Des objets mathématiques continus ou discontinus ?
27 juillet 2010, 20:43, par Robert Paris
« Tout ce qu’on peut en déduire, c’est que deux points seulement, ou trois, ou quatre, ou même un ensemble fini d’entre eux, ne sauraient produire de l’étendue. Nous-mêmes avouons tout cela et ajoutons que même un ensemble infini de points ne suffit toujours pas à produire un continuum, à produire par exemple une ligne, même très courte, si ces points n’ont pas l’arrangement voulu.
Essayons en effet de nous faire une idée claire du concept compris dans les mots « étendue continue ou continuum ». Nous serons forcés de dire qu’un continu ne se trouve que là, et là seulement, où une collection d’objets simples (points du temps ou de l’espace, substances) est telle que pour chacun de ses objets pris à part, et pour toute distance arbitrairement petite, il existe toujours au moins un voisin appartenant à la collection. »
Bernard Bolzano dans « Les paradoxes de l’infini »
« La continuité qui nous est donnée directement par l’intuition (dans l’écoulement du temps et du mouvement) doit encore être saisie mathématiquement comme un ensemble de discrètes « étapes », conformément à cette partie de son contenu qui peut être conceptualisé de manière exacte. (...) Le temps exact (ponctuel) ou l’espace-point ne sont pas le nec plus ultra, qui sous-tendent les éléments atomiques de durée ou d’extension tels que nous la donne l’expérience. (…) Le continuum est divisé en éléments isolés, et l’écoulement des uns par rapport aux autres de chacune de ses pièces est remplacé par certaines relations conceptuelles entre ces éléments, sur la base d’une relation d’échelle entre grand et petit. C’est pourquoi je parle de
conception atomistique du continuum. »
« Tout ce qu’on peut en déduire, c’est que deux points seulement, ou trois, ou quatre, ou même un ensemble fini d’entre eux, ne sauraient produire de l’étendue. Nous-mêmes avouons tout cela et ajoutons que même un ensemble infini de points ne suffit toujours pas à produire un continuum, à produire par exemple une ligne, même très courte, si ces points n’ont pas l’arrangement voulu.
Essayons en effet de nous faire une idée claire du concept compris dans les mots « étendue continue ou continuum ». Nous serons forcés de dire qu’un continu ne se trouve que là, et là seulement, où une collection d’objets simples (points du temps ou de l’espace, substances) est telle que pour chacun de ses objets pris à part, et pour toute distance arbitrairement petite, il existe toujours au moins un voisin appartenant à la collection. »
Bernard Bolzano dans « Les paradoxes de l’infini »
« La continuité qui nous est donnée directement par l’intuition (dans l’écoulement du temps et du mouvement) doit encore être saisie mathématiquement comme un ensemble de discrètes « étapes », conformément à cette partie de son contenu qui peut être conceptualisé de manière exacte. (...) Le temps exact (ponctuel) ou l’espace-point ne sont pas le nec plus ultra, qui sous-tendent les éléments atomiques de durée ou d’extension tels que nous la donne l’expérience. (…) Le continuum est divisé en éléments isolés, et l’écoulement des uns par rapport aux autres de chacune de ses pièces est remplacé par certaines relations conceptuelles entre ces éléments, sur la base d’une relation d’échelle entre grand et petit. C’est pourquoi je parle de
conception atomistique du continuum. »
Herman Weyl dans « Le continuum »