Matière et Révolution

La discontinuité dans la conception de Friedrich Hegel

Robert Paris — 2025-06-14T22:05:00Z

La discontinuité dans la conception de Friedrich Hegel

« On dit que la nature ignore les bonds (...) or le changement n'est pas seulement quantitatif mais aussi qualitatif et consiste dans quelque chose de nouveau, d'autre, dans la rupture de la forme ancienne de l'être. »

Hegel dans « Science de la Logique »

« D'une part, la disparition apparaît comme inattendue quand on peut changer la quantité sans toucher à la qualité et à la mesure, - d'autre part, on croit la rendre intelligible par l'idée de gradualité. On se rabat avec tant de facilité sur cette catégorie pour représenter ou pour expliquer la disparition d'une qualité ou de quelque chose, parce que de cette façon la disparition semble s'accomplir devant vos yeux ; en effet, la quantité étant déterminée comme limite extérieure, la transformation purement quantitative se comprend d'elle-même. Mais en fait on n'explique rien ; la transformation est essentiellement le passage d'une qualité en une autre. (...) Ce qui est faux, c'est le comportement ... de notre conscience ordinaire qui considère une quantité comme une limite indifférente seulement... La ruse du concept consiste à saisir un être déterminé par le côté où sa qualité ne semble pas entrer en jeu. »

Hegel dans « La Grande Logique »

« Expliquer une naissance ou une disparition par la gradualité du changement entraîne l'ennui d'une tautologie ; une telle explication présuppose que le naissant ou le disparaissant sont prêts d'avance, le changement devient un simple déplacement d'une différence. »

Hegel dans « Phénoménologie de l'Esprit »

Les philosophes avaient, de longue date, remarqué les paradoxes logiques du grain et du tas de grains et autres paradoxes du continu/discontinu, qui ont fait partie des grandes découvertes philosophiques et scientifiques de Zénon d'Elée comme de celles de Friedrich Hegel.

Zénon comme Hegel ne renvoyaient pas dos à dos discontinuité et continuum et tous deux reconnaissaient le caractère fondamental et universel de la discontinuité, du saut, du changement radical et brutal comme de la quantification de l'univers.

En employant la rupture en deux parties de la dichotomie, Zénon rompait sans cesse tous les continuums apparents.

Si Hegel soulignait que continu et discontinu étaient deux parties inséparables de la contradiction, il retenait que l'univers fonctionnait pas des sauts et donnait à la discontinuité, celle de la réalité comme de son changement, du domaine matériel comme de celui de la pensée, son caractère universel.

C'est le philosophe G.W.F Hegel qui a incontestablement été le fondateur de la plus importante philosophie du discontinu, la dialectique. Hegel écrit dans « Science de la Logique » : « La nature ne fait pas de bond », dit-on ; et l'opinion ordinaire, quand il s'agit de comprendre l'avènement ou la disparition, s'imagine (...) les comprendre en se les représentant comme avènement ou disparition graduels. Mais il s'est déjà manifesté que les changements de l'être ne sont pas le passage d'une quantité en une autre quantité, mais le passage du qualitatif au quantitatif, et inversement, la transition en un autre qui est une interruption du graduel et un changement qualitatif par rapport à l'être déterminé antérieur. L'eau refroidie ne devient pas peu à peu dure (...) L'Etat a une mesure de sa grandeur quantitative au-delà de laquelle il s'écroule intérieurement sous la même constitution qui, avant son extension, faisait son bonheur et sa force. »

La philosophie d'Hegel montre que le mouvement et le changement ne peuvent s'interpréter que comme l'action des contradictions internes préexistantes et menant à une rupture avec changement qualitatif, le système pouvant sauter d'un ordre à un autre parce que ses contradictions internes basculent brutalement d'une forme à une autre.
Hegel écrit dans sa « Logique » que « Quand on veut se représenter l'apparition ou la disparition de quelque chose, on se les représente ordinairement comme une apparition ou une disparition graduelles. Pourtant, les transformations de l'être sont non seulement le passage d'une quantité à une autre, mais aussi le passage de la quantité à la qualité et inversement, passage qui entraîne la substitution d'un phénomène à un autre, est une rupture de progressivité. » Il remarque que cette constatation a un caractère universel, allant de la nature à la société. Dans tous ces domaines, il démontre la nécessité de philosopher sur la transformation qualitative et de ne pas se contenter d'une philosophie de l'observation d'objets fixes en déplacement. Le lien entre changement qualitatif et quantitatif, dans les deux sens, signifie reconnaître l'interaction d'échelle. Le mouvement est inséparable du changement, car il est impossible qu'il y ait un déplacement s'il n'y a pas un changement d'état. Le changement et le mouvement nécessitent d'être étudiés à l'aide de concepts intégrant cette capacité de transformation, donc des concepts qui ne soient ni absolus ni éternels.

Etudier les sciences, ce n'est pas seulement mesurer et trouver des transformations numériques. C'est dévoiler la source de cette capacité de la nature de produire du neuf, spontanément et sans action extérieure. La mutation de philosophie est considérable. Hegel rompt avec les notions métaphysiques. L'interaction remplace la notion ancienne de « force », dans laquelle l'action était forcément extérieure. Le mouvement n'est pas le produit d'un énergétisme ni la vie d'un vitalisme. La constance est conçue comme le produit de la transformation et elle a pour produit une transformation. L'adaptation est guidée par le mécanisme de conservation et non par un but de transformation. C'est également la conservation qui contraint aux transformations brutales en ayant accumulé des contradictions. Le négatif est au sein du positif et le positif au sein du négatif. La négation est indispensable à la construction. Ce qui existe mérite de périr parce qu'il contient déjà les contradictions qui causeront sa perte. Hegel écrit dans « Histoire de la philosophie » : « Il faut rendre justice à l'aspect négatif ... On doit reconnaître la contradiction présente dans l'existence (...). »

Hegel, lui-même, a parfaitement conscience que dire cela c'est faire l'éloge de la révolution puisqu'il enchaîne sur la révolution française de 1789 de la manière suivante : « Les vieilles institutions n'avaient plus de place dans le sentiment développé de la liberté consciente (...). On se comporta destructivement contre ce qui était déjà détruit intérieurement. » A l'image de la révolution française, le processus décrit par Hegel est un développement des contradictions internes du système qui, atteignant un seuil, abolissent brutalement l'ancien ordre. Hegel ne cesse de l'affirmer : l'ordre social, lui-même, contient ses propres contradictions comme toute autre structure. Karl Marx soulignait ce caractère révolutionnaire de la philosophie d'Hegel : « Sous sa forme rationnelle, la dialectique n'est, aux yeux de la bourgeoisie et de ses théoriciens, que scandale et horreur, parce que, outre la compréhension positive de ce qui existe, elle englobe également la compréhension de la négation, de la disparition inévitable de l'état des choses existant ; parce qu'elle considère toute forme sous l'aspect du mouvement, par conséquent aussi sous son aspect transitoire ; parce qu'elle ne s'incline devant rien et qu'elle est, par son essence, critique et révolutionnaire. »

Devons nous interroger un philosophe comme Hegel pour réfléchir aux propriétés de la nature comme la continuité ou la discontinuité ? Ne suffit-il pas d'observer scientifiquement les phénomènes physiques ? L'univers est-il un phénomène rationnel ou irrationnel, déterministe ou indéterministe, réversible ou irréversible, fini ou infini, linéaire ou non-linéaire, moniste ou dualiste, réductionniste ou holiste, agissant par action positive ou par négation ? La réponse nécessite une étude scientifique mais aussi une réflexion philosophique. Les concepts qu'utilise la science n'ont pas été cueillis dans la nature mais dans la philosophie. Les paramètres que l'on mesure lors des expériences ont été conçus par les scientifiques et ne sont pas imposés directement par la nature. Les raisonnements sur la nature n'ont pas été écrits sous la dictée des conditions naturelles mais dans celles de la pensée humaine.

La science examine le monde, mais elle est obligée de supputer, de raisonner, de bâtir des mécanismes de pensée que la nature n'a pas directement dictés. Certains auteurs continuent à prétendre que la science de la nature, ou que la mathématique, est fondée sur des propositions indiscutables. C'est faux. La science de la nature n'est pas nécessairement plus objective que les autres domaines de la pensée et de la société humaine. Même les éléments de sciences apparemment les plus indépendants de la pensée et les sciences apparemment indépendantes des objets de la nature, comme les mathématiques, ne le sont pas. Beaucoup affirment qu'Hegel lui-même ne pourrait pas contredire que « un plus un égale deux ». Et pourtant, le nombre « un » est déjà un concept philosophique et non une simple observation de la nature. Et dans la nature, un plus un peut faire plus que deux ! Les sciences s'appuient sur un grand nombre d'a priori philosophiques, sans nécessairement en avoir conscience, ni les remettre régulièrement en question. Même si les sciences sont réputées objectives, nous avons absolument besoin de concepts philosophiques pour raisonner.

Continu ou discontinu, gradualiste ou saltationniste, voilà deux autres questions philosophiques que nous posons à l'univers. Prétendre que le gradualisme et le continuisme, selon lesquels le monde évolue doucement et régulièrement, seraient des constatations issues directement de l'observation est aussi faux que d'affirmer que ce serait la discontinuité qui fonderait l'univers de façon évidente. Au fait, pourquoi le monde ne serait-il pas parfois continu et, à d'autres moments, discontinu ? C'est un problème que nous allons également examiner et nous constaterons que les deux conceptions sont antithétiques : l'univers est continu ou discontinu mais pas l'un des deux suivant les circonstances. Le préjugé selon lequel « la nature ne fait pas de bonds » a été considéré longtemps comme une évidence sans même qu'il y ait des preuves scientifiques et a été ouvertement présenté par les scientifiques eux-mêmes comme un choix philosophique. Un des arguments de Lyell, en faveur du graduel et de la continu, dans ses « Principes de géologie » est justement le manque de connaissance : « Dans notre ignorance de l'origine et de la nature du feu volcanique, il semble plus conforme à la prudence philosophique de croire qu'il n'y a point d'instabilité dans cette partie du système terrestre. »

L'unité des contradictions du continu et du discontinu pour Hegel :

https://www.google.fr/books/edition/La_science_universelle/a_PvDwAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Hegel+discontinu&pg=PT95&printsec=frontcover

La théorie des catastrophes

Robert Paris — 2021-06-09T22:05:00Z

La théorie des catastrophes

La matière : un monde en transitions

Robert Paris — 2020-10-11T22:05:00Z

Introduction

Ce que chacun a retenu des états de la matière est l'existence de trois états : solide, liquide et gaz, mais il faut aller bien au-delà de ces oppositions et on va voir que des états, la matière en connaît bien d'autres. Le fondement de ces divisions n'est pas compréhensible si on se contente de ces trois états. La manière la plus fondamentale de poser le problème oppose d'ailleurs deux états qui sont non seulement opposés mais unis au sein d'un même complexe dialectique. Ces deux là sont l'ordre et le désordre.
En effet, ce qui distingue les états n'est pas la composition ni la forme des molécules mais leurs interactions dues à la concentration de la matière. C'est la densité de matière qui compte et engendre des propriétés et des structures. Or cette densité de matière qui semblerait à première vue continue et uniforme ne l'est nullement. Elle est discontinue et dépend de l'échelle de grandeur où on l'observe, ce qui change complètement l'image que l'on a de la matière. La meilleure preuve de cette discontinuité et inhomogénéité qui cause le changement de densité suivant l'ordre de grandeur où on l'étudie est le ciel bleu. Si la densité était continue et uniforme, indépendante des échelles jusqu'au niveau submicroscopique, nous verrions au dessus de nos têtes un ciel noir comme le voient les cosmonautes qui se retrouvent dans l'espace loin de la terre.

Changement de densité suivant les échelles suppose un mélange d'ordre et de désordre. Ordre parce que la matière est discontinue, atomique, moléculaire et que ces atomes et ces molécules sont entourés par un très grand vide. Plus il est grand plus il y a de désordre. Plus il est petit, plus il y a d'ordre…

La matière est un complexe d'ordre et de désordre. L'ordre est conservation de liaisons et de structures. Le désordre est agitation et modification des liaisons et des structures. On n'a jamais l'un sans l'autre. Chaque structure est issue de l'agitation. Chaque ordre est issu du désordre. C'est le désordre moléculaire qui permet la formation la plus ordonnée : celle du cristal. Ce dernier est en effet le remplissage dans tous les « trous » de molécules, remplissage réalisé grâce à l'agitation.

L'ordre en termes d'états est le solide cristallisé.
Le désordre en termes d'état est soit liquide, soit gaz, soit solide amorphe, soit plasma, ce qui est déjà bien plus large que les seuls fluides (liquide ou gaz).

Mais ces divisions n'empêchent pas que l'ordre et le désordre soient sans cesse imbriqués.

Il faut d'autre part remarquer les changements permanents au sein d'une structure ou d'un matériau. Ils sont indispensables y compris pour obtenir la conservation globale d'un état, d'une transition entre deux états ou de la stabilité d'un matériau.

Les ordres et les désordres sont sans cesse interagissants.

Les ordres proviennent d'interactions qui sont elles-mêmes du désordre…

La classification des différents états de la matière a été réalisée en considérant essentiellement la densité de matière. La raison en est que cette densité conduit à une importance plus ou moins grande des interactions entre molécules, à un parcours plus ou moins « libre » des molécules. On appelle donc désordre un état dans lequel les molécules s'ignorent le plus mutuellement et ordre un état dans lequel elles ne peuvent pas du tout se placer « librement » ou indépendamment…

Entre les deux, il y a de multiples de degrés et modes d'organisation qui couplent ordre et désordre, qui couplent même deux ou plusieurs états coexistant et dont l'opposition est une interaction. L'équilibre d'une surface d'eau séparant les deux phases liquide et gaz est le produit de molécules qui s'éloignent de la surface et d'autres qui y retournent, le tout dans un mouvement permanent.

Comme le montre l'exemple de la neige, le changement d'organisation est la base même de toute la dynamique….

Qu'est-ce qu'un changement d'état de la matière

Un monde matériel sans cesse en transition

La matière peut se présenter sous plusieurs états sans que les molécules qui la constituent ne changent. Chacun connaît les ordres matériels qui ont pour nom solide, liquide ou gaz et on sait aussi que l'on peut passer d'un état à un autre, ce que l'on appelle une transition de phase. Il y a la phase liquide, la phase solide et la phase gazeuse et cela dépend de la température, de la pression et du volume. Ces choses là sont bien connues mais elles pourraient donner une image fausse de la matière.

On imagine de la glace dans une casserole en train de bouillir : elle passe de l'état solide à l'état liquide puis à l'état gazeux sous l'action extérieure de la chaleur. Donc on est amenés à penser que « naturellement » la matière ne changerait pas d'état.

On pourrait penser aussi qu'une matière existant entièrement à l'état solide passe globalement et entièrement à l'état liquide puis gazeux. Or, en général, toute matière existe simultanément dans plusieurs phases et des portions d'elle passent sans cesse d'un état à un autre. En somme, on doit passer d'une image statique à une image dynamique. Nous devons bien sûr nous rappeler que c'est la même molécule d'eau qui appartient à ces différents états et donc ce n'est pas le contenu en termes d'atomes de la molécule qui change d'un état à l'autre mais les interactions entre molécules. L'état est donc un effet collectif auto-organisé. L'état est émergent. D'autre part, il faut prendre conscience que, même s'il y a bel et bien un saut d'un état à un autre, on peut très bien se maintenir dans un état alors que l'on devrait être dans un autre. Pour l'eau, par exemple, on aura la surfusion si on a un liquide maintenu dans cet état alors que les conditions de température et de pression indiqueraient le contraire.

Nous voyons donc plusieurs raisons de ne pas considérer les états de la matière comme des situations entièrement séparées, distinctes : nous devons les considérer comme des contraires dialectiques, dépendants les uns des autres, transposables les uns dans les autres, capables de coexister au sein d'un matériau, dépendant d'une même dynamique. Les passages d'un état à un autre sont des sauts qui ne sont pas nécessairement réversibles.

Ce qui distingue l'état solide, c'est la cristallisation. Il n'y a pas seulement des molécules plus ou moins proches les unes des autres, cognant les unes sur les autres du fait du mouvement brownien. Ces molécules constituent alors une structure d'ensemble qui reproduit des motifs géométriques qui sont la forme la plus économique, l'attracteur de la dynamique alors que cela n'est pas le cas pour le liquide ou le gaz. Mais l'existence de motifs géométriques particulièrement symétriques, représentant des minimums d'énergie et donc des attracteurs stables ou du moins durables de la structure, a une autre conséquence : le fait qu'il peut y avoir plusieurs sortes de motifs structurels symétriques. Cela dépend du type de molécule et des motifs que cela permet de réaliser. Du coup, le solide peut avoir de multiples formes possibles et sauter d'une à une autre.

Prenons l'exemple bien connu de l'eau. Nous la connaissons bien sous ses trois formes. Il est solide sous forme de glace ou de neige. Il est liquide sous la forme que nous utilisons le plus souvent. Si on le chauffe, on voit sortir de la vapeur d'eau, sa forme gazeuse.

Cependant, la réalité n'est pas simplement ou solide ou liquide ou gaz. Par exemple, au sein d'un nuage, les trois phases coexistent. Le nuage est même la structure globale permettant aux trois phases de coexister. Dans les mers polaires, les trois phases coexistent aussi. Il y a des glaces flottantes dans l'eau et, juste au dessus de la surface de l'eau, il y a aussi de la vapeur d'eau produite par les effets de la chaleur des rayons du soleil. Dans un état dynamique, des groupes de molécules sont sans cesse en train de changer d'état. C'est le cas dans un nuage, volume de mélange de gaz, de solide et de liquide, en pleines interactions. Mais c'est le cas aussi dans une mer, interaction entre états gazeux, liquide et solides qui est bien sans cesse en train de sauter d'un ordre à un autre.

Même ainsi, cette image de l'eau est fausse car l'eau solide n'est pas la glace comme une forme unique mais sous de multiples formes avec une capacité de sauter brutalement d'une forme à une autre en fonction de la température, de la pression et du volume. Il y a plusieurs formes de glace et plusieurs formes de neige. Il y a aussi de la glace qui, du fait des considérations de température, de pression et de volume, devrait déjà être fondue et ne l'est pas. Il y a des mélanges complexes qui ne sont pas tout à fait de la glace et pas tout à fait du liquide et qui ne constituent pas du tout le lien continu entre glace et liquide…

Cet univers des transitions de phase se caractérise par la discontinuité et on peut s'étonner de voir que l'on représente les discontinuités par des mesures continues comme celles de la pression ou de la température. Mais il faut savoir que ces paramètres sont issus de moyennes sur des phénomènes réels et pas de mesures directes de phénomènes fondamentaux. Un matériau n'a pas globalement de température donnée ni de pression donnée. Et des moyennes peuvent parfaitement évoluer à peu près continûment au plan mathématique même dans un monde où il n'y a rien de continu. Aucune continuité entre molécules. Aucune température propre à une molécule ou à un petit nombre d'entre elles. Mais une moyenne de l'agitation moléculaire et des chocs sur des surfaces ce qui donne un libre parcours moyen, une température et une pression. Température et pression sont des "paramètres d'ordre". Et pourtant, cet ordre est issu du désordre : de l'agitation et des chocs inter-moléculaires...

Un paramètre d'ordre est une quantité qui caractérise l'état d'un système physique au cours d'une transition de phase.

Dans la théorie de Landau des transitions de phase, la phase désordonnée est invariante par un groupe de transformation G, tandis que la phase ordonnée est seulement invariante sous l'action d'un sous-groupe G' du groupe G. Le paramètre d'ordre est une quantité invariante sous l'action du sous groupe G' mais pas du groupe G tout entier. La phase désordonnée étant invariante sous l'action du groupe G tout entier, le paramètre d'ordre doit nécessairement avoir une valeur nulle dans cette phase.

Lors d'une transition de phase (par exemple la transition liquide-solide), cette quantité passe d'une valeur nulle dans la phase désordonnée (ex : liquide) à une valeur non nulle dans la phase dite ordonnée (ex : solide). Dans l'exemple de la transition liquide solide, la phase liquide est invariante sous l'action du groupe des isométries de l'espace euclidien, alors que la phase solide n'est invariante que sous l'action d'un des 230 groupes d'espace. Une propriété importante des transitions avec paramètre d'ordre, dans la théorie de Landau, est que comme la symétrie est soit présente soit absente il n'est pas possible de passer continument de la phase désordonnée à la phase ordonnée. En particulier, une ligne de transition solide-liquide ne peut pas se terminer par un point critique.

Dans le cas d'une transition liquide-gaz, au contraire, la phase de haute température (le gaz) et la phase de basse température (le liquide) possèdent toutes les deux l'invariance par le groupe des isométries. Strictement parlant, il n'existe donc pas de paramètre d'ordre pour la transition liquide-gaz. Du fait de l'absence de brisure de symétrie dans la transition liquide-gaz, il est possible de passer continument de l'un de ces états de la matière à l'autre. C'est pourquoi la ligne de transition liquide gaz se termine par un point critique. Il est possible de passer continument de l'état liquide à l'état gazeux par un chemin thermodynamique qui contourne ce point critique. On considère donc l'état gazeux et l'état liquide du point de vue de la symétrie comme un même état de la matière, l'état fluide.

Toutefois, la transition liquide-gaz étant à suffisamment basse pression une transition du premier ordre, la masse volumique du fluide varie de façon discontinue à travers le point de transition. On peut donc, mathématiquement parlant, associer à cette transition de phase un paramètre d'ordre égal à la différence entre la masse volumique du fluide et celle du gaz. Ce paramètre d'ordre est par définition nul dans le gaz, non-nul dans le liquide. Il est alors possible de développer une théorie de la transition liquide gaz qui mathématiquement parlant est analogue à la théorie de la transition entre l'état ferromagnétique et l'état paramagnétique dans un système uniaxe sous champ. C'est l'analogie bien connue entre le modèle du gaz sur réseau et le modèle d'Ising. Pour le système magnétique, l'absence de différence de symétrie entre la phase ferromagnétique et la phase paramagnétique vient de la présence d'un champ magnétique qui crée une aimantation non-nulle dans la phase paramagnétique.

Voir les transitions de phase de l'eau solide avec les diverses phases de glace

Transformation de la neige

Transition de phase de l'eau

L'eau : un exemple de chaos déterministe

Malgré l'existence de multiples formes intermédiaires entre liquide et solide, la notion d'état entraîne celle de saut entre deux états avec échange d'énergie.

Les facteurs ne sont donc pas seulement la température et la pression. Puisque l'un des états est cristallin, son existence dépend de l'existence de noyaux de cristallisation. En leur absence, un matériau qui devrait cristalliser va rester liquide.

D'autre part, l'état est collectif. Ce n'est pas l'état d'une seule molécule mais d'un grand groupe de molécules. Cela signifie que l'état dépend de celui des parties voisines. Là où une masse de neige, par exemple, n'a pas encore fondu, un paquet de neige qui lui est collé a beaucoup moins de chance de parvenir à fondre. Là encore ce n'est pas une simple question de température et de pression comme semble le dire la théorie thermodynamique. Il est beaucoup plus difficile et couteux en énergie de fondre une grande masse de glace qu'une petite. Cela signifie que l'on ne doit jamais oublier qu'il s'agit d'un ordre collectif.

C'est encore plus vrai en ce qui concerne la cristallisation. Au voisinage d'une certaine cristallisation d'une structure donnée, la structure la plus favorisée est la même structure de cristallisation sous la même forme. Il y a un effet d'attracteur. La loi, qui semblerait dire qu'une autre forme de cristallisation est plus économique et donc devrait être l'attracteur de la dynamique, se retrouve prise en défaut si, dans la zone, une forme de cristallisation s'est déjà formée. C'est celle-ci qui va être en définitive favorisée par la dynamique et considérée comme moins dépensière en énergie.

A la dynamique des sauts d'états, à celle de l'émergence de multiples formes de cristallisation, aux interactions entre états coexistant dans la transition de phase, il convient de rajouter d'autres éléments comme le polymorphisme, l'existence de plusieurs formes durables des interactions des molécules entre elles.

Dans les structures moléculaires, un atome peut avoir diverses positions durables (ou stables) et sauter d'une position à une autre. Cette fois il s'agit d'un changement brutal d'ordre qui n'est pas seulement un ordre des interactions mais un ordre de la molécule elle-même. Ces sauts de position d'un atome au sein de la structure se produisent de manière extrêmement rapide (de l'ordre de la picoseconde). Cela explique qu'on les a longtemps ignorés. Sautant d'une forme à une forme symétrique, la molécule peut passer d'un état à un autre tout aussi stable, ce type de changement n'est pas couteux en énergie et permet des modifications des interactions possibles au sein d'une dynamique. L'état des interactions électroniques peut être modifié, les liaisons avec d'autres atomes aussi.

L'allotropie (du grec allos autre et tropos manière) est, en chimie, en minéralogie et en science des matériaux, la faculté de certains corps simples d'exister sous plusieurs formes cristallines ou moléculaires différentes. C'est l'équivalent du polymorphisme des corps composés pour ce qui est des différentes formes cristallines (organisation des mêmes atomes dans différentes variétés cristallines), ou de l'isomérie pour ce qui est des différentes formes moléculaires (organisation des mêmes atomes dans une autre molécule). Par exemple, le carbone amorphe, le graphite, le diamant, la lonsdaléite, la chaoite, le fullerène et la nanomousse sont les variétés allotropiques du carbone au sens où ce sont différentes formes cristallines du corps simple correspondant à l'élément chimique carbone. Le dioxygène et le trioxygène (ou ozone) sont également des variétés allotropiques du corps simple correspondant à l'élément chimique oxygène, mais cette fois au sens où ce sont différentes formes moléculaires.
Le concept d'allotropie se réfère uniquement aux différentes formes d'un élément chimique au sein de la même phase ou état de la matière (solide, liquide, gaz). Les changements de phase d'un élément ne sont pas associés, par définition, à un changement de forme allotropique (par exemple l'oxygène liquide et le dioxygène gaz ne sont pas deux formes allotropiques). Pour certains éléments chimiques, les formes allotropiques peuvent exister dans différentes phases ; par exemple, les deux formes allotropiques de l'oxygène, le dioxygène et l'ozone peuvent exister dans les phases solide, liquide et gazeuse.

La notion d'allotropie a été élaborée par le chimiste suédois Jöns Jacob Berzelius.

Les trois états les plus classiques de la matière sont :

• l'état gazeux ;

• l'état liquide ;

• l'état solide.

Cette classification est cependant incomplète. On peut y ajouter différents états plus exotiques :

• l'état mésomorphe ou état cristal liquide, un état intermédiaire entre liquide et solide.

• le condensat de Bose-Einstein (condensation de bosons dans le niveau de plus basse énergie), par exemple : le superfluide ou le condensat de rubidium (voir refroidissement d'atomes par laser) ;

• l'état plasma (ionisation d'un gaz) ;

• l'état supercritique (équilibre liquide-gaz obtenu par augmentation de la pression) ;

• L'existence d'un état supersolide est controversée.

On trouve aussi un état granulaire et divers états du type mousse…

Mais les comportements de la matière ne sont pas toujours uniformes au sein d'un même état. Ainsi existe-t-il des états intermédiaires où l'on observe un solide se comporter comme un fluide (matière pulvérulente ou granuleuse) ou au contraire un liquide avoir certaines propriétés propres aux solides. Ces comportements peuvent être issus de mélanges plus ou moins intimes entre plusieurs phases, appelés états polyphasiques (émulsions, ...).

On peut aussi rencontrer la matière dans un état hors équilibre thermodynamique ; les propriétés du matériau dépendent alors du temps, car le matériau se relaxe, sans jamais atteindre l'équilibre thermodynamique. Tout matériau spatialement hétérogène va rentrer dans cette définition dans la mesure où ces hétérogénéités spatiales vont se traduire par des contraintes internes impliquant ainsi un état non stable thermodynamiquement. Néanmoins, les temps de relaxation de tels systèmes peuvent atteindre des durées tellement longues qu'ils sont inobservables expérimentalement (allant jusqu'à plusieurs dizaines de milliers d'années).

Parmi ces matériaux on trouve de nombreux systèmes de la matière molle, ni solide, ni liquide tels que les verres, les gels ou bien les pâtes. Il n'est plus alors possible de parler de diagramme de phases (faisant référence à un état de la matière thermodynamiquement stable), le terme employé alors étant celui de diagramme d'état. Des diagrammes d'état unifiant les comportements des systèmes encombrés ont été établis pour de nombreux systèmes avec des interactions de type répulsif (granulaire, verres avec interaction de type volume exclu…) par Liu et Nagel en 1998, ainsi que pour les systèmes avec interaction de type attractif par Trappe, Prasad, Cipelletti, Segre, et Weitz, en 2001.

Un diagramme de phase est une représentation graphique utilisée en thermodynamique (voir Phase), généralement à deux ou trois dimensions, représentant les domaines de l'état physique (ou phasenote 1) d'un système (corps pur ou mélange de corps purs), en fonction de variables, choisies pour faciliter la compréhension des phénomènes étudiés.

Les diagrammes les plus simples concernent un corps pur avec pour variables la température et la pression ; les autres variables souvent utilisées sont l'enthalpie, l'entropie, le volume massique, ainsi que la concentration en masse ou en volume d'un des corps purs constituant un mélange.

Lorsque le système étudié est un mélange de n corps purs, son état physique est défini par les (n-1) proportions indépendantes de ses composants, ainsi que par la température et la pression. Ainsi, un diagramme à deux variables ne peut donc être établi qu'en fixant (n-1) variables du système.

C'est un diagramme associé à un équilibre qui ne permet pas de décrire un système dans un état métastable comme l'eau liquide à une température inférieure à 0 °C sous la pression atmosphérique normale (surfusion). Début 2009, tous les diagrammes de phases des éléments simples légers étaient établis sauf celui du bore, qui devrait être rapidement disponible suite à la synthèse réussie d'une nouvelle forme de bore dite « bore gamma » (partiellement ionique, mais forme la plus dure et dense du bore).

Qu'est-ce qu'une transition de phase ?

Sur l'auto-organisation

Des structures issuées de l'auto-organisation

Qu'est-ce que l'émergence ?

Sur l'émergence d'organisation de structure

Sur les transitions de phase

Sur le polymorphisme

La physique de l'état granulaire

Qu'est-ce que le passage dialectique de la quantité à la qualité ?

Robert Paris, Tiekoura Levi Hamed — 2020-07-04T22:05:00Z

Qu'est-ce que le passage dialectique de la quantité à la qualité ?

Bien des gens ont tendance à affirmer que la science, physique, chimie, biologie notamment, serait mathématisable au sens où tout y serait quantitatif. Faux : ces sciences sont d'abord qualitatives car les différences entre particules, atomes, molécules, ondes, et énergies ne sont pas seulement quantitatives mais qualitatives.

La différence entre une particule virtuelle et une particule réelle n'est pas seulement quantitative puisqu'il faut capter un boson de Higgs. La différence entre deux atomes de même type est le nombre d'électrons mais la différence produite est qualitative : la capacité de l'atome à capter ou perdre un électron qui change qualitativement les propriétés chimiques de l'atome, les capacités de se lier avec d'autres atomes pour former ou pas des molécules.

Si on examine l'atome plus en interne, la différence entre deux noyaux d'atomes, différences qui détermine les types d'atomes, la nature de l'atome, atome d'hydrogène, atome d'oxygène, atome de chlore, etc., c'est le nombre de nucléons (protons et neutrons) et si on ajoute (ou on retranche) un nucléon à une structure atomique existante, on saute qualitativement d'un noyau d'un élément chimique à un autre, saut qualitatif car toutes les propriétés chimiques changent radicalement et qualitativement.

Au sein d'une dynamique chaotique (chaos déterministe, c'est-à-dire l'essentiel des dynamiques non-linéaires) d'un système physique ou chimique, un petit changement quantitatif fait passer le système, et même sauter, d'une situation stable à une situation chaotique ressemblant au désordre, au « pur hasard », puis une un nouveau changement quantitatif (même tout petit) ramène à une situation stable. Tous les systèmes dépendant des lois du chaos déterministe présentent des exemples de saut qualitatif, suite à une petite augmentation ou diminution quantitative.

Le Vivant est évidemment le siège de tels sauts qualitatifs produits par un changement quantitatif. Par exemple, telle ou telle molécule peut être totalement inactive dans une certaine quantité, puis bénéfique dans une autre quantité, puis, à un seuil, devenir nuisible et même mortelle. C'est vrai de multiples molécules, pas seulement de poisons, de produits dangereux. C'est vrai même de produits aussi simples que l'eau et le sel. C'est quasiment vrai de l'essentiel des molécules.

Le changement qualitatif, à un seuil quantitatif d'intervention, est également le propre de la relation matière/énergie. L'énergie peut être inactive qualitativement à un certain niveau quantitatif, puis, en augmentant ce niveau, elle peut être absorbée, modifiant seulement la structure électronique, et, à un nouveau seuil, elle peut modifier la structure du noyau, et, à un dernier seuil, elle peut casser l'atome, et même transformer une partie de la matière en énergie, en rayonnement, en photons.

Les chocs matière/matière sont également du même type : à un certain seuil, la quantité se transforme en qualité. Les chocs peuvent laisser indifférente la matière, ou la propulser, ou encore la transformer, par exemple la faisant passer de particules virtuelles à particules réelles, ou enfin le choc peut faire exploser les structures matérielles ou faire fusionner les noyaux, saut qualitatif s'il en est puisque les atomes qui en résultent n'ont pas du tout les mêmes propriétés que ceux d'origine.

Il en va de même des états de la matière : encore des exemples multiples de sauts qualitatifs d'un état à un autre. Ce sont même les plus fameux de ces types de sauts qualitatifs appelés « transitions de phase », comme le passage de l'eau gazeuse à l'eau liquide et à l'eau solide. Ces changements quantitatifs qui causent les changements qualitatifs sont des changements d'origine multiple : pression, température, nombre de molécules, modification du récipient, champ gravitationnel, champ magnétique, énergie, mouvement, etc.

Tout l'univers de la matière-lumière-vide est sujet à de telles transitions de phase qui sont des sauts qualitatifs se produisant à un certain seuil quantitatif.

Toute l'histoire de l'Univers est le récit de telles transitions de phase comme la libération de la lumière (univers transparent au rayonnement) produite par un changement quantitatif.

Toute l'histoire d'une étoile ou d'une galaxie est parsemée de quelques transitions de phase.

Si on examine simplement une surface neigeuse, celle-ci subit sans cesse de telles transitions de phase, la neige pouvant exister sous diverses structures qualitativement différentes et sautant de l'une à l'autre suivant la température, la pression, le rayonnement, etc.

Toute masse de matière ne peut se contenter de voir ses paramètres quantitatifs augmenter ou diminuer à l'infini sans subir des sauts qualitatifs, changeant complètement de structure et même de nature.

Ainsi, si on enlève ou si on ajoute de l'énergie à toute structure matérielle, elle finit par changer complètement et qualitativement de structure ou de nature.

La raison en est que la matière-lumière-vide est un monde qui n'existe pas seulement à une échelle, à un niveau hiérarchique d'organisation, mais à plusieurs successifs, emboités, coexistant et interagissant sans cesse, s'influençant sans arrêt.

Les « sauts » qualitatifs ne sont pas des petits miracles inexplicables car ils ne créent de nouvelle réalité qu'à un niveau hiérarchique et aux autres niveaux il peut n'y avoir aucun saut ! Par exemple, les atomes peuvent être individuellement insensibles aux transitions de phase thermodynamiques (entre états de la matière).

Les particules et antiparticules virtuelles du vide quantique peuvent être individuellement insensibles aux changements qualitatifs de l'état d'une particule réelle.

Il faut rappeler que toutes les particules de matière, réelles comme virtuelles, subissent elles aussi des transitions de phase qui modifient leur structure. C'est le cas aussi bien des électrons, des protons, des neutrons qui subissent les fameux « sauts quantiques » qui ont tant perturbé les physiciens lors de la fondation de la physique quantique.

Les créations/annihilation de particules dans le vide quantique sont également des transitions de phase qui obéissent aux lois de transformation de la quantité en qualité.

Si ces lois sont dérangeantes, ce n'est pas pour l'image d'un univers dont la dynamique à plusieurs niveaux hiérarchiques obéit à des lois dialectiques dont les contradictions sont non seulement destructrices mais capables d'être constructrices d'un nouvel ordre.

La seule gêne, c'est que l'immense majorité des physiciens, depuis la naissance de la physique, ignore pour l'essentiel l'existence et l'intérêt de la pensée dialectique, alors que tout l'édifice de la physique en est le développement et l'illustration ! Et cela pour une raison qui n'a rien de scientifique ou même de philosophique et qui est sociale : le saut qualitatif auquel la société dominante, à laquelle les sommets de la science appartiennent, rejette de toutes ses forces un saut qualitatif qui la menace, le saut du capitalisme au socialisme, encore une « transition de phase », un changement de structure arrivant à un certain seuil quantitatif, celui de la propriété privée des moyens de production, et celui des investissements productifs.

Oui, la science sociale est amenée elle aussi à reconnaître des transitions de phase et pas seulement des progressions régulières et continues, quantitatives. Oui, les changements sociaux historiques, les révolutions sociales sont des passages dialectiques de la quantité à la qualité. Toute l'histoire des sociétés humaines est pleine de tels changements que la science universitaire et académique s'évertue à effacer, à cacher, à nier.

La suite

La dialectique, mode de fonctionnement général du changement

La dialectique des transitions de phase

Les sauts qualitatifs de la matière

Les sauts qualitatifs des structures de la glace

Ls états de la matière

Une matière à plusieurs niveaux hiérarchiques d'organisation

Pourquoi la matière s'organise spontanément et de manière stable ?

Discontinuité de l'univers et structures hiérarchiques

La matière, la lumière et la discontinuité selon le physicien Paul Langevin

Max — 2020-02-18T23:05:00Z

La matière, la lumière et la discontinuité selon le physicien Paul Langevin

« (…) L'expérience et la théorie sont d'accord pour voir dans le rayonnement et dans la matière les deux constituants essentiels de l'univers physique, et pour les opposer l'une à l'autre sous une forme qui s'est singulièrement modifiée depuis trente ans. L'examen de cette évolution me permettra de souligner certains traits essentiels dans l'orientation de la physique moderne.

On croyait autrefois que la propriété la plus fondamentale et la plus caractéristique de la matière était d'être à la fois pesante et inerte, de manière invariable pour chaque portion de matière à travers tous les changements physique ou chimique qu'elle pouvait subir. Cette double propriété de pesanteur et d'inertie était caractérisée par une seule et même grandeur appelée la masse. Cette masse mesurait également la capacité de la matière comme véhicule d'énergie cinétique, proportionnelle au carré de la vitesse, et de quantité de mouvement, proportionnelle à la vitesse. Le rayonnement, au contraire, était considéré comme impondérable, et comme transportant uniquement de l'énergie à l'exclusion de quantité de mouvement.

Le développement de la théorie électromagnétique en prévoyant l'existence, confirmée par l'expérience, d'une pression exercée par le rayonnement sur les obstacles matériels qu'il rencontre, a fait considérer celui-ci comme véhicule de quantité de mouvement aussi bien que d'énergie. Nous savons aussi, depuis la relativité généralisée, que le rayonnement est pesant, que la lumière est déviée, comme le serait un projectile matériel, au voisinage d'une masse importante, celle du soleil par exemple. Nous savons aussi qu'un corps change de poids en même temps que d'inertie lorsqu'il absorbe ou émet du rayonnement.

Un rapprochement s'est donc effectué, à ce point de vue déjà, entre la matière et le rayonnement qui sont tous deux pesants, tous deux véhicules d'énergie et de quantité de mouvement. Indépendamment de toute question de structure, une seule différence, profonde il est vrai, subsiste entre eux au point de vue mécanique : la matière peut prendre, par rapport à nous, des vitesses variables de manière continue, depuis la valeur nulle correspondant au repos, jusqu'à une limite supérieure que nous savons aujourd'hui être égale à la vitesse de la lumière dans le vide. Le rayonnement, au contraire, ne se propage dans le vide qu'avec une seule et même vitesse pour toutes les fréquences, la vitesse de la lumière. Cette limite, impossible à atteindre pour la matière sans une dépense infinie d'énergie, est sensiblement égale à trois cent mille kilomètres par seconde, c'est-à-dire considérable par rapport aux vitesses avec lesquelles la matière, même en astronomie, se présente d'ordinaire à nous.

Au point de vue de l'idée que nous nous faisons de leur structure, l'opposition entre la lumière et la matière se rattache à celle qui existe entre les notions théoriques du continu et du discontinu.

Cette dernière opposition est vieille comme le monde ou plutôt comme l'esprit ; l'histoire des mathématiques est dominée par les efforts faits pour la préciser et pour la résoudre, et elle joue dans le développement des théories physiques un rôle non moins important.

L'idée du continu et de l'infiniment divisible est à la base de notre représentation spatio-temporelle. La permanence d'un individu ou d'un objet ne ce conçoit qu'à travers une succession continue d'états au cours du temps, et le mouvement d'un objet dont l'individualité se conserve nous apparaît comme lié à une série continue de positions dans l'espace. Le calcul différentiel, en précisant la notion d'infiniment petit, a donné son expression complète à l'idée de continuité.

Le discontinu, qui prend également son origine dans la notion d'individu ou d'objet s'opposant au milieu qui l'entoure ou aux autres objets, trouve son expression abstraite dans les notions de l'un et du nombre ; son domaine le plus pur est l'arithmétique ; l'effort des mathématiciens pour arithmétiser la géométrie et l'analyse, pour construire, grâce à la notion d'incommensurable, le continu à partir du discontinu, ne peut être encore considéré comme ayant complètement abouti. Il est remarquable que les physiciens se trouvent confrontés aujourd'hui avec la nécessité d'une synthèse analogue.

Nous avons cru, il y a trente ans, pouvoir éviter le conflit en réservant à chacun des deux termes de cette opposition son domaine en physique : au continu celui du rayonnement et au discontinu celui de la matière. Nous pensions ainsi pouvoir interpréter la nature profonde des deux oppositions, rayonnement et matière, continu et discontinu, en les ramenant à une seule, et en les interprétant l'une par l'autre.

Le XIXe siècle s'achevait en effet par le triomphe de la théorie électromagnétique et ondulatoire du rayonnement, d'une part, de la théorie atomique, d'autre part, où la matière apparaissait comme construite à partir de grains d'électricité.

A la théorie de l'émission de Newton qui attribuait à la lumière une structure discontinue, s'était victorieusement opposée la conception d'Huyghens, reprise par Fresnel, Maxwell et Herz, selon laquelle le rayonnement résulte de la propagation, avec une vitesse, définie dans le milieu, d'une perturbation de structure continue, décomposable en une infinité continue d'ondes périodiques simples de diverses fréquences. La perturbation y est caractérisée en chaque point de l'espace et à chaque instant par les deux vecteurs champ électrique et champ magnétique qui déterminent l'état du milieu ainsi que la distribution, continue dans l'espace, de l'énergie et de la quantité de mouvement transportés par le rayonnement…

A la même époque, début du siècle actuel, comme conséquence des succès de la théorie cinétique et de la découverte de l'électron, nous étions conduits à attribuer à la matière une structure essentiellement granulaire et discontinue. L'étude expérimentale des relations entre la matière et l'électricité avait montré que les charges électriques s'y comportent toujours comme composées de grains, tous identiques entre eux pour chaque signe des charges, électrons pour les négatives et protons pour les positives, chacun de ces grains possédant, outre son électrisation, les attributs fondamentaux de la matière, inertie et pesanteur…

Ces deux éléments fondamentaux nous paraissaient suffisants pour construire la matière sous ses formes infiniment diverses, constituées les unes et les autres par des agrégats de protons et d'électrons, chaque particule électriquement, atome, molécule ou ensemble plus complexe contenant des nombres égaux d'électrons et de protons…

Cette conception d'un rayonnement composé d'ondes électromagnétiques continues et d'une matière formée de grains électrisés discontinus, semblait ainsi pouvoir rendre compte, non seulement des caractères opposés de l'un et de l'autre, mais encore de leurs actions réciproques, de l'absorption et de l'émission du rayonnement par la matière…

Il a fallu très vite renoncer l'espoir que je viens d'évoquer : deux crises successives qui compteront parmi les plus importantes dans l'histoire de la physique, la crise de la relativité et surtout celle des quanta, sont venues nous montrer combien nous étions encore loin d'une représentation satisfaisante des faits.

Ce sont des expériences concernant à la fois la matière et le rayonnement qui se trouvent à l'origine de chacune de ces crises…

Loin d'être plus complexe, la nouvelle mécanique (relativiste) s'est montrée plus simple que l'ancienne. Elle comporte en effet, comme conséquence essentielle, l'identification de la notion de masse avec celle d'énergie. Alors que l'ancienne mécanique devait, pour être conséquente avec elle-même, introduire une masse invariable lorsque l'état du corps et par conséquent son énergie interne varie, la nouvelle mécanique affirme l'inertie de l'énergie, c'est-à-dire la variation de la masse d'un corps proportionnellement à l'énergie interne de celui-ci, unissant en une seule les deux notions de masse et d'énergie, qui étaient autrefois distinctes et faisaient l'objet de deux principes de conservation entièrement indépendants. On sait combien cette découverte de l'inertie de l'énergie s'est montrée féconde puisqu'elle a permis, en particulier, de comprendre l'origine des petits écarts entre les poids atomiques rapportés à celui de l'hydrogène et les nombre entiers, de faire triompher la doctrine de l'unité de la matière, et de connaître, précisément par l'intermédiaire de ces petits écarts, l'énergie libérée quand l'hydrogène se condense pour donner naissance aux autres éléments chimiques…

La liaison entre l'inertie et la pesanteur que révèle l'identité de la masse inerte et de la masse pesante devait faire prévaloir, à partir de l'inertie de l'énergie, la pesanteur de l'énergie, la pesanteur de la lumière à partir de l'inertie de la lumière. C'est tout d'abord par cette voie qu'Einstein a été conduit à passer de la relativité restreinte à la relativité généralisée…

La crise des quanta, en pleine évolution, est plus grave encore que celle de la relativité et présente, au point de vue philosophique, une signification également profonde.

Elle aussi est issue de l'expérience optique, qui concerne à la fois la matière et le rayonnement ; mais au lieu d'exiger, comme la confrontation de la cinématique ancienne avec les faits, toute la précision des méthodes interférentielles de mesure comme dans l'expérience de Michelson, l'opposition de la théorie avec l'expérience se présente ici sous une forme aigüe, violente, que permet de constater l'expérience la plus immédiate dans le domaine du rayonnement thermique ou de la photoélectricité.

Il s'agit ici de phénomènes qui concernent plus particulièrement les échanges d'énergie entre la matière et le rayonnement, échanges que comme je l'ai dit tout à l'heure, la théorie électromagnétique se représentait sous l'aspect de processus continus…

La contradiction flagrante dont il s'agit ici (émission du corps noir) entre l'expérience et la théorie qui admet des échanges continus entre la matière et le rayonnement, s'est imposée de manière aigüe à l'attention des physiciens depuis plus de trente ans, et surtout depuis que Max Planck a montré, en 1900, que les raisonnements statistiques donnent au contraire un résultat conforme à l'expérience si l'on suppose, en contradiction avec la théorie électromagnétique, que les échanges d'énergie, l'absorption et l'émission du rayonnement par la matière, se font de manière discontinue, par quantités finies ou quanta, de grandeur proportionnelle à la fréquence du rayonnement émis ou absorbé, avec un coefficient de proportionnalité connu depuis sous les nom de constante de h de Planck…

Einstein a montré, quelques années plus tard, qu'il fallait, pour comprendre les lois des péhnomènes photoélectriques, découverts par herts il y a un epue plus de quarante ans, non seulement introduire cette discontinuité dans les échanges entre la matière et le rayonnement, mais encore renoncer à la structure continue du rayonnement lui-même.

Ces phénomènes consistent en une émission d'électricité négative par la matière sous l'action du rayonnement, en une émission d'électrons, par toute matière lorsqu'elle est soumise à l'action d'un rayonnement de fréquence suffisamment élevée. L'expérience montre que chaque électron ainsi arraché par une radiation de fréquence déterminée, reçoit du rayonnement, une énergie précisément égale au quantum de Planck, proportionnelle à la fréquence avec le même coefficient h nécessaire pour interpréter les lois du rayonnement thermique.

Le fait remarquable est que l'énergie prise ainsi par un seul électron pour une fréquence donnée du rayonnement est toujours la même quelle que sit l'intensité, forte ou faible, de ce rayonnement, quelle que soit aussi la matière dont l'électron est arraché. Cette énergie ne dépend absolument que de la fréquence incidente. Ce résultat est inconciliable avec l'idée que l'énergie du rayonnement est distribuée de manière continue dans l'espace avec une densité proportionnelle à l'intensité du rayonnement.

Il faut, au contraire, comme l'a montré Einstein, la supposer concentrée en grains discontinus ou photons, transportant chacun avec la vitesse de la lumière une énergie égale au quantum de Planck et une quantité de mouvement égale au quotient de ce quantum par la vitesse de la lumière.

C'est par photons entiers que se fait l'absorption et l'émission du rayonnement par la matière et c'est la rencontre d'un photon avec un électron qui, transmettant à celui-ci l'énergie du photon, donne lieu à l'effet photoélectrique.

L'introduction, par le photon, d'une structire discontinue du rayonnement, est venue interpréter un nombre considérable de phénomènes nouveaux, concernant toujours les échanges entre la matière et la lumière, en particulier ceux qui sont connus sous les noms d'effet Compton et d'effet Raman…

Le double aspect, ondulatoire et corpusculaire, de l'expérience optique semble imposer à la fois une conception continue et une conception discontinue de la structure du rayonnement…

Le fait remarquable est que le rayonnement se présente à nous sous ce double aspect ondulatoire et corpusculaire et qu'une synthèse est nécessaire entre les deux conceptions continue et discontinue autrefois opposées l'une à l'autre…

La même nécessité d'associer, dans la lumière, à l'élément ondulatoire et continu un élément corpusculaire et discontinu, aux ondes de Fresnel, des photons qu'elles pilotent, s'est imposée dans l'ordre inverse également à la matière. Il a fallu, en effet, au cours du développement récent de la crise des quanta, constituer une mécanique ondulatoire, associer aux grains de la conception ancienne, électrons, protons, atomes ou molécules, des ondes d'un type nouveau, les ondes de De Broglie et de Schrödinger. Comme les ondes lumineuses par rapport aux photons, les ondes nouvelles sont unies aux corpuscule matériels par un lien dont nous ne connaissons encore que l'aspect statistique : les ondes nouvelles, déterminant la probabilité de présence des grains de matière comme les ondes électromagnétiques déterminent la distribution des grains de lumière ou photons…

L'opposition entre rayonnement et matière cesse ainsi de se confondre avec l'opposition entre le continu et le discontinu. Du côté du rayonnement, comme du côté de la matière, il est nécessaire, au moins pour l'instant d'associer un élément continu, ondulatoire, à un élément discontinu, corpusculaire. (…) »

Conférence de Paul Langevin, « L'orientation actuelle de la physique » (1930)

« (…) Vous savez – Jean Perrin vous le rappelait tout à l'heure – que notre confiance n'a fait que croître dans la représentation atomique ou corpusculaire, qui a évolué depuis que les philosophes grecs ont imaginé la matière qui nous entoure comme composée de petits grains extrêmement durs et comparables aux objets individualisables dont nous avons l'habitude, mais infiniment plus ténus et représentant la limite de la divisibilité. Cette notion a pris, au cours des deux derniers siècles, une importance considérable, surtout à cause du développement de la Chimie. Perrin revendiquait tout à l'heure pour la Chimie le domaine de la discontinuité. Effectivement, c'est bien la Chimie qui a introduit dans nos connaissances le caractère de discontinuité que présentent ses combinaisons.

La nécessité s'est imposée ainsi de considérer les divers éléments isolés par les chimistes comme constitués par des atomes, tous identiques entre eux, ou plus exactement, depuis que les physiciens s'en sont occupés, chacun de ces éléments comme un mélange d'isotopes, chaque isotope représentant un groupe d'atomes, tous identiques entre eux. Ces atomes s'associent pour former des molécules suivant des lois discontinues, et sont eux-mêmes construits à partir de corpuscules électrisés, dont la découverte remonte aux trente et quelques dernières années…

A la même époque où J. J. Thomson identifiait le corpuscule cathodique ou électron négatif comme particule de masse connue, la théorie électromagnétique, entre les mains de Lorenz et de ses continuateurs, arrivait aux mêmes conceptions, à la nécessité d'une structure granulaire électrisée de la matière, et interprétait par là, en particulier, le phénomène de Zeeman… L'existence de l'électron dans tous les atomes se trouvait par là confirmée.

Vous savez que le développement admirable de la spectroscopie, depuis la découverte du phénomène de Zeeman, a montré que ce phénomène se présente sous une forme plus complexe que ne l'imaginait Lorentz et que, pour l'interpréter, il fallait attribuer à l'électron négatif non seulement une charge électrique, mais encore un moment magnétique – un spin, comme on dit aujourd'hui en utilisant un terme anglais…

La découverte du spin a introduit l'idée que cette petite sphère électrisée pivotait sur elle-même pour donner naissance au moment magnétique que nous devons attribuer à l'électron…

Et cette croyance, singulièrement féconde, dans l'existence de corpuscules individuels et individualisables, s'est trouvée encore confirmée par les admirables expériences de C.T. R. Wilson, expériences qu'on a appelées les plus belles du monde – je crois qu'elles le méritent. Elles nous ont permis, en utilisant la condensation de la vapeur d'eau rendue sursaturante par détente dans un gaz conducteur, de voir les ions dont, jusque là, nous avions parlé, que nous avions vus avec les yeux de l'esprit, et de voir aussi les trajectoires des corpuscules électrisés, de ces électrons que nous imaginions…

La photographie que nous examinions tout à l'heure semble bien suggérer cette conception de la structure granulaire du rayonnement, de l'existence du photon, comme nous le disons, parce que là où apparaît un électron photoélectrique, une molécule que rien, a priori, ne différenciait des autres molécules du gaz, est l'objet de la part du rayonnement, d'une action tout à fait exceptionnelle. Vous avez vu le très petit nombre de ces effets d'énergie, alors que les voisines ne s'aperçoivent de rien.

Cela suggère l'idée que le rayonnement se comporte comme s'il était composé de grains d'énergie qui, par un phénomène analogue à un choc, rencontrent certaines molécules et sont captées par celles-ci, leur énergie étant utilisée d'abord pour arracher l'électron, et ensuite pour communiquer à celui-ci l'énergie cinétique avec laquelle il est lancé et grâce à laquelle il ionise le gaz sur son parcours.

L'idée du corpuscule se généralise ainsi et passe de la matière à la lumière. Cette conception corpusculaire de la lumière s'est trouvée encore confirmée par la découverte de ce que nous appelons l'effet Compton… Cet effet Compton apporte une confirmation expérimentale très précise à la structure corpusculaire non seulement de la matière par les électrons, mais aussi de la lumière par les photons qui peuvent rencontrer les électrons, en observant toutes les lois habituelles de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement dans le choc. »

Conférence de Paul Langevin, « La Notion de corpuscules et d'atomes » (16 octobre 1933)

LA PHYSIQUE DU DISCONTINU
Le changement profond qui s'est produit récemment en Physique est caractérisé surtout par la pénétration, dans tous les domaines de notre science, de la notion fondamentale de discontinuité. Nous devons aujourd'hui fonder notre conception du monde et notre prévision des phénomènes sur l'existence des molécules, des atomes et des électrons. Il semble bien aussi nécessaire d'admettre que les moments magnétiques sont tous des multiples entiers d'un élément commun, le magnéton, et que la matière ne peut émettre de rayonnement électromagnétique que de manière discontinue, par quanta d'énergie de grandeur proportionnelle à la fréquence. Nous ne connaissons encore que très imparfaitement les lois exactes, individuelles, qui régissent tous ces éléments ainsi que leurs relations les uns avec les autres. Il est probable même que la plupart de ces lois ne pourront pas s'exprimer dans le langage du calcul différentiel et intégral, créé pour traduire analytiquement la notion de continuité. Cet admirable instrument ne convient qu'à l'étude des systèmes accessibles à nos sens et qui sont en général composés d'un nombre énorme d'éléments. Les grandeurs qu'atteignent nos moyens de mesure intéressent d'ordinaire tant d'éléments à la fois par somme ou par moyenne des grandeurs individuelles, que nous pouvons, sans erreur sensible, les traiter comme continues. Mais les propriétés de pareils ensembles sont nécessairement déterminées par les lois élémentaires sous-jacentes et nous ne pouvons espérer comprendre l'aspect superficiel des choses qu'à condition de le raccorder avec l'aspect profond que l'expérience vient de nous révéler. C'est la tâche qui s'impose actuellement à nous : établir la liaison entre le fond et la surface, entre les propriétés du grain et celles de l'agrégat, pour expliquer les faits d'ensemble quand les lois élémentaires sont connues ou plus souvent encore pour essayer d'atteindre ces dernières à partir des échos lointains qui seuls nous sont perceptibles. Nous ne pouvons éluder cette nécessité : l'existence des éléments est certaine, un monde nouveau nous est révélé dont les lois dominent toute la Physique. Nous devons tenter de remonter jusqu'à elles et pouvons espérer les trouver plus simples que leurs conséquences lointaines, que les résultats moyens ou statistiques auxquels nous sommes habitués. Il arrive souvent aussi que la forme particulière des lois individuelles s'élimine, disparaît, quand on passe aux propriétés de l'ensemble dont certaines résultent uniquement du très grand nombre des éléments présents, ont le caractère de lois purement statistiques. Il semble bien, par exemple, que le principe de Carnot, la loi de destruction spontanée des substances radioactives, la loi d'action de masse et bien d'autres appartiennent à cette catégorie et soient uniquement des lois de grands nombres. Nul ne contestera que dans ce cas nous atteignons d'emblée l'explication complète de ces lois, la compréhension profonde de leur signification. Bien plus, nous prévoyons par là qu'elles doivent, comme toutes les lois de grands nombres, donner lieu à des écarts, à des fluctuations d'autant plus importantes qu'on les applique à des systèmes plus simples, comprenant un moindre nombre d'éléments. Vous savez tous que l'observation de ces écarts, dans des directions très variées, est venue apporter des arguments décisifs en faveur de l'existence des éléments discontinus, ainsi qu'une méthode générale et précise pour atteindre le nombre et la grandeur de ces éléments. Pour constituer cette Physique du discontinu qui s'impose aujourd'hui, nous devons nécessairement faire usage de raisonnements statistiques, nous servir constamment du calcul des probabilités qui est le seul lien possible entre le monde des atomes et nous, entre les lois élémentaires et nos observations. L'introduction du calcul des probabilités en Physique fut réalisée pour la première fois de manière explicite par Maxwell à propos de la théorie cinétique des gaz. Comme on l'imagine aisément, l'adaptation à un domaine nouveau d'un mode de raisonnement souvent fort délicat ne fut pas immédiate : il reste même : encore beaucoup à faire dans ce sens. Les premiers raisonnements de Maxwell manquaient de rigueur et soulevèrent des objections qui, autant que la difficulté des calculs, empêchèrent la majorité des physiciens d'accorder à la théorie cinétique l'attention qu'elle méritait et de reconnaître la beauté des résultats obtenus. Ce fut Boltzmann qui compléta l'œuvre de Maxwell, et vit pleinement l'importance que devaient prendre en Physique moléculaire les considérations de probabilités. En même temps que Gibbs et avec plus de précision, je crois, il réussit à fonder une mécanique statistique en montrant comment il faut définir la probabilité, pour un système dynamique, de se trouver dans un état donné compatible avec les conditions qui lui sont imposées. Dans toutes ces questions, la difficulté principale est, comme nous le verrons, de donner une définition correcte et claire : de la probabilité. Le reste est surtout affaire de calcul. Ce pas décisif franchi, Boltzmann put atteindre l'interprétation statistique du principe de Carnot et le sens caché de la notion fondamentale d'entropie. Grâce à l'impulsion donnée par Boltzmann et aux efforts de ses continuateurs les raisonnements statistiques ont pénétré maintenant dans tous les domaines de la Physique et y joueront bientôt, pour les raisons que j'ai dites, un rôle prépondérant. Malgré l'extrême diversité de leurs applications, les raisonnements sont en général très simples et je voudrais essayer de montrer sur des exemples que la plupart d'entre eux se ramènent à deux types principaux bien connus des mathématiciens et qui se sont introduits tout naturellement dès la création du calcul des probabilités. Dans un premier groupe de questions, il s'agit de chercher la distribution ou la configuration la plus probable que peut prendre un système de particules ou d'éléments soumis à des conditions données. C'est essentiellement le problème des états d'équilibre et des régimes permanents (équations des fluides, statique des gaz, théories du magnétisme et des phénomènes électro— et magnéto-optiques, théorie du rayonnement et des chaleurs spécifiques, interprétation statistique des lois de la Thermodynamique). Je montrerai que certaines questions comme celles de l'équation d'état des fluides ou de la pression osmotique n'attendent pour être complètement élucidées que la solution d'un problème bien défini de probabilités géométriques et de distribution probable. Dans un second groupe de questions, on cherche à prévoir l'importance des fluctuations spontanées du système autour de cette distribution ou de cette configuration qui est la plus probable mais non la seule possible et ne s'observe qu'en moyenne. Ce frémissement universel autour des configurations rigides prévues par la thermodynamique est intimement lié à la discontinuité de structure, au fait que nos systèmes sont composés d'un nombre fini, quoique très grand, d'éléments et son observation a pris une importance particulière parce qu'elle nous apporte une méthode générale pour atteindre ces éléments et les soumettre à la mesure. Pour mieux faire comprendre comment les raisonnements, toujours les mêmes, du calcul des probabilités, peuvent s'appliquer à des problèmes de Physique si nombreux et si variés, je commencerai par examiner le mécanisme de ces raisonnements sur des cas particulièrement simples où leur emploi est familier à tous, sur des exemples tirés des jeux de hasard tels que celui de pile ou face ou de la roulette. Il paraîtra moins singulier qu'on puisse, pour ainsi dire, jouer à pile ou face la solution des questions de Physique, quand on aura bien vu que toute théorie de probabilité, si simple soit-elle, a en réalité la même structure que toutes nos théories et qu'on fait déjà de la Physique en étudiant les problèmes posés par les jeux de hasard. On a dit, par boutade, que tout le monde croit aux lois du hasard, les mathématiciens parce qu'ils y voient un résultat de physique et les physiciens parce qu'ils les prennent pour des théorèmes de mathématiques. En réalité ces lois sont déduites, par des raisonnements parfaitement rigoureux, de postulats très simples introduits à priori dans la définition des probabilités et affirmant en général l'équivalence de diverses circonstances possibles, l'absence de cause qui favorise les unes à l'exception des autres, l'égale probabilité que la roulette s'arrête sur la rouge ou la noire et que la pièce lancée retombe pile ou face. Ces postulats jouent ici exactement le même rôle que nos hypothèses, placées à la base des théories physiques, et dont nous essayons, par une analyse aussi rigoureuse que possible, de déduire des conséquences dont la comparaison avec l'expérience nous permettra de savoir si ces hypothèses sont justifiées ou non, si nous pouvons continuer à nous en servir pour édifier notre représentation du monde. De même la comparaison avec les faits des lois de grands nombres liées rigoureusement à nos postulats nous permettra de savoir si ceux-ci sont exacts, si la roulette n'est pas truquée ou la pièce plombée d'un côté. Tout raisonnement de probabilités est destiné à permettre la confrontation des postulats avec les faits, comme nos théories physiques permettent la confrontation des hypothèses avec l'expérience. Dans un cas comme dans l'autre, la rigueur n'existe qu'entre les postulats ou hypothèses et les lois qui s'en déduisent. L'accord des lois prévues avec les faits ne se produit pas nécessairement et la comparaison seule nous permet de'décider dans quelle mesure nos points de départ peuvent être conservés. On fait de la Physique en déduisant d'une expérience de pile ou face dans laquelle les coups pile prédominent de manière exagérée, que la pièce est dissymétrique et doit avoir été plombée du côté face. Il vaudra mieux même, comme en Physique, recommencer plusieurs fois l'expérience si l'on veut pouvoir remonter des faits aux causes avec quelque sécurité. Et tout se termine, en Physique comme au jeu, par une question de probabilité des causes du genre de celle que posait Henri Poincaré : je joue à l'écarté avec un monsieur que je ne connais pas, et il retourne trois fois de suite le roi ; quelle est la probabilité pour que ce soit un tricheur ? Le désaccord entre l'expérience et les conséquences déduites par le calcul des probabilités du postulat que le jeu est honnête indiquera dans quelle mesure ce postulat est légitime, et la certitude viendra si l'expérience donne toujours le même résultat. Notre certitude en Physique est tout à fait de même nature : nous avons confiance dans nos représentations et dans nos hypothèses en raison de l'accord constant de leurs conséquences mathématiques avec l'expérience. Dans les raisonnements de probabilités, on fait des mathématiques entre les postulats et les lois du hasard et de la Physique quand on compare celles-ci aux faits pour en déduire des conclusions relatives aux postulats. Outre la plus grande clarté tenant à ce que les postulats de définition des probabilités y sont intuitifs et simples, nous trouverons un autre avantage à étudier d'abord les questions posées par les jeux de hasard. Elles font intervenir des considérations de probabilités discontinues, où les divers cas possibles sont en nombre limité sans qu'on puisse passer de l'un à l'autre de manière continue. Par exemple, sur un nombre total donné de coups joués à la roulette, le nombre des fois qu'elle tombe dans une case noire ne peut varier que de manière discontinue puisqu'il est nécessairement entier. Il semble au contraire, au premier abord, que la Physique nous pose uniquement des problèmes de probabilités continues, où le nombre des cas possibles est infini et forme une série continue. Il en est ainsi, par exemple, de la position dans un intervalle de temps donné d'un événement tel que la destruction spontanée d'un atome radioactif : les instants où l'explosion peut se produire sont en nombre infini ou plutôt transfini puisque leur ensemble est continu. Il en est de même, au moins en apparence, pour l'ensemble des configurations que peut prendre un : système dynamique. Les lois relatives aux probabilités continues se présenteront à nous tomme les formes limites vers lesquelles tendent les résultats des problèmes discontinus quand on y suppose que le nombre des cas possibles augmente indéfiniment. On pourrait obtenir de manière plus simple, et par des raisonnements directs, les formules applicables aux problèmes continus ; mais il nous sera utile d'avoir à notre disposition les formes plus générales relatives au cas de la discontinuité entre les cas possibles. En effet, un des résultats les plus surprenants, et les plus énigmatiques d'ailleurs, que la comparaison avec l'expérience nous ait révélés, c'est que, dans un grand nombre de problèmes tels que ceux du rayonnement thermique d'équilibre ou des chaleurs spécifiques, les lois expérimentales s'accordent avec l'hypothèse de la probabilité discontinue et pas du tout avec les.conséquences déduites, en toute rigueur du postulat de continuité. C'est là un aspect nouveau et singulier de la Physique du discontinu, celui des quanta, d'après lequel non seulement nous devons pour comprendre les faits appliquer des raisonnements de probabilités aux éléments multiples et discrets dont la matière est composée, mais encore ces raisonnements eux-mêmes doivent tenir compte de discontinuités d'un autre ordre et procéder comme si les configurations que ces systèmes d'éléments peuvent prendre ne variaient elles aussi que de manière discontinue.
PREMIER PROBLÈME.
La probabilité d'une distribution. — Une des premières questions qui se posent à propos d'un jeu comme la roulette est celui de la distribution des coups où sort une certaine couleur, la noire par exemple, entre des intervalles successifs pendant chacun desquels un même nombre total de coups est joué. Nous prendrons le problème tout d'abord sous la forme suivante : étant donné que, dans l'ensemble de m intervalles de ce genre, la noire est sortie au total N fois, quelle est la probabilité pour que, dans un intervalle particulier, elle soit sortie un nombre donné de fois, n ? Pour trouver cette probabilité, définie comme à l'ordinaire par le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des cas possibles, il faut calculer chacun de ces deux nombres à partir des postulats. Nous remarquerons que chaque coup de roulette possède une individualité caractérisée par les circonstances, variables d'un coup à l'autre, qui l'ont accompagné et ont déterminé la couleur sortie. Nous désignerons par les symboles alpha, beta, gamma,…, zeta, en nombre égal à N, les groupes de circonstances qui ont déterminé les N coups pour lesquels la noire est sortie. Nous ignorons le détail de ces circonstances sans quoi nous aurions pu dans chaque cas prévoir ce qui allait se passer, mais nous introduirons comme postulat fonda-mental que chacun de ces groupes de circonstances peut se produire indifféremment dans l'un quelconque des m intervalles. et nous admettons aussi, naturellement, comme second postulat, que ces groupes sont complètement indépendants les uns des autres que les coups de roulette se succèdent sans exercer aucune influence mutuelle, que l'apparition d'un groupe particulier de circonstances dans un intervalle déterminé n'a aucune répercussion sur la position des autres groupes parmi les intervalles.. Chacun de ceux-ci, qui comporte toujours un même nombre total de coups,.est considéré comme équivalent aux autres au point de vue de la possibilité de production à son intérieur d'un groupe déterminé de circonstances, alpha par exemple. En langage ordinaire, ces groupes sont supposés distribués au hasard entre les intervalles. Toutes les distributions possibles de ces N groupes entre les m intervalles sont considérées comme équivalentes, comme également probables par définition. Le nombre de ces distributions ou nombre des cas possibles est facile à évaluer. Si le groupe alpha se produit dans un intervalle déterminé, nous affecterons alpha d'un indice égal au rang de cet intervalle, cet indice pouvant être Indifféremment 1, 2, 3,… jusqu'à m. Le nombre des manières différentes de distribuer les m indices entre les N groupes, ou les groupes entre les intervalles est évidemment m^N. C'est là le nombre des cas possibles. Si nous voulons la probabilité pour que, sur les N, n coups se produisent dans le premier intervalle, nous devons chercher le nombre des distributions dans lesquelles n des symboles alpha, beta,… porteront l'indice 1, les autres indices étant différents de 1 et d'ailleurs quelconques. Ceci nous donnera le nombre des cas favorables. Les n symboles portant l'indice 1 dans une distribution formeront une des combinaisons n à n des N symboles différents. A cette combinaison particulière peuvent être associées toutes les distributions des m-1 indices restants entre les N-n autres symboles ; elles sont en nombre (m-1)^(N-n), et comme il y a N ! /[(n !)*(N-n) ! ] combinaisons différentes, cela fait au total :
[N ! /[(n !)*(N-n) ! ]]*[(m-1)^(N-n)]
pour le nombre des cas favorables ; d'où pour la probabilité cherchée
(1) P(n)=N ! /[(n !)*(N-n) ! ]*[(1/m)^(n)]*[1-1/m]^(N-n)
On vérifierait aisément que, comme cela doit être, la somme des probabilités obtenues pour les diverses valeurs possibles de n, depuis zéro jusqu'à N, est bien égale à 1, puisque la somme des P(n) n'est autre chose que le développement suivant la formule du binome de
((1/m)+1-(1/m))^(N)
c'est-à-dire identiquement l'unité. On vérifierait aisément aussi que P(n) est maximum pour une valeur de n égale au plus grand entier contenu dans (N+1)/m, c'est-à-dire précisément égale au nombre moyen nu=N/m de coups par intervalle si ce nombre est entier. Ce résultat pouvait être aisément prévu puisque la distribution la plus probable des N coups entre m intervalles équivalents par définition est évidemment la distribution uniforme à raison de nu par intervalle. Ce qui intéresse le joueur, ce sont précisément les variations autour de cette moyenne, variations dont la formule (1) nous donne la probabilité. C'est de ces variations que dépend son bénéfice ou sa perte. La formule peut se mettre sous une forme plus simple quand on suppose que la moyenne nu correspond à un nombre m très grand d'intervalles. On trouve aisément comme forme limite de (1) pour m très grand :
(2) P(n)=exp(-nu)*((nu^n)/(n !))

Les probabilités correspondantes aux diverses valeurs de n s'obtiennent en multipliant exp(-nu) par les termes successifs du développement en série de exp(nu). La somme est bien encore égale à 1 et le maximum a lieu pour n = nu si nu est entier ou sinon pour le plus grand entier que contient nu. Au jeu de roulette, si la rouge et la noire sont également probables, ce qui est un postulat indépendant de ceux que nous avons faits, la moyenne nu des noires portant sur un grand nombre d'intervalles est évidemment égale à la moitié du nombre des coups joués dans chacun de ces intervalles.
La loi des écarts. —Si nous introduisons dans la formule, au lieu du nombre n, l'écart delta = n-nu à partir de la moyenne, et si nous supposons n assez grand pour qu'on puisse remplacer n ! par la formule bien connue de Stirling, la probabilité d'un écart delta prend la forme
(3) P = [1/sqrt(2*Pi*nu)]*exp(-(delta^2)/(2*nu))
qui rappelle exactement la loi des erreurs de Gauss. Si au lieu de l'écart absolu, nous introduisons l'écart relatif epsilon = delta/nu, il vient :
(4) P = [1/sqrt(2*Pi*nu)]*exp(-nu*(epsilon^2)/2)
Cette dernière forme met en évidence un fait fondamental sur lequel je reviendrai tout à l'heure à propos de la théorie des fluctuations : c'est que la probabilité d'un écart relatif donné epsilon est d'autant plus faible que nu est plus grand, qu'il y a en moyenne un plus grand nombre de coups dans chaque intervalle. D'où la possibilité de déduire ce nombre de coups de l'observation des écarts. Nous allons retrouver ce même fait sous une autre forme en calculant sur la formule générale (1) la valeur probable du carré moyen de l'écart relatif epsilon, en posant toujours :
epsilon = delta/nu = (n-nu)/nu.
La probabilité de l'écart epsilon étant P(n), il en résulte pour la valeur probable du carré moyen :
(epsilon^2)(moyen) = sum (1…infini) (P(n)*(epsilon^2))
Un calcul simple donne, si l'on remplace P(n) par la valeur (1) :
(5) (epsilon^2)(moyen) = 1/nu — 1/N
Si l'on introduit, au lieu du carré moyen, la somme Sigma(epsilon^2) des carrés des écarts dans les m intervalles à partir de la moyenne, la valeur probable de cette somme est m*(epsilon^2)(moyen) et satisfait à la relation
(6) Sigma(epsilon^2)/(m-1) = (1/nu)
On voit que les écarts relatifs, les fluctuations de n autour de sa moyenne, doivent diminuer d'importance à mesure que cette valeur moyenne augmente. Ainsi que je l'ai dit tout à l'heure, la véritable signification de ces résultats est la suivante : ils représentent l'aboutissement d'une théorie basée sur des hypothèses et nous permettront, par comparaison avec l'expérience, de savoir si ces hypothèses peuvent être conservées. Le joueur qui voudra s'assurer de la sincérité du jeu se servira d'eux comme nous nous servons de nos théories physiques pour contrôler, par comparaison de leurs résultats avec l'expérience, la légitimité de nos représentations. La constance de l'accord nous donnera la seule certitude que nous puissions atteindre, au jeu comme en Physique, relativement aux causes.
Autre méthode. — Nous pouvons retrouver les formules fondamentales (5) et (6) en nous plaçant à un autre point de vue et en cherchant, non plus la probabilité pour que, sur les N coups, il y ait un nombre déterminé n dans l'un des m intervalles équivalents, mais la probabilité pour que les N coups se distribuent d'une manière déterminée n(1), n(2),…, n(m) entre les intervalles, pour qu'il y ait en même temps n(1) coups dans le premier intervalle, n(2) dans le second, etc. Nous ne pouvons appliquer ici le théorème des probabilités composées et nous servir de la formule (1) en calculant P(n(1)), P(n(2)),… et multipliant ces probabilités. En effet, les n(1), n(2),… ne sont pas indépendants puisque leur somme doit être égale à N. Nous pouvons cependant utiliser la formule (1) en procédant de la manière suivante : la probabilité pour qu'il y ait n(1) coups dans le premier intervalle est bien :
N ! /[n(1) ! *(N-n(1)) ! ]*[(1/m)^(n(1))]*[(1-(1/m))^(N-n(1)]
Les m-1 autres intervalles ne peuvent contenir que N-n coups, et la probabilité pour que le premier d'entre eux contienne n(2), est de la même manière :
[(N-n(1)) ! /[(n(2) !)*(N-n(1)-n(2)) !)]]*[(1/(m-1))^(n(2))]*[(1-1/(m-1))^(N-n(1)-n(2))]
et ainsi de suite. Si l'on fait maintenant, comme il est correct, le produit de toutes les probabilités composantes, on obtient pour la probabilité cherchée :
(1/(m^N))*[N ! /(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Autrement dit, puisque le nombre total des distributions possibles est (m^N), le nombre de manières dont on peut obtenir dans les différents intervalles les nombres de coups assignés est :
(7) W = N ! /[(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]

Nous aurions pu obtenir ce résultat plus directement en cherchant de combien de manières il est possible de distribuer entre les N symboles de groupes alpha, beta,… zeta, des nombres déterminés d'indices de chaque sorte, n(1) indices 1, n(2) indices 2,…., n(m) indices égaux à m. Chaque distribution correspond à un des ordres dans lesquels on peut ranger ces N indices qui ne sont pas tous différents, à une des permutations de ces indices. Le nombre cherché est celui des permutations complètes de N objets dont n(1) d'une même espèce, n(2) d'une autre, etc. Il est bien donné par la formule (7). Ce nombre W de manières dont on peut réaliser une distribution donnée (n(1), n(2),…, n(m)) des N symboles entre m intervalles équivalents, au point de vue de la présence possible de chacun d'eux, est proportionnel avec le coefficient 1/(m^N) à la probabilité de cette distribution. Nous pourrons souvent prendre W comme mesure de cette probabilité.
On voit aisément que, pour une valeur donnée de N, W est maximum quand les n sont tous égaux. Nous voyons ainsi d'une autre manière que la distribution la plus probable est celle qui se fait également entre les divers intervalles, du moins lorsque aucune condition supplémentaire n'est imposée qui pourrait venir exclure certaines distributions. Nous allons traiter dans un instant un problème où s'introduiront de semblables exclusions. Les m-1 autres intervalles ne peuvent contenir que N-n coups, et la probabilité pour que le premier d'entre eux contienne n(2), est de la même manière :
[(N-n(1)) ! /[(n(2) !)*(N-n(1)-n(2)) !)]]*[(1/(m-1))^(n(2))]*[(1-1/(m-1))^(N-n(1)-n(2))]
et ainsi de suite. Si l'on fait maintenant, comme il est correct, le produit de toutes les probabilités composantes, on obtient pour la probabilité cherchée :
(1/(m^N))*[N ! /(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Autrement dit, puisque le nombre total des distributions possibles est (m^N), le nombre de manières dont on peut obtenir dans les différents intervalles les nombres de coups assignés est :
(7) W = N ! /[(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Nous aurions pu obtenir ce résultat plus directement en cherchant de combien de manières il est possible de distribuer entre les N symboles de groupes alpha, beta,… zeta, des nombres déterminés d'indices de chaque sorte, n(1) indices 1, n(2) indices 2,…., n(m) indices égaux à m. Chaque distribution correspond à un des ordres dans lesquels on peut ranger ces N indices qui ne sont pas tous différents, à une des permutations de ces indices. Le nombre cherché est celui des permutations complètes de N objets dont n(1) d'une même espèce, n(2) d'une autre, etc. Il est bien donné par la formule (7). Ce nombre W de manières dont on peut réaliser une distribution donnée (n(1), n(2),…, n(m)) des N symboles entre m intervalles équivalents, au point de vue de la présence possible de chacun d'eux, est proportionnel avec le coefficient 1/(m^N) à la probabilité de cette distribution. Nous pourrons souvent prendre W comme mesure de cette probabilité. On voit aisément que, pour une valeur donnée de N, W est maximum quand les n sont tous égaux. Nous voyons ainsi d'une autre manière que la distribution la plus probable est celle qui se fait également entre les divers intervalles, du moins lorsque aucune condition supplémentaire n'est imposée qui pourrait venir exclure certaines distributions. Nous allons traiter dans un instant un problème où s'introduiront de semblables exclusions.
La formule (7) donne également le moyen de calculer les écarts à forum partir de la distribution uniforme de probabilité maximum. Soit en effet nu la valeur moyenne N/m du nombre des coups par intervalle, et soient epsilon(1), epsilon(2),… epsilon(m) les écarts relatifs à partir de cette valeur dans une distribution quelconque :
n(1) = nu*(1+epsilon(1)), n(2) = nu*(1+epsilon(2)),…, n(m) = nu*(1+epsilon(m)).
Les epsilon sont nuls dans la distribution la plus probable et sont dans tous les cas, puisque le nombre total N est donné, soumis à la condition Sigma(epsilon) = 0. En prenant le logarithme des deux membres de (7), remplaçant chaque factorielle par la formule asymptotique de Stirling,
n ! = (sqrt(2*Pi*n))*((n/e)^n)
et négligeant le logarithme de chaque grand nombre tel que n par rapport à celui-ci, on obtient, C étant une constante qui dépend seulement de N :
(8) log W = C — sum(1…n) (n*log(n))
Remplaçant n par nu(1+epsilon) et développant log(1+epsilon) suivant les puissances de epsilon, il vient, si l'on tient compte de la condition Sigma(epsilon) = 0, et si on limite le développement aux termes du second ordre :
log W = log (W(0)) — nu*(Sigma(epsilon^2))/2
ou
W = W(0)*exp(-nu*Sigma(epsilon^2)/2),
W(0) étant la probabilité maximum, celle qui correspond à la distribution uniforme. Ayant ainsi la probabilité qui correspond à chaque système de valeurs des epsilon, on calcule aisément la valeur moyenne d'une expression quelconque x telle que Sigma(epsilon^2) par :
Sigma(W*x)/Sigma(W).
En remplaçant chacune des deux sommes par une intégrale et en tenant compte de la condition Sigma(epsilon) = 0, on retrouve aisément la formule (6) :
Sigma(epsilon^2)/(m-1) = 1/nu,
en moyenne. Bien que ce second mode de raisonnement soit moins direct que le premier et ne s'applique qu'au cas des grands nombres, il était important de le rappeler parce qu'il envisage les choses sous un nouvel aspect et prépare la voie pour la solution des autres problèmes dont nous aurons à nous occuper.
Applications. — On peut faire, au jeu comme en Physique, deux sortes d'applications de la relation (6). Tout d'abord, comme je l'ai déjà dit, on peut l'utiliser pour vérifier, par sa concordance avec les faits, si les postulats d'indépendance et d'indifférence placés à la base de nos raisonnements sont légitimes. Le joueur qui voudra se rendre compte de la sincérité du jeu observera les nombres de coups sortis dans m intervalles équivalents, calculera la moyenne nu et les écarts relatifs individuels epsilon, et verra dans quelle mesure la relation (6) est vérifiée. Cette vérification doit être d'autant plus exacte que le nombre m d'intervalles considérés est plus grand. On peut également s'en servir pour déterminer le nombre moyen nu et par conséquent N quand on connaît seulement les écarts relatifs epsilon. Par exemple on se donne, pour chacun de m jours consécutifs équivalents, la somme totale gagnée par un joueur sans en retrancher les pertes. Quel est le nombre des coups joués chaque jour et quelle est la mise ? La connaissance des gains quotidiens entraîne celle des écarts relatifs et celle-ci suffit à connaître le nombre des coups joués à l'aide de la formule (6). Celle-ci traduit quantitativement le fait que les écarts relatifs entre les gains quotidiens sont d'autant plus faibles que le nombre des coups joués chaque jour est plus grand.
Cette question est tout à fait comparable à celles qu'on se pose en Physique quand on cherche à déduire le nombre des molécules et les grandeurs moléculaires de l'observation des écarts relatifs sur les grandeurs mesurables, de la mesure des fluctuations ou de leurs conséquences.
Fluctuations radioactives et fluctuations de concentration. — Donnons d'abord quelques exemples de questions de Physique où les résultats qui précèdent trouvent une application immédiate. Prenons une substance radioactive de vie assez longue pour que nous puissions considérer son activité comme constante pendant toute la durée de nos expériences et comptons, parmi les particules alpha qu'elle émet, celles qui tombent sur un écran ou traversent un appareil de numération pendant des intervalles de temps successifs égaux entre eux. Nos postulats fondamentaux, parallèles aux précédents, seront que les circonstances, tant intérieures qu'extérieures à l'atome radioactif, qui permettent l'arrivée d'une particule a, peuvent se produire indifféremment à un instant quelconque, dans l'un quelconque de nos intervalles de temps égaux, et de plus qu'il y a indépendance complète entre les groupes de circonstances qui correspondent à deux particules différentes, que les circonstances déterminant l'explosion d'un atome dans des conditions favorables à l'arrivée d'une particule n'influent en rien sur celles qui détermineront ou accompagneront l'explosion d'un autre atome. La légitimation de ces postulats, par vérification de leurs conséquences, a une très grosse importance pour la théorie des phénomènes radioactifs. Le premier, pour ce qui concerne les circonstances intérieures à l'atome qui déterminent son explosion, signifie que ces circonstances peuvent se produire indifféremment à un instant ou à un autre, que les chances pour l'atome de continuer à vivre sont indépendantes du temps pendant lequel il a déjà vécu ; en d'autres termes qu'il ne vieillit pas, et qu'il meurt seulement par suite d'accidents dus à un hasard interne. Je dis interne parce qu'il semble bien qu'aucune circonstance externe, du moins parmi celles que nous pouvons modifier, n'influe sur la vitesse de transformation des substances radioactives. Si nos postulats sont exacts et si nous recevons au total N particules alpha pendant m intervalles de temps égaux, la probabilité pour qu'il arrive n particules pendant un de ces intervalles est donnée par la formule (1), les écarts à partir de la moyenne N/m = nu doivent satisfaire à la relation (6). Ce résultat a été vérifié de manière très exacte dans les expériences de M. Rutherford. Nous en rencontrerons plus loin un autre du même genre et de plus grande importance au point de vue de la numération des particules. Il y a bientôt quinze ans que M. Smoluchowski a prévu de la même manière les fluctuations spontanées qui doivent se produire dans la distribution des molécules d'un gaz entre les diverses portions du volume qu'il occupe, les fluctuations de concentration. Pour que nous puissions appliquer à ce problème les résultats obtenus, il nous faut partir des postulats suivants : la présence d'une molécule particulière est également possible dans des portions égales du volume total ; ceci est intuitif et nous conduit à remplacer nos m intervalles par m régions d'égal volume. et contenant chacune en moyenne nu molécules. De plus nous devons admettre que la présence d'une molécule dans une de ces régions n'influe en rien sur la présence possible d'une autre, ce qui nous oblige à négliger les actions mutuelles entre ces molécules ou le volume de chacune d'elles par rapport au volume total. Le gaz doit donc être supposé suffisamment rare. Quand le fluide est dense, les fluctuations peuvent être très différentes de ce que nous allons prévoir, ou beaucoup moindres si les molécules sont serrées au point d'occuper la plus grande partie du volume total, de façon à exercer entre elles surtout des actions répulsives, ou beau-coup plus importantes si les actions attractives l'emportent, comme c'est le cas pour les fluides au voisinage d'un état critique. Pour un gaz peu dense, tel que l'atmosphère, les formules (1), (2) et (3) s'appliquent à la probabilité pour qu'une portion du volume contienne n molécules si m portions égales en contiennent N au total. Ici encore les fluctuations spontanées seront d'autant plus importantes que le nombre moyen de molécules sera plus faible. Nous trouverons l'application de ces résultats dans la théorie du bleu céleste. M. Svedberg a pensé pouvoir mettre en évidence les fluctuations spontanées de concentration qui doivent se produire de la même manière dans une solution étendue en observant les fluctuations du nombre des particules alpha émises par une solution radioactive quand on s'arrange de manière à ne recevoir sur un écran que les particules émises par une petite fraction du volume total de la solution. Il pensait que, les hasards de distribution des atomes radioactifs dans le volume s'ajoutant aux hasards internes qui déterminent l'explosion, on devrait observer des fluctuations plus importantes qu'avec une matière radioactive solide, et a effectivement obtenu, pour le même nombre moyen de particules reçues dans chaque intervalle de temps, un carré moyen des écarts relatifs double environ de celui que prévoit la formule (5). Le raisonnement général par lequel nous avons obtenu cette formule montre que s'il y a bien, conformément au second postulat, indépendance entre toutes les circonstances qui déterminent les arrivées sur l'écran de deux particules alpha, le résultat de M. Svedberg ne peut pas être exact. En raisonnant sur les groupes de circonstances qui permettent l'arrivée d'une particule alpha sur l'écran comme nous l'avons fait pour les groupes de circonstances qui déterminent la sortie d'une noire à la roulette, on verra que la formule donnant l'écart relatif moyen en fonction du nombre moyen des coups reste applicable sous les deux postulats d'indifférence et d'indépendance. La superposition du hasard de distribution des atomes radioactifs dans le liquide au hasard interne qui détermine l'explosion augmente simplement la complexité des circonstances favorables, complexité dont la formule est indépendante. Si de nouvelles expériences confirment les observations faites par M. Svedberg, cela prouvera, ou bien que l'explosion d'un atome peut influer sur celle d'un atome voisin, et ceci est en contradiction avec le fait que la radioactivité globale d'une substance s'est montrée jusqu'ici tout à fait indépendante de sa concentration, ou bien que la présence dans une région d'un atome radioactif entraîne aussi celle d'autres atomes radioactifs dans cette même région ; autrement dit que les atomes dissous vont par groupes associés, que la solution de M. Svedberg était colloïdale. De toute. manière son résultat, s'il est exact, n'a rien à voir avec les fluctuations spontanées de concentration dont nous avons parlé.
Grandeurs moléculaires. — Voyons maintenant quelques exemples d'application de la formule (6) à la détermination des grandeurs moléculaires par l'intermédiaire des fluctuations auxquelles cette formule s'applique, comme celles des émissions radioactives ou de concentration dans les milieux dilués, cas où les postulats d'indifférence et d'indépendance se trouvent vérifiés. Avant qu'on sût faire les numérations de particules par la méthode des scintillations ou par l'élégant procédé de Rutherford, M. v. Schweidler avait observé que le courant d'ionisation produit par les rayons alpha était soumis à d'importantes fluctuations. Pendant des intervalles de temps égaux entre eux, les quantités d'électricité libérées dans une chambre d'ionisation par l'électromètre sont proportionnelles aux nombres de particules alpha émises pendant ces intervalles, de sorte que les écarts relatifs entre ces quantités et leur moyenne donnent les écarts relatifs entre les nombres de particules et leur moyenne ; d'où la possibilité de calculer cette dernière moyenne à partir des écarts relatifs observés à l'électromètre en appliquant la relation (6). De manière plus indirecte, on peut comprendre comment la diffusion de la lumière par l'atmosphère est due aux fluctuations spontanées de concentrations de l'air prévues par Smoluchowski et comment la mesure de l'éclat du ciel permet de remonter aux grandeurs moléculaires.
En raison de ces fluctuations, du frémissement continuel de l'atmosphère autour de la distribution uniforme de ses molécules en volume, l'air se comporte au point de vue optique comme un milieu trouble et diffuse la lumière solaire. De l'importance des fluctuations régie par les lois de probabilité, on peut déduire la proportion de lumière diffusée pour chaque longueur d'onde et par suite le rapport de l'éclat du ciel à celui du Soleil. On conçoit d'ailleurs que cette proportion augmente à mesure que la longueur d'onde diminue et que le ciel soit bleu ; en effet, pour une lumière de longueur d'onde donnée, la proportion d'énergie diffusée est déterminée par le degré d'hétérogénéité du milieu à l'échelle de la longueur d'onde, c'est-à-dire par les fluctuations relatives de concentration dans un cube ayant pour côté la longueur d'onde, et comme le nombre moyen des molécules présentes dans ce cube est proportionnel au cube de cette longueur d'onde, on conçoit que le milieu se comporte comme d'au-tant plus trouble et plus diffusant que la longueur d'onde est plus courte. Inversement, la comparaison expérimentale de l'éclat du ciel à celui du Soleil pour une longueur d'onde quelconque détermine l'importance relative des fluctuations, dans un cube de côté égal à cette longueur d'onde, et, par application de la formule (6), permet de remonter au nombre des molécules présentes en moyenne dans un tel volume. Quand le milieu est dense, les actions mutuelles interviennent et changent l'importance relative des fluctuations. Pour traiter le problème dans le cas général il va nous falloir aboutir à la mécanique statistique en analysant de nouveaux problèmes de probabilités au double point de vue de la distribution la plus probable et des fluctuations spontanées autour de celle-ci.
DEUXIÈME PROBLÈME.
Le problème des séries de coups. — Une des questions qui intéressent le plus les joueurs est celle de la distribution des coups d'une même couleur en séries. Nous allons voir que ce problème est étroitement lié à celui de la mécanique statistique, aux applications les plus importantes qui aient été faites du calcul des probabilités à la Physique. Posons-nous la question suivante : Étant donné que, sur un nombre total N + R de coups de roulette, la noire est sortie N fois et la rouge R fois, quelle est la probabilité pour que les coups rouges, par exemple, soient distribués d'une manière donnée en séries, qu'il y ait n, coups rouges isolés, n., séries de deux coups consécutifs, n, de trois coups, et ainsi de suite. Le nombre total des rouges étant R on a évidemment :
(8) n(1) + 2*n(2) + 3*n(3) +… = R.
Chaque série de rouges est située dans un des intervalles entre deux noires consécutives ou à chacune des deux extrémités de l'ensemble des coups, de sorte que, si nous désignons par no et appelons nombre des séries rouges d'ordre 0, le nombre des intervalles entre les noires où ne se trouve aucune rouge, nous devons avoir n(0) + n(1) + n(2) +…, égal à N + 1, d'où
(9) n(0) + n(1) + n(2) +… = N + 1.
Le postulat d'indépendance entre les coups nous permet d'affirmer que chaque intervalle entre deux noires peut indifféremment renfermer une série d'ordre 0, 1, 2, 3,…, puisque la couleur d'un coup n'est nullement conditionnée par la couleur du coup qui l'a précédé. Il y aura donc autant de manières de réaliser la distribution donnée des rouges en N + 1 séries qu'il y a de manières différentes de ranger ces séries, de distribuer entre elles n(0) indices 0, n(1) indices 1, n(2) indices 2, etc, l'indice attribué à une série indiquant l'ordre auquel elle appartient. C'est, comme tout à l'heure, le nombre des permutations complètes des N séries données :
(10) W = (N + 1) ! /[(n(0)) ! *(n(1)) !…]
La probabilité de la distribution donnée est proportionnelle à cette quantité, au nombre de cas favorables, c'est-à-dire au nombre de manières dont on peut la réaliser, mais contrairement à ce qui se passait dans le problème précédent, les nombres n ne sont pas seulement assujettis à la condition d'avoir une somme donnée égale ici à N + 1, mais doivent encore satisfaire à la relation (8). C'est elle qui limite maintenant le nombre des cas possibles comme, dans le problème précédent, ce nombre était limité par la condition, absente ici, qu'il y ait m indices différents. Un raisonnement simple montre que ce nombre total des cas possibles est égal au nombre des permutations complètes qu'on peut former avec les N noires et les R rouges, c'est-à-dire à
(N + R) ! /(N ! *R !)
d'où l'on déduit aisément, en divisant (10) par (11), l'expression cherchée pour la probabilité.
La distribution la plus probable. — Dans le problème précédent, la probabilité maximum correspondait à la distribution uniforme ; à cause de la liaison imposée par la relation (8), la distribution la plus probable des N séries entre les divers ordres ne sera pas uniforme. Pour l'obtenir il nous faut chercher les valeurs de n(0), n(1), n(2), satisfaisant à la fois aux relations (8) et (9) et donnant la plus grande valeur possible à l'expression (10) de W. Cette question peut être résolue de manière simple quand on suppose les nombres n assez grands pour que chaque factorielle puisse être remplacée par la formule de Stirling :
n ! = [sqrt(2*Pi*n)]*[(n/e)^(n)]
Prenant le logarithme de W et laissant de côté des termes négligeables dans l'hypothèse où les n sont grands, plus exactement en remarquant que le logarithme d'un grand nombre est négligeable devant celui-ci, on obtient :
(12) log W = C — (n(0)*log(n(0) + n(1)*log(n(1)) +…) = C — Sigma(n*ln(n))
C étant une constante qui a la même, valeur pour toutes les distributions dont on veut comparer'les probabilités. Puisque les n et par conséquent N sont très grands, nous pouvons négliger l'unité dans la condition (9) et chercher le maximum de (12) sous les conditions (8) et (9). On trouve immédiatement que ce maximum correspond à la distribution représentée par la loi
(13) n(i) = [(N^2)/(R+N)]*[R/R+N]^(i)
i pouvant prendre les valeurs entières 0, 1, 2,… On voit que la distribution la plus probable des rouges en séries correspond à des nombres de séries qui varient suivant une progression géométrique décroissante de raison R/(R+N) à mesure que l'ordre i de la série augmente. Quel que soit le nombre moyen des coups dans les séries, ce sont toujours les petites séries qui seront les plus fréquentes, mais la diminution de fréquence avec l'ordre i est d'autant plus lente que R/N, ordre moyen des séries, augmente, puisque la raison tend vers l'unité quand R/N augmente. Si le jeu de roulette est tel que sur un grand nombre de coups, il y ait autant de rouges que de noires, la raison de la progression est égale à 1/2 et l'on a, en faisant R = N,
n(0) = N/2, n(1) = N/4, n(2) = N/8,…, n(i) = N/(2^(i)).
Il est donc probable que les coups rouges isolés seront deux fois plus fréquents que les séries de deux coups, celles-ci deux fois plus fréquentes que les séries de trois coups, et ainsi de suite. La vérification de ce résultat pourra servir à ceux qui jouent la série à s'assurer que le jeu est honnête et conforme aux postulats que nous avons admis. Si le jeu est combiné de manière que R soit différent de N, si par exemple le nombre des cases rouges est différent de celui des noires, la distribution la plus probable des séries se fera avec une raison R/(R+N) différente de 1/2. Si nous avions eu uniquement en vue la recherche de la distribution la plus probable des séries entre les diverses valeurs possibles et non celle de la probabilité d'une distribution quelconque, nécessaire pour l'étude des fluctuations autour de la plus probable, nous aurions pu aboutir beaucoup plus rapidement en raisonnant de la manière suivante : Chaque fois qu'un nouveau coup est joué, les chances de sortie de la rouge et de la noire sont entre elles comme R est à N. Une série étant commencée, elle se prolonge si la rouge sort et se termine si c'est la noire. Les chances qu'a une série quelconque de se prolonger sont donc à celles qu'elle a de se terminer comme R est à N. Ceci se traduit par l'équation, valable quel que soit i dans la distribution la plus probable des séries :
(n(i))/(n(i+1)+n(i+2)+…) = N+R
ou
(n(i))/(n(i)+n(i+1)+…) = N/(R+N),
et comme
n(i-1)/(n(i)+n(i+1)+…) = N/R,
on obtient par division la relation de récurrence :
n(i)/(n(i-1)) = R/(R+N),
d'où la relation (13) si l'on tient compte de (9).
Probabilités continues et probabilités discontinues. — Nous pouvons mettre encore nos résultats sous une autre forme qui va nous permettre de passer au cas limite des probabilités continues. Supposons que les coups de roulette soient joués uniformément dans le temps ; l'intervalle de temps entre deux coups consécutifs étant constant et égal à epsilon. La durée d'une série d'ordre i sera t = i*(epsilon) e t la durée totale de nos séries est donnée égale à R*(epsilon), autrement dit la durée moyenne est donnée égale à
t(barre) = (R/N)*(epsilon).
Chaque série ne pouvant contenir qu'un nombre entier i de coups, sa durée t ne peut être qu'un multiple entier de epsilon. Nous avons bien affaire à un problème de probabilités discontinues avec un domaine élémentaire de probabilités epsilon fini. La relation (13) peut encore s'écrire
(14) n(i) = [(N^2)/(R+N)]*exp(-t/tau) = C*exp(-t/tau),
en posant
(15) exp(-epsilon/tau) = R/(R+N) = t(barre)/(t(barre)+epsilon),
Ceci revient à remarquer que les points obtenus en portant en abscisses les valeurs de i et en ordonnées les valeurs correspondantes de n dans la distribution la plus probable se trouvent sur une courbe exponentielle dont l'équation est donnée par (14). La valeur du module tau est déterminée par la relation (15). Nous verrons que ce module joue dans la question actuelle le même rôle que joue la température dans les distributions les plus probables que prévoit la mécanique statistique et nous pourrions l'appeler la température de notre distribution probable des séries. Ceci va nous apparaître en examinant de plus près la relation entre ce module et la durée moyenne des séries. On peut en effet écrire la relation (15), en la résolvant par rapport à t(barre) :
(16) t(barre) = epsilon/(exp(epsilon/tau)-1),
Cette relation est représentée par la courbe I (fig. 1) qui part de l'origine avec une tangente horizontale et monte ensuite en tendant vers l'asymptote t = tau — epsilon/2. Cette courbe présente une analogie frappante avec celle qui représente la variation en fonction de la température de l'énergie thermique nécessaire pour porter un corps solide du zéro absolu à la température T, telle qu'elle résulte des recherches expérimentales de M. Nernst et de ses collaborateurs ; au lieu de l'énergie thermique totale on peut envisager aussi bien l'énergie moyenne epsilon(barre) d'une molécule en fonction de la température (courbe II, fig. 1). Plus exacte encore quantitativement est l'identité de notre courbe avec celle qui représente la distribution de l'énergie du rayonnement noir en fonction de la longueur d'onde et de la température. On sait que l'énergie contenue dans l'unité de volume d'une cavité en équilibre thermique est représentée, d'après les lois de Boltzmann et de Wien, pour la partie comprise entre les longueurs d'onde lambda et lambda + d(lambda), par
(1/(lambda^5))*F(lambda*T)*d(lambda).
Les mesures les plus précises faites dans un intervalle considérable de longueurs d'onde ont conduit pour la fonction F à la forme :
F (lambda*T) = C/(exp(c/lambda*T)-1)
C et c étant des constantes. Si nous portons en abscisses la variable (lambda*T) et en ordonnées la fonction F (lambda*T) telle que l'expérience la fournit, nous obtenons une courbe qui, pour un choix convenable d'échelle, coïncide exactement avec la nôtre (courbe III, fig. 1). L'analogie devient encore plus frappante quand on passe au cas limite des probabilités continues. Si nous supposons que les coups de roulette se précipitent de plus en plus, se succèdent à des intervalles epsilon de plus en plus petits, les séries de durée observable contiendront un très grand nombre de coups et n'existeront que si R est très grand par rapport à N, c'est-à-dire t(barre) et par conséquent tau par rapport à epsilon. Notre problème devient celui de la distribution la plus probable des intervalles de temps t entre N événements consécutifs (les coups noirs) qui se produisent au hasard, la valeur de l'intervalle moyen entre eux étant donnée. Si dans la formule (16), nous faisons tendre epsilon vers 0, nous obtenons
t(barre) = tau,
et (14) devient
(17) dn = (N/tau)*exp(-t/tau)*dt,
dn étant le nombre des intervalles dont la longueur est comprise entre t et t+dt.
La loi exponentielle subsiste ainsi dans le cas des probabilités continues ; ce sont toujours les intervalles les plus courts qui sont les plus fréquents, mais nous avons ce caractère particulier que la durée moyenne devient égale au module et que la courbe I est remplacée par la droite t(barre) = tau, parallèle à l'asymptote précédente. Or nous verrons que l'application des probabilités continues à la Thermodynamique conduit à prévoir, pour l'énergie moyenne d'une molécule dans un solide, une valeur proportionnelle à la température, conforme à la loi de Dulong et Petit, et représentée par une droite analogue à la précédente, parallèle à l'asymptote de la courbe expérimentale. De même, l'application des probabilités continues à la théorie du rayonnement conduit à une loi, donnée par Lord Rayleigh, d'après laquelle la fonction F(lambda*T) est proportionnelle à (lambda*T) et l'expérience confirme cette loi pour les grandes valeurs de (lambda*T), c'est-à-dire que la droite passant par l'origine que prévoit la probabilité continue est encore parallèle à l'asymptote de la courbe expérimentale. La conclusion qui s'impose, et dont M. Planck a eu la gloire de montrer la nécessité en créant sa théorie des quanta, c'est que nous ne pouvons espérer représenter les faits relatifs au rayonnement noir ou aux chaleurs spécifiques des solides qu'en introduisant la discontinuité jusque dans l'application des probabilités à la Physique, en tenant compte de l'étendue finie que doivent avoir les domaines élémentaires de probabilité. Bien d'autres faits sont venus depuis confirmer cette conclusion. Nous verrons tout à l'heure quelles doivent être la nature et la grandeur de ces domaines élémentaires.
La distribution des libres parcours. — Faisons de suite quelques applications à la Physique de la loi de distribution (17) relative aux probabilités continues. Nous aurions pu obtenir cette loi de manière plus directe et plus rapide si je n'avais eu le souci, pour les raisons qui précèdent, de la raccorder avec la loi plus générale des probabilités discontinues. Si N+1 points sont distribués au hasard sur une droite, sous la condition que leur intervalle moyen soit égal à lambda, le nombre d'intervalles entre deux points consécutifs dont la longueur est comprise entre l et l + dl devra être, dans la distribution la plus probable donnée par (17) :
dn = (N/lambda)*exp(-t/lambda)*dl.
Le hasard correspond ici aux postulats que la position d'un point quelconque peut se trouver indifféremment dans l'un quelconque des intervalles égaux, si petits qu'ils soient, dans lesquels on peut décomposer la droite, et que les positions des divers points sont considérées comme absolument indépendantes les unes des autres. Des écarts pourront se produire autour de cette distribution la plus probable, mais, comme toujours, leur importance relative diminuera à mesure que le nombre des points considérés sera plus grand. La même formule nous donnera la distribution des libres parcours d'une molécule gazeuse entre les diverses valeurs possibles l lorsque le libre parcours moyen est égal à lambda. Les postulats qui la rendent applicable sont ici que chaque choc contre une molécule particulière peut se produire indifféremment en un point quelconque du parcours total et qu'un choc n'influe en rien sur le temps qui peut s'écouler avant qu'un autre se produise.
Les intervalles d'émission des particules alpha. — Une application importante de cette même formule est relative à la distribution des intervalles de temps entre les émissions radioactives lorsque l'intervalle moyen est égal à tau, c'est-à-dire lorsque N+1 émissions se distribuent sur un temps total donné N*tau. Le moyen le plus simple pour vérifier l'exactitude de la loi est d'enregistrer au moyen d'un électromètre, comme l'a fait Mme Curie, les arrivées des particules individuelles sur une bande photographique déroulée à vitesse constante. On compte le nombre de ceux des intervalles d'une série dont la longueur est supérieure à l. Si la formule est exacte, c'est-à-dire si le hasard seul, interne ou externe, détermine l'explosion radioactive, on doit avoir pour ce nombre :
N(l) = (N/lambda)*sum(l…infini) exp(-l/lambda)*dl = N*exp(-t/tau),
dans la distribution la plus probable. L'expérience montre qu'il en est bien ainsi avec des écarts qui ne dépassent pas en, moyenne ce que peut, prévoir le calcul des probabilités. Si l'on porte l en abscisses et en ordonnées le logarithme de N(l), les points obtenus se rangent bien sur une droite dont l'inclinaison détermine lambda et l'ordonnée à l'origine le logarithme de N (fig. 2). Seuls ceux qui sont relatifs aux très petites valeurs de l restent quelquefois au-dessous de la droite et ceci s'explique par le fait que, les émissions consécutives devenant indiscernables quand les intervalles sont trop petits, il a été en réalité émis un peu plus de particules qu'on n'en a comptées. On peut corriger cette erreur et déterminer exactement le nombre total des particules émises en se servant de la loi précédente puisque l'ordonnée à l'origine doit donner la valeur exacte de log N. On peut ainsi vérifier l'importante et remarquable loi du hasard interne qui régit les explosions radioactives et apporter plus de précision dans les numérations de particules alpha qui fournissent actuellement la meilleure méthode pour la détermination des grandeurs moléculaires. La série représentée par la figure 2 comprenait 10 000 intervalles. La loi des transformations radioactives. En réalité, les substances radioactives que nous avons supposées constantes, dans les applications faites jusqu'ici, se détruisent par les explosions atomiques et leur activité diminue au cours du temps suivant une loi exponentielle qui est celle des réactions chimiques monomoléculaires. Si N atomes radioactifs sont présents à l'origine du temps, le nombre de ceux qui se détruisent entre les instants t et t + dt est donné par :
dN = (N/tau)*exp(-t/tau)*dt,
tau étant la période de la transformation ou la vie moyenne d'un atome, ou, ce qui revient au même en raison de la forme particulière de la loi, sa durée moyenne comptée à partir d'un instant quelconque et non plus à partir de sa production par un atome générateur. Ce fait, qui semble paradoxal, tient précisément à l'intervention du hasard„ au fait que la durée ultérieure probable d'un atome est indépendante du temps pendant lequel il a déjà vécu. La concordance. de la loi expérimentale avec notre formule (17) montre que la destruction d'un nombre donné d'atomes, radioactifs se fait suivant la loi la plus probable qui soit compatible avec une vie moyenne donnée.
La formule du nivellement barométrique. — Considérons une colonne cylindrique de gaz que nous supposerons à température uniforme T. Si aucune condition n'est imposée à la distribution du gaz dans le volume qui lui est offert, celle qui s'établira sera la plus probable au sens de notre premier problème : elle sera uniforme aux fluctuations près dont nous avons parlé et qui seront sensibles seulement dans, de très petites portions du volume total en raison du nombre énorme des molécules. La densité du gaz sera la même partout et indépendante de l'altitude z au-dessus du fond. Mais, si le gaz est pesant, nous savons que la densité variera avec l'altitude suivant une loi bien connue qu'on obtient de la manière suivante : Si p est la pression en un point où la concentration est c en molécules-gramme par unité de volume, on a :
p = R*T*c,
R étant la constante des gaz parfaits. Si M est la masse moléculaire la densité au point considéré est M*c et la loi fondamentale de statique des fluides donne :
dp = — M*c*g*dz
d'où
c = c(0)*exp(-M*g*z/R*T).
Si N est le nombre d'Avogadro, nombre de molécules dans une molécule-gramme, et m la masse d'une molécule, on peut écrire, en posant
k = R/N,
la relation précédente :
(18) c = c(0)*exp(-m*g*z/k*T),
c(0) étant la concentration pour l'altitude zéro. Le nombre dn de molécules comprises en moyenne entre les altitudes z et z + dz sera de la forme
dn = C*exp(-m*g*z/k*T)*dz.
L'analogie de cette loi avec notre formule (17) nous montre que la distribution qui s'établit dans un gaz sous l'action de la pesanteur est la plus probable qui soit compatible avec une altitude moyenne donnée z = k*T/m*g (quand la colonne est supposée limitée en hauteur), c'est-à-dire avec une hauteur donnée du centre de gravité, si l'on introduit comme postulats de probabilité que la présence d'une molécule est indifféremment possible dans des couches d'égale épaisseur et que la présence d'une molécule à une certaine hauteur n'exerce aucune influence sur la possibilité de présence des autres, ce qui suppose le gaz assez rare, comme nous avons dû le faire d'ailleurs pour appliquer la loi des gaz parfaits. Si nous remarquons que m*g*z représente l'énergie potentielle Psi de pesanteur d'une molécule située à l'altitude z, la formule devient :
(18)' dn = C*exp(-Psi/k*T)*dz.
L'expérience nous montre, sur le cas particulier de la distribution d'un gaz pesant en hauteur, que celui-ci se distribue spontanément de la manière la plus probable qui soit compatible avec une énergie potentielle donnée.
LA MÉCANIQUE STATISTIQUE.
La loi de Boltzmann. — C'est l'œuvre essentielle de Boltzmann que d'avoir généralisé de manière complète le résultat précédent et montré que la configuration d'équilibre prévue par la Thermodynamique pour un système matériel quelconque est toujours la plus probable qui soit compatible avec son énergie totale, potentielle et ciné-tique. Pour donner un sens précis à cet énoncé, il faut indiquer nettement quels sont les postulats fondamentaux dans la définition des probabilités. On y parvient par la notion d'extension en phase qu'introduisirent Boltzmann et Gibbs et qui est à la base de la mécanique statistique. La configuration et la position d'un système matériel, qui peut d'ailleurs ne contenir qu'une seule molécule, sont déterminées par certaines coordonnées q(1), q(2),… q(r) en nombre égal à celui des degrés de liberté du système, et son état de mouvement par les moments ou quantités de mouvement correspondants, p(1), p(2),…, p(r). En prenant les coordonnées et les moments comme déterminant la position d'un point dans un espace généralisé à 2*r dimensions, ou extension en phase, on peut représenter chaque configuration dynamique d'un tel système par un point de cet espace et ses changements au cours du temps par une ligne ou trajectoire ; par chaque point passe d'ailleurs une trajectoire et une seule. Les diverses configurations possibles du système correspondent aux différents points de l'extension en phase comme les diverses positions possibles du centre d'une molécule dans un récipient correspondaient aux différents points du volume intérieur à ce récipient. Pour définir les probabilités dans le cas de la distribution en volume, nous avons considéré comme équivalentes des portions d'égale étendue du volume total. Nous pouvons aussi partager notre espace généralisé en éléments d'égale extension d(omega) et un théorème fondamental dû à Liouville montre que, si notre système est régi par des équations analogues à celles de la Dynamique et réductibles à la forme Hamiltonienne, ces éléments d'égale extension, comme tout à l'heure nos éléments égaux de volume, doivent être considérés comme équivalents au point de vue de la probabilité, au point de vue de la présence possible à leur intérieur du point représentatif de la configuration de notre système. En effet, le théorème de Liouville consiste en ceci que, si nous suivons au cours du temps des systèmes dont les points représentatifs sont situés initialement dans un élément donné de l'extension en phase, l'élément se déplace et se déforme dans l'espace généralisé, mais en conservant une étendue constante. Donc la présence initiale du point représentatif dans un élément est exactement aussi probable que sa présence ultérieure dans un élément d'égale étendue ; deux éléments d'égale étendue doivent être considérés comme équivalents au point de vue de la présence possible du point représentatif, au même titre que deux éléments égaux du volume ordinaire au point de vue de la présence possible des molécules. Ce sera là notre postulat fondamental de définition des probabilités et, comme toujours, il trouvera sa justification complète dans l'accord de ses conséquences avec les faits. Considérons un ensemble composé d'un grand nombre N de systèmes identiques au précédent, comme un gaz est composé d'un grand nombre de molécules semblables. A tout état dynamique de l'ensemble, à toute distribution des N systèmes qui le composent entre les diverses configurations possibles, correspond une distribution donnée des N points représentatifs dans l'extension en phase. Pour calculer la probabilité de cette distribution, découpons l'extension en phase en éléments équivalents delta(omega) d'égale étendue que nous supposerons pouvoir diminuer indéfiniment dans l'hypothèse des probabilités continues. Si delta(n(1)), delta(n(2)),… sont les nombres de points représentatifs présents dans ces éléments pour la distribution considérée, et si nous faisons de plus le postula analogue à celui de la rareté du gaz, de l'indépendance mutuelle des positions des divers points, nous obtenons pour le nombre W de manières dont la distribution considérée peut être réalisée, nombre proportionnel à sa probabilité :
(19) W = N ! /[(delta(n(1))) ! (delta(n(2))) !…]
Si maintenant nous supposons donnée l'énergie totale U de l'ensemble, somme des énergies individuelles E dont la valeur est déterminée pour chaque système par le point représentatif de sa configuration, les distributions possibles sont assujetties à la condition, comparable à (8) :
(20) E(1)*delta(n(1)) + E(2)*delta(n(2)) +… = U,
E1, E2,… étant les énergies qui correspondent à la position de points représentatifs dans les différents éléments équivalents d'extension. La distribution de probabilité maximum sera représentée, comme il résulte d'un calcul comparable à celui qui nous a donné la relation (14), par :
delta(n) = C*exp(-E/Thêta)*delta(omega).
La densité en phase rho = delta(n)/delta(omega) qui correspond à la distribution la plus probable de nos N systèmes est donc donnée par la loi des ensembles canoniques de Gibbs
(21) rho = C*exp(-E/Thêta).

Le module Thêta de la distribution et le coefficient C sont déterminés par les conditions équivalentes à (8) et (9) et que j'écris en notation différentielle pour passer au cas limite des probabilités continues
(22) C*sum(E*exp(-E/Thêta)*d(omega) = U et C*sum(exp(-E/Thêta)*d(omega) = N.
Nous allons montrer que cette distribution la plus probable compatible. avec les conditions imposées à notre ensemble de N systèmes est précisément celle qui correspond à la configuration d'équilibre prévue par la Thermodynamique. En même temps se dégagera la signification profonde au point de vue statistique des diverses notions fondamentales de la Thermodynamique : de même que l'énergie totale U représente l'énergie interne de notre ensemble. de N systèmes (de N molécules par exemple), nous allons être conduits à considérer la température absolue comme proportionnelle au module Thêta de la distribution ; l'entropie et l'énergie utilisable seront proportionnelles respectivement aux logarithmes de la probabilité W et de la constante C.
Cas d'un gaz pesant. — Appliquons tout d'abord notre loi générale de distribution la plus probable au cas d'un gaz pesant composé de molécules identiques les unes aux autres et de masse m. Chaque molécule représentera l'un de nos systèmes et le gaz tout entier représentera l'ensemble dont nous cherchons la distribution. Admettons de plus qu'il s'agisse d'un gaz monoatomique dans lequel nous n'aurons pas à introduire de rotations des molécules ; chacune de celles-ci sera assimilable à un point matériel avec seulement trois degrés de liberté de translation auxquels correspondront les coordonnées x, y, z et les composantes u, v, w de la vitesse. L'énergie E d'un système, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule, a pour expression
E = (1/2)*m*(u^2 + v^2 + w^2) + m*g*z.
L'espace généralisé ou extension en phase est ici à six dimensions, trois pour les coordonnées x, y, z et trois pour les moments ou quantités de mouvement correspondants, m*u, m*v, m*w, de sorte que chaque état possible d"une molécule, comme position et mouvement., est représenté par un point distinct, dans cet espace généralisé, dont l'élément d(omega) a pour valeur
d(omega) = (m^3)*dx*dy*dz*du*dv*dw.
La distribution des points qui dans cet espace représentent à un moment donné l'état des molécules de l'ensemble nous donne à la fois la répartition de ces molécules entre les diverses positions et les diverses vitesses possibles. Dans la distribution la plus probable, compatible avec une énergie totale donnée, la densité de ces points est donnée par
(23) rho = C*exp(-m/(2*Thêta))*(u^2 + v^2 + w^2) — m*g*z/Thêta.
On reconnaît, pour ce qui concerne les vitesses, la loi de distribution de Maxwell. On déduit immédiatement de cette formule que l'énergie cinétique correspondant à un degré de liberté, (1/2)*m*(u^2) par exemple, a pour valeur moyenne Thêta/2, quel que soit le degré de liberté considéré. Il en serait encore de même si nous avions supposé la molécule susceptible de rotations ou de déformations l'énergie cinétique d'une molécule étant mise sous forme d'une somme de carrés correspondant chacun à un degré de liberté, la valeur moyenne, dans la distribution la plus probable, est la même pour chacun de ces termes et a pour valeur Thêta/2. C'est le théorème bien connu d'équipartition, qu'on étendrait sans peine au cas d'un mélange de diverses espèces de molécules par des considérations de probabilités analogues aux précédentes. Il est à remarquer que l'énergie cinétique moyenne pour un degré de liberté reste la même Thêta/2 quand, au lieu de la calculer pour l'ensemble de toutes les molécules, on considère seulement celles qui sont contenues dans un élément de volume de l'espace ordinaire dx, dy, dz, ou dans une tranche dz de la colonne cylindrique dans laquelle nous pouvons supposer notre gaz renfermé. La distribution des vitesses entre les molécules d'un gaz pesant, et par conséquent l'énergie ciné-tique moyenne, est la même à toutes les altitudes. D'après la théorie cinétique, la pression d'un gaz est proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne de ses molécules. Si c'est la concentration du gaz à l'altitude z, en molécules-gramme par unité de volume, et N le nombre d'Avogadro, la valeur Thêta/2 pour l'énergie moyenne d'un degré de liberté conduit pour la pression à
p = N*c*Thêta.
L'identification avec la loi des gaz p = R*c*T donne la relation
(24) Thêta = (R/N)*T = k*T.
Le module Thêta de la distribution la plus probable est donc proportionnel à la température absolue et donne la signification statistique de la notion de température. La distribution la plus probable d'un gaz, comme d'un ensemble quelconque d'ailleurs, est la distribution isotherme. Si nous cherchons maintenant la variation de densité du gaz avec l'altitude dans la distribution donnée par la formule (23), en tenant compte de la relation (24), après intégration de —rho*d(omega) par rapport à u, v, w, entre les limites —infini et +infini, nous retrouvons précisément la loi représentée par la formule (18), c'est-à-dire la loi du nivellement barométrique. C'est là une justification, sur cet exemple particulier, de la manière dont nous avons défini la probabilité d'une configuration de notre ensemble de systèmes, à partir du postulat d'équivalence des éléments égaux d'extension en phase.
Entropie et probabilité. — Pour obtenir l'interprétation statistique du principe de Carnot, examinons tout d'abord le cas des transformations réversibles. Pour réaliser une semblable transformation, nous supposerons qu'on fait varier les conditions imposées à notre ensemble de systèmes (grandeur de l'énergie totale U, forces extérieures exercées sur chaque système) assez lentement pour qu'à chaque instant l'ensemble ait le temps de prendre la distribution la plus probable qui soit compatible avec les conditions actuelles. Nous aurons donc à chaque instant une distribution de la forme (21) avec des constantes C et Thêta qui varieront d'un instant à l'autre. La quantité W, donnée par la formule (19) et que nous appellerons la probabilité, aura à chaque instant la plus grande valeur compatible avec les conditions imposées, et cette valeur variera au cours de la transformation. Cherchons de quelle manière. L'extension en phase étant partagée en éléments delta(omega) tous égaux entre eux, très petits mais cependant assez grands pour que chacun d'eux renferme un grand nombre delta(n) = rho*delta(omega) de points représentatifs, nous pouvons, en appliquant la formule de Stirling à chacune des factorielles qui entrent dans l'expression de W et en ne conservant que les termes importants, écrire
log(W) = N*(log(N) — Iog(delta(omega)) — Sigma(rho*log(rho))*delta(omega).
Le premier terme est constant au cours de la transformation, le second varie avec la distribution. En remplaçant par une intégrale la somme qui figure dans ce terme et qui est étendue à tous les éléments d'extension en phase, nous obtenons, en représentant le premier terme par une constante A :
log(W) = A — sum(rho*log(rho)*d(omega)).
Si nous admettons qu'à chaque instant soit réalisée la distribution la plus probable, nous pouvons remplacer p par l'expression (21) et il vient, en tenant compte des conditions (22) :
(25) log(W) = A + U/Thêta — N*log(C).
Différentions cette dernière relation
d(log(W)) = dU/Thêta — U/((Thêta)^2)*d(Thêta) — N*(dC/C).
Différentions également la seconde des conditions (22) ; elle donne
N*(dC/C) + (U/(Thêta^2))*d(Thêta) — (C/Thêta)*sum(exp(-E/Thêta))*dE*d(omega) = 0,
d'où
d(log(W)) = dU/Thêta — (1/Thêta)*sum(rho*d(omega)*dE).
Or l'intégrale sum(rho*d(omega)*dE) représente l'accroissement d'énergie potentielle de l'ensemble résultant du changement des conditions extérieures, c'est-à-dire le travail d(tau) fourni à l'ensemble pendant l'élément de transformation réversible. Donc
d(log(W)) = (dU — d(tau))/Thêta.
La différence dU — d(tau) entre l'accroissement d'énergie interne et le travail fourni est la quantité de chaleur dQ fournie à l'ensemble ; en tenant compte de la relation (24), il vient :
dQ/T = k*d*log(W) = d(k*log(W)).
Donc, pour une transformation consistant en une succession d'états de probabilité maximum, le quotient de la chaleur fournie dQ par la température absolue est une différentielle exacte. C'est un des énoncés du principe de Carnot appliqué aux transformations réversibles. Nous démontrons ainsi que les distributions moléculaires de probabilité maximum jouissent de toutes les propriétés imposées par la Thermodynamique aux configurations d'équilibre, et donnons, grâce à la définition dynamique des probabilités par l'introduction de l'extension en phase, un sens précis à la notion intuitive que la distribution moléculaire la plus probable, se réalisant par là même incomparablement plus souvent que toutes les autres en raison de la complexité de l'ensemble, doit représenter la configuration d'équilibre de celui-ci sous les conditions données. On déduit aussi la signification statistique de l'entropie des résultats précédents :
dS = d(k log W),
ou, à une constante près :
(26) S = k log W.
L'entropie, dans le cas où la Thermodynamique permet de la définir, c'est-à-dire dans le cas des transformations réversibles, se trouve donc proportionnelle au logarithme de la probabilité de la configuration d'équilibre, c'est-à-dire de la configuration la plus probable compatible avec les conditions imposées à l'ensemble considéré. Nous obtenons en même temps le moyen de généraliser la notion quantitative d'entropie et de l'étendre aux configurations qui ne peuvent faire partie d'une transformation réversible. Comme nous savons par (19) définir la probabilité W pour une configuration quelconque de notre ensemble, il suffit de considérer comme générale la relation (26) pour obtenir une définition générale de l'entropie et pour atteindre la signification profonde, purement statistique, de cette notion autrement si obscure. Le fait qu'un ensemble tend spontanément vers la configuration la plus probable compatible avec les conditions qui lui sont imposées généralise et éclaire profondément le théorème de Clausius d'après lequel l'entropie tend vers un maximum à énergie interne donnée. La conséquence la plus importante peut-être de ce résultat est que la configuration d'équilibre prévue par la Thermodynamique, la configuration d'entropie maximum, nous apparaît maintenant comme la plus probable, mais non la seule possible pour l'ensemble. Celui-ci prend au cours du temps toutes les configurations possibles dans la proportion de leurs probabilités. La plus probable est seulement la plus fréquente et prédomine d'autant plus que l'ensemble est plus complexe, que le nombre N des systèmes qui le composent est plus grand. Mais des fluctuations doivent se produire autour de cette configuration la plus probable ; nous verrons tout à l'heure comment la relation (26) généralisée permet d'en prévoir l'importance dans tous les cas et comment l'observation directe de ces fluctuations est venue confirmer de la manière la plus complète ces conséquences du point de vue statistique et apporter des moyens nouveaux, en nombre illimité, pour atteindre les grandeurs moléculaires par l'intermédiaire de ces fluctuations. Le principe de Carnot perd ainsi sa signification absolue : les configurations d'équilibre qu'il permet de prévoir et qu'il présente comme rigides ne correspondent en réalité qu'à un aspect moyen autour duquel la matière est en frémissement continuel et effectue des fluctuations d'autant plus importantes relativement que le nombre des molécules présentes est plus faible. En tenant compte des relations (24) et (26) et en choisissant convenablement la constante arbitraire dans l'expression de l'entropie, nous pouvons écrire l'équation (25) sous la forme
U-TS = N*Thêta*log(C) = R*T*log(C),
si R est la constante des gaz pour un nombre N de molécules égal au nombre des systèmes de notre ensemble. Nous obtenons ainsi l'expression de l'énergie utilisable et sa relation avec la constante C de la loi de distribution la plus probable
Psi = R*T*(log(C)),
Comme la température, l'énergie utilisable n'a de sens que pour une distribution d'équilibre, de probabilité maximum, puisque ces notions sont définies à partir des constantes Thêta et C caractéristiques d'une telle distribution. L'entropie au contraire est susceptible d'une définition plus générale puisqu'elle est reliée à la probabilité W dont la relation (19) donne l'expression pour une configuration quelconque de l'ensemble. Ceci montre l'importance particulière qui s'attache à cette notion d'entropie dont l'introduction s'est imposée longtemps avant qu'on en vît clairement les raisons profondes. Il est bien évident, d'ailleurs, que lorsqu'un ensemble complexe ne se trouve pas en équilibre thermodynamique, lorsque sa température n'est pas uniforme par exemple, on peut le décomposer en ensembles plus simples, en éléments de volume, au sens ordinaire du mot, pour chacun desquels l'équilibre est au moins approximative-ment réalisé, pour chacun desquels on peut définir une température et une énergie utilisable, et calculer l'entropie au sens thermodynamique de sa définition. Cette remarque trouve son application dans nombre de raisonnements relatifs aux fluctuations. Nous venons d'obtenir une interprétation statistique de la Thermodynamique en suivant la voie ouverte par Boltzmann ; on peut avec Gibbs se placer à un point de vile un peu différent, mais le fond des raisonnements reste le même et je n'insisterai pas sur les différences entre les deux méthodes. Celle de Boltzmann me paraît, du reste, la plus claire et la plus féconde.
Les lois d'actions moléculaires. — Nous venons de voir dans la Thermodynamique un aspect des résultats de la Mécanique statistique. Celle-ci est beaucoup plus riche de contenu et beaucoup plus profonde que celle-là, puisqu'elle en complète les énoncés en même temps qu'elle en donne la signification véritable. Non seulement elle permet de prévoir les fluctuations spontanées que la Thermodynamique ignore complètement ou plus exactement dont la Thermodynamique nie la possibilité, mais encore elle seule permet d'atteindre les propriétés des ensembles moléculaires où se reflètent les lois profondes d'actions individuelles exercées sur les molécules ou par les molécules les unes sur les autres. J'ai rappelé au début que certaines propriétés des ensembles sont indépendantes de ces lois individuelles et ne contiennent rien de plus que l'affirmation de la complexité de l'ensemble et du rôle qu'y joue la probabilité. Celles qu'on déduit de l'application du principe de Carnot, de la Thermodynamique, appartiennent à cette catégorie. Elles expriment uniquement ceci que la configuration d'équilibre ordinairement observée est la plus probable de toutes celles dont l'ensemble est susceptible, et la grossièreté habituelle de nos moyens d'observation fait que cette probabilité se change progressivement en certitude à mesure que l'ensemble devient plus complexe, ou plutôt parce que les ensembles observés sont généralement très complexes. Ces propriétés thermodynamiques, en retour, ne permettent pas d'atteindre les lois individuelles dont elles sont indépendantes. Au contraire, la'loi de distribution la plus probable donnée par la formule (in) fait intervenir ces lois individuelles par l'intermédiaire de l'énergie E relative à chaque système et permet d'obtenir par intégration des propriétés de la configuration d'équilibre, des lois accessibles à nos mesures où interviennent les lois d'actions moléculaires et dont l'observation doit nous permettre de remonter à celles-ci. De là résulte une puissance nouvelle d'investigation que nous commençons à peine à savoir mettre en valeur.
L'orientation moléculaire. — Je citerai, comme premier exemple, la théorie d'orientation moléculaire dont j'ai montré toute l'importance pour rendre compte des phénomènes de paramagnétisme et de biréfringence électrique et magnétique. Lorsque, sous l'action d'un champ extérieur, chaque molécule est soumise à un couple tendant à l'orienter, l'énergie E relative à une molécule contient un terme qui représente le travail effectué par ce couple et la formule (21) détermine la manière dont les molécules s'orientent, dont elles se distribuent entre les diverses orientations possibles dans la configuration la plus probable de l'ensemble. Cette formule traduit l'effet superposé de l'agitation thermique tendant à réaliser la distribution isotrope et de l'action directrice du champ qui tend à disposer parallèlement toutes les molécules dans l'orientation d'énergie minimum.
La distribution d'équilibre étant ainsi connue, une simple intégration donne la grandeur mesurable, moment magnétique résultant dans le cas du paramagnétisme ou indice de réfraction dans le cas de la biréfringence. On peut alors, ainsi que je l'ai montré, remonter de l'observation au moment magnétique moléculaire ou à la dissymétrie optique de chaque molécule. Le cas est beaucoup plus complexe où le couple directeur qui s'exerce sur une molécule dépend, non plus seulement du champ extérieur et de l'orientation par rapport à lui de la molécule considérée, comme pour les substances paramagnétiques diluées par exemple, mais résulte des actions mutuelles entre molécules. L'énergie U de l'ensemble fait alors intervenir des termes où figurent à la fois les orientations de deux ou plusieurs molécules, et le calcul de la con-figuration de probabilité maximum compatible avec une valeur donnée de U devient beaucoup plus difficile. C'est ainsi que la question se pose pour les substances ferromagnétiques ou pour les cristaux liquides où les actions directrices mutuelles jouent le rôle prépondérant. On sait quels progrès ont déjà été réalisés dans l'étude du ferromagnétisme, grâce à l'hypothèse du champ moléculaire par laquelle M. Pierre Weiss a proposé de traduire la résultante des actions mutuelles exercées sur une molécule. Les résultats donnés par cette simplification du problème font prévoir de quelle importance serait la solution complète.
Les équations d'état. — Les choses se présentent plus simplement lorsque au lieu d'actions mutuelles d'orientation on suppose seulement entre les molécules des forces centrales, s'exerçant suivant une loi donnée en fonction de leur distance. L'équation d'état d'un fluide composé de semblables molécules s'obtiendrait de manière complète par la voie statistique si l'on savait résoudre le problème suivant, de nature purement géométrique : N points étant distribués au hasard dans un volume donné, quelle est la probabilité pour que les à distances mutuelles entre ces points, en nombre égal à [N*(N-1)]/2, soient distribuées d'une manière donnée entre les diverses valeurs possibles ? Ce problème résolu, l'équation d'état s'obtient immédiatement et fait intervenir, naturellement, la loi d'action mutuelle entre deux molécules. Cette équation permettrait, inversement, de remonter à la loi d'action à partir des isothermes obtenues expérimentalement pour le fluide considéré. Il y a là une question fondamentale de cohésion et je signale, à l'attention des mathématiciens, le problème de probabilités purement géométrique dont dépend toute sa solution. Ce même problème domine également toute la théorie des mélanges de fluides et de la pression osmotique en particulier. De même que, par son intermédiaire, l'équation d'état d'un fluide pur donnerait la loi d'action entre molécules identiques, les propriétés bien connues des mélanges donneraient la loi d'action entre molécules d'espèces différentes. Ici encore, les progrès de la Physique dépendent de la solution d'un problème de probabilités. Il s'agit toujours de trouver la distribution la plus probable compatible avec des conditions données.
Le problème général des fluctuations. — Dans ces premiers exemples d'applications des raisonnements généraux de la Mécanique statistique, nous avons considéré seulement la distribution la plus probable autour de laquelle nos ensembles effectuent constamment des fluctuations, généralement insensibles à cause de la grande complexité des ensembles de molécules sur lesquels portent nos observations. Mais ces fluctuations peuvent devenir accessibles à l'expérience, lorsque le nombre des molécules contenues dans le système diminue (mouvement brownien de petites particules ou diffusion de la lumière, déterminée par les fluctuations de concentration dans des petits volumes de l'ordre du cube de la longueur d'onde). Nous avons vu comment on peut prévoir leur importance par des raisonnements très simples de probabilités dans le cas des fluctuations de concentration de gaz peu denses ou de solutions diluées où les positions des diverses molécules peuvent être considérées comme indépendantes les unes des autres. La question est alors purement géométrique. Si les actions mutuelles interviennent pour diminuer les fluctuations quand ces actions sont répulsives ou pour les augmenter quand elles sont attractives, il n'y a plus indépendance et la question, devenue dynamique, ne peut être résolue que par les considérations nouvelles de probabilités qu'introduit la Mécanique statistique. Dans le problème général des fluctuations, il s'agit d'étudier les variations spontanées d'une grandeur observable x caractéristique du système (altitude ou vitesse d'un granule brownien, densité du fluide dans un petit volume, intensité du courant dans un circuit, etc.) autour de la valeur x(0) qui correspond à l'état le plus probable (altitude du point le plus bas qu'il puisse occuper et vitesse nulle pour le granule, densité correspondante à la distribution uniforme d'un fluide, valeur nulle du courant si le circuit ne comporte pas de force électromotrice, etc.). La question revient en somme à chercher la probabilité W(x)*dx pour que la grandeur considérée soit comprise entre x et x+dx. Cette probabilité connue, on en déduira aisément la valeur moyenne d'une fonction quelconque de x-x(0) ou les effets produits par les fluctuations sur la propagation de la lumière par exemple, la fréquence avec laquelle se présente l'écart x-x(0) étant, comme dans tout ce qui précède, proportionnelle au coefficient de probabilité W(x). Deux procédés différents peuvent être employés pour atteindre cette probabilité. On peut tout d'abord supposer isolé le système complexe formé par notre ensemble de molécules, c'est-à-dire supposer son énergie interne constante et utiliser la formule (19) pour calculer la probabilité d'une configuration quelconque soumise à la condition d'énergie donnée. En ajoutant les probabilités ainsi obtenues pour toutes les configurations telles que la grandeur observable soit comprise entre x et x+dx, on aura précisément W(x)*dx. On obtient ainsi ce que nous pouvons appeler les fluctuations à énergie constante. Bien qu'il soulève des difficultés, le raisonnement suivant, dû à M. Einstein, permet d'arriver très vite au résultat. A chaque valeur de x correspond, au sens thermodynamique, une valeur de l'entropie S de notre système qui prend son maximum So pour x= xo. En généralisant la relation de Boltzmann (26) entre l'entropie et la probabilité, nous pouvons admettre, entre S et la valeur correspondante du coefficient W(x), la relation
S = k log W,
ou, ce qui élimine la constante arbitraire non écrite dans cette équation,
S-S(0) = k*log(W/W(0)),
ou encore
(27) W = W(0)*exp((S-S(0))/k).
On peut encore écrire cette formule autrement. Comme notre système est complexe et que la grandeur x est un seul des paramètres en nombre énorme nécessaires pour la description complète de l'état du système, la variation de x dans les limites que les fluctuations pourront atteindre ne modifiera pas appréciablement la température du système qui correspond à une énergie interne donnée. Autrement dit, la configuration la plus probable sous les conditions que U ait la valeur donnée et que x soit compris entre x et x+dx correspond à un module Thêta et par conséquent à une température T sensiblement indépendante de x. Dans ces conditions, si Psi et Psi(0) sont les valeurs de l'énergie utilisable qui correspondent à x et x(0) sous cette température, on a, l'énergie interne restant fixe :
S — S(0) = (Psi(0) — Psi)/T,
et l'on peut écrire la relation (27) sous la forme
(28) W = A*exp(-Psi/(k*T)),
A étant une constante. Nous pouvons retrouver ce même résultat par une autre voie, grâce à la remarque suivante : la très faible variation de température qui accompagne les fluctuations à énergie constante à cause de la complexité du système fait que ces fluctuations restent les mêmes quand ce système, au lieu d'être isolé, fait partie d'un ensemble de systèmes complexes analogues avec lesquels il peut échanger de l'énergie, c'est-à-dire quand on considère les fluctuations comme isothermes'au lieu de les considérer comme s'effectuant à énergie constante. On voit immédiatement que l'étude de ces fluctuations isothermes se ramène à celle de la distribution la plus probable des diverses configurations possibles dans un ensemble de systèmes complexes. C'est un problème tout à fait analogue à celui que résout la formule (21), à ceci près que, au lieu d'avoir une seule molécule pour chacun des systèmes dont est composé l'ensemble, chaque système est lui-même composé d'un grand nombre de molécules. De sorte que l'extension en phase doit avoir maintenant un nombre énorme de dimensions, puisque chaque système complexe contient N fois plus de paramètres que chacune des molécules dont il est composé. La distribution cherchée est déterminée par une formule analogue à (21), mais où E représente, non plus l'énergie d'une molécule, mais celle de notre ensemble de N molécules en fonction de tous les paramètres qui fixent la configuration de cet ensemble. Si d(Omega) est un élément de la nouvelle extension en phase, la probabilité pour que le point représentatif se trouve contenu dans cet élément sera
(29) C*exp(-E/Thêta)*d(Omega),
Si nous voulons étudier les fluctuations relatives à un certain paramètre x, accessible à nos mesures, c'est-à-dire chercher la probabilité pour que ce paramètre soit compris entre x et x+dx, nous devons chercher la portion de l'extension Omega qui contient les points représentatifs pour lesquels la grandeur x est comprise entre les limites indiquées. En intégrant dans cette portion l'expression (29) nous obtiendrons la probabilité cherchée sous la forme
W(x)*dx.
En se reportant à la définition statistique que nous avons obtenue pour l'énergie utilisable, on démontre que la probabilité précédente peut s'écrire :
W(x)*dx = A*exp(-Psi(x)/Thêta)*dx,
A dépendant de x, mais de façon à varier d'ordinaire très peu en valeur relative quand x varie autour de x(0). On peut alors considérer A comme une constante, et la connaissance de Psi(x) suffit, c'est-à-dire de l'énergie utilisable du système relative à la grandeur x, et à la température T, le module Thêta étant pris égal à k*T. Nous retrouvons bien la formule (28), obtenue en supposant les fluctuations adiabatiques.

On voit ainsi que l'étude des fluctuations isothermes d'un système complexe, comme notre ensemble primitif de N molécules, autour de sa configuration la plus probable, se ramène à l'étude de la distribution la plus probable d'un ensemble de systèmes complexes, identiques au premier, entre les diverses configurations possibles. C'est là un fait général en calcul des probabilités, les écarts à partir d'une distribution probable s'obtenant par la considération de la distribution la plus probable d'un ensemble plus complexe que le premier. Voyons maintenant quelques applications de la formule (28) à la Physique.
Mouvement Brownien et distribution de granules. — Si le système complexe est constitué par un granule et le fluide qui l'environne, nous pouvons prendre pour grandeur x soit la vitesse du mouvement d'ensemble du granule suivant une direction, soit son altitude.
Dans le premier cas Psi est égal à l'énergie cinétique correspondante à la direction considérée et proportionnelle au carré de la vitesse. L'application de (28) donne, pour valeur moyenne de cette énergie cinétique, Thêta/2 ou k*T/2. Nous retrouvons ainsi sous un nouvel aspect, applicable aux mouvements visibles, le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique entre les degrés de liberté d'un système complexe. J'ai montré comment ce théorème permet de retrouver très simplement la formule célèbre donnée par M. Einstein pour les déplacements d'un granule par mouvement Brownien de translation ou de rotation. On retrouve cette équipartition sous une forme généralisée toutes les fois que l'énergie utilisable Psi est une fonction continue de la grandeur x. En effet Psi(0), valeur qui correspond à la configuration d'équilibre, devant être un minimum pour Psi, on peut écrire, en limitant le développement à cause de la faible amplitude des variations spontanées :
Psi — Psi(0) = alpha*((x-x(0))^2),
alpha étant une constante. L'application de (28) montre encore que la valeur moyenne de Psi — Psi(0) est égale à k*T/2, c'est-à-dire que les fluctuations correspondent, pour chaque paramètre tel que x, à un écart moyen d'énergie utilisable égal à l'énergie cinétique moyenne k*T/ 2 d'une molécule par degré de liberté à la même température ; c'est dire la petitesse de telles fluctuations. On conçoit la généralité des applications possibles de ce résultat aux déformations spontanées d'un corps élastique tel qu'un diapason, à la charge spontanée d'un condensateur dont les plateaux sont réunis par un fil et dont l'énergie électrostatique aura la valeur moyenne k*T/2 aux fluctuations de courant dans un circuit dont l'énergie de self-induction aura cette même valeur moyenne, etc. Dans tout système susceptible d'effectuer des vibrations périodiques comme le diapason ou le condensateur fermé, la valeur moyenne de l'énergie potentielle est égale à k*T/2 comme la valeur moyenne de l'énergie cinétique (ou magnétique). La valeur moyenne de l'énergie totale doit donc être égale à k*T pour chaque mode possible de vibration. Ce résultat cesse d'être exact quand l'énergie utilisable n'est pas une fonction continue de la variable x. Il en est ainsi par exemple dans le cas des fluctuations d'altitude d'un granule pesant. Si m est sa masse, Delta sa densité, delta celle du fluide dans lequel il est plongé et z son altitude au-dessus du fond du vase, on a
Psi = m*g*(1-delta/Delta)*z,
pour z > 0, et Psi pratiquement infini pour z négatif puisqu'il faudrait déformer le fond du vase pour faire descendre le granule au-dessous de z=0. Psi est donc bien minimum pour z=0, mais le développement n'a plus la même forme que précédemment. W est nul pour z négatif en vertu de (28) et pour z positif égal à
W = W(0)*exp(-(m*g/k*T)*(1-delta/Delta)*z),
on reconnaît la loi de distribution vérifiée expérimentalement par M. Perrin. La Thermodynamique prévoit la position d'équilibre z = 0 pour laquelle l'énergie utilisable est minimum et la présence des granules dans le liquide au-dessus du fond correspond à des fluctuations d'altitude régies par la loi de probabilité que nous venons d'obtenir. On reconnaît encore, sur cet exemple, qu'un même problème peut être envisagé soit comme un problème de distribution la plus probable, soit comme un problème de fluctuations. Si l'on calcule dans le cas actuel la valeur moyenne de ou des fluctuations d'énergie utilisable correspondant à la variable z, on trouve, à cause de la forme particulière de cette fonction, la valeur k*T au lieu de k*T/2.
Fluctuations de concentration. — Le cas des fluctuations de concentration, dans un fluide dont les molécules agissent les unes sur les autres, rentre dans le cas général. Pour un petit volume donné au milieu d'un fluide, la concentration moyenne varie autour de celle qui correspond à la distribution uniforme du fluide. L'écart Psi — Psi(0) est proportionnel, en première approximation, au carré des variations de concentration et celles-ci sont donc telles que la valeur moyenne de Psi — Psi(0) soit égale à k*T/2. Cela suffit pour donner toute la théorie quantitative de l'opalescence critique puisque l'on connaît le degré de trouble du fluide à toutes les échelles de grandeur.
Probabilités continues et probabilités discontinues. — Nous avons vu qu'à tout mode possible de vibration périodique dans un système, la Mécanique statistique telle que nous l'avons obtenue prévoit une énergie moyenne totale égale à k*T. Ce résultat, appliqué aux molécules d'un solide, conduit à prévoir pour le solide une chaleur spécifique constante à toutes températures et, appliqué aux résonateurs électromagnétiques de M. Planck, conduit à la loi de Rayleigh pour la distribution d'énergie dans le rayonnement noir. L'expérience est en contradiction formelle avec ces conséquences. D'où viennent ces difficultés ? Dans nos raisonnements de Mécanique statistique, et en particulier dans le calcul des valeurs moyennes qui nous a conduits au théorème d'équipartition, nous avons implicitement admis qu'il s'agissait de probabilités continues et remplacé partout les sommations par des intégrations, ce qui revient à considérer comme infiniment petit le domaine élémentaire d'extension en phase delta(omega) que nous avons introduit pour définir la probabilité. Or ce passage à la limite soulève de grosses difficultés. En dehors du fait que des éléments d'extension en phase évanescents cesseront de contenir des nombres delta(n) de points représentatifs assez grands pour qu'on puisse continuer à utiliser la formule de Stirling, nous pouvons remarquer que la constante A de la formule (25) qui donne le logarithme de la probabilité contient le terme log(delta(omega)) qui devient infini quand delta(omega) tend vers zéro. On évite ces difficultés en même temps qu'on rend compte des lois expérimentales des chaleurs spécifiques et du rayonnement noir en admettant avec M. Planck une étendue finie et déterminée pour le domaine élémentaire delta(omega), c'est-à-dire en remplaçant les probabilités continues par des probabilités discontinues. La loi de distribution la plus probable est toujours donnée par la formule (21) de même que dans notre première partie la formule analogue (14) s'applique dans tous les cas. Mais la relation est changée entre le module Thêta ou tau et la valeur moyenne de la variable E ou t. Les probabilités continues nous ont donné t = tau, pour la durée moyenne des séries comme elles nous donnent E = Thêta pour l'énergie moyenne d'un résonateur. L'introduction des probabilités discontinues donne la formule (16) et M. Planck a montré que, dans le cas du résonateur, si h est la valeur imposée au domaine élémentaire d'extension en phase, la variation d'énergie qui lui correspond est epsilon = h*nu, nu étant la fréquence du résonateur, et l'on obtient la formule tout à fait comparable à (16)
(30) E(barre) = epsilon/(exp(epsilon/Thêta)-1)
On peut, au moyen de ce résultat, représenter au degré de précision des mesures la variation de capacité calorifique des solides avec la température et la distribution de l'énergie dans le rayonnement noir. En effet notre résonateur est en équilibre avec un rayonnement représenté exactement par la loi expérimentale rappelée antérieurement :
F(lambda*T) = C/(exp(c/lambda*T)-1)
en posant :
c/(lambda*T) = epsilon/Thêta = (h*nu)/(k*T),
ou, si V est la vitesse de la lumière :
c = h*V/k.
La constante h, qui vient de s'introduire comme mesurant l'étendue du domaine élémentaire de probabilité dans le problème du résonateur, semble bien avoir une importance capitale en Physique et figurer dans les lois d'un grand nombre de phénomènes. On conçoit qu'il en doive être ainsi puisque cette même constante détermine probablement le domaine élémentaire de probabilité dans toutes les questions de Mécanique statistique, quelle que soit la complexité du système étudié. L'expérience a confirmé son intervention, non seulement dans la théorie du rayonnement noir, mais encore dans celles de l'émission des rayons de Röntgen, des rayons cathodiques secondaires, des phénomènes photoélectriques et jusque dans les lois de la Mécanique chimique. Il paraît également certain qu'elle détermine la grandeur du magnéton ou élément discontinu de moment magnétique moléculaire. Ainsi le discontinu semble de tous côtés dominer la Physique. Non seulement nous devons admettre des éléments structuraux discrets, électrons, atomes ou molécules, mais encore il semble bien que nous devions introduire un élément nouveau de discontinuité dans les raisonnements statistiques par lesquels nous passons pour construire une image du monde à partir de ces éléments.

Paul Langevin, « La physique depuis vingt ans » (1923)

Peut-on fonder mathématiquement la notion de continuité

Robert Paris — 2019-12-16T23:00:00Z

Une fonction qui n'est continue en aucun point

Une fonction discontinue en un point

La question de la continuité a été reliée par les mathématiciens avec celle de l'ensemble des nombres (entiers, rationnels ou réels) et de leurs infinis.

Cantor-Dedekind-Hilbert ont voulu, à toute force et passionnément, fonder mathématiquement la notion de continuité et ont démontré… que c'était impossible

Jean Dieudonné dans « Mathématiques vides et significatives » :

« Des mathématiciens ont passé des années de leur vie à essayer de démontrer l'hypothèse du continu, problème qui les a tourmentés pendant très longtemps. Je me souviens d'avoir entendu dire à mon maître Polya, qui le tenait lui-même d'Alexandroff, qu'Alexandroff avait pendant un an travaillé à la démonstration de l'hypothèse du continu et puis qu'il avait arrêté parce qu'il se sentait devenir fou. Il a bien fait. Alors, quand Gödel et Cohen sont venus nous dire qu'il était inutile de nous tracasser les méninges et que jamais nous ne démontrerions ni l'hypothèse du continu ni sa contradiction, nous avons dit : « Ouf ! Quelle veine ! On n'aura plus à s'occuper de cet abominable problème »… Donc, en réalité, il y a là un peu un recul de beaucoup de mathématiciens ; mais pourquoi ce recul ? Dans ma jeunesse, nous étions très enthousiastes de l'école de Cantor… Après Gödel et Cohen, nous savons maintenant … qu'il y a autant de mathématiques que vous voulez… Pour le moment, il semble qu'il n'y ait aucune espèce de raison d'en choisir une plutôt qu'une autre. »

Roger Apéry dans « Mathématique constructive » :

« Trois illusions contribuent à l'adoption du continu classique : la « continuité » des grandeurs physiques, l'intuition géométrique, les constructions mathématiques de Cauchy, Weierstrass, Dedekind ou Cantor. »

F. Gonseth dans « Les fondements des mathématiques » :

« Conclusions - Au courant de l'étude que nous venons de clore, un fait est apparu de façon de plus en plus précise : c'est que la méthode axiomatique – pour nécessaire qu'elle soit – ne peut suffire à fonder la Mathématique sur un terrain d'absolue sécurité. »

(Remarque : Cantor-Dedekind-Hilbert comptaient fonder le continu et l'infini actuel sur la base d'une axiomatique.)

Les plus grands mathématiciens se sont cassés les dents sur la notion de continuité arithmétique, algébrique, géométrique, analytique. Certains essaient encore de nous faire croire qu'elle a été fondée de manière rationnelle mais c'est faux. Certes, les mathématiques utilisent sans cesse la notion de continuité mais ce n'est pas parce qu'elle a été construite de manière solide. C'est parce que l'illusion du continu est une image extrêmement pratique pour mathématiser des situations en les simplifiant. En général, aucune situation réelle n'est pourtant du continu : c'est la moyenne ou la statistique d'un très grand nombre de mesures qui obéit parfois, en lissant les valeurs, à une évolution apparemment continue.

Que veut dire continu et que veut dire discontinu ?

Nous connaissons quelques exemples d'ensembles apparemment continus en mathématiques : la droite des points ou la droite des nombres réels ou encore le plan géométrique ou le plan complexe, les surfaces, les graphiques sans coupure comme la sinusoïde par exemple, les fonctions numériques sans rupture, etc.

Nous connaissons aussi des ensembles discontinus : l'ensemble des nombres entiers ou fractionnaires, tout ensemble discret de points, des pointillés, les fonctions de variables entières ou fractionnaires, etc.

Cependant, on n'a rien dit de la définition de la continuité. Or celle-ci pose de grands problèmes et posera encore problème lorsque les plus grands mathématiciens seront passés dessus, même s'ils ont d'abord cru avoir résolu la question…

La question n'était pas seulement celle du continu mais aussi de l' « infini actuel » soutenue, pour des raisons théologiques, par Leibniz et que Cantor va faire des pieds et des mains pour étayer sans jamais y parvenir… La religion considère dieu comme un infini actuel ! L'autre notion possible d'infini est celle d'une grandeur qui ne cesse d'augmenter : l' « infini potentiel » dans lequel l'infini n'est jamais atteint. D'où la nécessité pour Cantor de dénombrer et comparer le nombre d'éléments d'ensembles ayant une infinité d'éléments.

Les mathématiciens devaient reconnaître deux infiniment grands : le dénombrable (c'est-à-dire un ensemble dont l'on peut numéroter les objets par des nombres entiers) et le non-dénombrable (l'ensemble des points de la droite ou l'ensemble des nombres réels). Le non-dénombrable est appelé l'infini du continu. L' « hypothèse du continu » affirme que le non-dénombrable des nombres réels est le premier infini supérieur à l'infini dénombrable.

Georg Cantor était très sûr pourtant de sa théorie de l'infini, des dimensions et du continu :

« Ma théorie est aussi solide que le roc et toute flèche dirigée contre elle se retournera rapidement contre celui qui l'a lancée. Pourquoi ai-je une telle conviction ? Parce que j'ai étudié tous ses aspects pendant des années examiné toutes les critiques que l'on peut faire aux nombres infinis et, par-dessus tout, parce que j'ai, si l'on peut dire, tiré les racines de cette théorie de la cause première de toutes les choses créées. »

Le mathématicien Roger Apéry, concluant sur l'ensemble de tous ces travaux sur la continuité, contredit cette affirmation rassurante : « La définition du réel par les coupures de Dedekind ou les suites de Cauchy est insuffisante puisque, d'après le théorème de Cohen, l'hypothèse du continu (de Cantor) ou sa négation peut être ajoutée comme axiome (...). »

Voyons comment on en est arrivés là….

L'étude de l'ensemble des nombres a été la pierre angulaire de l'édifice, étude des ensembles des nombres entiers, des nombres fractionnaires, des nombres réels. Ces études ont mené à la notion de dimension d'un ensemble, à la notion d'infini, à la notion de principe de continuité.

Une lettre de Cantor à Dedekind datée du 7 décembre 1873, publiée l'année suivante au Journal de Crellesous le titre « Sur une propriété de la collection de tous les nombres algébriques », annonce la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels (on ne peut pas compter à l'aide d'entiers l'ensemble des nombres réels).

Lettre de R. Dedekind à R. Lipschitz du 27 juin 1876 :

« Les principes euclidiens, seuls, sans adjonction du principe de continuité, qui n'est pas contenu en eux, sont incapables de fonder une théorie complète des nombre réels comme rapports de grandeurs. »

Dedekind à Cantor :

« J'ai étudié votre démonstration avec soin et je n'y ai rencontré qu'un détail qui pourrait soulever le doute… »

Dedekind à Cantor :

« Si le feuillet sur le concept du continu vous tombe sous la main, n'oubliez pas de biffer le dernier passage, car il repose sur une erreur… »

Le 20 juin 1877, Georg Cantor, envoie une lettre à son fidèle confident Richard Dedekind. Il lui avoue ses inquiétudes quant à la validité du concept même de dimension.

Dedekind à Cantor :

« Vous êtes obligé d'introduire dans la correspondance une discontinuité à donner le vertige, qui réduit tout en atomes, telle que toute partie continûment connexe, si petite soit-elle, de l'un des domaines a une image complètement déchirée, discontinue. » (juin 1877)

Quant au résultat de la démonstration de Cantor, il n'est pas moins surprenant : il n'y a pas plus de points dans une surface continue que dans une droite continue. Il n'y a qu'un seul cardinal du continu.

Cantor, lui-même, en est surpris écrivant à Dedekind : « Je ne le crois pas. »

La supposition de l'existence du continu mène à de multiples contradictions mais les mathématiciens n'y renonceront jamais tout en admettant que cette existence mathématique elle-même soulève des doutes. Sans parler bien sûr de l'existence du continu dans la nature que la mathématique prétend décrire.

Dedekind le mit en garde, faisant observer, dans une lettre du 2 juillet 1877, que la bijection qu'il avait construite entre le carré et la ligne était « nécessairement partout discontinue », « à donner le vertige.

Dedekind et Cantor allaient conclure toute une correspondance en reconnaissant, entre eux seulement, que la tentative avait échoué et en affirmant que la continuité n'était pas solidement fondée mais que personne ne s'en apercevrait !

Il convient de remarquer que, s'il était indispensable à Cantor de développer une telle conception de l'infini, c'était pour des raisons… métaphysiques et non mathématiques ou scientifiques… Eh oui ! C'est Cantor lui-même qui l'a indiqué.

Cantor :

« Sans un petit grain de métaphysique, il n'est pas possible, à mon avis, de fonder une science exacte. La métaphysique, telle que je le conçois, est la science de ce qui « est », c'est-à-dire ce de ce qui « existe », donc du monde tel qu'il est en soi et pas tel qu'il nous apparaît ».

« La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini et son immense bonté le conduit à le créer. »

Comme on le voit, le continu et l'infini sont indispensables non aux mathématiques ou aux sciences mais… à la croyance en dieu !

Roger Apéry dans "Penser les mathématiques" (ouvrage collectif) :

« La doctrine de l'infini actuel soutenue par Leibniz et étendue par Cantor l'a été pour des raisons métaphysiques. »

« Sans un petit grain de métaphysique, il n'est pas possible, à mon avis, de fonder une science exacte. » (Cantor)

« La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini et son immense bonté le conduit à le créer. » (Cantor)

« Dans votre concept de transfini ainsi conçu, pour ce que j'en puis voir jusqu'à présent, il n'y a aucun danger pour les vérités religieuses. » (Lettre de Franzelin à Cantor, 26 janvier 1886)

« En 1872, Georg Cantor (1845-1918) rencontre Richard Dedekind (1831-1916) en Suisse et commence avec lui ses travaux sur les nombres irrationnels et sur la théorie des ensembles.
L'intuition de Cantor l'amène à considérer l'axiome suivant : la droite géométrique représente le continu et peut être mise en bijection avec l'ensemble des grandeurs numériques - dans la mesure où chaque point M de la droite correspond à un unique nombre, l'abscisse de M, distance algébrique (+ou-) du point M à un point O fixé, l'origine. Cantor nomme réels (1883) ces grandeurs numériques (rationnels, irrationnels ou transcendants) et s'engage à définir analytiquement l'ensemble noté IR des nombres réels, caractérisé par le continu.

En 1872, Dedekind s'était déjà penché sur la question du continu dans son Stetgkeit und irrationale Zahlen, où il donne la définition d'un ensemble infini : est dit infini tout ensemble qui peut être mis en bijection avec l'une de ses parties - contraposée de l'axiome d'Euclide qui affirme que tout ensemble est plus grand que sa partie, ce qui reste valable pour les ensembles finis. Concernant la construction de l'ensemble continu des nombres réels, l'approche de Dedekind est arithmético-algébrique : il traite toute sorte de problèmes mathématiques en termes de structures. Il part des pré requis suivants :

1) IQ est fermé pour les 4 opérations ;

2) il existe une relation d'ordre total dans IQ ;

3) IQ est dense, c'est à dire qu'il existe au moins un rationnel entre deux rationnels quelconques.

Puis, il effectue des coupures dans IQ et définit ainsi, à l'aide de la relation d'ordre, l'ensemble des irrationnels contenant IQ. C'est la première définition du continu portant sur les nombres, mais elle est difficile à appréhender d'une point de vue intuitif.

L'approche de Cantor est géométrico-analytique : il procède par passage à la limite des suites de Cauchy. L'idée de Cantor est de montrer que les suites de Cauchy non convergentes dans IQ, convergent vers des nombres irrationnels ou transcendants : il complète ainsi l'ensemble IQ par ces nombres et montre donc que toute suite de Cauchy qui converge admet une limite dans IR. Cette démonstration définit non seulement l'ensemble de toutes les grandeurs numériques connues, les nombres réels, mais aussi elle définit la continuité de l'ensemble IR, puisque entre deux nombres réels quelconques, il existe au moins un autre nombre réel, défini comme limite d'une suite de Cauchy convergente. Et c'est en 1883, année de publication des Grundlagen, Fondements d'une théorie générale des ensembles, que Cantor présente sa construction de IR, comme complétion de IQ : La bijection entre la droite réelle et l'ensemble des nombres réels est donc établie. Reste que ce nouvel ensemble définit aussi le continu et que cette notion appelle un approfondissement. Cantor se propose alors de continuer sa construction de la théorie des ensembles, afin de caractériser les propriétés inhérentes aux différents ensembles de nombres (IN, Z, ID, IQ, IR).

La puissance du continu

Son premier travail consiste à nommer le nombre d'éléments contenus dans un ensemble : le cardinal. Il constate que l'ensemble IN des entiers naturels est non seulement infini, au sens de Dedekind, mais qu'il est aussi dénombrable, en ce sens que l'on pourrait dénombrer, compter le nombre d'éléments qu'il contient (dans l'absolu). L'ensemble IN est alors qualifié de dénombrable et il lui assigne le symbole w pour désigner son cardinal. Puis Cantor se met en tête de démontrer que IR n'est pas dénombrable, c'est à dire qu'il n'existe pas de bijection entre IN et IR, ceci afin de caractériser plus précisément le continu de IR comme l'indénombrable, l'indivisible, l'incommensurable.

A cet effet, on peut rappeler l'expérience de Zénon d'Elée lorsque celui-ci décompose ou divise le mouvement, donc la continuité, en instants, de telle sorte à montrer l'impossibilité du mouvement. Dans ce que rapporte Aristote de cette expérience, soulignons que Zénon considérait le continu comme une suite d'instants divisibles et c'est cette conception erronée qui lui fit aboutir à un paradoxe. En effet, le temps s'écoule continûment, chaque instant n'étant pas séparé de l'instant suivant. C'est le continu physique (temps et espace) où le tout et les parties tiennent ensemble, sans possibilité de discrimination, sans trou, sans séparation.

Cantor enchaîne les définitions de sa théorie des ensembles :

1) L'ensemble IN des entiers naturels est infini et est qualifié de dénombrable tout ensemble qui peut être mis en bijection avec IN ;

2) Est dit continu tout ensemble qui n'est pas dénombrable, qui n'a pas de « trou », qui n'est pas divisible, et qui peut être mis en bijection avec l'unique exemplaire à disposition, à savoir IR.

Cantor démontre d'abord que l'ensemble IQ et celui des nombres algébriques sont dénombrables et il soumet à Dedekind une première démonstration (par l'absurde) de la non dénombrabilité de IR en 1873, mais cette démonstration est très compliqué et ne satisfait pas entièrement Cantor (esthétique de la démonstration oblige).

En poursuivant ses recherches sur l'ensemble IR, Cantor emprunte à la géométrie projective (et plus particulièrement à Jacob Steiner, 1796-1863) le terme de « puissance » : deux figures ont même puissance si elles sont en bijection par une projection. Il se propose alors de caractériser précisément la puissance du continu, c'est à dire le cardinal de IR.

Tout d'abord, Cantor établit qu'il n'existe pas de bijection entre IN et l'intervalle [0,1]. Or, IR est en bijection avec l'intervalle [0 ;1] donc il n'existe pas de bijection entre IN et IR et finalement IR est non dénombrable.

Ensuite, il considère tout nombre réel de l'intervalle [0,1] comme une suite infinie d'entiers du type 0,x1x2x3x4 ... . Cette suite x1x2x3x4 ... où chaque xi est un entier, peut être représentée par une partie de IN. Or, si ? est la cardinal de IN, alors l'ensemble des parties de IN, qui s'écrit P(IN), a un cardinal égal à 2 ?

Il en déduit que IR et P(IN) ont même puissance et écrit la puissance du continu, c égal à 2 ? .
C'est en fait en 1893 que Cantor utilisera la notation ? , pour désigner le cardinal de IN ; ? (aleph) est la première lettre de l'alphabet hébreu et désigne également le chiffre 1.

Les nombres transfinis - la suite des aleph

Poursuivant ses travaux, entre deux séjours en hôpital psychiatrique, il affirme qu' « il n'existe aucun ensemble infini qui ne soit dénombrable ni continu, entendu que la puissance du continu est immédiatement supérieure à celle du dénombrable ». C'est ce que l'on appelle l'hypothèse du continu, qui fera plancher nombre de mathématiciens et qui fera l'objet de d'un des 15 problèmes que Hilbert posera au nouveau siècle.

Pensant pouvoir exhiber d'autres puissances successives de c, Cantor poursuit ses travaux. C'est alors qu'il exhibe, à son grand étonnement, une bijection entre IR et IR x IR et entre [0,1] et [0,1] x [0,1]. Les démonstrations sont très compliquées, mais la rigueur de Cantor ne le fait pas douter qu'il a trouvé là quelque chose de totalement inédit : une surface continue peut donc être mise en bijection avec un segment continu ; la surface, de dimension 2, et le segment, de dimension 1, ont donc même puissance. Avec cette approche géométrique, Cantor fait de la topologie, en ce sens qu'il étudie la possibilité de mettre en bijection une surface et une courbe, et montre que la continuité assure l'invariance de la puissance. A propos de cette découverte, il écrit en 1877 à Dedekind : « Je le vois mais je ne le crois pas », en français dans le texte.

Quant à Cantor, la déception puis la maladie et la mort le contraignent à abandonner sa recherche de la continuité mathématique. L'édifice reste inachevé. Cantor a découvert ce qui se passe lorsqu'on tente de linéariser une série discontinue de changements. Dans une lettre à David Hilbert de septembre 1897, il montre que la tentative de linéariser les nombres a échoué : « Il y a plusieurs années, j'ai attribué le terme « d'infini absolu » à des totalités que nous ne pouvons pas concevoir comme ensembles (...) » Comment passe-t-on des rationnels aux réels ? Y a-t-il un chaînon manquant ? Ou un saut discontinu ? La continuité est-elle bien définie ? La logique algébrique, analytique, géométrique, l'axiomatique des nombres se refusent à répondre. »

Source

En 1883, Cantor écrivit :

"Ne pas simplement considérer l'infiniment grand sous la forme de ce qui croit sans limite, mais également le fixer de façon mathématique par des nombres, cette pensée s'est imposée à moi logiquement, presque contre ma volonté."

Cantor montre que le nombre de points sur une droite est plus infini (transfini, disait-il) que l'infini des nombres entiers.

C'est la « puissance du continu », disait-il.

L'infini a-t-il une réalité, ou bien est-il une fiction utile au calcul comme le pensait Leibnitz ?

Cantor donna une autre idée de l'infini :

le seul ensemble infini ” en acte “, pouvant être équivalent à des parties de lui-même.

Pour finir, Gödel et Cohen ont démontré que l'hypothèse du continu de Cantor appartient à cette sphère des propositions indécidables, non seulement impossibles à démontrer mais indécidable car la négation est tout aussi acceptable que l'affirmation !!!!

La suite

La continuité, une propriété mathématique ?

Des objets mathématiques continus ou discontinus ?

Continuité et discontinuité sont incompatibles

Qu'est-ce que la continuité et la discontinuité ?

Comment la discontinuité, générale et fondamentale, produit l'apparence de continuité

A nouveau sur continuité et discontinuité

Pourquoi la notion de continu fait de la résistance ?

La discontinuité universelle peut-elle être remise en cause en Physique ?

La discontinuité, un très vieux problème ... qui revient

Discontinuité et mouvement

Lire encore

La notion d'émergence en sciences, cela n'a rien à voir avec du créationnisme

Robert Paris — 2019-03-24T23:55:00Z

La notion d'émergence en sciences, cela n'a rien à voir avec du créationnisme

L'émergence suppose non seulement une discontinuité, un saut, mais, de plus, un tel changement qualitatif tel que la nouvelle structure n'est pas une simple somme des propriétés ni des éléments de l'ancienne ou des anciennes.

Nous avons un nombre considérable d'exemples de telles émergences en sciences et je peux même dire que toutes les structures dont parlent les sciences sont émergentes.

Si elles ne l'étaient pas, il faudrait qu'elles découlent simplement d'additions ou de soustractions d'éléments à partir des anciennes.

Bien sûr, on a longtemps défendu en sciences de telles hypothèses dites réductionnistes du genre :

– l'atome est la somme du noyau et des électrons (et, en plus, des photons d'interaction)

– le noyau est la somme des protons et des neutrons (ou de quelques éléments supplémentaires comme les gluons)

– la molécule est la somme des atomes (avec les interactions entre eux)

– l'étoile est la somme des grandes masses de gaz

– la galaxie est la somme des étoiles

– l'amas de galaxies est la somme des galaxies

– le cerveau est la somme des neurones

– l'être vivant est la somme des organes et de leurs interactions

– l'ADN est la somme des gènes

– la société humaine est la somme des individus

etc, etc…

On n'en finirait pas de citer les exemples de l'ancien réductionnisme.

Tous ses anciens adages, notamment ceux précédemment cités, se sont révélés faux !

Non seulement, on a été contraints de rajouter toutes les interactions aux choses, mais les additions en question n'existent pas.

Si vous additionnez des individus, vous n'avez pas une société.

Si vous additionnez un noyau et des électrons, vous ne construisez pas un atome.

La procédure « addition » n'existe par réellement. La matière, la vie, la société n'additionnent pas.

Il y a des sauts qui ne sont pas décrits par la procédure d'addition.

Les philosophes de l'Antiquité l'avaient déjà compris.

Entre des grains de sable et un tas de sable, il y a un saut qualitatif qui n'est simplement dans le fait de chiffrer le seuil, mais dans la différence de type de réalité.

Un arbre n'est pas une addition d'un tronc, de branches et de feuilles. C'est un processus qui passe par des sauts qualitatifs et pas une addition.

Une forêt n'est pas l'addition d'un grand nombre d'arbres.

Une ville n'est pas l'addition d'un grand nombre d'habitants.

Le saut qualitatif nous pose problème mais nous sommes obligés d'admettre qu'il y a partout dans tout ce qui nous entoure.

Toute structure, qu'elle soit naturelle ou sociale, qu'elle soit matérielle ou vivante, est issue de sauts, de bonds qualitatifs.

Son apparition a été brutale, a apporté un changement considérable, n'a pas simplement mis bout à bout des propriétés ou des objets qui existaient précédemment.

Bien sûr, les scientifiques et les philosophes craignent toujours que l'on cherche à leur faire passer en douce de la camelote magique, mystique, des arnaques pseudo-scientifiques, mais ce n'est nullement le cas pour l'émergence.

La matière a émergé.

La lumière a émergé.

La vie a émergé.

L'homme a émergé.

La société humaine a émergé.

Et ce n'est pas magique, ce n'est pas divin, ce n'est pas inexplicable, ce n'est pas antiscientifique.

La nature, à toutes les échelles et dans tous les domaines, fonctionne exclusivement par sauts, des sauts quantiques aux sauts de systèmes sociaux, par révolutions, ce qui ne signifie pas qu'il y ait aucun miracle là-dedans !

Qu'est-ce que l'émergence ?

Le tout n'est pas la somme des parties…

Pourquoi la matière s'organise spontanément et de manière stable ?

Pourquoi la notion d'émergence d'organisation nous semble indispensable pour comprendre celle de structure en sciences ?

Qu'est-ce que l'émergence de la matière au sein du vide quantique ?

Le coeur, ou l'émergence de rythmes issus du désordre

Encore et à nouveau sur l'émergence…

L'émergence dans la Physique de Robert B. Laughlin

L'émergence de l'homme

Ce qui s'oppose à l'émergence, c'est le réductionnisme

L'émergence d'un au sein du désordre ou auto-organisation

Comment les interactions physiques font-elles émerger les niveaux hiérarchiques des structures matérielles ?

Le lien dialectique entre émergence d'espace-temps et émergence de matière

Emergence du Vivant

Une nouvelle forme du créationnisme : le principe anthropique

Pourquoi la notion d'émergence d'organisation nous semble indispensable pour comprendre celle de structure en sciences ?

Qu'est-ce que l'émergence de la matière au sein du vide quantique ?

La matière, émergence de structure au sein du vide

Emergence de nouvelles espèces vivantes

Emergence des structures de la matière

Le coeur, ou l'émergence de rythmes issus du désordre

Emergence de l'homme

Qu'est-ce que le réductionnisme

L'auto-organisation ou l'ordre spontanément issu du désordre

La vie, l'homme et la conscience s'opposent-ils aux lois physiques de la matière ?

What is Emergence ?

Particle of matter or emergence of structure in the vacuum

The Ways of Matter to Build New Structures

Continuity and discontinuity

Robert Paris — 2018-08-21T22:42:00Z

Read here :

What is continuity and discontinuity ?

Le cheminement discontinu de la nature

Robert Paris — 2018-08-06T22:40:00Z

Le cheminement discontinu : l'éclair, l'image, le courant électrique, la lumière, la matière, l'histoire, le "je" (individuel, social et historique), le mouvement....

On a fréquemment tendance à assimiler les ruptures à des accidents de parcours, des exceptions en somme. De temps à autre, rarement d'ailleurs, on assiste à un tremblement de terre, on subit une crise cardiaque, on a une rupture d'anévrisme ou l'économie subit une chute brutale. Ces cas sont considérés comme des spécificités d'un « fonctionnement normal » qui, lui, serait sans rupture, sans choc, sans discontinuité.

Cette image n'est pas seulement une erreur scientifique, une erreur philosophique, une erreur de vision sociale. Ce n'est pas une simple illusion. C'est aussi un produit du fonctionnement nécessaire de notre cerveau. Nous avons besoin physiquement, moralement, mentalement, psychologiquement de ce sentiment de continuité au point que toute discontinuité nous fait mal. Dès que, pour cause de vieillesse (ou d'enfance) ou de maladie, de choc physique ou psychologique, nous ressentons des ruptures, celles-ci sont ressenties douloureusement. Elles se manifestent par des ruptures de perception ou de mémoire. Qui suis-je, que m'est-il arrivé, pourquoi suis-je là, quel jour on est, quelle heure il est, qui êtes-vous, pourquoi j'ai mal, toutes ces questions peuvent revenir sans réponse. La continuité est rompue. C'est du moins ce que nous ressentons. On parle de trou de mémoire, de lapsus, de troubles passager de l'équilibre, de la mémoire ou des relations avec les autres. Mais quel est alors le « fonctionnement normal » ?

Est-il aussi continu qu'on le prétend ? Il n'est pas nécessaire d'être malade pour ressentir ce type de trous de la continuité de la conscience. Il suffit d'être fatigué, perturbé, drogué, alcoolisé, choqué…. Dans ces différents cas, ce qui arrive n'est pas une interruption d'un fonctionnement normal continu mais une interruption de la capacité cérébrale à effacer les petites ruptures régulières. Imaginez que vous suivez un film. Vous avez un sentiment de continuité de l'image et ce sentiment est très important pour redonner l'impression de la vraie vie. Vous savez pourtant que l'on ne fait que vous projeter des images suffisamment proches dans le temps pour que votre capacité de les distinguer soit insuffisante pour aller aussi vite que le déroulement des images. Mais si c'est votre cerveau qui est le moteur qui règle la vitesse de projection des images dans votre conscience et que votre cerveau est fatigué, que se passe-t-il ? La vitesse de projection est alors ralentie au niveau de votre conscience et vous ressentez les discontinuités. Cela perturbe de façon douloureuse votre vision du monde alentour parce que vous ressentez maintenant la discontinuité. Elle existait déjà objectivement mais vous ne la ressentiez pas. La fatigue n'a fait que mettre en évidence la discontinuité du phénomène qui était seulement masquée. Le « trou » existait déjà mais il est devenu sensible.

Bien des fois, ce sentiment de trou peut être parvenu à notre conscience, momentanément insuffisamment active. Il suffit de légèrement s'assoupir en conduisant sur une route monotone ou une autoroute. Non seulement nous risquons de perdre l'attention indispensable à la conduite au risque de notre vie mais, même si ce n'est pas à ce point, nous avons parfois des sursauts dans lesquels, pendant une fraction de seconde, nous ne savons plus si nous sommes sur la bonne route et nous devons nous interroger sur l'objectif de notre trajet.
A certains moments de notre vie, ces interrogations dues à des ruptures physiques, peuvent nous frapper durement. Des vieux perdent la mémoire de leurs proches ou leur identité. Des adolescents subissent des bouffées délirantes dans lesquelles ils ont brutalement une perte d'identité ou une impression de changement brutal d'identité dans laquelle ils ne se reconnaissent plus, ne reconnaissent plus leurs parents ou leurs proches.

Ce ne sont pas exactement des ruptures d'une régularité. C'est une interruption d'un mécanisme cérébral pour masquer les discontinuités, processus nécessaire sans doute à l'animal que nous étions au début de l'espèce. Dans la vie de notre espèce à ses débuts, il y avait la nécessité pour la survie de l'espèce, menacée tous les jours par des animaux sauvages, d'un mécanisme d'attention capable de rappeler en continu où nous sommes, quelles sont les issues, les plans de fuite possible, où est la bande, où sont les caches, quelles sont las tactiques de fuite. Ces mécanismes étaient vitaux pour échapper à des animaux carnassiers bien plus puissants que l'homme. L'image visuelle en continu est une illusion qui est indispensable dans cet environnement hostile nécessitant des réactions rapides et fondées sur une connaissance acquise de l'environnement et de ses comportements. Bien entendu, observer en continu l'ensemble du paysage qui nous entoure nécessiterait un effort visuel et cérébral exagéré. Le mécanisme choisi consiste à concentrer son attention sur ce qui change ou bouge dans le paysage et non sur ce qui, dans ce paysage, reste immobile ou inchangé. Notre vision, notre attention ou notre audition ne perçoivent donc que les discontinuités, les ruptures, les changements brutaux et qualitatifs. Un changement trop petit, trop lent, est imperceptible. Il faut une discontinuité suffisante pour que l'œil en soit frappé et aussi le cerveau. Deux images proches lui semblent identiques.

C'est le cerveau qui va se charger de transformer cet ensemble d'images discontinues fournies par des yeux qui clignent, qui ne regardent qu'une partie de l'image, qui envoient diverses parties de l'image à diverses parties du cerveau, en une seule image consciente changeant apparemment en continu. Cette apparence est donc un produit du fonctionnement cérébral et non une observation directe de la réalité.

Une image perturbée, discontinue, donnerait une vision floue de la réalité et nuirait à la capacité de prévoir, de se déplacer, de réagir et donc de survivre…

Dans tout phénomène, y compris ceux qui sont apparemment continus, il n'y a pas un seul phénomène à l'oeuvre. Il y en a au moins deux. Dans la nature, tout mécanisme de marche est couplé à un mécanisme d'arrêt. Si une réaction se poursuit, c'est qu'on lui fournit à nouveau de l'énergie et de la matière. le mécanisme qui le fait vient se surajouter au phénomène et le régule ou l'arrête. Il n'y a pas du coup de fonctionnement positif sans fonctionnement négatif. Pas d'attraction sans répulsion. Pas de mode de liaison sans mode de coupure. pas d'action sans réaction. pas de symétrie sans rupture de symétrie. Les deux mécanismes contraires coexistent et sont couplés. Si ce n'était pas le cas, les forces seraient infinies... donc impossible car nécessitant aussi des énergies infinies !

Là où la vitesse semble décrire la continuité (par exemple, des changements réguliers au cours du temps), il y a un autre temps qui intervient : temps des transitions virtuelles, temps de transmission, temps de reconstitution, temps de réapprovisionnement en matière ou en énergie, temps d'inhibition, temps de pause, temps d'émergence de structure, temps de saut de hiérarchie de structure, temps de relaxation, temps de disparition et de réapparition, etc..., qui fait que la dynamique est fondamentalement discontinue.

1- L'éclair de la foudre

Extrait du Cours Electromagnétisme tome un de Feynman

"Nous allons décrire seulement le cas ordinaire d'un nuage dont le bas est négatif, au-dessus d'une région plate. Son potentiel est beaucoup plus négatif que celui de le la terre au-dessous, donc les électrons négatifs seront accélérés vers la Terre. Voici ce qui se passe : tout commence par quelque chose que nous appellerons un "précurseur" qui n'est pas aussi brillant que l'éclair.

Sur les photographies on peut voir un petit point brillant au début qui part du nuage et descend très rapidement - au sixième de la vitesse de la lumière ! Il parcourt 50 mètre environ et s'arrête. Il marque une pause d'environ 50 microsecondes, puis fait un nouveau pas. Il s'arrête de nouveau, puis fait un nouveau pas, et ainsi de suite. Il se déplace par une série de pas vers le sol, décrivant un trajet en zigzag.

Dans le précurseur, il y a des charges négatives provenant du nuage ; la colonne entière est pleine de charges négatives. De plus, l'air est ionisé par les charges en mouvement rapide qui produisent le précurseur, ainsi l'air devient conducteur le long du trajet ainsi tracé. A l'instant où le précurseur touche le sol, nous avons un "fil" conducteur qui conduit jusqu'au nuage et qui est plein de charges négatives.

La charge négative du nuage peut alors enfin s'échapper. Les électrons du bas du précurseur sont les premiers à s'en apercevoir ; ils se déversent laissant derrière eux une charge positive qui attire d'autres charges négatives d'un peu plus haut dans le précurseur, charges qui à leur tour s'écoulent, et ainsi de suite."

2- L'image visuelle

La vision n'est ni instantanée ni fluide, mais elle se fait de manière ponctuelle et rapide (de l'ordre du 1/40 de seconde). Le train d'informations visuelles passe depuis la rétine par les nerfs optiques pour être acheminé vers les aires corticales de la vision à l'arrière du cerveau. La façon dont le cerveau traite ces informations fait l'objet de nombreuses études en neurosciences cognitives, notamment depuis les travaux des Prix Nobel Hubel et Wiesel.

Au sein du système visuel, il a été décrit de nombreuses voies qui forment une architecture complexe chargée de traiter les informations de forme, le mouvement, l'identification des objets, la reconnaissance des visages, etc. Ainsi, par exemple, la sensation de relief n'est perçue qu'au travers de la vision combinée des deux yeux, traitée pour cela par le cerveau qui reconstitue le relief à partir de deux images légèrement décalées. Ce phénomène est exploité par la technique de la stéréoscopie.

On a longtemps cru que le cinéma se servait simplement de la persistance rétinienne pour donner l'illusion du mouvement. En réalité le mouvement observé sur un écran semble essentiellement être une création du cerveau. On distingue quatre phénomènes dans cette illusion :

* Effet de continuité créé par la succession rapide des images (12 images/seconde pour les films d'animation et 18 images/seconde pour les films muets - passés à 24 images/seconde avec le cinéma sonore uniquement pour permettre une intelligibilité suffisante de la bande son). Mais le mouvement n'a l'air tout à fait fluide que vers 50 images/seconde. Par exemple, quand au cinéma il y a un panorama assez rapide, on peut percevoir que le mouvement est saccadé, ce qui reflète la succession des images. Cela est aussi dû au fait que l'obturateur s'ouvre et se ferme 48 fois par seconde, ce qui signifie que chaque image est présentée deux fois, cela pour éviter le papillotement ou scintillement.

* Les premiers films de synthèse, dont chaque image était nette, créaient une impression peu naturelle. On s'aperçut vers 1980 que l'introduction d'un flou artificiel proportionnel au mouvement, comme sur une "vraie" pellicule, donnait paradoxalement un effet plus réaliste.

* Disparition du scintillement. On obtient cet effet en vision centrale vers 50 images/seconde. C'est le cas, par exemple, de la télévision à tube cathodique et à affichage entrelacé (2x25 ou 2x30 images/seconde). Mais si l'on regarde en vision périphérique (il suffit de regarder à côté de l'écran tout en portant son attention sur celui-ci), il y a encore un scintillement. C'est seulement vers 75 Hz qu'il disparaît et à 85 Hz l'image est totalement stable. Il est recommandé de régler le taux de rafraîchissement d'un écran à tube cathodique à ces fréquences pour éviter la fatigue des yeux (et de la tête). Le problème du scintillement ne se pose pas avec les écrans LCD.

* Effet phi qui a lieu même avec une succession peu rapide d'images (10 images/seconde). Si l'on dessine une animation sur un carnet et qu'on feuillette les pages, on peut obtenir une illusion de mouvement. Par exemple, les dessins animés ont parfois peu d'images/seconde.

3- Le courant électrique

La continuité d'un courant électrique est aussi illusoire que celle d'un courant d'eau. Non seulement, le courant est porté par des électrons, particules discrètes, mais il est fondé sur l'émission et l'absorption d'un électron par un atome, phénomène tout à fait discontinu.

L'apparente continuité est un produit de l'action dynamique collective de l'ensemble du nuage d'électrons.

Les électrons dans un métal forment un gaz dégénéré où l'extension de leur fonction d'onde est plus grande que la distance qui les sépare : ils sont en quelque sorte fondus les uns dans les autres. Pour cette raison, le caractère discontinu du courant électrique est masqué dans un métal et même dans un semi-conducteur.
Le contrôle du passage des électrons un par un, est néanmoins possible en combinant deux phénomènes : le franchissement d'une barrière de potentiel par effet tunnel et la répulsion coulombienne entre électrons.
Le circuit élémentaire, appelé "boîte à électrons", permettant de contrôler leur passage est représenté sur la figure 1. Ce circuit se compose d'une jonction tunnel reliée à une capacité Cs
Le rôle de la jonction tunnel est de permettre la séparation d'un électron du reste du gaz électronique du métal, les électrons passant un à un à travers la barrière isolante. La partie comprise entre les deux capacités s'appelle une île. Sa charge q est proportionnelle au nombre n d'électrons ayant franchi la barrière tunnel : q = ne.
Basiquement, on peut définir l'électromigration comme le déplacement d'atomes dans un conducteur induit par un flux d'électron. Ce mécanisme n'apparait que dans les applications où l'on observe de très forte densité de courant comme en microélectronique.
Quand on applique une différence de potentiels à une interconnexion, les électrons circulent du plus faible potentiel (cathode) vers le plus haut potentiel (anode). Les atomes de métaux commencent alors à se déplacer sous l'influence du flux d'électrons qui entre en interaction avec le réseau cristallin. Ce phénomène est appelé échange de quantité de mouvement (momentum exchange en anglais). Le déplacement des atomes est facilité par la présence d'imperfections dans le cristal. Les régions de discontinuités dans la structure cristalline (dislocation) ou les interfaces entre les cristaux (joint de grains) sont, par exemple, des zones privilégiées pour la diffusion des atomes de métal. Quand une interconnexion est terminée par une barrière de diffusion comme le tungstène (W) ou le tantale (Ta), le déplacement des atomes provoque une contrainte de traction au niveau de la cathode où les atomes désertent et une contrainte de compression au niveau de l'anode où les atomes s'accumulent. Le gradient de stress résultant induit une force mécanique qui s'oppose à la force « électronique ».

La diffusion est un processus activé thermiquement qui varie exponentiellement avec la température.

La diffusion des atomes de métal n'est pas un problème en soit. Pour qu'un défaut apparaisse il faut que la quantité de matière arrivant dans une région soit supérieure ou inférieure à la quantité de matière la quittant. Si plus de matière arrive qu'il n'en part, l'accumulation de matière peut aboutir à un court-circuit ou à la rupture de la couche de passivation provoquant ainsi une opportunité de corrosion. Si plus de matière part qu'il n'en arrive, on observe une augmentation de la résistance de la ligne voir une ouverture de la ligne. Dans les lignes, les défauts apparaissent donc dans les zones de discontinuité du flux de matière comme les contacts avec le silicium ou aux vias (connexions entre les différents niveaux de métallisation).

Le déplacement des atomes est facilité par la présence d'imperfections dans le cristal. Les régions de discontinuités dans la structure cristalline (dislocation) ou les interfaces entre les cristaux (joint de grains) sont, par exemple, des zones privilégiées pour la diffusion des atomes de métal. Quand une interconnexion est terminée par une barrière de diffusion comme le tungstène (W) ou le tantale (Ta), le déplacement des atomes provoque une contrainte de traction au niveau de la cathode où les atomes désertent et une contrainte de compression au niveau de l'anode où les atomes s'accumulent. Le gradient de stress résultant induit une force mécanique qui s'oppose à la force électronique.

Lire ici sur la discontinuité du courant électrique

4- La lumière

La spectroscopie est l'étude de l'interaction entre les radiations électromagnétique et la matière. On constate que les atomes et les molécules absorbent les radiations de façon très particulière : seules certaines fréquences de radiation sont absorbées et ces fréquences sont caractéristiques de l'atome ou de la molécule.

Lire ici sur la discontinuité de la lumière

5- La matière

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6- Le mouvement

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7- L'Histoire

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8- Le "je"

Nous avons de multiples occasions de vérifier que les intermittences de la conscience ne sont pas des accidents mais un fonctionnement de celle-ci.
Tout d'abord, cette conscience dépend de l'attention qui n'est pas permanente. Les absences sont des phénomènes parfois perceptibles lorsqu'elles sont longues mais toujours existantes pendant des périodes courtes et peu perceptibles du coup. Cependant, il est toujours possible de vérifier que la conscience n'est pas dans l'instant. Que pensions-nous il y a une seconde ? Rien ! Il faut un minimum de temps pour faire une pensée. Une pensée trop brève est inconsciente. Du coup le continuité de la conscience ne veut rien dire.

Ceux qui ont tenu à cette continuité de la conscience étaient les idéalistes. Pour eux, c'est la conscience qui faisait l'être humain (je pense donc je suis de Descartes) et, du coup, comme je ne peut pas exister par intermittence en tant qu'être, c'est que je pense de manière non intermittente. Et on a ainsi considéré que la seulement interruption ne pouvait être qu'une mort définitive alors que la vie est sans cesse interruptions comme la matière, comme la société…
Il y a sans cesse des trous. La pensée étant fondée sur des petits segments de conscience, ceux-ci ne sont pas accolés mais se suivent seulement après un temps de relaxation…
On vit dans le flou de tes pensées, et le flou de notre conscience est une invention pour lisser la réalité de l'espace temps, fait de ruptures permanentes...
La preuve est que si tu regardes en toi et cherches à imaginer ce que tu vis dans le moment présent, tu ne verras absolument rien. Nous sommes une mémoire vive ouverte sur le monde extérieure, mais avec une très faible capacité d'appréhension du moment. La seule façon que nous avons d'appréhender le monde est en s'exprimant, et en écrivant. Mais ce sont dans les actes d'expressions et d'écritures qu'apparaissent les pensées, et c'est en s'écoutant ou en relisant que l'on "voit" qui nous sommes. On ne vit que dans des décalages, et la conscience du moment présent est impossible.
La conscience humaine entretien l'illusion que notre existence serait permanente pour éviter les souffrances des ruptures d'existence et, du coup, entretient aussi l'illusion que la matière, l'espace et le temps sont lisses, comme des traits continus.
Mais la réalité est tout autre. Les ruptures sont permanentes à ceux qui savent les lire.
Décalage des lois quantiques. Le décalage des lois quantiques est l'apparition des lois de l'infiniment petit dans l'univers des grands.
Ces décalages apparaissent dans la vie des végétaux, des animaux, des systèmes enzymatiques.
Mais est-ce que ces décalages apparaissent aussi dans la vie de l'homme ?
Les pensées, la conscience comme la connaissance humaines sont fondées sur les mécanismes neuronaux qui ne connaissent nullement la continuité. Ce sont des phénomènes quantiques.
Des spécialistes comme Ronan Sandford ont montré que les réseaux neuronaux quantiques pouvaient modéliser la conscience.
Jusque là on savait que les neurones avaient une activité électrique mais pas un réseau électrique linéaire continu et une activité chimique brutale et discontinue (par les synapses). Mais on a découvert ensuite que les neurones avaient une activité magnétique. Les réseaux neuronaux dépendent donc de l'électromagnétisme et on ne s'étonnera ps du coup si leur activité est quantique.

Qu'est-ce que cela implique comme changement ?
Tout d'abord, cela veut dire qu'il n'y a pas de continuité mais des activités discrètes – par unités -.
Cela signifie ensuite qu'il n'y a pas des individualités bien séparées mais des interactions permanentes et la constitution de systèmes collectifs. Et entre ces systèmes, les états sautent (le fameux saut quantique).
Mais au fait, mes neurones justement, comment communiquent-ils entre eux ?
Le point de contact est appelé synapse et la transmission est de nature chimique : un neurone émet au niveau de la synapse des molécules, des neurotransmetteurs. Ceux-ci sont réceptionnés par l'autre neurone et ils provoquent telle ou telle réaction en fonction du neurotransmetteur émis. C'est grâce à ce mécanisme que circule l'information entre neurones. Tout le fonctionnement de notre cerveau repose là-dessus : activité consciente et inconsciente, mémoire, interprétation, émotion, sentiment, décision. Sans neurotransmetteurs, rien. Cette émission de neurotransmetteurs s'appelle une exocytose. Joli nom, non ? Cette exocytose suppose l'ouverture de petites vésicules qui contiennent les molécules à émettre. Jusque là, rien de bien troublant. Oui, mais ces vésicules sont tellement petites, les quantités émises tellement faibles, que l'on se trouve dans les ordres de grandeur où il faut appliquer la mécanique quantique : dès que l'on analyse la transmission synaptique, on doit passer à une approche probabiliste.
Ainsi derrière chacune de nos émotions, chacun de nos réflexes, chacune de nos pensées, il y a un peu du principe d'incertitude.
A partir de cette information, on peut jouer au jeu du « cerveau quantique » :
– Nos pensées sont partout et nulle part à la fois : il est impossible de les localiser et de savoir où elles vont. Si je sais à quoi je pense, je ne sais pas où cela va me conduire. Si je sais où cela va me conduire, je ne sais pas pourquoi.
– Chacune de nos pensées est intraçable : on ne peut connaître que le flux global des pensées et non pas les suivre, une par une.
– Tout confinement conduit à l'agitation : toute tentative d'enfermer un raisonnement dans un cadre étroit provoquera un bouillonnement de la pensée qui permettra au sujet de s'échapper,
Ce caractère quantique explique bien des faits : la non localisation par exemple.
Plus vous essayez de localiser une pensée, plus elle vous échappe.
Plus vous essayez de la préciser dans le temps : à quel moment vous est-elle passée par la tête à la seconde près, plus elle s'étale…
Prenons l'exemple de la pensée liée à une musique.
Les suites de notes provoquent en nous une émotion mais il serait impossible de dire que cette émotion est purement instantanée. Il faut à cette émotion un appel au passé, à la mémoire des émotions et des musiques, mémoire qui a un temps d'intervention bien différent du temps de l'écoute. Une par une les notes ne provoquent pas la même émotion que le succession. Ce n'est pas un phénomène par addition. Les notes évoquent des réseaux neuronaux et un certain arrangement des interactions de certains circuits bien précis qui évoquent le plaisir, la douceur ou la tristesse.
Prenons un tout autre domaine : celui des maladies. On y constate des interruptions de conscience. C'est le cas du petit enfant ou du vieillard. C'est le cas aussi de la personne malade.
Dès que notre fonctionnement a des problèmes, notre manière de masquer les ruptures de conscience ne nous permet plus de ne pas les percevoir.

Un adulte a appris à réguler les interruptions de la conscience de manière à ne plus les ressentir. Ainsi, il protège l'illusion d'une identité en continu.

Mais, dès que nous sommes malades, nous percevons qu'il y a sans cesse des interruptions.
C'est notre fonctionnement corporel et celui de notre mémoire qui nous permettent de cacher les ruptures en ayant un fonctionnement automatique pendant celles-ci…

Un peu comme un pilote d'avion qui mettrait le pilote automatique dans les brefs instants de somnolence…

Par contre dès qu'on est malade, ce n'est pas forcément la maladie qui crée les interruptions de conscience mais le fonctionnement du malade ne lui permet plus de masquer de brèves interruptions de conscience qui se manifestent notamment par une fixité visage, une absence capacité réactionnelle ou motrice, une perte passagère de la mémoire et de la conscience.
On la qualifie de simple ou de complexe, suivant qu'elle est accompagnée ou non de signes neurologiques.
Elle peut être causée par une intoxication, un excès de fatigue ou un trouble passager dû à une mauvaise irrigation du cerveau.
C'est aussi une manifestation mineure de l'épilepsie généralisée (ou petit mal) qui consiste en une brève interruption de la conscience et de toute activité, s'accompagnant de pâleur, fixité du regard, myoclonies (contractions musculaires brutales et involontaires) et parfois d'amnésie complète (diminution, voire perte totale de la mémoire).

Lire ici sur la discontinuité de la conscience

9- Le mouvement

Lire ici sur la discontinuité du mouvement

La suite du discontinu

L'évolution darwinienne des espèces est-elle continue, régulière, progressive, graduelle ?

Robert Paris — 2018-06-29T22:28:00Z

Stephen Jay Gould :

« Si l'on n'invoque pas le changement discontinu par de petites modifications dans les taux de développement, je ne vois pas comment peuvent s'accomplir la plupart des principales transitions de l'évolution. Peu de systèmes présentent une résistance plus grande au changement que les adultes complexes, fortement différenciés, des animaux « supérieurs ». Comment pourrait-on convertir un rhinocéros adulte ou un moustique en quelque chose de foncièrement différent ? »

Comment et pourquoi Darwin a défendu l'hypothèse de la continuité dans l'évolution des espèces et pourquoi et comment le darwinisme contemporain s'en détache tout en conservant l'idée principale de Darwin
Le gradualisme que défendait Darwin :

« Le gradualisme représente peut-être la conviction la plus centrale de Darwin, résidant à la fois au sein de sa pensée et la sous-tendant totalement. Cette notion l'a guidé dans le choix de ses sujets d'étude bien avant qu'il ne se préoccupe de la sélection naturelle et l'a conduit à se pencher sur des thèmes situés largement au-delà de cette dernière. Le gradualisme constitue le cadre explicatif de son premier livre important qui traitait des récifs coralliens (1842) et celui de son dernier ouvrage sur la formation des sols arables et la modification de la topographie par les vers de terre (1881), deux volumes qui ne font pratiquement pas référence à la sélection naturelle. Le principal maître à penser de Darwin, Charles Lyell, avait posé le signe égal entre gradualisme et rationalité. Tous les historiens et les évolutionnistes ont remarqué l'importance centrale du gradualisme, à la fois dans l'ontogenèse (Gruber et Barrett, 1974) et dans la logique (Mayr, 1991) de la pensée de Darwin. (…)

La sélection ne devient créative qu'à la condition d'imprimer une direction à l'évolution, ce qu'elle fait en présidant à la lente et constante accumulation des variations favorables retenues au sein de l'ensemble isotrope des variations. Si le gradualisme n'accompagne pas ce processus de changement, la sélection doit renoncer à ce rôle créatif, et alors le darwinisme ne peut pas rendre compte de l'innovation évolutive. Si d'importantes nouvelles caractéristiques, ou de nouveaux taxa entiers apparaissent grâce à des variations discontinues de grande ampleur, alors la créativité réside dans le genèse de la variation elle-même. La sélection naturelle n'engendre plus désormais l'évolution, et se cantonne dans le rôle d'exécuteur des hautes œuvres éliminant l'inadapté, ne faisant donc que faciliter des changements apparus d'autre façon.

Le gradualisme est donc la conséquence logique de la mise en œuvre de la sélection naturelle sur le mode créatif envisagé par Darwin. Il imprègne aussi totalement la méthodologie génialement inventée par Darwin, parce que la thèse uniformitariste de l'extrapolation ne peut fonctionner si le changement à la plus grande des échelles ne se réalisé pas par la sommation au cours du temps de petites variations, immédiates et appréhendables.

Le gradualisme, pour Darwin, représente une doctrine complexe, présentant différents niveaux de sens, tous interreliés, bien que restant indépendants de certaines façons cruciales. (…)

Au niveau le plus large, le gradualisme est un concept qui soutient simplement qu'un lien historique continu relie des ancêtres et des descendants, sans mention du mode ou du rythme avec lequel s'effectue la transition des uns aux autres. Si les nouvelles espèces apparaissent en tant que création ex nihilo par l'intervention divine, alors qu'il n'y aurait pas de lien unissant des ancêtres et des descendants. Dans ce sens le plus large, l'affirmation du gradualisme revient à celle de l'évolution en tant que fait. Cette assertion était bien entendu vitale pour fonder la révolution promue par Darwin, mais le sens ainsi considéré du gradualisme ne se réfère qu'à l'existence de l'évolution, et ne dit rien de la façon dont elle se déroule ; le lien logique entre gradualisme et sélection naturelle ne peut pas se situer à ce niveau.

Certains évolutionnistes de notre époque ont commis l'erreur de croire que les débats contemporains au sujet du gradualisme portaient sur ce premier sens, de nos jours allant de soi et nullement sujet à controverse… Qui peut penser sérieusement que les partisans de l'équilibre ponctué, ou que n'importe quel scientifique d'ailleurs, voudraient nier la notion de continuité historique d'ancêtres à descendants ? (…)

Par conséquent, ce premier sens, « trop grand », du gradualisme atteste l'existence de l'évolution elle-même (par opposition au créationnisme), mais ne caractérise pas le mécanisme proposé par Darwin, ou pour qui que ce soit d'autre, en matière de changement évolutif.

Nous allons maintenant cerner un sens du gradualisme serrant de près la façon dont procède la sélection naturelle. Cette seconde façon, « juste comme il faut », de comprendre le gradualisme ne porte pas sur la durée que doit prendre une transition, ou sur la variabilité éventuelle de la vitesse du changement. Dans ce second sens, le concept de gradualisme stipule simplement que, en passant d'un état A à un autre B, substantiellement différent, l'évolution doit nécessairement parcourir une longue série d'étapes intermédiaires qui diffèrent insensiblement les unes des autres. En d'autres termes, un ancêtre et un descendant doivent être reliés par une série de changements, chacun se situant dans la gamme de ce que peut édifier la sélection naturelle à partir de la variabilité ordinaire. Sans le gradualisme considéré sous cette forme, de grandes variations sur le mode morphologique discontinu pourraient fournir la force créative du changement évolutif, au lieu que ce rôle revienne à la sélection naturelle. Mais si la minuscule augmentation apportée par chaque étape demeure peu importante par elle-même, alors la capacité créative doit nécessairement résider dans la sommation de ces étapes en quelque chose d'important : or, la sélection naturelle, selon la théorie de Darwin, intervient précisément en tant qu'agent d'accumulation.

Ce sens du gradualisme sous-tend l'invocation souvent formulée par Darwin du vieil aphorisme de Leibniz et de Linné : « Natura non facit saltum » (« la nature ne fait pas de saut »). Cet attachement à ce postulat ne peut que nous frapper comme immodéré et, au regard des normes d'aujourd'hui, comme tellement exagéré. Ainsi Darwin écrit dans « L'Origine des espèces » : « Si l'on arrivait à démontrer qu'il existe un organe complexe qui n'a pas pu se former par une série de nombreuses modifications graduelles et légères, ma théorie ne pourrait certes plus se défendre. ».

Et, de crainte que nous doutions que « ma théorie » se réfère spécifiquement au mécanisme de la sélection naturelle (et non simplement à l'affirmation de l'évolution), Darwin pose souvent un lien explicite entre la sélection comme agent créatif et le gradualisme comme conséquence nécessaire : « Indubitablement, rien ne peut être réalisé par le biais de la sélection naturelle, si ce n'est l'addition de changements infiniment petits ; et si l'on pouvait montrer que (…) les stades de transition sont irréalisables, la théorie s'effondrerait. » (dans Natural Selection, voir Stauffer, 1975, p250).

Et, dans le chapitre de conclusion de l' « Origine des espèces » : « Comme la sélection naturelle n'agit qu'en accumulant des variations légères, successives et favorables, elle ne peut pas produire de modifications considérables ou subites ; elle ne peut agir qu'à pas lents et courts. Cette théorie rend facile à comprendre l'axiome : « Natura non facit saltum ». »

Mais est-il vrai que la théorie de la sélection naturelle « ne pourrait certes plus se défendre » si un seul organe (sans parler d'un organisme entier) pouvait apparaître par des changements de grandes dimensions et discontinus ? Est-il vrai que le darwinisme demande d'obéir à la formulation extrême suivante : « La sélection naturelle n'agit que par la conservation et par l'accumulation d'infimes modifications héréditaires » (« L'Origine des espèces ») (…)

Supposez (comme cela doit arriver souvent) qu'une hétérochronie de développement détermine un changement majeur de forme et de fonction en deux ou trois étapes sans formes intermédiaires. La plupart du temps, la dimension de ces stades peut se situer hors de la « gamme normale » de variation pour la majorité des populations, mais non au-delà des possibilités d'un programme génétique de développement…

La théorie de la sélection naturelle s'effondrerait-elle si les changements sur ce mode étaient fréquents ? Je ne le crois pas. La théorie darwinienne demanderait quelques ajustements et quelques compromis (en particulier elle devrait être plus tolérante sur le non-respect de l'isotropie des variations et prendre beaucoup plus en compte la notion de contrainte interne dans le domaine de la génétique et du développement, mais la sélection naturelle jouirait encore d'un statut bien plus élevé que celui de simple bourreau. Un nouvel organe ne fait pas une nouvelle espèce ; et une nouvelle morphologie doit nécessairement subir un processus d'intégration fonctionnelle (ce qui demande une adaptation supplémentaire et une mise au point fine, probablement élaborée par le biais de la sélection naturelle, quelle qu'ait été l'ampleur de l'étape initiale).

Je pense donc que la défense vigoureuse, voire pugnace, du gradualisme strict par Darwin reflète une prise de position systématique, de portée bien plus vaste que la simple reconnaissance d'un corollaire logique de la sélection naturelle. En fait, je crois que cette conviction forte correspondait à une attitude générale, qui recouvrait l'adhésion à la thèse de Lyell selon laquelle le gradualisme allait de pair avec la rationalité et reflétait aussi le penchant culturel pour le gradualisme à l'époque où la Grande-Bretagne connaissait sa plus grande période d'expansion industrielle et coloniale (Gould, 1984a). Le jugement perspicace de Huxley à propos de l'Origine des espèces résonne encore de nos jours d'un accent de vérité. Dans sa célèbre lettre à Darwin, écrite juste après que cet ouvrage ait été publié, il se disait prêt à « monter sur le bûcher » pour défendre les conceptions de Darwin, mais il y avait aussi avancé sa critique majeure : « Vous vous êtes imposé une difficulté qui était superflue en adoptant avec si peu de réserve la formule « Natura non facit saltum ». » (dans L. Huxley, 1901)

Cependant, Darwin a persisté dans ce sens. Nombreux sont les lecteurs de l' « Origine des espèces » qui ne s'aperçoivent pas qu'une grande partie de ce livre est consacrée à présenter le gradualisme plutôt qu'à défendre la sélection naturelle. Un exemple frappant illustre bien cette assertion : Darwin fait dans cet ouvrage une fameuse (et pratiquement unique) déclaration au sujet de l'évolution humaine ; or, celle-ci mentionne le gradualisme, et non l'évolution naturelle, comme mécanisme ayant augmenté les capacités mentales au cours de l'évolution, et il faudra en tenir compte, nous dit Darwin, dans notre quête socratique pour nous connaître nous-mêmes « La psychologie s'établira sur de nouvelles bases, celles de l'acquisition nécessairement graduelle de toutes les aptitudes mentales, ce qui jettera une vive lumière sur l'origine de l'homme et sur son histoire ».

Le chapitre sur les preuves géologiques, où le lecteur non initié pourrait s'attendre à trouver de puissants arguments en faveur de l'évolution à partir des données les plus directement révélatrices – celles des archives fossiles – révèle en lieu et place de cela une longue argumentation visant (légitimement) à excuser une discordance grave entre les données et la théorie : les archives fossiles sont dominées à première vue par des lacunes et des discontinuités, alors que la théorie de la sélection naturelle demanderait des transitions insensibles. Darwin, avec l'honnêteté qui le caractérise, énonce le problème sans détour ; il évoque brièvement sa méthodologie selon laquelle les étapes successives du changement au cours du temps n'ont pas dû être plus grandes que les différences observées entre les variétés des espèces contemporaines : « Toutes les espèces vivantes, d'après la théorie de la sélection naturelle, se rattachent à la souche mère de chaque genre, par des différences qui ne sont pas plus considérables que celles que nous constatons actuellement entre les variétés d'une même espèce »

Darwin, tout le monde le sait, a résolu cette discordance en qualifiant les archives d'extrêmement imparfaites (tel un livre qui n'aurait plus que quelques pages et seulement quelques lettres préservées sur chaque page), au point que toute continuité véritablement insensible est largement effacée pour donner l'apparence, dans les traces restantes, d'une série de sauts abrupts :

« Pourquoi donc chaque formation géologique, dans chacune des couches qui la composent, ne regorge-t-elle pas de ces formes intermédiaires ? La géologie ne révèle assurément pas une série organique si bien graduée, et c'est en cela, peut-être, que consiste l'objection la plus sérieuse que l'on puisse faire à ma théorie. Je crois que l'explication se trouve dans l'extrême insuffisance des documents géologiques. »

Darwin s'est aussi fait l'avocat de la forme la plus contraignante du gradualisme : selon cette troisième façon de comprendre ce concept, celui-ci ne supposait pas simplement que l'information fût transmise continûment de génération en génération, et pas simplement que le passage entre les innombrables étapes de transition fût insensible. Il demandait aussi que le changement fût graduel même à la plus vaste échelle des temps géologiques et que le mouvement continu (avec des variations de rythme, bien sûr) représentât une caractéristique habituelle de la nature.

Cette acception du gradualisme, aux vastes visées, n'est pas étroitement liée, sur le plan logique, au mécanisme de la sélection naturelle. Le changement pourrait se faire de façon épisodique et brutale, à l'échelle des temps géologiques, mais néanmoins se réaliser par d'insensibles étapes intermédiaires, vues sous l'angle de la succession des générations, car, en vertu du principe crucial relatif aux changements d'échelle, la durée correspondant à la succession des milliers de générations ne représente qu'un petit moment à l'échelle des temps géologiques.

C'est pour cette raison qu'Eldredge et moi-même n'avons jamais considéré que la théorie de l'équilibre ponctué, qui réfute effectivement cette troisième acceptation du gradualisme, mettait en question la capacité créative de la sélection naturelle elle-même (Eldredge et Gould, 1972 ; Gould et Eldredge, 1977, 1993). La théorie de l'équilibre ponctué conteste la théorie de la sélection naturelle sur deux points complètement différents de cette question de la capacité créative de la sélection naturelle, puisque, se fondant sur la configuration géométrique des ponctuations, elle explique les tendances s'exprimant au niveau des clades en fonction du succès différentiel entre espèces (au lieu de faire appel à une extrapolation de l'anagenèse) et souligne la fréquence élevée de la sélection darwinienne s'exerçant exclusivement au niveau des organismes. (…)

Darwin exprime son credo sous la forme d'un résumé concis : « La nature agit uniformément et lentement durant de vastes périodes de temps sur l'ensemble de l'organisation, de toutes les façons pouvant bénéficier à chaque organisme ». Remarquez comment le fondateur de l'évolutionnisme réunit en aussi peu de mots un aussi grand nombre de ses convictions centrales : le gradualisme, l'adaptationnisme, le niveau d'action de la sélection (les organismes).

Mais l'attachement de Darwin à cette troisième façon d'envisager le gradualisme, en tant que mouvement continu et lent à toutes les échelles de temps, s'aperçoit le mieux dans plusieurs erreurs bien apparentes dans l' « Origine des espèces », toutes fondées sur la conviction que le changement s'opère toujours à un rythme régulier (gradualisme dans ce troisième sens) et non sur la conception de transitions insensibles entre étapes intermédiaires, comme le demande véritablement la théorie de la sélection naturelle (gradualisme dans le second sens), ni sur celle de la simple continuité de l'information historique, nécessaire à prouver le fait de l'évolution lui-même (gradualisme dans le premier sens). (…)

Voici un exemple mettant en lumière l'hostilité de Darwin à envisager des épisodes de diversification « explosive » (il invoquait son argument habituel sur l'imperfection des archives fossiles pour nier la façon dont ces épisodes s'observent à l'état brut dans ces dernières et pour en donner ainsi une interprétation qui étalait dans le temps l'apparition des taxa) : Darwin prédit que l'on finirait par montrer que l'explosion cambrienne était un artéfact et que les organismes multicellulaires complexes avaient dû fourmiller tout au long des vastes durées du Précambrien, pour atteindre graduellement la complexité des formes observables à la base du Cambrien…

Les paléontologues ont maintenant de bonnes connaissances sur les êtres vivants du Précambrien. Ceux-ci fourmillèrent, en effet, mais ne comprirent que des formes unicellulaires ou des algues multicellulaires jusqu'à la toute dernière période du Précambrien (à partir de 600 millions d'années avant notre époque) au cours de laquelle se déposèrent les couches du niveau d'Ediacara, peuplées de la faune du même nom. L'explosion de la vie multicellulaire au Cambrien semble aujourd'hui toujours aussi explosive, et d'autant plus explosive que ce phénomène est mis en lumière par l'abondance de la vie précambrienne maintenant connue, et non par un manque de fossiles pouvant être attribué à l'imperfection des archives géologiques.

Darwin, pour sa part, avait prédit que l'existence des organismes multicellulaires remonterait très loin dans le Précambrien. Il a écrit : « Je ne doute pas que tous les trilobites siluriens (cambriens) descendent de quelque crustacé qui doit avoir vécu longtemps avant le Silurien (Cambrien) »

Darwin fit également l'hypothèse, là aussi erronée, que le vertébré ancestral, animal dont le phénotype devait ressembler au Bauplan embryologique commun de tous les vertébrés actuels, avait dû vivre longtemps avant l'aube des temps cambriens : « Il est vain de rechercher des animaux adultes ayant des caractéristiques embryologiques communes à tous les vertébrés tant que l'on n'a pas découvert de strates très loin en dessous des couches siluriennes les plus basses. »

« La sélection naturelle n'agit que par la conservation et l'accumulation de petites modifications héréditaires, dont chacune est profitable à l'individu conservé ; or, de même que la géologie moderne, quand il s'agit d'expliquer l'excavation d'une grande vague diluvienne, de même aussi la sélection naturelle tendra à faire disparaître la croyance à la création continue de nouveaux êtres organisés ou à de grandes et soudaines modifications de leur structure. »

Les trois contraintes posées par Darwin sur la nature de la variation s'inscrivent dans la logique d'un seul et même concept ; la variation n'est qu'un facteur préalable au changement évolutif, lui fournissant seulement un matériau brut et ne lui imposant pas de direction par elle-même, ni ne l'engendrant. L'option en faveur du gradualisme, dans le second sens de l'insensibilité de transition entre les étapes intermédiaires, conduit ensuite à stipuler que le facteur positif de modification procède par minuscules pas. Par conséquent, l'explication d'un changement évolutif donné doit alors consister à spécifier ses mécanismes, ce qui conduit nécessairement à se concentrer sur l'adaptation puisque la nature général du changement répond au modèle gradualiste et que l'on a éliminé la possibilité pour le changement évolutif d'être déterminé de façon interne par la variation elle-même (isotropie des variations). Dans ces conditions, le changement évolutif ne peut, en effet, se réaliser que par l'interaction entre les conditions externes (à la fois biotiques et abiotiques) et le matériau brut équipotentiel constitué par la variation. Et l'ajustement graduel de l'un à l'autre a nécessairement l'adaptation pour résultat primordial. (…) »

Les thèses fondamentales de l'équilibre ponctué de Stephen Jay Gould :

« La théorie de l'Equilibre ponctué ne concerne pas toutes les formes de changement rapide en biologie, se produisant à n'importe quelle échelle ou à n'importe quel niveau. Elle porte sur l'apparition et le déploiement des espèces à l'échelle des temps géologiques. D'autres phénomènes, prenant place à d'autres échelles, sont aussi de type ponctuationniste : c'est le cas, par exemple, des extinctions de masse catastrophiques planétaires déclenchées par la collision de la Terre avec des météorites…

La théorie de l'équilibre ponctué essaie d'expliquer le rôle macroévolutif des espèces et de la spéciation dans le cadre des temps géologiques. Les phases de changement rapide et de stabilité qu'elle décrit se rapportent à l'histoire des espèces individuelles ; et les rythmes et les types de changement qu'elle prend en compte concernent le déploiement de ces histoires individuelles dans un domaine qui nous est familier, celui du « temps profond », autrement dit des temps géologiques, à l'échelle desquels la durée de vie humaine est un infiniment petit absolument impossible à mesurer, et la durée de l'histoire entière de la civilisation humaine par rapport à celle de la phylogenèse des primates comparable à la durée d'un battement de paupière par rapport à celle de la vie humaine…

La conception fondamentale de l'équilibre ponctué comporte trois notions dont il est nécessaire de définir le sens de façon opérationnelle et précise : la stase, la ponctuation et la fréquence relative dominante…

La stase ne signifie pas une « stabilité de granite », autrement dit une totale invariance des valeurs moyennes de tous les traits tout le temps. Dans le contexte macroévolutif de l'équilibre ponctué, il est nécessaire de savoir, par-dessus tout, si le changement morphologique tend ou non à progresser de façon cumulative au long de l'existence géologique d'une espèce et, si oui, quelle fraction de la différence moyenne entre une espèce ancestrale et une espèce descendante peut être attribuée au changement cumulatif subi par l'ancêtre au cours de son évolution anagénétique…

Puisque l'existence de la stase se fonde sur des données, tandis que la ponctuation correspond généralement à une transition qu'il est impossible de détailler par le moyen classique de la distribution des fossiles au fil du temps géologique, il est nécessaire de formuler une définition appropriée de la rapidité… En première approximation, la durée correspondant à un plan de stratification définit la limite pratique imposée à la possibilité de distinguer l'un de l'autre deux phénomènes survenus dans le temps géologique. Tout épisode de spéciation qui se produit en un intervalle de temps correspondant à la durée généralement nécessaire à la réalisation d'un plan de stratification se trouvera ramassé en une seule couche stratigraphique mince, représentant un « instant » à l'échelle des temps géologiques, et ne pourra donc généralement pas être analysé de façon détaillée…

Il faut donc définir les ponctuations par rapport à la durée de la stase des espèces qui en sont issues : car la théorie de l'équilibre ponctué, envisageant le déroulement dans le temps de phases de durée différente, soutient que les espèces acquièrent réellement leurs caractères distinctifs au « moment de leur naissance », et qu'elles le gardent ensuite en stase durant la durée de leur longue existence géologique. Ces questions de durées relatives jouent un rôle important dans la définition des espèces en tant qu'individus darwiniens…

La théorie de l'équilibre ponctué soutient, et c'est sa thèse la plus importante, que cette forme d'évolution est dominante en termes de fréquence relative, et ne dit donc pas seulement que ce phénomène existe… La théorie de l'équilibre ponctué n'affirme pas simplement que ce phénomène existe, mais avance la thèse plus ambitieuse selon laquelle il joue un rôle dominant en tant que forme prise par la macroévolution dans le cadre des temps géologiques…

Eldredge et moi-même avons forgé le terme d'équilibre ponctué dans une communication orale originellement présentée lors d'un colloque intitulé « Modèles en paléobiologie », qui s'est déroulé en 1971 dans le cadre de la réunion annuelle de la Société géologique d'Amérique… C'est ce qui a donné notre article original sur l'équilibre ponctué – Eldredge et Gould, 1972… Un problème nous avait particulièrement agacés, c'était le difficulté de mettre la main sur des séquences gradualistes dans les archives fossiles, afin de pouvoir leur appliquer des techniques statistiques et autres méthodes quantitatives…

Avant que nous ayons proposé la théorie de l'équilibre ponctué, la plupart des paléontologistes pensaient que, pour sa plus grande part, le changement évolutif procédait sur le mode de l'anagenèse, autrement dit par transformation continue au cours du temps d'une population donnée dans son ensemble. C'est pourquoi la plus grande partie des discussions en paléontologie concernant les espèces tournait alors autour d'une question litigieuse, nommément ce qu'on appelle le problème de l'espèce en paléontologie, lequel a sans cesse été remis sur le chantier dans notre littérature (voir Imbrie 1957 ; Weller, 1961 ; McAlester, 1962 ; Shaw, 1969) et a même conduit à des colloques entiers consacrés aux solutions éventuelles (voir Sylvester-Bradley, 1956).

Ce prétendu problème relève plus de la théorie abstraite et des définitions que des faits observés, car il s'appuie sur l'idée selon laquelle l'anagenèse serait dominante dans la réalité. En tout cas, c'est bien dans le cadre du gradualisme qu'il se pose, parce qu'un vrai continuum ne peut être divisé avec certitude absolue en segments auxquels peuvent être attribués des noms distincts. Si une population A change si complètement par le biais de l'anagenèse que l'on se sent obligé de donner à la population en résultant une nouvelle dénomination linnéenne (espèce B), où faut-il placer le point de démarcation entre A et B ? Toute limite de ce genre ne peut être qu'arbitraire…

La théorie de l'équilibre ponctué a adopté une approche radicalement différente : elle a admis que, dans les conditions ainsi définies, il était, en effet, impossible de trouver une limite nette de séparation entre espèce parentale et espèce descendante ; mais elle a alors nié la prémisse empirique précise selon laquelle les nouvelles espèces naissent généralement (ou même souvent) par le biais de l'anagenèse gradualiste.

Au contraire, Eldredge et moi-même avons soutenu que la vaste majorité des espèces naissent à l'issue d'une scission, et que le rythme normal de la spéciation, tel qu'il s'exprime dans les temps géologiques, conduit à l'apparition d'une nouvelle espèce en un instant géologique, celles-ci persistant ensuite de façon prolongée en stase…

Bien entendu, les partisans du gradualisme ne niaient pas que la spéciation se produisit souvent pas scission. Mais ils ne pensaient pas que ce processus de scission jouât un rôle quelconque dans la macroévolution, cela pour trois raisons. Premièrement, ils concevaient la spéciation seulement comme un mécanisme engendrant de la diversité, non comme un facteur de changement de la morphologie moyenne au sein d'un clade (autrement dit, comme un facteur responsable de ce phénomène macroévolutif crucial que sont les tendances évolutives)…

Deuxièmement, ils n'accordaient que peu de place au processus de spéciation (naissance des espèces résultant d'une scission) par rapport à l'anagenèse dans l'ensemble du changement évolutif…

Troisièmement, lorsqu'il leur arrivait d'évoquer un phénomène de spéciation par scission, ils dépeignaient ce processus comme deux épisodes d'anagenèse au-delà de la scission, se déroulant chacun selon le rythme lent caractéristique de cette forme d'évolution. Ainsi, ils n'apercevaient rien de fondamentalement différent dans le changement évolutif réalisé par spéciation. En raison de certains accident de l'histoire, soutenaient-ils, une population se scindait en deux unités séparées, chacune évoluant alors selon le mode anagénétique habituel.

La théorie de l'équilibre ponctué, d'un autre côté, propose que le rythme de réalisation de la spéciation, apprécié à l'échelle des temps géologiques, diffère radicalement de celui de l'anagenèse gradualiste…

Premièrement, la théorie de l'équilibre ponctué assure l'expansion hiérarchique de la théorie sélectionniste au niveau de l'espèce, ce qui permet de dépasser le choix qu'avait fait Darwin de restreindre dans les faits les mécanismes causals de l'évolution au seul niveau des organismes.

Deuxièmement, en définissant les espèces comme les unités fondamentales (ou les atomes) de la macroévolution (autrement dit, comme les entités stables – des individus darwiniens – et non comme des parties arbitrairement délimitées au sein de processus continus), la théorie de l'équilibre ponctué interdit d'expliquer la totalité des aspects à grande échelle de l'évolution par simple extrapolation des résultats de la microévolution obtenus sur des populations locales, à l'échelle du temps humain et au niveau organismisque ou même à des niveaux inférieurs…

En ce qui concerne le rythme évolutif, les équilibres ponctués renversent la vision fondamentale. Il faut abandonner la notion d'un changement constant, qui opérerait sur un rythme bien net et important, et caractériserait l'état normal d'une entité en train d'évoluer. Il faut donc procéder à une révision et voir désormais le changement évolutif sous la forme d'une série de rares épisodes, de durée brève par comparaison à celle des périodes de stase qui les séparent. La stabilité est désormais l'état normal d'un lignage, tandis que le changement est à présent conçu comme un phénomène se produisant rarement et dans une période de temps limitée, mais rendant compte néanmoins de la phylogenèse par le biais d'une série d'épisodes additionnés au cours du temps.

Cette révision fondamentale dans la façon d'appréhender les choses peut trouver des échos dans toutes sortes de domaines, des plus immédiatement pratiques jusqu'aux plus globalement philosophiques.

Dans un cadre concernant plus immédiatement la biologie, la même révision fondamentale dans la façon d'appréhender les choses conduit inéluctablement à mettre l'accent davantage sur le hasard et la contingence que sur la prédictibilité fondée sur l'extrapolation : car l'état ordinaire de stase ne permet guère de savoir quand et comment va se produire la ponctuation suivante, tandis que la nature fractale du gradualisme conduit à penser que les causes du changement à n'importe quel moment peuvent, par extrapolation, permettre de prédire et d'expliquer les vastes effets observés par l'accumulation des petits changements au fil des longues durées…

De nombreuses recherches menées dans le domaine des sciences sociales, des arts et de la littérature, la théorie des révolutions scientifiques de Thomas Kuhn étant la plus connue et la plus influente, ainsi que de nombreux événements de la fin du XXe siècle se sont combinés pour susciter une prise de conscience aigüe du caractère insatisfaisant du gradualisme et de l'acceptabilité générale du changement ponctuationniste, au point d'en faire presque une orthodoxie…

Les données de l'observation scientifique ont aussi contribué au développement de ce mouvement général en fournissant des modèles et des vérifications pratiques à différents niveaux d'analyse et pour plusieurs systèmes. Dans ce cadre, la paléontologie a fourni un apport bien connu, celui d'une théorie d'extinction de masse catastrophique…. »

Extraits de « La structure de la théorie de l'évolution » de Stephen Jay Gould