La loi logique du tiers exclu est-elle antidialectique ? Le constructo-intuitionnisme mathématique de Brouwer est-il proche d’un point de vue marxiste ?

La loi logique du tiers exclu est-elle antidialectique ? Le constructo-intuitionnisme mathématique de Brouwer est-il proche d’un point de vue marxiste ?

En mathématiques et en logique, le courant dit « intuitionniste » ou « constructiviste » est souvent présenté comme un courant très minoritaire, marginal, sectaire. Ce courant est lié au nom de son fondateur le mathématicien hollandais L.E. J. Brouwer (1881-1966).

Cet article a pour but présenter quelques idées de base de ce courant, en lien avec le matérialisme dialectique.
Cette analyse diffère de celle de camarades de RGF (Robin Goodfellow) qui écrivent (cf http://www.robingoodfellow.info/ ) :

Bien avant que la logique formelle ne démontre que, même dans son cadre intellectuel étriqué, elle
était rattrapée par la complexité de la réalité, la dialectique avait envoyé par le fond sa prétention à
appréhender correctement l’ensemble du réel. Que la logique formelle puisse se mouvoir à son aise
dans la sphère mathématique où par définition, on pose la non identité des contraires, le tiers
exclu, etc. et que donc, par un renversement curieux, mais conforme à l’idéologie de la
métaphysique, de l’échelle des valeurs, les mathématiques apparaissent comme la reine des sciences
ne signifiait pas que la logique formelle, passée certaines limites, ou un certain type d’usage, elle ne
rencontre pas des difficultés (y compris dans son champ de prédilection) pour appréhender
correctement la réalité. Ce n’est pas non plus que la dialectique méprise la logique formelle. La
dialectique ne nie pas les résultats puissants que cette logique a obtenu et obtient. Elle reconnaît sa
puissance et son efficacité quand elle arrive à déployer sa méthode. Elle n’en oublie pas non plus sa
beauté. Il suffit de voir revenir les mathématiciens de leurs voyages, les yeux encore éblouis de ce
qu’ils ont vu.

Qu’entend RGF par logique formelle, cadre étriqué, irruption de la dialectique ? Plantons le décor. Une révolution scientifique eut lieu dans la question du fondement des mathématiques, disons pour clarifier entre 1879 et 1931, d’une brochure écrite par G. Frege à un article écrit par K. Gödel. Or c’est dans le cadre de la logique la plus formelle, la plus traditionnelle, la plus aristotélicienne que ces logiciens ont révolutionné les maths, montré les limites de la logique formelle.

Dans le domaine des mathématiques formelles, la dialectique fit irruption, engendrée par le formalisme le plus rigide lui-même. C’est le sens de l’article de Gödel de 1931, qui conclut le travail entreprit par Frege en 1879. Il n’y a même pas un domaine où la logique formelle peut régner en maitre, il n’y a pas besoin de faire appel au monde extérieur pour que la dialectique fasse irruption dans une logique a-priori anti-dialectique. C’est cet aspect que sous-estime à mon avis RGF dans le passage ci-dessus.

Résumons cet épisode 1879-1931. Les formalistes comme Frege dirent à partir de 1879 : Ok, les maths ne représentent pas le réel, nous le savons depuis la crise de la géométrie euclidienne (Gauss, Bolyai, Lobashevski), mais laissez-nous construire un système formel auto-suffisant, qui ne pose plus la question des liens entre matière et pensée, qui ne se pose pas la question du matérialisme ou de l’idéalisme. Or leur système auto-suffisant, à peine né ... a crié pour appeler le monde extérieur. Tout cela dans le domaine de la logique traditionnelle d’Aristote. Le caractère de la logique traditionnelle n’est donc pas étriqué. Les eaux lisses et glacées du langage formel créé par Frege, entrent en bouillonnement dialectique 50 ans après.

Intuitionnisme, constructivisme, rejet de la loi du tiers-exclu

Des termes qui apparaissent dans ces discussions sur la "faillite de la logique traditionnelle" sont « intuitionnisme », « constructivisme », rejet de la « logique traditionnelle », de la « logique d’Aristote », de la « loi du tiers-exclu » etc.

Bref tout un jargon qui peut faire fuir le non spécialiste. Comme celui de Lutte des classes, Dictature du prolétariat, Dictature démocratique des ouvriers et des paysans etc. Il suffit de replacer ces termes dans l’histoire, les crises scientifiques et sociales qui les ont fait naitre pour les comprendre

Bien avant que la logique formelle ne démontre que, même dans son cadre intellectuel étriqué, elle
était rattrapée par la complexité de la réalité, la dialectique avait envoyé par le fond sa prétention à
appréhender correctement l’ensemble du réel.
écrivent les camarades de RG. Mais :

Qu’est-ce que la logique formelle ?

Deux grandes étapes la définissent bien. Dans son livre Premiers analytiques, Aristote décrit tous les syllogismes, quelques siècles plus tard sa classification a été formalisée par la scolastique, c’est un édifice magnifique mais qui peut paraitre stérile, car il ne fait que formaliser le bon sens. (Tout petit pois est vert, ma chemise est verte, ma chemise est donc un petit pois : a-t-on besoin d’Aristote pour voir que ce raisonnement est invalide ?) Mais même ce pas d’Aristote vers un formalisme verbal, davantage symbolique par ses continuateurs du moyen-âge, est un progrès énorme. Que le lecteur imagine devoir écrire un programme pour qu’un ordinateur décide si le syllogisme précédent est valide ou non, il ne fera que reprendre le formalisme d’Aristote. Première conclusion : la logique formelle a connu une renaissance avec le développement de l’informatique. Son cadre est moins étriqué qu’il ne semble. La formalisation du bon sens est déjà un progrès.

Une deuxième étape fondamentale est l’article Begriffsschrift (ne pas essayer de prononcer) du mathématicien Gottlob Frege en 1879. On peut le voir comme l’article fondateur de la logique formelle moderne. C’est le point de vue de l’ex-trotskyste J. Heijenoort qui ouvre son recueil « A source book in mathematical logic (1879-1931) » par cet article. Beaucoup du vocabulaire et du symbolisme utilisé aujourd’hui proviennent de Frege. Frege introduit le germe d’une distinction révolutionnaire : la notion de Théorème et celle de Vérité.

Un Théorème, comme le théorème de Pythagore, est une affirmation qu’on peut obtenir après une démonstration. On utilise des règles mécaniques des preuves mathématiques. Etre une vérité est autre chose. Est-ce qu’un Théorème est une vérité, est-ce qu’une vérité est un théorème ? C’est ce qu’on apprend à l’école : c’est vrai, donc argumentez pour démontrer ! C’est obtenu suite à un raisonnement donc c’est vrai ! Aujourd’hui encore un étudiant qui entend en cours de logique : oubliez qu’un théorème est vrai et qu’une vérité est appelée théorème, est choqué. C’est cette voie ouverte par Frege en 1879 qui aboutira au résultat de Gödel en 1931. Cette logique formelle n’a donc rien d’étriqué ! Car Gödel qui a mis fin au rêve de la logique formelle de Frege, a utilisé le langage créé par Frege

Que vient faire la loi du tiers-exclu dans tout cela ? La loi du tiers-exclu dit qu’une affirmation est soit vraie, soit fausse, et qu’il n’y a pas de troisième possibilité. On sait que Hegel pourfendit cette vision statique, et c’est le B-A BA de la dialectique de comprendre que tout phénomène est contradictoire. Il est donc tentant de voir dans le rejet de la loi du tiers-exclu, dans le rejet de la logique d’Aristote l’irruption de la dialectique dans les mathématiques. Et réciproquement de penser que le rejet de la loi du tiers-exclu est le premier pas dialectique. C’est ce que semblent dire les camarades de RGF :

Que la logique formelle puisse se mouvoir à son aise
dans la sphère mathématique où par définition, on pose la non identité des contraires, le tiers exclu, etc.

Or la loi du tiers-exclu ne fait pas partie des axiomes obligatoires de la logique formelle. Ainsi des systèmes de logique tout à fait formels n’incluent pas la loi du tiers exclu dans leur axiomes. Frege a introduit le loup dans la bergerie en donnant une souplesse énorme à la logique formelle.

De même contrairement à ce qu’écrit RGF en mathématiques on ne pose pas « par définition » la non-identité des contraires. Un des problèmes du mathématicien Frege était de trouver une méthode pour s’assurer que l’édifice mathématiques ne comportait pas de contradiction. Frege pensait trouver cette solution dans la création d’un langage formel défini de façon tellement claire qu’on peut prouver que si on démontre un résultat, on n’arrivera pas à démontrer son contraire. L’impossibilité d’obtenir deux résultats contradictoires n’est pas une définition en maths, c’est justement ce que voulaient prouver les mathématiciens, et Frege a eu l’idée d’utiliser le langage mécanique, formel de la logique pour en déduire des propriétés de l’édifice des mathématiques (Gödel démontra que ça ne marche pas). Il construit un alphabet, un langage pour réaliser les rêves de Descartes et Leibniz.

Première conclusion : la logique mécanique, ultra formaliste peut se passer de la loi du tiers-exclu. Bannir la loi du tiers exclu n’a rien de révolutionnaire en logique formelle. Si on on n’utilise pas la loi du tiers-exclu comme axiome, on obtient une logique formelle dite "intuitionniste", ou "constructiviste", très formelle.

Car c’est dans le cadre de cette logique formelle que Brouwer a fait naitre son courant dit "intuitionniste", ou "constructiviste" . Un des courants les plus polémiques de la philosophie des mathématique se place dans le cadre de cette logique formelle.

Brouwer rejette-t-il la loi du tiers exclu ? Non !

Brouwer a écrit un texte intitulé « Sur la signification du principe du tiers-exclu en mathématiques, en particulier dans la théorie des fonctions » (1923), reproduit dans le livre cité plus haut de Heijenoort. Voyons ce qu’il dit par rapport à la loi du tiers exclu.

Rappelons tout d’abord
la première Thèse sur Feuerbach de Marx :

Le principal défaut, jusqu’ici, du matérialisme de tous les philosophes – y compris celui de Feuerbach est que l’objet, la réalité, le monde sensible n’y sont saisis que sous la forme d’objet ou d’intuition, mais non en tant qu’activité humaine concrète, en tant que pratique, de façon non subjective.

Car c’est avec cette thèse
qu’on peut chercher les liens entre la vision de Brouwer et le marxisme, plus que dans son prétendu rejet de la loi du tiers exclu. Brouwer voit dans les mathématiques une activité de l’homme face
au monde extérieur, pas comme la découverte de vérités éternelles qui restent à découvrir, comme le dit le Platonisme.
Brouwer écrit en effet

Les mathématiques, la science et le langage sont les principales fonctions de l’activité humaine au moyen desquelles il contrôle la nature et maintien un ordre dans son milieu.

Donc les mathématiques sont liés à une époque, à un mode de production donné (même si Brouwer n’emploie pas ce terme). Il n’y a pas de science immuable valable avec toutes les époques. Donc même les principes de a logique sont soumis à une évolution. Utiliser des règles de logique éternelles et valable en tout domaine, c’est ce que refuse Brouwer. Donc il ne rejette pas à 100% la loi du tiers-exclu, ce serait tomber dans la même erreur que de l’utiliser dans 100% des cas.

En quoi Brouwer rejette/ ne rejette pas la loi du tiers-exclu

Brouwer a donc dénoncé l’utilisation systématique de la loi du tiers-exclu, mais pas cette loi en elle-même dans des cas particuliers. Son apport est justement de dire qu’il n’ya pas de règle de pensée indépendante des objets qu’on étudie, même en mathématiques. Rejeter systématiquement la loi du tiers exclu serait aussi métaphysique que l’adopter systématiquement.

Deuxième conclusion : rejeter la loi du tiers exclu n’a rien de dialectique en soi.

Qu’est-ce vraiment que la loi du tiers-exclu ? On peut abstraire cette loi de l’expérience quotidienne, prenons un exemple simple. Tout enfant qui joue au jeu des 7 familles avec un seul autre joueur, sait que s’il lui manque une seule carte pour compléter une famille, soit c’est l’autre joueur qui a la carte, soit cette carte est dans la pioche. Il n’y a pas de troisième possibilité. S’il demande la carte et que l’autre joueur ne l’a pas, l’enfant pioche. Si ça ne marche pas, il recommencera au tour suivant, et comme il n’y a qu’un nombre fini et relativement petit de cartes dans la pioche, le problème sera résolu en un nombre fini d’étapes, avant l’heure du gouter. Il n’y a pas de troisième joueur mystérieux qui a la carte. L’enfant en a l’intuition, a une méthode infaillible pour faire apparaitre la carte. Le principe du tiers-exclu s’applique dans ce cas-là , et Brouwer ne le remet pas en cause. Il l’écrit dans son article de 1923 (avec un exemple plus mathématique que le jeu des 7 familles). Donc Brouwer ne remet pas en cause le principe du tiers exclu en lui-même

Ce que Brouwer remet en cause c’est son application à des cas où on ne peut pas construire de recette pour trouver ou construire un objet. Il ne s’agit même pas de nier que cet objet existe, est quelque part, mais si on ne peut pas construire concrètement une recette, on ne peut pas construire de nouveaux résultats sur cette construction hypothétique.

Prenons un autre exemple. Dans un groupe de 400 personnes, on est sûr que deux d’entre elles fêtent leur anniversaire le même jour. Et on peut trouver deux de ces personnes. On dessine sur le sol 365 cercles, chacun correspondant à un jour de l’année écrit dans le cercle. 400 personnes doivent se placer dans 365 cercles, certains cercles comprendront au moins deux personnes, et le problème est résolu. Il est analogue au jeu des 7 familles. On a une méthode qui permet de trouver les deux personnes en quelques minutes. Mais déjà dans ce cas Brouwer objecte à juste titre : ces être humains ne sont pas des abstractions, un jour de naissance est le résultat du passé. Parmi ces 400 personnes, il se peut que 200 ne connaissent même pas leur jour de naissance, car elles sont nées dans un pays où l’Etat civil ne fonctionnait pas. Quand les objets sont issus de l’Histoire, notre connaissance peut être limitée. Donc Brouwer conteste l’application du tiers-exclu dans même dans des cas où l’infini n’intervient pas. Imaginons que notre but était d’organiser une fête collective en s’appuyant sur un groupe de personnes qui ait quelque chose en commun, le jour de leur anniversaire. On sait que ces deux personnes existent dans le groupe de 400, mais on ne peut pas passer à l’étape suivante si on n’a pas concrètement les deux personnes. On ne peut pas construire la fête en s’appuyant sur ces deux personnes. Donc le résultat : au moins deux des 400 personnes ont le même jour anniversaire n’est pas admis dans les mathématiques constructivistes, car on ne peut rien construire en s’appuyant sur ce résultat. Mais si on sait que les 400 personnes sont nés en France et que leur date de naissance est fiable, Brouwer acceptera ce raisonnement.

Le principe de Brouwer est donc qu’un type de raisonnement ne peut pas s’appliquer indifféremment à tous les objets, toutes les situations mais il ne rejette pas les "lois traditionnelles" de la logique comme le tiers-exclu. Le critère suprême reste la possibilité de construire en un nombre fini d’étapes un objet. C’est pour cela que son courant a aussi reçu le nom de « constructiviste »

Conclusion  : comme dans les thèses sur Feuerbach, la notion de travail humain , d’histoire, de temps est essentielle dans la vision qu’a Brouwer des mathématiques. En cela Brouwer est incontournable pour les marxistes qui s’intéressent à la philosophie des mathématiques. C’est une base indispensable.

Et l’épisode 1879-1931 est un exemple de l’histoire des sciences où des adversaires philosophique de la dialectique comme Frege, Russel (l’école logico-formaliste) veulent faire disparaitre la dialectique de la science, et ne font que forger les outils qui permettent à la dialectique de prendre la forme adaptée à ce domaine scientifique.

Un camarade de RGF posait la question du lien entre des axiomes d’un système formel et la dialectique. Un début de réponse est que c’est le résultat de Gödel de 1931 qui a montré que des axiomes (dont la "réactionnaire" loi du tiers exclu !) contiennent en leur sein des affirmations vraies qu’ils ne suffiront pas eux mêmes à démontrer. La vérité d’un système d’axiome est à trouver dans les axiomes qui sont absents. Le tout est plus que la somme de des parties, Hegel avait déjà mentionné cet aspect de la science formelle.

Pas besoin donc de stigmatiser la loi du tiers-exclu et la logique "traditionnelle", regardons comment entre 1879 et 1931 elles ont mis en lumière, dans leur propre cadre, les contradictions, limitations dialectique qu’elles contiennent.