Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?

Le mathématicien et ingénieur Lazare Carnot (1753 ; 1823) :

« Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? »

« L’usage des nombres négatifs conduit à des conclusions erronées. »

"Géométrie de la position", 1803.

Maclaurin qui exprime en 1742 dans son "Traité des Fluxions" ce doute planant encore sur l’adhésion par les mathématiciens pour les quantités négatives :

« L’usage du signe négatif en algèbre donne lieu à plusieurs conséquences qu’on a d’abord peine à admettre et ont donné l’occasion à des idées qui paraissent n’avoir aucun fondement réel. »

Il faut dire qu’à cette époque les besoins pour les sciences des quantités négatives sont plutôt rares.

En 1746 dans "Eléments d’algèbre", le mathématicien et astronome français Alexis Clairaut (1713 ; 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération :

« On demandera peut-être si on peut ajouter du négatif avec du positif, ou plutôt si on peut dire qu’on ajoute du négatif. A quoi je réponds que cette expression est exacte quand on ne confond point ajouter avec augmenter. Que deux personnes par exemple joignent leurs fortunes, quelles qu’elles soient, je dirai que c’est là ajouter leurs biens, que l’un ait des dettes et des effets réels, si les dettes surpassent les effets, il ne possédera que du négatif, et la jonction de la fortune à celle du premier diminuera le bien de celui-ci, en sorte que la somme se trouvera, ou moindre que ce que possédait le premier, ou même entièrement négative. »

Au début du XIXème siècle encore, les négatifs n’ont pas acquis le statut de « nombre ». Un nombre est nécessairement positif. Une quantité, telle une dette, peut prendre une valeur négative en la définissant par opposition à une quantité positive. Mais cette quantité n’est pas considérée comme un nombre en tant que tel.

En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son "Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou -.

« Le signe + ou – placé devant un nombre en modifiera la signification, à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif. »

Comme on le voit, il n’y a pas bien longtemps, cela n’apparaissait pas du tout évident !!!