on observe le système suffisamment longtemps,on constate que les points dessinent une forme particulière, qui présente une structure feuilletée.

A cause de cette géométrie particulière, fractale, ces attracteurs sont qualifiés d’étranges. Ils sont la signature du chaos.

Les physiciens Peter Grassberger et Itamar Procaccia ont inventé une méthode théorique pour quantifier l’ordre du chaos. Leur méthode permet de déterminer la dimension de l’attracteur, c’est à dire sa capacité à remplir une région donnée de l’espace des phases. Le groupe de Saclay a été le premier à l’appliquer à des données réelles.

On commence par construire un espace des phases à partir d’un petit nombre de variables : si la dimension de l’espace de construction est inférieure à celle de l’attracteur, on obtient une projection de la trajectoire, qui cache encore sa structure réelle. On augmente alors la dimension de l’espace de construction (on ajoute des variables dans notre description).

Si la dimension calculée du diagramme finit par saturer à une faible valeur, c’est la signature d’un chaos à petit nombre de variables ; la valeur de saturation est la dimension fractale de l’attracteur. Si au contraire cette dimension croît avec la dimension de l’espace de construction, c’est que le système est aléatoire : le nuage de points représentatifs des états successifs du système ne s’organise pas.

On peut aussi identifier le chaos à sa manière d’entrer en scène. On connaît trois grands scénarios de transition vers le chaos : le doublement de période, l’intermittence, et la quasi périodicité. Le phénomène de doublement de période a été découvert en même temps par un jeune chercheur américain de Los Alamos, Mitchell Feigenbaum, et par des chercheurs français, Pierre Coullet, actuellement à l’lnstitut non linéaire de Nice, et Charles Tresser, qui travaille chez IBM.

A mesure que la contrainte augmente, la période d’un oscillateur forcé est multipliée par deux, puis par quatre, par huit, etc. ; ces doublements de période sont de plus en plus rapprochés ; lorsque la période est infinie, le système est chaotique. La turbulence dans les fluides peut apparaître suivant ce scénario.

Un autre scénario de transition vers le chaos est l’intermittence : un mouvement périodique stable est entrecoupé par des bouffées de bruit. Lorsqu’on augmente le paramètre de contrôle, les bouffées de turbulence deviennent de plus en plus fréquentes, et finalement, la turbulence domine. Ce scénario a été décrit théoriquement par l’un de nous (Yves Pomeau) et vérifié expérimentalement par le groupe de Saclay.

Le troisième scénario, la quasipériodicité, intervient quand un deuxième oscillateur perturbe un système initialement périodique. Si le rapport des périodes des deux oscillateurs en présence n’est pas rationnel, alors le système est dit quasipériodique. L’influence des deux oscillateurs l’un sur l’autre conduit à un dérèglement de leur mouvement, comme dans le cas du pendule stimulé verticalement, évoqué plus haut. Ce scénario un peu compliqué est relié à la théorie des nombres, notamment aux travaux de Jean Christophe Yoccoz, lauréat de la Médaille Fields en 1994, pour ses travaux sur les systèmes dynamiques. La contribution des mathématiciens français dans le domaine du chaos n’est donc pas seulement historique !

Mais nous en avons déjà trop dit : laissons le lecteur découvrir le chaos.

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Pierre Bergé est physicien au Commissariat à l’énergie atomique, à Saclay, et Yves Pomeau est directeur de recherche au CNRS, dans les laboratoires de L’école normale supérieure.

Lire également sur le site Matière et Révolution :

L’image du chaos déterministe

Le chaos déterministe

Chaos déterministe (dynamique non-linéaire) et dialectique - en anglais -

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Chaos en sciences ou les lois du désordre

La sensibilité aux conditions initiales et le chaos

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Le chaos déterministe, ni ordre, ni désordre,

Un monde dynamique non-linéaire aux frontières fractales

Mots clefs :

dialectique –
discontinuité –
physique quantique –
chaos déterministe –
système dynamique –
le temps -
non-linéarité –
émergence – rupture de symétrie –
inhibition –
boucle de rétroaction –
contradictions –
crise –
transition de phase –
auto-organisation – vide - révolution permanente - économie politique -
Blanqui -
Lénine -
Trotsky –
Barta -
Prigogine -
Gould

FRONTIERE FRACTALE DANS UN PROCESSUS DE DIFFUSION

Extraits de "Entre le temps et l’éternité" de Prigogine et Stengers :

"La raison du chaos quantique est l’apparition des résonances. (...) Ces résonances, qui caractérisent l’ensemble des situations fondamentales de la mécanique quantique, correspondent à des interactions entre champs (c’est-à-dire aussi aux interactions matière-lumière). On peut affirmer que notre accès au monde quantique a pour condition l’existence des systèmes chaotiques quantiques. (...)

« Nous avons surtout souligné les dimensions négatives du chaos dynamique, la nécessité qu’il implique d’abandonner les notions de trajectoire et de déterminisme. Mais l’étude des systèmes chaotiques est également une ouverture ; elle crée la nécessité de construire de nouveaux concepts, de nouveaux langages théoriques. Le langage classique de la dynamique implique les notions de points et de trajectoires, et, jusqu’à présent, nous-mêmes y avons eu recours alors même que nous montrions l’idéalisation – dans ce cas illégitime – dont elles procèdent. Le problème est maintenant de transformer ce langage, de sorte qu’il intègre de manière rigoureuse et cohérente les contraintes que nous venons de reconnaître.
Il ne suffit pas, en effet, d’exprimer le caractère fini de la définition d’un système dynamique en décrivant l’état initial de ce système par une région de l’espace des phases, et non par un point. Car une telle région, soumise à l’évolution que définit la dynamique classique, aura beau se fragmenter au cours du temps, elle conservera son volume dans l’espace des phases. C’est ce qu’exprime un théorème général de la dynamique, le théorème de Liouville. Toutes les tentatives de construire une fonction entropie, décrivant l’évolution d’un ensemble de trajectoires dans l’espace des phases, se sont heurtées au théorème de Liouville, au fait que l’évolution d’un tel ensemble ne peut être décrite par une fonction qui croîtrait au cours du temps.
Or, un argument simple permet de montrer l’incompatibilité, dans le cas d’un système chaotique, entre le théorème de Liouville et la contrainte selon laquelle toute description définit le « pouvoir de résolution » de nos descriptions ; il existera toujours une distance r telle que nous ne pourrons faire de différence entre des points plus proches l’un de l’autre (…) La nouvelle description des systèmes dynamiques chaotiques substitue au point un ensemble correspondant à un fragment de fibre contractante. Il s’agit d’une description non locale, qui tient compte de la contrainte d’indiscernabilité que nous avons définie. Mais cette description n’est pas relative à notre ignorance. Elle donne un sens intrinsèque au caractère fini de nos descriptions : dans le cas où le système n’est pas chaotique, où l’exposant de Lyapounov est de valeur nulle, nous retrouvons la représentation classique, ponctuelle, et les limites mises à la précision de nos mesures n’affectent plus la représentation du système dynamique.
Cette nouvelle représentation brise également la symétrie temporelle. (…) Là où une seule équation d’évolution permettait de calculer l’évolution vers le passé ou vers le futur de points eux-mêmes indifférents à cette distinction, nous avons maintenant deux équations d’évolution différentes. L’une décrirait l’évolution d’un système vers un équilibre situé dans le futur, l’autre décrirait l’évolution d’un système vers un équilibre situé dans le passé.
L’un des grands problèmes de l’interprétation probabiliste de l’évolution vers l’équilibre était que la représentation probabiliste ne donne pas sens à la distinction entre passé et futur. (…) La nouvelle description dynamique que nous avons construite incorpore, en revanche, la flèche du temps (…) Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n’avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l’objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n’est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd’hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l’imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C’est en 1892, avec la découverte d’un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l’image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables.
Comment comprendre cet énoncé ? Depuis les travaux de Hamilton, on sait qu’un même système dynamique peut être représenté de différentes manières équivalentes par une transformation dite canonique (ou unitaire) (…) L’hamiltonien du système est la grandeur qui détermine son évolution temporelle.
Parmi toutes les transformations unitaires, il en existe une qui permet d’aboutir à une représentation privilégiée du système. C’est celle qui fait de l’énergie, c’est-à-dire de l’hamiltonien, une fonction des seuls moments, et non plus des positions. Dans une telle représentation, les mouvements des différentes particules du système sont décrits comme s’ils ne dépendaient plus des positions relatives des particules, c’est-à-dire comme si elles n’étaient plus en interaction. (…) Les mouvements possibles de tels systèmes ont donc la simplicité des mouvements libres. (…)
Or, en 1892, Poincaré montra qu’en général il est impossible de définir la transformation unitaire qui ferait des « actions » des invariants du système. La plupart des systèmes dynamiques n’admettent pas d’invariants en dehors de l’énergie et de la quantité de mouvement, et dès lors ne sont pas intégrables.
La raison de l’impossibilité de définir les invariants du mouvement qui correspondent à la représentation d’un système dynamique intégrable tient à un mécanisme de résonance. (…) Le mécanisme de résonance peut être caractérisé comme un transfert d’énergie entre deux mouvements périodiques couplés dont les fréquences sont entre elles dans un rapport simple.
Ce sont ces phénomènes de résonance – mais, cette fois, entre les différents degrés de liberté qui caractérisent un même système dynamique – qui empêchent que ce système soit mis sous une forme intégrable. La résonance la plus simple entre les fréquences se produit quand ces fréquences sont égales, mais elle se produit aussi à chaque fois que les fréquences sont commensurables, c’est-à-dire chaque fois qu’elles ont entre elles un rapport rationnel. Le problème se complique du fait que de manière générale les fréquences ne sont pas constantes. (…) Ce qui fait que, dans l’espace des phases d’un système dynamique, il y aura des points caractérisés par une résonance, alors que d’autres ne le seront pas. L’existence des points de résonance interdit en général la représentation en termes de variables cycliques, c’est-à-dire une décomposition du mouvement en mouvements périodiques indépendants.
Les points de résonance, c’est-à-dire les points auxquels les fréquences ont entre elles un rapport rationnel, sont rares, comme sont rares les nombres rationnels par rapport aux nombres irrationnels. Dès lors, presque partout dans l’espace des phases, nous aurons des comportements périodiques de type habituel. Néanmoins, les points de résonance existent dans tout le volume fini de l’espace des phases. D’où le caractère effroyablement compliqué de l’image des systèmes dynamiques telle qu’elle nous a été révélée par la dynamique moderne initiée par Poincaré et poursuivie par les travaux de Kolmogoroff, Arnold et Moser.
Si les systèmes dynamiques étaient intégrables, la dynamique ne pourrait nous livrer qu’une image statique du monde, image dont le mouvement du pendule ou de la planète sur sa trajectoire képlérienne constituerait le prototype. Cependant l’existence des résonances dans les systèmes dynamiques à plus de deux corps ne suffit pas pour transformer cette image et la rendre cohérente avec les processus évolutifs étudiés précédemment. Lorsque le volume reste petit, ce sont toujours les comportements périodiques qui dominent. (…)
Cependant, pour les grands systèmes, la situation s’inverse. Les résonances s’accumulent dans l’espace des phases, elles se produisent désormais non plus en tout point rationnel, mais en tout point réel. (…) Dès lors, les comportements non périodiques dominent, comme c’est le cas dans les systèmes chaotiques. (…)
Dans le cas d’un système de sphères dures en collision, Sinaï a pu démontrer l’identité entre comportement cinétique et chaotique, et définir la relation entre une grandeur cinétique comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions) et le temps de Lyapounov qui caractérise l’horizon temporel des systèmes chaotiques. (…)
Or, l’atome en interaction avec son champ constitue un « grand système quantique » auquel, nous l’avons démontré, le théorème de Poincaré peut être étendu. (…) La « catastrophe » de Poincaré se répète dans ce cas : contrairement à ce que présupposait la représentation quantique usuelle, les systèmes caractérisés par l’existence de telles résonances ne peuvent être décrits en termes de superposition de fonctions propres de l’opérateur hamiltonien, c’est-à-dire d’invariants du mouvement. Les systèmes quantiques caractérisés par des temps de vie moyens, ou par des comportements correspondants à des « collisions », constituent donc la forme quantique des systèmes dynamiques au comportement chaotique (…)
L’abandon du modèle des systèmes intégrables a des conséquences aussi radicales en mécanique quantique qu’en mécanique classique. Dans ce dernier cas, il impliquait l’abandon de la notion de point et de loi d’évolution réversible qui lui correspond. Dans le second, il implique l’abandon de la fonction d’onde et de son évolution réversible dans l’espace de Hilbert. Dans les deux cas, cet abandon a la même signification : il nous permet de déchiffrer le message de l’entropie. (…)
La collision, transfert de quantité de mouvement et d’énergie cinétique entre deux particules, constitue, du point de vue dynamique, un exemple de résonance. Or, c’est l’existence des points de résonance qui, on le sait depuis Poincaré, empêche de définir la plupart des systèmes dynamiques comme intégrables. La théorie cinétique, qui correspond au cas d’un grand système dynamique ayant des points de résonance « presque partout » dans l’espace des phases , marque donc la transformation de la notion de résonance : celle-ci cesse d’être un obstacle à la description en termes de trajectoires déterministes et prédictibles, pour devenir un nouveau principe de description, intrinsèquement irréversible et probabiliste.
C’est cette notion de résonance que nous avons retrouvée au cœur de la mécanique quantique, puisque c’est elle qu’utilisa Dirac pour expliquer les événements qui ouvrent un accès expérimental à l’atome, l’émission et l’absorption de photons d’énergie spécifique, dont le spectre constitue la véritable signature de chaque type d’atome. (…) Le temps de vie, qui caractérise de manière intrinsèque un niveau excité, dépend, dans le formalisme actuel de la mécanique quantique, d’une approximation et perd son sens si le calcul est poussé plus loin. Dès lors, la mécanique quantique a dû reconnaître l’événement sans pouvoir lui donner de sens objectif. C’est pourquoi elle a pu paraître mettre en question la réalité même du monde observable qu’elle devait rendre intelligible. (…)
Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l’hypothèse d’un champ induit par l’atome et entrant en résonance avec lui. Le système fini que représente l’atome isolé n’est donc qu’une abstraction. L’atome en interaction avec son champ est, lui, un « grand système quantique », et c’est à son niveau que se produit la « catastrophe de Poincaré ».
L’atome en interaction avec le champ qu’il induit ne constitue pas, en effet, un système intégrable et ne peut donc pas plus être représenté par l’évolution de fonction d’onde qu’un système classique caractérisé par des points de résonance ne peut être caractérisé par une trajectoire. C’est là la faille que recélait l’édifice impressionnant de la mécanique quantique. (…) Il est significatif que, partout, nous ayons rencontré la notion de « brisement de symétrie ». Cette notion implique une référence apparemment indépassable à la symétrie affirmée par les lois fondamentales qui constituent l’héritage de la physique. Et, en effet, dans un premier temps, ce sont ces lois qui ont guidé notre recherche. (…) La description à symétrie temporelle brisée permet de comprendre la symétrie elle-même comme relative à la particularité des objets autrefois privilégiés par la physique, c’est-à-dire de situer leur particularité au sein d’une théorie plus générale. »

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