Matière et Révolution

"De nos jours, la matière n'est pas distribuée uniformément partout dans l'espace, mais est arrangée au lieu de cela dans un complexe "tissu cosmique” de filaments et de murs délimitant des bulles de vide. Des régions avec des concentrations élevées de galaxies sont connues comme des amas de galaxies tandis que des régions de faible densité sont dénommées vides. Cette distribution non homogène de matière est appelée la distribution à Grande Echelle de l'Univers. Lorsque l'Univers est considéré dans son ensemble cette distribution a une apparence similaire au réseau de neurones du cerveau." PGJ Astronomie

A gauche la structure neuronale et à droite la structure matérielle de l'Univers

Les neurones ont la même structure que l'Univers

Le cerveau humain ressemble étrangement à l'Univers

L'univers structuré comme un gigantesque réseau neuromorphique galactique

La structure de l'univers ressemble de façon troublante à celle du cerveau humain

Le neurone, la cellule nerveuse : une fractale

Discontinuité de l'univers et structures hiérarchiques

De l'astrophysique à la microphysique, ou la rétroaction d'échelle

Les bulles de vide et la matière

Univers fractal

La relativité d'échelle de Laurent Nottale et le vivant

Des exemples de chaos déterministe dans les systèmes amortis entretenus

L'universalité des fractales

Le cerveau, comme système critique auto-organisé

Le cerveau humain présente bien des similitudes avec… l'Univers

Les structures de l'Univers et du cerveau humain se révèlent étonnamment similaires

Cascades de structures dissipatives

La théorie du chaos

La convergence des modularités structurelles et
fonctionnelles des systèmes complexes

Chaos déterministe et Philosophie de l'imprédictibilité

Robert Paris — 2022-06-13T22:05:00Z

Notre point de vue sur ce thème

Chaos déterministe et Philosophie de l'imprédictibilité

« Entre le temps et l'éternité » d'Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

« Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré (la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables. »

Pierre Bergé, Yves Pomeau et Monique Dubois-Gance dans « Des rythmes au chaos » :

« Le souci a été de comprendre pourquoi des systèmes simples et déterministes pouvaient présenter une suite erratique d'états. (...) Le chaos n'est pas un produit ou un matériau dont la technologie pourrait s'emparer pour créer de nouveaux appareils commercialisables (...) Le chaos est avant tout un concept, on pourrait presque dire une « philosophie » des comportements dynamiques. Le chaos déterministe est à la frontière entre l'ordre et le désordre (...) Il est probable que dans ce sens, le chaos représente un mécanisme important d'adaptation et qu'il intervient largement dans le monde du vivant. »

John Barrow dans « La grande théorie » :

« Une brisure de symétrie particulière, connue sous le vocable « chaos », présente de nos jours un intérêt bien plus considérable que prévu. L'évolution des phénomènes chaotiques montre une extrême sensibilité à l'état initial. La plus légère modification de l'état de départ conduit à d'énormes différences dans les états ultérieurs. La majorité des phénomènes compliqués et désordonnés, comme la turbulence ou le climat, possèdent cette propriété. L'importance d'un tel comportement fut reconnue pour la première fois par James Clerk Maxwell dans la seconde moitié du 19ème siècle. Invité à donner une conférence sur le libre arbitre dans son collège de Cambridge, il attira l'attention de ses collègues sur les systèmes dans lesquels une infime incertitude sur leur état présent nous empêche de prédire avec certitude leur état ultérieur. Les équations déterministes ne pourraient s'appliquer que si nous connaissions l'état initial avec une parfaite précision (ce qui ne se peut) : « Il va de soi que l'existence de conditions instables rend impossible la prédiction des événements futurs, si notre connaissance des événements présents n'est qu'approximative et non précise. (...) Que les mêmes antécédents donnent lieu aux mêmes conséquences est une doctrine métaphysique. Personne ne peut le démentir. Mais cela ne sert pas à grand-chose dans un monde comme celui-ci, dans lequel les mêmes antécédents ne se reproduisent jamais, et rien ne se déroule deux fois (...) » John Barrow explique ensuite comment une science des phénomènes chaotiques est issue de ces réflexions, science qui est fort différente de la science habituelle. Le chaos déterministe obéit à des lois, dites non linéaires [1], dans lesquelles le moindre changement d'un des paramètres modifie complètement l'allure des résultats. Connaître la formulation très précise de la loi est impossible. Il faut donc analyser l'ensemble de toutes les lois du même type et en tirer une vision d'ensemble des évolutions possibles. C'est une nouvelle philosophie de la science : « Ces études des équations en général plutôt que des équations en particulier nous ont révélé que le comportement chaotique est la règle plutôt que l'exception. (...) Les phénomènes linéaires, prédictibles et simples, (...) sont les plus faciles à comprendre. (...) Nous pouvons analyser les phénomènes linéaires par parties. Le tout n'est rien d'autre que la somme de ses parties. (...) Les systèmes chaotiques non linéaires diffèrent des précédents. Ils requièrent une connaissance de l'ensemble afin de comprendre les parties parce que le tout est bien plus que simplement la somme des parties. »

Pour Peter Saltzstein, la théorie du chaos donne comme résultat philosophique inattendu : l'imprédictibilité de l'avenir

« L'avenir n'est plus ce qu'il était. Cela veux dire qu'une implication intrigante de la branche des mathématiques appelée « théorie du chaos » indique que les états futurs de systèmes dynamiques complexes, tels que la météo, le cerveau humain, le marché boursier, l'évolution et l'histoire elle-même, ne sont pas ce que nous pensions autrefois qu'ils étaient. Plus précisément, la théorie du chaos suggère que le comportement des systèmes complexes peut suivre des lois et que, pourtant, leurs états futurs restent en principe « imprévisibles ». Le comportement des systèmes complexes est extrêmement sensible aux conditions, de sorte que de petits changements au départ peuvent entraîner des changements de plus en plus importants au fil du temps. Par conséquent, la théorie du chaos implique que l'avenir n'est pas prévisible sur la base d'événements passés, comme on le pensait auparavant. Ou dans des mots qui ont été attribués à la fois au physicien Niels Bohr et au manager de baseball Yogi Berra, « La prédiction est très difficile, en particulier pour l'avenir. »

Dans cette veine, nous devrions également prendre un moment pour considérer la sagesse du comédien et philosophe extraordinaire George Carlin : « Personne ne sait ce qu'il faut faire ensuite, mais tout le monde le fait. » C'est aussi important qu'amusant car cela nous rappelle que l'avenir n'est pas indépendant de nous, suivant une ligne droite du passé, mais est constitué par ce que nous, tout le monde et tout le reste fait, dans un mélange type méli-mélo d'actions humaines et d'événements biologiques et physiques qui se répercutent les uns sur les autres. Notre réalité vécue est une réalité dans laquelle les effets qui existent fugitivement sont en train de devenir des causes. Qu'il y ait un « après » est inévitable, mais ce qui vient en fait ensuite n'est pas prévisible, selon la théorie du chaos.

Le Chaos à l'oeuvre

Les simulations informatiques montrent que les systèmes complexes sont extrêmement sensibles aux conditions initiales : c'est « exactement » là où vous commencez qui détermine manifestement comment le système se déroulera. C'est ce que le mathématicien et météorologue Edward Lorenz a découvert lors d'exécutions répétées d'une simulation météorologique par ordinateur, dans laquelle les points de départ du programme ne variaient que par de minuscules différences décimales, et pourtant les conséquences pour les résultats météorologiques étaient dramatiques. Dans un article universitaire de 1972, il appela cela l'« effet papillon », affirmant que le battement d'ailes d'un papillon à un endroit pouvait potentiellement affecter les conditions météorologiques à d'autres endroits lointains.

Les conditions initiales d'un système complexe ne peuvent jamais être déterminées avec suffisamment de précision pour faire des prédictions précises sur son comportement ultérieur. Les mesures ne peuvent en principe jamais être assez précises. Comparez la situation à une droite numérique. Imaginez prendre même les sondes les plus pointues et les utiliser pour localiser un endroit sur la ligne. Étant donné que la droite numérique est continue, et qu'il n'y a pas d'endroit sur la ligne qui ne soit plus divisible en nombres de plus en plus fins, la zone identifiée sur la droite numérique refléterait la taille de la sonde et non un point discret. De même, la détermination des conditions initiales d'un système complexe naturel dépendra toujours de la précision des instruments de mesure utilisés, et ils ne peuvent jamais être assez précis pour une précision absolue.On peut se demander si le comportement d'un système complexe pourrait en effet être si sensible qu'il dépendrait du comportement d'une seule particule subatomique. Considérons le mouvement brownien. En 1905, Albert Einstein montra que le mouvement apparemment aléatoire des grains de pollen en suspension dans l'eau pouvait être expliqué par des collisions avec des molécules d'eau individuelles. Cependant, alors que les mouvements des particules sont soumis aux lois du mouvement de Newton, et donc en principe déterministes, les forces agissant sur elles ne peuvent jamais être mesurées avec précision, et donc leurs trajectoires ne peuvent pas être prédites avec précision.

Bien sûr, dans la plupart des cas, les approximations sont assez bonnes. La température, par exemple, est une bonne approximation de l'énergie des molécules de l'air ambiant. Alors, quand il fait 75 degrés dehors, je sais que je n'aurai pas besoin de veste (sauf s'il pleut). Mais la température de l'air est une moyenne sur la variété d'énergies des molécules d'air environnantes, et bien que la moyenne soit tout ce dont j'ai besoin pour déterminer si je dois porter une veste, les moyennes peuvent masquer les différences dans les mouvements des molécules individuelles qui pourraient être importantes dans le comportement d'un système chaotique tel que la météo.

Pour compliquer davantage la situation, à mesure qu'un système complexe évolue au fil du temps, chaque itération du système - chacun des cycles ou sorties du système - fournit une nouvelle condition qui se réinjecte dans le système. C'est ce que JA Scott Kelso dans « Dynamic Patterns » (1995) appelle la « causalité circulaire ». Nous commençons seulement maintenant à voir que de nombreux processus naturels importants, tels que ceux impliqués dans le changement climatique, ne se déroulent pas de manière linéaire, mais se replient sur eux-mêmes, amplifiant ou atténuant leurs propres effets et se réorientant. Chaque nouvelle itération définit le contexte de l'itération suivante. De nouveaux phénomènes peuvent être ainsi créés.

Une bonne illustration de la causalité circulaire est donnée dans le récit de Iain McGilchrist sur le cerveau en tant que système complexe :

« Des événements n'importe où dans le cerveau sont liés à d'autres régions et peuvent avoir des conséquences sur celles-ci, qui peuvent réagir, se propager, améliorer ou développer cet événement initial, ou bien le corriger d'une manière ou d'une autre, l'inhiber ou s'efforcer de rétablir l'équilibre. Il n'y a pas de morceaux, seulement des réseaux, un éventail presque infini de chemins » ( « Le Maître et son émissaire », 2010).

En effet, les interactions entre les parties d'un système complexe peuvent se produire à différents niveaux au sein du système, créant des relations multi-niveaux très sensibles les unes aux autres. Considérez le récit d'Enrico Coen sur le système respiratoire humain :

« Notre capacité à respirer dépend de l'interaction entre notre système nerveux, nos muscles, notre squelette et nos poumons. La fonction de nos poumons dépend de la composition du mucus qui tapisse ses parois. La composition du mucus dépend des protéines qui transportent les ions chlorure chargés négativement. Des changements dans un seul élément du système intégré peuvent avoir des conséquences désastreuses. Les patients atteints de mucoviscidose ont des difficultés à respirer car ils sont porteurs d'une mutation du gène nécessaire au transport du chlorure. Il suffit d'un changement sur les trois milliards de paires de bases de notre génome pour provoquer la maladie. Le fonctionnement de chaque individu dépend de l'intégration de nombreuses composantes différentes » (« Cells to Civilization » , 2012).

La mort imprévue de la prévisibilité

Pourquoi sommes-nous tentés de penser que nous nous dirigeons vers un avenir défini ? Permettez-moi de suggérer que nous en sommes tentés parce que les choses autour de nous ne sont pas aléatoires mais ont un motif régulier. Le jour succède à la nuit ; une saison suit une autre ; un objet au repos a tendance à rester au repos et un objet en mouvement a tendance à rester en mouvement. Notre monde a ce que le mathématicien John Casti, dans son livre « Complexification » (1994) appelle « la stabilité structurelle » – une stabilité qui rend la vie sur cette planète possible et qui confère un bon degré de prévisibilité. Plus précisément, nous avons découvert que pour qu'une chose se produise, quelque chose d'autre doit se produire avant elle dans une chaîne d'événements. Il s'agit d'une cause à effet standard. Il est donc tentant de voir une fatalité au cours des événements. En philosophie, ce point de vue est connu sous le nom de « déterminisme » : nous ne connaissons peut-être pas l'avenir, mais l'avenir suivra néanmoins au même rythme comme le résultat d'une chaîne d'événements, une chose entraînant mécaniquement une autre chose. Après tout, quelques minutes après avoir mis du pain dans un grille-pain et allumé le grille-pain, je peux prédire avec certitude que j'aurai bientôt de bons toasts chauds.

Les lois du mouvement de Newton représentent un triomphe dans la prédiction du futur basée sur le passé. La perspective newtonienne considère le monde comme un système compliqué comme une machine. Plus précisément, le paradigme est une horloge. Les lois de Newton peuvent être utilisées pour faire des prédictions impressionnantes. Ils nous ont emmenés sur la Lune, après tout.

Il n'est pas surprenant que pendant une grande partie de l'histoire humaine, les régularités observées aient fait croire aux gens que le monde était le résultat d'un concepteur intelligent, et que lui, elle ou lui organisait le monde d'une manière significative et préordonnait le destin de tout à partir d'un acte initial de la création divine. Après tout, raisonnait-on, si nous vivons dans un univers d'horlogerie, il semblerait qu'il faille l'existence d'un horloger. Même aujourd'hui, la science a tendance à partir du principe qu'avec des recherches plus approfondies, des mesures plus précises et des mathématiques plus puissantes, des modèles réguliers et prévisibles seront découverts dans les domaines où la régularité et la prévisibilité ne sont pas encore évidentes. En effet, comme le note le Dr David Kernick, dans le passé, la science a souvent considéré les limitations prédictives « comme des insuffisances de données ou de traitement, des omissions, un biais ou un caractère aléatoire » (« Complexité et Organisations de Santé », 2004).

Einstein a dit en plaisantant : " Dieu ne joue pas aux dés avec l'univers ". Cependant, les électrons, semble-t-il, n'ont jamais rencontré le Dieu non-jeu d'Einstein, car, comme toutes les particules subatomiques, les électrons semblent pouvoir parcourir tous les chemins possibles entre ici et là, et il semble tout à fait aléatoire où ils finissent. Le chemin d'un électron est mieux compris comme une question de probabilité, et non de certitude déterministe. Les particules subatomiques, semble-t-il, jouent en effet aux dés, dans le casino très actif, au niveau microscopique de la réalité. C'est le premier élément d'imprévisibilité absolue pour gâcher notre confiance dans le monde étant un mécanisme prévisible.

Une conséquence philosophique intéressante de la théorie du chaos est qu'elle crée une deuxième fissure dans la notion d'un univers régulier et prévisible, mais maintenant au niveau de notre expérience quotidienne. Dans le passé, nous nous attendions à ce que la causalité entraîne la répétabilité et que la répétabilité entraîne la prévisibilité. Mais la théorie du chaos nous dit que puisque les systèmes dynamiques complexes sont extrêmement sensibles aux conditions initiales, toute tentative d'exécution répétée d'un tel système sera bloquée s'il y a même la plus petite différence dans les conditions de départ du système. Ainsi, même si une chose en suit une autre, cela ne signifie pas que le résultat sera le même, même si le futur est déterminé par le passé.

L'histoire est un mystère

Nous ne pouvons plus non plus considérer l'histoire comme simplement « un fait après l'autre », comme Henry Ford est réputé l'avoir appelé. Que le développement de systèmes complexes dépende de la sensibilité à leurs conditions initiales signifie que l'histoire n'est peut-être pas mieux connue que l'avenir. Puisque les événements passés sont eux-mêmes le résultat d'un comportement chaotique, leur succession va être tout aussi difficile à reconstruire que l'avenir l'est à construire. Comme le dit le poète Paul Valéry : « la difficulté de reconstruire le passé, même le passé récent, est tout à fait comparable à celle de construire le futur, même le futur proche ; ou plutôt, ce sont la même difficulté. Le prophète est dans le même bateau que l'historien » (« Crisis of the Mind », First Letter, 1919).

Non seulement le cours de l'histoire est difficile à reconstruire, mais sa complexité rend les raisonnements hypothético-déductifs – ou dans le langage courant, les « et si… » – encore plus difficiles à spéculer. Les historiens, les philosophes et nous, les gens ordinaires, nous demandons : « Et si tel ou tel était arrivé à la place ? » Prenez le scénario contrefactuel : « Et si JFK n'avait pas été tué ? » Certains historiens prétendent que le président Kennedy était très réticent à engager plus que des conseillers au Sud-Vietnam au début des années 1960. S'il avait vécu et décidé que les troupes américaines ne seraient pas utilisées dans une guerre au Vietnam, la guerre du Vietnam aurait-elle pu être évitée ? Et supposons que Kennedy ait gardé les États-Unis hors de la guerre, quels autres événements en auraient résulté ? Comment pourrait-on dire ? On ne sait même pas quelle combinaison d'événements aurait été nécessaire pour qu'il ait vécu, sans parler de leur probabilité de se produire. Il est trop facile de suggérer que tout ce qu'il avait à faire était d'éviter la condition initiale d'être à Dallas en ce jour fatidique. Pour ce qui aurait été impliqué dans le fait d'éviter Dallas alors ; et quelles auraient été les conséquences pour l'histoire qui a suivi de ce seul changement du cours des événements ? De plus, même si Kennedy n'avait pas été tué, toute la politique qu'il aurait pu essayer d'adopter envers le Vietnam aurait été soumise à de fortes forces compensatoires, telles que sa réélection ; s'il pouvait compter sur l'appui de son propre parti ; les intérêts du complexe militaro-industriel ; les inquiétudes concernant la propagation du communisme ; et le rôle clandestin de l'administration Kennedy et de la CIA qui a consisté d'abord à soutenir puis à renverser le leader sud-vietnamien Ngo Dinh Diem ; et ceci pour ne citer que quelques considérations qui auraient pu jouer un rôle dans la survenue de la guerre du Vietnam. En effet, le rôle du président Kennedy et de ses conseillers dans le soutien du coup d'État de 1963 qui a renversé Diem a été crédité par l'historien et analyste de la sécurité nationale John Prados d'avoir rendu l'Amérique responsable de l'avenir du Vietnam.

Pour en revenir à l'image plus large de la vie elle-même, le fait que les systèmes chaotiques soient extrêmement sensibles aux conditions initiales suggère une certaine créativité dans la nature, puisqu'une telle sensibilité rend possible une sorte de « coudées franches », offrant un espace pour que des résultats des processus naturels soient uniques, au sens de non répétable dans le détail. Le regretté paléontologue Stephen Jay Gould a soutenu que la contingence historique dans ce sens joue un rôle aussi important dans l'évolution que la sélection naturelle. Dans « Wonderful Life » (1990), il a déclaré que si nous pouvions ramener l'évolution sur Terre à ses débuts et redémarrer le processus avec des conditions initiales légèrement différentes, les organismes de notre planète seraient radicalement différents.

La contingence historique peut aussi jouer un rôle dans les lois mêmes de la nature. Dans son livre « Time Reborn » (2013), le physicien Lee Smolin soutient que les lois de la nature elles-mêmes « émergent de l'intérieur de l'univers et évoluent dans le temps avec l'univers qu'elles décrivent ». Il cite favorablement les célèbres physiciens quantiques Paul Dirac et Richard Feynman sur ce point. Dirac note qu'« Au début des temps, les lois de la Nature étaient probablement très différentes de ce qu'elles sont aujourd'hui. Ainsi, nous devrions considérer les lois de la Nature comme changeant continuellement avec l'époque, au lieu de se maintenir uniformément dans tout l'espace-temps. » Et Feynman observe que « Le seul domaine qui n'a admis aucune question évolutionniste est la physique. Voici les lois, disons-nous… mais comment sont-elles arrivées ainsi, avec le temps ?… Donc, il se pourrait qu'elles ne soient pas toujours les mêmes [lois] et qu'il y ait une question historique, évolutive. L'univers pourrait être un système chaotique en évolution, jusque dans ses lois. »

Chaos cosmique

Dans son étude sur les racines sociales des fusillades dans les écoles, « Rampage » (2005), Katherine Newman prévient que « lorsque nous sommes incapables d'expliquer quelque chose [comme les fusillades dans les écoles], nous recherchons la cause la plus proche ou la plus immédiate » plutôt que de chercher à comprendre le réseau plus complexe de facteurs causaux impliqués. Cependant, la théorie du chaos indique clairement que le comportement d'un système complexe ne peut pas être compris en examinant uniquement les causes immédiates du comportement ; il faut comprendre le système.

En fait, leur extrême sensibilité aux conditions initiales signifie que les systèmes complexes ne sont pas isolables mais sont connectés à tout ce qui se passe. Cela rend l'établissement de frontières définitives entre des systèmes dynamiques complexes individuels non simplement arbitraires, mais peut-être fictionnelle. Il semblerait donc que, dans la recherche de la condition initiale déterminante d'un système complexe, il faudrait commencer par la création du temps lui-même, car le Big Bang représente le point discret dans lequel toute la matière et l'énergie de l'univers était comprimées. La théorie du chaos soutient qu'à partir de ce moment, les plus petits changements d'événements entraîneraient de grandes différences dans les états futurs des galaxies. (Comme le montre clairement la théorie de la relativité d'Einstein, les grandes masses façonnent l'espace et le temps, et sont à leur tour dirigées dans leurs trajectoires orbitales par les distorsions dans le temps et dans l'espace que créent leurs masses. Nous aurions donc besoin d'ajouter la contribution causale que les galaxies ont sur le développement de l'autre - un très grand cercle de causalité.)

En effet, à mesure que nous réfléchissons plus profondément aux limites de la nature, nous constatons que ces bornes sont artificielles. Bien que nous ayons tendance à réduire les systèmes à leurs éléments constitutifs, il y a de bonnes raisons de croire que les éléments constitutifs ne sont pas les unités pertinentes pour la nature elle-même, que ce soit au niveau microscopique ou macroscopique. La nature elle-même semble concerner plutôt les interactions (et leurs modèles) entre les parties. Bohr, Heisenberg et les autres pionniers de la physique quantique ont montré que cela était vrai au niveau subatomique, puisque les observations que nous faisons des phénomènes quantiques doivent prendre en compte l'observateur comme partie intégrante des résultats obtenus. Au niveau macroscopique, Einstein a montré que le temps lui-même est relatif à son cadre de référence. Peut-être, alors, que les phénomènes au niveau macroscopique sont aussi en fin de compte connectés dans leur ensemble. Dans leur récent livre « Heart of Darkness » (2013), Jeremiah Ostriker et Simon Mitton résument, avec consternation, une conclusion de Steven Hawking et Richard Ellis : « Les lois physiques locales sont déterminées par la structure à grande échelle de l'univers. Cela signifie que la cosmologie doit être comprise, non pas comme une réflexion après coup divertissante, mais comme le fondement de la physique de laboratoire, qui est une pensée troublante. »

Déstabilisant pour Ostriker et Mitton – mais excellent pour le fil de mon argumentation, car il soutient l'idée que des événements apparemment simplement locaux peuvent ne pas être séparables des événements plus importants du cosmos.

Pour pousser cet argument un peu plus loin, il est prouvé que le comportement des particules subatomiques peut être instantanément connecté à des distances illimitées - un phénomène connu sous le nom d'« intrication quantique non locale ». Ce phénomène défie les notions du bon sens selon laquelle la séparation dans l'espace et le temps rend les événements indépendants les uns des autres. Einstein a décrit avec dédain ce soi-disant enchevêtrement comme « des actions effrayantes à distance ». Alors que de nombreux non-scientifiques ont instantanément tiré des conclusions sur ce que signifie la non-localité et comment elle peut être utilisée - tout ce qui vient de « Star Trek » - comme la téléportation à la spéculation sur un univers conscient - nous pourrions au moins convenir de manière responsable que l'enchevêtrement des particules soulève la question de savoir dans quelle mesure les événements peuvent être considérés comme des occurrences indépendantes, ou plutôt devraient être considérés comme les éléments constitutifs d'un tout.

Conscience Quantique

Enfin, que penser de l'interprétation de Copenhague de la physique quantique ? Selon l'interprétation de Copenhague, notre choix même du comportement atomique à observer détermine ce qui existe. Comme Pascual Jordan, l'un des fondateurs de la théorie quantique, le dit succinctement : « Les observations ne perturbent pas seulement ce qui est mesuré, elles le produisent. » Sur cette interprétation, une frontière nette ne semble pas exister entre les observateurs et l'observé, entre la conscience et les phénomènes atomiques mesurés. Cette conclusion dérangeait Einstein plus que même le comportement aléatoire des atomes, car elle remettait en cause l'existence d'une réalité physique en dehors de l'observateur. Pour reprendre les mots du physicien John Wheeler : « Aussi utile qu'il soit dans les circonstances de tous les jours de dire que le monde existe « là-bas » indépendamment de nous, ce point de vue ne peut plus être défendu. Il y a un sens étrange dans lequel il s'agit d'un « univers participatif ».

Tout cela soulève une question des plus intéressantes : devons-nous repenser nos notions non seulement de l'avenir, mais de qui nous sommes ? Dans la mesure où nous nous identifions à notre conscience, cela semble signifier que chacun de nous est plus intimement lié au monde que nous ne l'imaginons ordinairement. Mais comme d'autres systèmes dynamiques complexes, ce que nous sommes est illimité, même si nous pouvons être distingués d'autres choses à de nombreuses fins, telles que la mort, les impôts et le mariage. Que nous considérions notre connexion à l'univers dans son ensemble comme métaphysiquement fantasmagorique dépend de si (comme dans l'histoire des moines aveugles) nous caractérisons l'éléphant en ressentant ses parties individuelles ; ou au contraire, nous voyons que les parties sont apparues en relation les unes avec les autres et avec l'environnement dans son ensemble, et nous pouvons ainsi identifier le tout.

De toute évidence, la théorie du chaos a mis au jour de puissants processus naturels que nous commençons seulement à comprendre. Alors, que conclure sur l'avenir ? Compte tenu de l'affirmation de la théorie du chaos selon laquelle les systèmes complexes agissent de manière déterministe mais ne sont donc pas prévisibles, nous pouvons dire que les devins et tous ces experts sont surpayés ! Mais pour être sérieux, il y a un sens dans lequel l'avenir est ouvert. Étant donné que les systèmes complexes sont extrêmement sensibles aux conditions initiales, à la rétroaction circulaire et aux interactions avec d'autres systèmes complexes, ce qui va se passer dans le monde semble dépendre de la façon dont tous les systèmes complexes du monde se comportent à chaque instant. L'avenir est donc auto-organisé, mais sans fin, but ou plan particulier.

Un étudiant sur le point de mener une expérience scientifique a demandé un jour à son professeur : « Qu'est-ce qui est censé se passer dans cette expérience ? » en attendant, comme le font les élèves, une réponse prédéterminée. Le sage professeur a répondu : « Ce qui est censé arriver, c'est ce qui arrive. » Sonne comme un bon compte de l'avenir pour moi.

Pr Peter Saltzstein 2016

Une autre lecture

Déterminisme, hasard, chaos, liberté

Robert Paris — 2022-04-24T22:05:00Z

Déterminisme, hasard, chaos, liberté

Engels à Borgius, le 25 janvier 1894 :

« Dans toutes ces sociétés domine la nécessité dont le hasard est le complément et la manifestation. La nécessité qui se fait jour à travers tous les hasards, c'est de nouveau finalement la nécessité économique. »

Engels dans « Dialectique de la nature » :

« La nécessité est aussi inhérente au hasard. »

« Sur le plan de la théorie, la science de la nature s'est obstinée d'une part dans la pauvreté de la métaphysique selon Wolff qui veut que quelque chose soit ou bien nécessaire ou bien contingent, mais non les deux à la fois et d'autre part, dans le déterminisme mécaniste à la pensée à peine moins pauvre, qui supprime en bloc le hasard par une négation verbale pour le reconnaître en pratique dans chaque cas particulier. (...) En face de ces deux conceptions, Hegel apparaît avec des proportions absolument inouïes jusque-là : « Le contingent a un fond parce qu'il est contingent, et aussi bien il n'a pas de fond parce qu'il est contingent ; le contingent est nécessaire et la nécessité elle-même se détermine comme contingence, tandis que d'autre part, cette contingence est plutôt la nécessité absolue ». (Logique : L.II, Section III, ch. 1, La Réalité.) La science de la nature a tout simplement oublié ces principes en les prenant comme des jeux de paradoxes, comme un non-sens se contredisant lui-même. »

« Ce qu'on affirme nécessaire est composé de purs hasards et le prétendu hasard est la forme sous laquelle se cache la nécessité. La causalité linéaire est suffisante pour des phénomènes simples. Mais cette forme simpliste de détermination ne suffit lorsqu'on se trouve devant des systèmes complexes et sensibles. (...) Le hasard n'est pas la négation de la causalité et du déterminisme ; il est la négation dialectique de la nécessité, expression de la richesse des déterminations des systèmes physiques. »

Engels, « L'Origine de la famille, de la propriété privée et de l'État » :
« Mais le hasard n'est que l'un des pôles d'un ensemble dont l'autre pôle s'appelle nécessité. Dans la nature, où le hasard aussi semble régner, nous avons démontré depuis longtemps, dans chaque domaine particulier, la nécessité immanente et la loi interne qui s'imposent dans ce hasard. [Et ce qui est vrai de la nature ne l'est pas moins de la société.] Plus une activité sociale, une série de faits sociaux échappent au contrôle conscient des hommes et les dépassent, plus ils semblent livrés au pur hasard, et plus leurs lois propres, inhérentes, s'imposent dans ce hasard, comme par une nécessité de la nature. Des lois analogues régissent aussi les hasards de la production marchande et de l'échange des marchandises ; elles se dressent en face du producteur et de l'échangiste isolés comme des forces étrangères qu'on ne reconnaît pas tout d'abord et dont il faut encore péniblement étudier et approfondir la nature. Ces lois économiques de la production marchande se modifient avec les différents degrés de développement de cette forme de production ; mais toute la période de la civilisation est placée, dans son ensemble, sous leur dépendance. Et, de nos jours encore, le produit domine les producteurs ; de nos jours encore, la production totale de la société est réglée non d'après un plan élaboré en commun, mais par des lois aveugles qui s'imposent avec la violence d'un cataclysme naturel, en dernier ressort dans les orages des crises commerciales périodiques. »

Environ un siècle après Laplace, Poincaré écrit dans l'introduction de son Calcul des Probabilités un texte dont la tonalité est fort différente de celui de son illustre prédécesseur. C'est entre 1880 et 1910, que Poincaré, qui cherche à prouver la stabilité du système solaire, découvre un nouveau continent issu des équations de Newton et jusqu'alors inexploré.
« Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? Ainsi s'exprime Rerirand, au début de son Calcul des probabilités. La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et, par conséquent semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit.

Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. […]

Pour trouver une meilleure définition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits qu'on s'accorde à regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités paraît s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs. Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable ; si un cône repose sur sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté ; il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale. »

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

La notion de déterminisme en physique et ses limites :
https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00167290/document

Textes divers sur ce thème :

https://www.google.fr/search?hl=fr&q=D%C3%A9terminisme%2C+hasard%2C+chaos%2C+libert%C3%A9+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.fr+OR+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.org&btnG=Recherche&meta=

Henri Poincaré et la révolution des idées scientifiques au vingtième siècle :

http://www.annales.org/archives/x/poincare6.html

Hasard, chaos et déterminisme, les limites des prédictions :

http://www.danielmartin.eu/Philo/Resume.pdf

Hasard, probabilités, incertitude, déterminisme, chaos… :

https://www.cairn.info/revue-raison-presente-2016-2-page-17.htm

Le déterminisme du hasard :

https://www.erudit.org/fr/revues/ltp/2005-v61-n3-ltp1093/012577ar/

Chaos, imprédictibilité, hasard :

https://www.canal-u.tv/video/universite_de_tous_les_savoirs/chaos_impredictibilite_hasard.1070

Hasard et déterminisme :

https://www.pourlascience.fr/p/articles-fond/hasard-et-determinisme-953.php

Un déterminisme affranchi de la contrainte de prédictibilité :

https://www.revistadefilosofia.org/35-04.pdf

Sommes-nous déterminés par le hasard :

https://www.cafephilosophia.fr/sujets/sommes-nous-determines-par-le-hasard/

Lire encore :

https://www.google.fr/search?hl=fr&q=chaos+et+d%C3%A9terminisme+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.fr+OR+site%3Ahttp%3A%2F%2Fwww.matierevolution.org&btnG=Recherche&meta=

Que signifie « L'ordre est issu du chaos »

Robert Paris — 2020-11-11T09:05:00Z

Que signifie « L'ordre est issu du chaos », nous demande un lecteur…

Bien entendu, nous ne voulons pas faire de référence ici aux conceptions bibliques et autres mythes antiques de la « Création », ni des anciennes philosophies asiatiques du type yin et yang, mais à la théorie scientifique dite du « chaos déterministe » découverte par les physiciens Poincaré, Kolmogorov, Feigenbaum et bien d'autres… Des conceptions qui n'ont absolument rien de métaphysiques !

L'ordre est issu du chaos, cette phrase nécessite de comprendre que le « chaos » est déterministe et pas un simple désordre, qu'il est certes agité mais de manière plus cohérente qu'il n'y semble au premier abord. En effet, certains types de lois peuvent donner un apparent désordre, difficile à distinguer du pur désordre, de l'aléatoire par exemple. Ces lois sont dites du « chaos déterministe », ce qui signifie que l'état est sans cesse déterminé mais difficilement prédictible. On dit aussi que le système est « sensible aux conditions initiales », ce qui signifie que le moindre changement des conditions initiales, des valeurs des paramètres de départ, change complètement la suite des événements. La phrase fameuse décrivant cette situation est celle du « battement d'aile d'un papillon qui produirait, à distance d'espace et de temps, une tempête ou quelque chose d'équivalent ». En termes d'Histoire, on parle de « rôle de l'individu ». Le résultat en est l'imprédictibilité des résultats, même si la loi est bien connue.

Quels types de lois sont dans ce cas ? En fait, l'essentiel des lois le sont. Il s'agit de lois non-linéaires, ce qui signifie que les effets ne sont pas complètement proportionnels aux causes.

Peut-on dire que, dans ce cas, « l'ordre est issu du chaos » ? Oui, au sens où, dès que l'ordre est un peu déstabilisé par une intervention extérieure, le phénomène ramène le système à nouveau dans l'ordre permis par le chaos déterministe. Le système a « sauté » d'un état de la courbe chaotique à un autre.

Un exemple est resté fameux : celui du système solaire. On constate que les planètes sont toujours là, en rotation autour du Soleil, malgré les modifications des trajectoires qui changent aussi les forces gravitationnelles agissant sur elles. On a démontré que les lois qui régissent ces forces sont du « chaos déterministe » et que cela explique la grande stabilité du système solaire. C'est bel et bien le chaos qui permet de revenir à un ordre à chaque fois que l'ancien ordre est déstabilisé par un changement de mouvement autour de la planète, par exemple par le passage à proximité d'une grande roche, par un mouvement hiératique d'une pierre satellite, ou par un changement de mouvement d'une autre planète. L'apparent désordre du « chaos déterministe » est un moyen très solide de retour à l'ordre. Plus solide en tout cas qu'un ordre fixe, dans lequel tout changement des conditions extérieures serait déstabilisant. Cependant, ce chaos déterministe entraîne parfois un changement radical et une planète peut ainsi carrément quitter le système solaire, ce qui s'est certainement produit bien des fois dans l'histoire de notre galaxie.

L'ordre issu du chaos signifie qu'un certain type de désordre peut très bien être à l'origine d'un certain type d'ordre. Et l'image s'avère absolument nécessaire dans de nombreuses situations réelles.

En effet, en physique, c'est un désordre apparent qui fonde l'ordre. Ainsi, le désordre du vide quantique a donné naissance à l'ordre des particules, des atomes et des molécules, fondé sur une agitation permanente, manifestée notamment par le mouvement brownien.

Un autre exemple issu d'un tout autre domaine des sciences : le désordre des modifications du capital génétique amène à la formation d'espèces, ayant des caractéristiques spécifiques qui se conservent globalement. Et toujours dans le domaine du vivant : le désordre des interactions moléculaires produit l'ordre de la formation des macromolécules du Vivant. Ou bien, le désordre des croisements entre individus produit l'ordre de l'espèce vivante.

Dans de nombreuses situations, l'ordre ne peut se produire sans être fondé sur un irréductible désordre. C'est ce qu'avaient constaté, avec un grand étonnement, les premiers physiciens quantiques, notamment avec les inégalités d'Heisenberg qui supposent un désordre irréductible.

Mais ce n'est pas en Physique quantique que le chaos déterministe avait fait ses premiers pas et, même si le vide quantique qui le fonde est un chaos déterministe, il fonctionne bien plus souvent en physique classique et y a été découvert par le physicien et mathématicien Poincaré, dans de domaine de la gravitation entre trois corps pesants.

Il n'y a, en effet, pas besoin d'un grand nombre de corps matériels, mais seulement de trois, pour qu'une loi non-linéaire produise, dans certains cas, du chaos déterministe qui se manifeste par un apparent désordre camouflant un ordre caché.

Il n'est pas toujours facile, si on ne connait pas la loi mathématique et si on n'est pas sûr qu'elle existe, de distinguer un chaos déterministe d'un désordre pur.

Par exemple, les messages électriques neuronaux du cerveau sont encore étudiés pour s'assurer de la réponse : désordre pur ou chaos déterministe ? Bien entendu, la réponse est fondamentale pour notre compréhension du fonctionnement cérébral !

On a pu montrer que, lorsque les messages neuronaux deviennent trop stables, sont un ordre pur, on tombe dans une maladie grave : une épilepsie ! L'apparent désordre est donc un moyen important de sauvegarde de la stabilité globale des systèmes. On le voit aussi dans le cas où des croisements génétiques entre individus se produisent entre personnes de capital génétique trop proche : la trop grande stabilité génétique mène à des maladies graves. C'est le cas aussi de personnes qui ont été trop protégées des virus et bactéries.

On se souvient que la plus stable des cellules est la cellule cancéreuse et elle détruit toutes les autres !!!

Une espèce trop stable, trop adaptée, au capital génétique trop fixe, sans expérience de lutte face à un changement ou une agression virale ou bactérienne, par exemple, sera détruite par un changement brutal des conditions extérieures, des maladies, de l'environnement ou du climat.

Le Vivant, comme d'autres systèmes physico-chimio-biologiques et même sociaux, est plus stable en restant fondé sur un apparent désordre.

Un des exemples pour cette remarque est le capitalisme. C'est aujourd'hui qu'il a besoin d'être le plus gouverné par des institutions centrales très interventionnistes qu'il est le plus menacé dans son ordre fondamental. Pour les systèmes dynamiques, la stabilité absolue, c'est la mort…

L'ordre issu du chaos ne signifie nullement l'intervention d'un Esprit supérieur, divin ou autre, mais l'existence d'une stabilité globale fondée sur l'instabilité locale.

L'exemple de la particule quantique est spectaculaire. Elle conserve toutes ses caractéristiques en les faisant sauter sans cesse à grande vitesse d'une particule virtuelle du vide quantique à une autre via un boson de Higgs !!!

L'auto-organisation ou l'ordre spontanément issu du désordre

Thèses sur l'ordre et le désordre dans la matière

La théorie du chaos déterministe

Le chaos du coeur : la régularité, c'est la maladie et le chaos, c'est la santé !

L'effet papillon n'existe plus en matière de climatologie, prétendent les partisans du réchauffement global ?

L'eau : un exemple de chaos déterministe

Climatologie et chaos déterministe

Ordre et désordre, une question dialectique

Le chaos déterministe et le système solaire

Poincaré découvre le chaos déterministe

Qu'est-ce que la sensibilité aux conditions initiales ?

Le chaos quantique

L'image du chaos déterministe

Le chaos déterministe en sciences

Le chaos déterministe dans les systèmes vivants

Le cerveau, ou le pilotage du chaos des interactions neuronales

Hasard et nécessité dans l'expression des gènes

La relation dialectique entre le hasard et la nécessité au sein de l'évolution des espèces

Chaos déterministe et économie

Le hasard et la nécessité sont-ils incompatibles ?

La dynamique non-linéaire, créatrice de nouveauté

Robert Paris — 2016-03-12T00:47:00Z

La dynamique non-linéaire, créatrice de nouveauté

Si la nature possède des capacités de produire des structures nouvelles, c'est grâce à la non-linéarité des systèmes dynamiques….

Phénomènes non-linéaires loin de l'équilibre

Physique non-linéaire

L'idée du non-linéaire

Qu'est-ce qu'un système dynamique ?

Dynamique non-linéaire et chaos déterministe

La création spontanée de nouveauté structurelle dans les systèmes dissipatifs non-linéaires

Le réel n'est pas la succession temporelle, linéaire, logique et graduelle des états actuels

Un exemple : le vivant

Phénomènes non linéaires et astrophysique

Fonctionnement hiérarchisé et non-linéaire des gènes

Pas d'évolution linéaire de la taille du cerveau humain

Introduction à la dynamique non-linéaire

Dynamique non-linéaire et chaos

Dynamique complexe et morphogenèse

Emergence, complexité et dialectique

Instabilités, chaos et turbulence

Lire sur l'auto-organisation des systèmes dynamiques

Lire sur le chaos déterministe, producteur de nouveauté

Les voies du chaos

L'homme devant l'incertain, Prigogine

En anglais :

Chaos and Non-linear Dynamics

Non-linear Dynamics and Chaos

Non-linear Dynamics : Integrability, Chaos and Patterns

Non-linear Dynamics in Physiology and Medecine

Perspectives of non-linear dynamics

The End of Certainty, Ilya Prigogine

Chaos : the New Science

The Question of Self-organization

Chaotic Conceptions

Robert Paris — 2016-02-02T00:50:00Z

Chaotic Attractor

Chaotic Conceptions

Des exemples de chaos déterministe dans les systèmes amortis entretenus

Robert Paris — 2014-06-23T01:12:00Z

Des exemples de chaos déterministe dans les systèmes amortis entretenus

Une évolution de bactéries Dictyostelium discoideum qui est analogue à la “réaction de Belousov-Zhabotinsky”

Le pendule amorti entretenu

L'encensoir, un pendule dont la corde change de longueur, augmentant et diminuant successivement son énergie

Pendule de Pohl

Un pendule de Pohl est constitué :

– D'un disque en rotation autour de son centre.

– D'un ressort spiral, qui exerce un couple mécanique qui tend à ramener le disque vers sa position d'équilibre.

– D'un pointeur placé sur le disque qui permet de repérer les écarts angulaires.

– D'un moteur, relié au ressort spiral, qui forcer les oscillations à une fréquence ajustable par l'utilisateur.

– D'un frein électromagnétique, permettant de régler l'effet d'amortissement (par courants de Foucault).

Oscillateur de Van der Pol

Ce circuit électronique à base de triode développe un régime d'oscillations forcées régies par l'équation de Van der Pol1 (les composants passifs sont : une résistance R, un condensateur C et un circuit couplé d'inductance L et de inductance mutuelle M).

Les courants de convection

Le rythme cardiaque

La formation des nuages

Le chaos cérébral

Le chaos de la boule de billard

Le chaos déterministe du climat

« Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement (...). Il peut arriver que des petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

Henri Poincaré dans « Science et méthode »

« Le mot chaos fut introduit en 1975 par Jim Jorke, mathématicien à l'Université du Maryland et, vers le milieu des années 1970, le chaos devint une discipline scientifique à part entière. Les nouvelles idées étaient appliquées dans des domaines variés. Robert May, qui travaillait alors au département de zoologie de l'Université de Princeton, montra en 1976 comment le chaos justifie l'existence de fluctuations irrégulières dans les populations animales. En chimie, on savait que certaines réactions étaient oscillantes : je suggérai en 1973 que l'on cherche des oscillations chimiques chaotiques. Plus tard, en effet, on les découvrit et cela a donné, à partir de 1980, à une reconstruction complète de la dynamique des réactions chimiques oscillantes par un groupe de chimistes de l'Université de Bordeaux. Parmi les travaux récents inspirés du chaos, les plus passionnants sont, à mon avis, accomplis en astronomie. Jack Wisdon, de l'Institut de Technologie du Massachussets, Jacques Laskar du Bureau des longitudes de Paris et quelques autres étudièrent, à la lumière de la théorie du chaos, les trajectoires des planètes du système solaire. (...) Il existe en biologie de nombreux phénomènes périodiques d'importance vitale : les rythmes cardiaque, respiratoire, hormonal, entre autres. Il est vraisemblable que la théorie des systèmes dynamiques sera utile pour analyser ces rythmes et quelques résultats appréciables sont déjà apparus, en particulier le travail de Léon Glass à Montréal sur le fonctionnement des cellules cardiaques. »

Le physicien David Ruelle dans « Où le chaos intervient-il ? »

« Des systèmes dynamiques ne commencent à présenter des comportements complexes et chaotiques que lorsque leur trajectoire a lieu dans les trois dimensions. Ce n'est qu'alors qu'elles peuvent prendre des formes compliquées en s'enroulant les unes autour des autres sans se couper. »

Le physicien John D Barrow dans « Les constantes de la nature »

Les physiciens Pierre Bergé, Yves Pomeau et Monique Dubois-Gance dans « Des rythmes au chaos ».

« Nous avons surtout souligné les dimensions négatives du chaos dynamique, la nécessité qu'il implique d'abandonner les notions de trajectoire et de déterminisme. Mais l'étude des systèmes chaotiques est également une ouverture ; elle crée la nécessité de construire de nouveaux concepts, de nouveaux langages théoriques. Le langage classique de la dynamique implique les notions de points et de trajectoires, et, jusqu'à présent, nous-mêmes y avons eu recours alors même que nous montrions l'idéalisation – dans ce cas illégitime – dont elles procèdent. Le problème est maintenant de transformer ce langage, de sorte qu'il intègre de manière rigoureuse et cohérente les contraintes que nous venons de reconnaître. Il ne suffit pas, en effet, d'exprimer le caractère fini de la définition d'un système dynamique en décrivant l'état initial de ce système par une région de l'espace des phases, et non par un point. Car une telle région, soumise à l'évolution que définit la dynamique classique, aura beau se fragmenter au cours du temps, elle conservera son volume dans l'espace des phases. C'est ce qu'exprime un théorème général de la dynamique, le théorème de Liouville. Toutes les tentatives de construire une fonction entropie, décrivant l'évolution d'un ensemble de trajectoires dans l'espace des phases, se sont heurtées au théorème de Liouville, au fait que l'évolution d'un tel ensemble ne peut être décrite par une fonction qui croîtrait au cours du temps. Or, un argument simple permet de montrer l'incompatibilité, dans le cas d'un système chaotique, entre le théorème de Liouville et la contrainte selon laquelle toute description définit le « pouvoir de résolution » de nos descriptions ; il existera toujours une distance r telle que nous ne pourrons faire de différence entre des points plus proches l'un de l'autre (…) La nouvelle description des systèmes dynamiques chaotiques substitue au point un ensemble correspondant à un fragment de fibre contractante. Il s'agit d'une description non locale, qui tient compte de la contrainte d'indiscernabilité que nous avons définie. Mais cette description n'est pas relative à notre ignorance. Elle donne un sens intrinsèque au caractère fini de nos descriptions : dans le cas où le système n'est pas chaotique, où l'exposant de Lyapounov est de valeur nulle, nous retrouvons la représentation classique, ponctuelle, et les limites mises à la précision de nos mesures n'affectent plus la représentation du système dynamique. Cette nouvelle représentation brise également la symétrie temporelle. (…) Là où une seule équation d'évolution permettait de calculer l'évolution vers le passé ou vers le futur de points eux-mêmes indifférents à cette distinction, nous avons maintenant deux équations d'évolution différentes. L'une décrirait l'évolution d'un système vers un équilibre situé dans le futur, l'autre décrirait l'évolution d'un système vers un équilibre situé dans le passé. L'un des grands problèmes de l'interprétation probabiliste de l'évolution vers l'équilibre était que la représentation probabiliste ne donne pas sens à la distinction entre passé et futur. (…) La nouvelle description dynamique que nous avons construite incorpore, en revanche, la flèche du temps (…) Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables. Comment comprendre cet énoncé ? Depuis les travaux de Hamilton, on sait qu'un même système dynamique peut être représenté de différentes manières équivalentes par une transformation dite canonique (ou unitaire) (…) L'hamiltonien du système est la grandeur qui détermine son évolution temporelle. Parmi toutes les transformations unitaires, il en existe une qui permet d'aboutir à une représentation privilégiée du système. C'est celle qui fait de l'énergie, c'est-à-dire de l'hamiltonien, une fonction des seuls moments, et non plus des positions. Dans une telle représentation, les mouvements des différentes particules du système sont décrits comme s'ils ne dépendaient plus des positions relatives des particules, c'est-à-dire comme si elles n'étaient plus en interaction. (…) Les mouvements possibles de tels systèmes ont donc la simplicité des mouvements libres. (…) Or, en 1892, Poincaré montra qu'en général il est impossible de définir la transformation unitaire qui ferait des « actions » des invariants du système. La plupart des systèmes dynamiques n'admettent pas d'invariants en dehors de l'énergie et de la quantité de mouvement, et dès lors ne sont pas intégrables. La raison de l'impossibilité de définir les invariants du mouvement qui correspondent à la représentation d'un système dynamique intégrable tient à un mécanisme de résonance. (…) Le mécanisme de résonance peut être caractérisé comme un transfert d'énergie entre deux mouvements périodiques couplés dont les fréquences sont entre elles dans un rapport simple. Ce sont ces phénomènes de résonance – mais, cette fois, entre les différents degrés de liberté qui caractérisent un même système dynamique – qui empêchent que ce système soit mis sous une forme intégrable. La résonance la plus simple entre les fréquences se produit quand ces fréquences sont égales, mais elle se produit aussi à chaque fois que les fréquences sont commensurables, c'est-à-dire chaque fois qu'elles ont entre elles un rapport rationnel. Le problème se complique du fait que de manière générale les fréquences ne sont pas constantes. (…) Ce qui fait que, dans l'espace des phases d'un système dynamique, il y aura des points caractérisés par une résonance, alors que d'autres ne le seront pas. L'existence des points de résonance interdit en général la représentation en termes de variables cycliques, c'est-à-dire une décomposition du mouvement en mouvements périodiques indépendants. Les points de résonance, c'est-à-dire les points auxquels les fréquences ont entre elles un rapport rationnel, sont rares, comme sont rares les nombres rationnels par rapport aux nombres irrationnels. Dès lors, presque partout dans l'espace des phases, nous aurons des comportements périodiques de type habituel. Néanmoins, les points de résonance existent dans tout le volume fini de l'espace des phases. D'où le caractère effroyablement compliqué de l'image des systèmes dynamiques telle qu'elle nous a été révélée par la dynamique moderne initiée par Poincaré et poursuivie par les travaux de Kolmogoroff, Arnold et Moser. Si les systèmes dynamiques étaient intégrables, la dynamique ne pourrait nous livrer qu'une image statique du monde, image dont le mouvement du pendule ou de la planète sur sa trajectoire képlérienne constituerait le prototype. Cependant l'existence des résonances dans les systèmes dynamiques à plus de deux corps ne suffit pas pour transformer cette image et la rendre cohérente avec les processus évolutifs étudiés précédemment. Lorsque le volume reste petit, ce sont toujours les comportements périodiques qui dominent. (…) Cependant, pour les grands systèmes, la situation s'inverse. Les résonances s'accumulent dans l'espace des phases, elles se produisent désormais non plus en tout point rationnel, mais en tout point réel. (…) Dès lors, les comportements non périodiques dominent, comme c'est le cas dans les systèmes chaotiques. (…) Dans le cas d'un système de sphères dures en collision, Sinaï a pu démontrer l'identité entre comportement cinétique et chaotique, et définir la relation entre une grandeur cinétique comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions) et le temps de Lyapounov qui caractérise l'horizon temporel des systèmes chaotiques. (…) Or, l'atome en interaction avec son champ constitue un « grand système quantique » auquel, nous l'avons démontré, le théorème de Poincaré peut être étendu. (…) La « catastrophe » de Poincaré se répète dans ce cas : contrairement à ce que présupposait la représentation quantique usuelle, les systèmes caractérisés par l'existence de telles résonances ne peuvent être décrits en termes de superposition de fonctions propres de l'opérateur hamiltonien, c'est-à-dire d'invariants du mouvement. Les systèmes quantiques caractérisés par des temps de vie moyens, ou par des comportements correspondants à des « collisions », constituent donc la forme quantique des systèmes dynamiques au comportement chaotique (…) L'abandon du modèle des systèmes intégrables a des conséquences aussi radicales en mécanique quantique qu'en mécanique classique. Dans ce dernier cas, il impliquait l'abandon de la notion de point et de loi d'évolution réversible qui lui correspond. Dans le second, il implique l'abandon de la fonction d'onde et de son évolution réversible dans l'espace de Hilbert. Dans les deux cas, cet abandon a la même signification : il nous permet de déchiffrer le message de l'entropie. (…) La collision, transfert de quantité de mouvement et d'énergie cinétique entre deux particules, constitue, du point de vue dynamique, un exemple de résonance. Or, c'est l'existence des points de résonance qui, on le sait depuis Poincaré, empêche de définir la plupart des systèmes dynamiques comme intégrables. La théorie cinétique, qui correspond au cas d'un grand système dynamique ayant des points de résonance « presque partout » dans l'espace des phases , marque donc la transformation de la notion de résonance : celle-ci cesse d'être un obstacle à la description en termes de trajectoires déterministes et prédictibles, pour devenir un nouveau principe de description, intrinsèquement irréversible et probabiliste. C'est cette notion de résonance que nous avons retrouvée au cœur de la mécanique quantique, puisque c'est elle qu'utilisa Dirac pour expliquer les événements qui ouvrent un accès expérimental à l'atome, l'émission et l'absorption de photons d'énergie spécifique, dont le spectre constitue la véritable signature de chaque type d'atome. (…) Le temps de vie, qui caractérise de manière intrinsèque un niveau excité, dépend, dans le formalisme actuel de la mécanique quantique, d'une approximation et perd son sens si le calcul est poussé plus loin. Dès lors, la mécanique quantique a dû reconnaître l'événement sans pouvoir lui donner de sens objectif. C'est pourquoi elle a pu paraître mettre en question la réalité même du monde observable qu'elle devait rendre intelligible. (…) Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l'hypothèse d'un champ induit par l'atome et entrant en résonance avec lui. Le système fini que représente l'atome isolé n'est donc qu'une abstraction. L'atome en interaction avec son champ est, lui, un « grand système quantique », et c'est à son niveau que se produit la « catastrophe de Poincaré ». L'atome en interaction avec le champ qu'il induit ne constitue pas, en effet, un système intégrable et ne peut donc pas plus être représenté par l'évolution de fonction d'onde qu'un système classique caractérisé par des points de résonance ne peut être caractérisé par une trajectoire. C'est là la faille que recélait l'édifice impressionnant de la mécanique quantique. (…) Il est significatif que, partout, nous ayons rencontré la notion de « brisement de symétrie ». Cette notion implique une référence apparemment indépassable à la symétrie affirmée par les lois fondamentales qui constituent l'héritage de la physique. Et, en effet, dans un premier temps, ce sont ces lois qui ont guidé notre recherche. (…) La description à symétrie temporelle brisée permet de comprendre la symétrie elle-même comme relative à la particularité des objets autrefois privilégiés par la physique, c'est-à-dire de situer leur particularité au sein d'une théorie plus générale. »

Prigogine et Stengers dans « Entre le temps et l'éternité »

« Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables. »

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « Entre le temps et l'éternité »

« De nouveaux concepts scientifiques ont été produits d'une manière souvent transdisciplinaire lors des dernières décennies, sous les termes de « théorie du chaos », « théorie de la complexité », « théorie des systèmes dynamiques non linéaires », etc. (...) Les systèmes dynamiques non linéaires éclairent le concept de bifurcation. Une bifurcation correspond en effet au changement de nature d'un attracteur qui surgit lorsque la valeur d'un paramètre de contrôle du système franchit une valeur critique – ou entre dans un domaine de valeurs critiques. Prenons un cas concret mis en évidence dans certaines réactions chimiques : le système constitué de molécules qui, à l'échelle microscopique – celle des molécules individuelles- réagissent entre elles au hasard de leurs rencontres. Une fois la bifurcation franchie – lorsque la concentration de certains réactifs passe une valeur critique-, les comportements individuels des molécules ne changent pas, mais les conditions sont telles qu'il apparaît dans le récipient qui les contient, un ordre spatio-temporel à l'échelle macroscopique- oscillation des concentrations des réactifs, le milieu restant homogène, ou formation d'inhomogénéités spatiales de concentration en forme de spirales. Le changement d'organisation dans le système dynamique non linéaire est une propriété interne au système : c'est une auto-organisation. Cette bifurcation est donc un phénomène ponctué, critique, par lequel le système acquiert un comportement global nouveau et des propriétés nouvelles. On peut dire qu'une telle bifurcation est un exemple simple d'émergence, analysable, et d'où a disparu toute trace de mystère et de vitalisme. » rajoutent Janine Guespin-Michel et Camille Ripoll dans l'article « La dialectique de l'émergence ». Le physicien Hughes Chaté explique dans la revue « Science et Avenir » d'août 2005 : « Les oscillations collectives ne sont pas structurellement régulières. Elles comportent des fluctuations statistiques qui ne se dissipent que dans la limite du nombre infini de sites. On a donc bien une dynamique chaotique, donnant lieu à un désordre spatio-temporel fort (...) Une collection d'oscillateurs microscopiques bruités, couplés entre eux qui se synchronisent spontanément. On l'aura compris, ces oscillateurs n'ont pas d'existence propre. Ils émergent de la dynamique microscopique et sont présents à toutes les échelles intermédiaires (...) De manière générale, les comportements collectifs émergents de systèmes chaotiques couplés ne sont nullement anecdotiques (...) Ils sont plutôt la règle que l'exception (...) Les comportements collectifs tels que nous les décrivons ici sont bien robustes et donc parfaitement génériques. »

Ouvrage collectif de Lucien Sève

Le pendule chaotique

« Dans le chaos, une cause simple, ne faisant intervenir que trois variables, entraîne des effets complexes. Prenons un pendule. C'est un système à deux variables (la position et la vitesse angulaires), et son comportement est régulier : il part de la gauche passe au point le plus bas, remonte à droite, ralentit, repart vers la gauche, et recommence sans cesse. Quand on lui ajoute une troisième variable, par exemple en soulevant périodiquement son extrémité supérieure, alors le système peut devenir chaotique. Aucune des trois variables en jeu n'est aléatoire, et pourtant, on ne peut plus prévoir le mouvement de ce système, qui ne fait jamais deux fois la même chose. Le chaos est donc un phénomène réel que n'importe qui peut expérimenter chez lui. Il suffit de coupler deux systèmes qui, pris indépendamment, sont extrêmement simples. Le chaos n'est pas une cohue énorme ; son désordre n'est qu'apparent. Un système chaotique est imprévisible, mais il est parfaitement décrit par des équations simples et déterministes. Le lien entre ces deux notions paradoxales, déterminisme et imprévisibilité, est la propriété de sensibilité aux conditions initiales : deux conditions initiales semblables peuvent conduire à des états très différents du système. Cette propriété est la principale caractéristique des systèmes chaotiques. »

Pierre Bergé et Yves Pomeau dans Le Chaos, "Pour la science", janvier 1995

Cet exemple simple, le pendule amorti entretenu, n'existe pas dans la nature et pourtant il offre une image considérablement plus riche que le pendule périodique. Car nombre de phénomènes proviennent de deux transformations couplées, l'une beaucoup « étant plus rapide que l'autre. Ainsi, une particule qui perd régulièrement de l'énergie n'en reçoit que par un choc brutal : la réception d'un photon. La matière est sujette, jusque dans ses phénomènes microscopiques, de propriétés chaotiques parce qu'elle ne peut se conserver que grâce à des chocs par lesquels elle gagne de l'énergie. Plus l'énergie en jeu est importante, plus le temps d'intervention doit être court. La discontinuité est brutale et elle fait partie intégrante de l'ordre qui ne peut plus être considéré comme régulier ni périodique.

« Un pendule magnétique est un petit aimant suspendu par une barre rigide, mobile, avec un faible frottement autour du point fixe. Au-dessous de ce pendule, nous plaçons plusieurs autres petits aimants qui attirent ou repoussent celui qui est suspendu. En général, il existe plusieurs positions d'équilibre. A laquelle de ces positions le système aboutira-t-il si on le laisse évoluer à partir d'une position hors de l'équilibre ? Quand on fait l'expérience, on voit le pendule osciller irrégulièrement en faisant parfois de brusques virages. Parfois, il semble s'arrêter, puis il repart et s'immobilise finalement dans une des positions d'équilibre pratiquement imprévisible au départ… Si la position et la vitesse initiales du pendule ne sont pas connues avec une précision extrême, l'état d'équilibre final n'est en pratique pas prévisible. »

Extrait de « Déterminisme et prédictibilité » de David Ruelle

Le moulin à eau chaotique

Prenons la roue d'un moulin à eau. A l'extrémité des rayons de cette roue, plaçons des godets que nous perçons de gros trous. Amenons maintenant une arrivée d'eau juste au-dessus du godet situé au sommet du dispositif. Ouvrons le robinet. Si nous l'ouvrons très peu, le filet d'eau coule directement par le trou du godet n°1, et ne parvient pas à le remplir : la roue reste fixe. Si nous ouvrons un peu plus le robinet, le godet n°1 se remplit peu à peu. Il déséquilibre la roue qui se met à tourner. Les autres godets passent successivement sous le robinet, mais ne se remplissent qu'un peu. Lorsque la roue a parcouru un tour complet, le godet n°1, à présent vide, se retrouve sous le robinet. La roue, entraînée par son mouvement, continue sa rotation, et ainsi de suite : elle acquiert assez vite un mouvement uniforme qui peut durer indéfiniment. Maintenant, recommençons l'expérience et ouvrons le robinet un peu plus fort.

Le godet n°1 se remplit très vite. Il pèse sur la roue qui s'ébranle ; le godet n°2 se remplit également ; la roue accélère, entraînée par ces masses combinées ; le godet n°3 se remplit, mais beaucoup moins que les deux premiers ; la roue tourne ensuite trop vite pour que les godets suivants se remplissent. Résultat : alors que la roue va achever son premier tour, les godets 1 et 2, qui remontent vers le robinet, sont encore à moitié pleins d'eau, alors que les gobelets suivants sont vides. Les gobelets 1 et 2 freinent alors la roue qui... inverse son mouvement. Bravo ! Vous venez de construire une "roue à eau" de Lorenz, qui compte au nombre des "systèmes sensibles aux conditions initiales" : lorsque vous voyez la roue tourner, vous savez qu'elle va changer de sens à un moment ou l'autre ; mais aucun ordinateur au monde ne peut prédire dans quel sens elle tournera dans quelques heures, pour une raison simple : c'est que le nombre d'opérations nécessaires pour effectuer une prédiction fiable est exponentielle en fonction de l'éloignement de la prédiction dans le temps. Autrement dit, plus vous cherchez à prédire longtemps à l'avance, plus vous devez effectuer de calculs ; et assez vite, ce nombre de calculs confine à l'infini.

Situation tout à fait renversante : nous pouvons décrire intégralement ce système, nous savons très bien comment il fonctionne, nous pouvons écrire les équations qui le régissent (en somme, il est déterminniste au sens de Laplace et du positivisme de Comte) ; et cependant il est imprédictible : aucun groupe d'ordinateurs au monde ne peut calculer son état futur. Il en va de même avec la météo (Lorenz était météorologue), où trois facteurs fondamentaux (vitesse du vent, hygrométrie et température), assez simples par eux-mêmes, entretiennent des rapports d'interaction réciproques si complexes qu'il est rigoureusement impossible de prévoir avec certitude et précision la météo dans quinze jours - même si toute la surface de la Terre était couverte de capteurs ultrasensibles et que nous coordonnions toutes les capacités de calcul du monde.

Ces phénomènes bizarres, à la fois déterministes et imprédictibles, sont appelés "chaotiques". Le mathématicien Nicolas Mandelbrot les décrit en 1975 dans sa Géométrie fractale de la nature. Au départ, la communauté scientifique croit qu'il s'agit simplement d'une curiosité mathématique. Depuis, en trente ans, on a découvert que la théorie du chaos et la géométrie fractale présentent des applications dans tous les domaines : embouteillages, croissance des plantes, dynamiques des populations, battements du cœur, accouchement, erreurs informatiques, cours boursiers, mouvements de foule, description du vol des oiseaux en groupe et déplacement des poissons en banc, réactions nucléaires en chaîne, porosité des sols, orbites des planètes, précipités chimiques, érosion des côtes, formation des nuages...

A lire sur le chaos déterministe

Les nuages, exemple de structure émergente chaotique fractale

Robert Paris — 2011-05-18T05:50:54Z

Images de nuages

Bien des phénomènes observables quotidiennement sont plus étonnants qu'il n'y paraît : la condensation des nuages se fait plutôt dans les montagnes où l'air est plus froid alors que l'air chaud monte.

L'électromagnétisme détermine des mouvements au sein du nuage, mouvements qui sont déterminants dans l'énergie du nuage, qui pousse la masse à remonter vers le haut du nuage, combattant ainsi la gravitation. C'est ce qui amène ce phénomène étonnant : des masses considérables d'eau qui tiennent dans l'air sans tomber…

Les nuages ne sont pas seulement des produits de la condensation de l'eau liée aux jeux de la chaleur et de la pression : la longueur d'onde des rayons lumineux joue aussi, par exemple pour définir le niveau d'altitude de la base du nuage. L'électromagnétisme détermine des mouvements au sein du nuage, mouvements qui sont déterminants dans l'énergie du nuage, qui pousse la masse à remonter vers le haut du nuage, combattant la gravitation.

Tous ces phénomènes sont dynamiques alors que, spontanément nous raisonnons de manière statique, ils produisent des contradictions et ne sont pas linéaires alors que, spontanément, nous raisonnons de manière non dialectique et linéaire. Ils présentent des discontinuités, des sauts qualitatifs, des contradictions… Les différents états de la matière ne se comportent pas souvent comme on l'imagine et ne sont pas exactement ce qu'on imagine. La matière n'est pas faite de choses mais de structures émergentes, ce qui est profondément différent. Elle n'est pas fondée sur des équilibres stables, image qui nous est donnée par l'univers apparent à notre échelle.

Le nuage qui semble sur une courte durée avoir une forme et un contenu à peu près donné est l'objet de changements beaucoup plus brutaux et violents qu'il n'y paraît, changement dans lesquels des masses de molécules descendent et d'autres montent sans cesse au sein du nuage.

Cela explique qu'il nous paraisse difficile à comprendre comment un nuage calme, même s'il est très noir, va d'un seul coup déverser une masse immense d'eau, de grêle ou de neige, ou encore provoquer un violent orage.

En réalité, l'apparence calme du nuage n'est qu'illusion et cette masse est sans cesse le produit de confrontations brutales qui, en temps normale, produisent la conservation globale de la structure mais, parfois, provoquent sa rupture.

Les nuages ne sont nullement des objets fixes. Il y a sans cesse des colonnes d'air montantes et d'autres descendantes. Chez certain type de nuages, le bourgeonnement violent au dessus du nuage témoigne du caractère éruptif des phénomènes considérés. Mais, même dans les autres, le nuage n'est jamais une chose fixe ni ressemblant à une chose fixe. Il n'existe que du fait d'un énorme désordre qui donne globalement une illusion de conservation d'ensemble. Mais le nuage a une relativement courte durée de vie et sa structure se dissout assez rapidement dans l'air, pour former à côté de nouveaux nuages.

Une autre raison de comprendre difficilement les nuages est le fait qu'on les imagine comme des masses de gouttelettes et de vapeurs d'eau alors que les petits cristaux y jouent aussi un grand rôle. Le nuage est la coexistence des trois états : gaz, liquide et solide et le jeu des sauts entre ces états. La formation de cristaux a des effets parfois violents comme la formation de grands trous au sein des masses nuageuses.

Toute la matière, sous toutes ses formes et à toutes ses échelles, est par bien des aspects du même type que le nuage : des confrontations brutales avec des changements radicaux qui, le plus souvent, entraînent la conservation globale de la structure et, parfois, provoquent sa rupture.

Un des aspects que l'on oublie souvent est que le nuage est une masse électrisée comme l'est la matière. Mais, étant l'objet de mouvements violents, l'électrisation prend un caractère à grande échelle avec, notamment, des électricités opposées sur le sommet du nuage et à sa base et avec une électrisation provoquée sur l'air environnant.

Pourquoi le nuage (porteur d'eau plus lourde que l'air) ne tombe pas du fait de son poids ?

Les gouttes d'eau suffisamment grosses tombent du fait de leur poids mais, en tombant, elles se réchauffent. Si elles ne parviennent au sol en pluie (ou neige ou grêle), elles redeviennent du gaz, de la vapeur d'eau lorsqu'elles atteignent un seuil d'altitude du nuage (niveau marqué par la base plate du nuage). Cette vapeur remonte alors dans le nuage. Durant ce mouvement permanent, il y a échange d'une énergie considérable qui maintient un dynamisme du nuage et lui permet de se conserver dans son ensemble même si l'état et la position des gouttes change sans cesse. C'est cela qui empêche cette masse énorme d'eau de tomber immédiatement.

Les nuages, des structures dynamiques...

La première figure correspond à une texture générée automatiquement par simulation fractale. La deuxième figure représente celle d'un vrai ciel légèrement nuageux prise par un appareil numérique. (voir site Damien Rohmer)

Les nuages sont des systèmes dynamiques

Extrait de l'ouvrage de Bernard Sapoval, "Universalités et fractales" :

"La première catégorie de fractales apparaît dans l'étude des phénomènes aléatoires. (...) Les mouvements browniens, les vols de Lévy, la percolation, l'agrégation, les fronts de diffusion sont des exemples de cette géométrie née du hasard. (...) La deuxième catégorie de phénomènes dans lesquels nous voyons apparaître des objets fractals est l'étude des itérations, comme dans le cas des ensembles de Julia et de Mandelbrot, ou plus généralement des systèmes dynamiques, systèmes non linéaire, dont l'étude de la turbulence par exemple. (...) Nous avons vu que même des systèmes d'une extrême simplicité, dont le fonctionnement est strictement causal, sont capables de posséder des états apparemment aléatoires. (...) La troisième catégorie de phénomènes où interviennent des fractales est celle des phénomènes d'interfaces naturelles ou artificielles(alvéoles pulmonaires, racines des plantes, bassins fluviaux, électrodes dans les batteries). (...) S'il est un domaine des sciences de la nature où l'irrégularité géométrique et l'irrégularité temporelle jouent un rôle capital, c'est bien la géophysique. Nous avons vu que des procédures simples permettaient de reproduire des montagnes tout à fait vraisemblables ou que des côtes étaient souvent fractales. Mais il en va de même de beaucoup de structures de notre environnement géophysique. Il peut s'agir tout aussi bien de structures géométriques des couches géologiques, de réseaux de failles géologiques, ou de géométrie d'objets de la géophysique externe, comme les nuages. (...) Les nuages aussi obéissent par leur forme aux lois de la self-similarité. Les petits et les gros nuages ont des formes comparables. Les propriétés de ces nuages vont dépendre bien sûr de leur structure. Par exemple, de la façon dont ils absorbent la lumière. (...) Son absorption sous forme de chaleur dépendra de la taille et de l'épaisseur du nuage sous forme de loi de puissance. "

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « La nouvelle alliance » :

« La thermodynamique des processus irréversibles a découvert que les flux qui traversent certains systèmes physico-chimiques et les éloignent de l'équilibre, peuvent nourrir des phénomènes d'auto-organisation spontanée, des ruptures de symétrie, des évolutions vers une complexité et une diversité croissantes. »

Que sont les fractales ?

Les fractales sont des formes qu'on retrouve à plusieurs échelles successives emboitées.

Un objet non fractal a une dimension entière : un pour la droite, deux pour la surface et trois pour le volume. La dimension d'un objet réel peut être obtenue par rapport entre volume et surface. Celle d'un nuage avoisine 1,36, nombre qui correspond à celui obtenu en théorie de la diffusion turbulente relative. C'est une fraction d'où le nom de fractale.

Que sont les nuages ?

Les nuages ont des formes sans cesse changeantes qui nous interpèlent dès notre enfance. Ces formes sont à la fois imprédictibles et étudiables. Elles semblent complètement au hasard. Ce n'est pas le cas puisque les nuages ont des formes caractéristiques en fonction des conditions de leur formation. Cependant, ils sont "sensibles aux conditions initiales", ce qui fait que tout changement dans un niveau d'échelle en entraîne d'autres aux autres niveaux, d'où cet apparent hasard qui semble guider les modifications permanentes.

Les nuages proviennent de la convection. H.Bénard découvrit en 1900 qu'un fluide chauffé par le bas se mettait en mouvement et s'organisait pour former des "cellules de Bénard". Ces structures hydrodynamiques expliquent bon nombre de phénomènes convectifs, comme les nuages cumuliformes, les champignons atomiques ou la granulation solaire.

En fait, la turbulence provient de lois et non du hasard pur. Ce sont des phénomènes déterministes mais aléatoires du fait de la sensibilité aux conditions initiales.

Le nuage est un milieu hétérogène dans lequel on trouve :

- de l'air sec et de la vapeur d'eau saturante,

- de l'eau liquide à température positive ou négative surfondue,

- des cristaux de glace associés à l'eau ou seuls,

- des particules solides : sable, suie, poussières, sel marin, etc. ,

- des particules liquides non aqueuses acides.

Cet ensemble est maintenu en suspension dans l'air par les forces d'agitation permanente au sein même des particules synoptiques ou aérologiques.

Les gouttelettes d'eau sont formées en atmosphère saturée par condensation de la vapeur d'eau (toujours présente dans l'atmosphère) en présence de particules solides en suspension appelées noyaux de condensation.

Les noyaux de condensation jouent le rôle de catalyseur de condensation et sont de plusieurs origines :

- minérale : suie volcanique, cristaux de sable,

- marine : cristaux de sel marin NaCl que le vent arrache aux embruns,

- humaine : combustions industrielles, pollution.

Ils sont de 2 sortes :

- les gros noyaux : (diamètre de plusieurs microns, jusqu'à 40 pour les noyaux géants) actifs dès le début de la saturation, très nombreux dans les basses couches où la sursaturation est rare (100 à 1000/cm³),

- les petits noyaux : (diamètre inférieur à 0,2 micron) ou noyaux d'AITKEN (physicien scandinave) actifs uniquement lorsque l'atmosphère se trouve en sursaturation, les traînées de condensation illustrent bien cet état préexistant. Leur nombre varie entre 1000 et 10000/cm³ avec une humidité pouvant atteindre les 150%.

Benoit Mandelbrot dans "La géométrie fractale de la nature" : "Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles, l'écorce n'est pas lisse et l'éclair ne se déplace pas en ligne droite".

La géométrie euclidienne ne correspond pas aux phénomènes naturels ; ceux-ci présentent de multiples détails à toutes les échelles, tout en étant souvent structurés de la même façon sur plusieurs échelles de dimension, c'est le cas des arbres, des nuages, des montagnes ou du bassin d'un fleuve ; la géométrie de la nature est fractale.

Pourquoi les nuages ne tombent pas ?

Les nuages se forment selon deux processus : la convection et le soulèvement progressif de la masse d'air.

Le soulèvement convectif est dû à l'instabilité de l'air. Il est souvent vigoureux et au déclenchement abrupt. Il produit des nuages caractérisés par une extension verticale élevée, mais une extension horizontale limitée. Ces nuages sont désignés génériquement par le terme « cumulus ». Ils peuvent se développer à différents niveaux de la troposphère, là où l'instabilité existe.

Le soulèvement dit synoptique est le résultat des processus de la dynamique en atmosphère stable, dans un écoulement stratifié. Ce soulèvement est graduel, produisant des systèmes nuageux d'une texture uniforme, pouvant couvrir des milliers de kilomètres carrés. Ces nuages sont désignés génériquement par le terme « stratus ». Il arrive parfois que ce soulèvement graduel déstabilise la couche atmosphérique, donnant lieu à des nuages convectifs imbriqués dans le nuage stratiforme.

La nature intermittente des fluctuations des nuages peut être caractérisée par des distributions hyperboliques (α≃5/3) ; dans ce cas, le champ de pluie est composé d'un grand nombre de discontinuités (fronts) dont on n'aperçoit que les plus importantes (c'est l'effet Noé qui exprime qu'une fluctuation l'emporte très nettement sur les autres) ; 2) des fluctuations existent à toutes les échelles (au moins entre 200 et 1200 km) et sont régies par une loi d'invariance d'échelle ; la forme des aires de pluie est donc de géométrie fractale ; 3) il est possible de simuler numériquement des champs aléatoires qui reproduisent assez facilement plusieurs des caractéristiques des champs de pluie réels : intermittence, loi d'invariance d'échelle, structures en lignes droites, complexité des formes (dimension fractale des périmètres) etc.

La Recherche (novembre 2002) établit la même propriété fractale des nuages intergalactiques :

Comment les groupes de nuages peuvent-ils se former dans le milieu interstellaire, avoir à la fois un aspect chaotique et désordonné, tout en vérifiant des lois très précises, reflet d'un ordre sous-jacent ? La solution doit sans doute être trouvée dans la physique du milieu qui est dominée par la gravité et la turbulence. Auto-gravité d'abord : les structures ont tendance à se concentrer sur elles-mêmes, et si elles ne s'effondrent pas complètement c'est parce que les forces de pression s'y opposent. Les éléments gazeux sont en effet animés de mouvements désordonnés et turbulents, d'une intensité telle que leur énergie cinétique compense l'énergie gravitationnelle de l'ensemble. La turbulence est aussi très développée à cause des conditions extrêmes du milieu : densités et viscosités très faibles d'une part, agitation supersonique des nuages interstellaires d'autre part. Le nombre de Reynolds*, un paramètre physique qui caractérise l'amplitude de la turbulence, y est considérable : de l'ordre de 105 voire plus, alors que la valeur critique qui sépare le régime non turbulent du régime turbulent est voisine de 300.

Suivons maintenant un nuage particulier, de grande taille, soumis à sa propre gravitation : il tend à s'effondrer sous l'effet de son auto-gravité, et ce faisant il s'échauffe, car l'énergie gravitationnelle de l'effondrement se transforme en chaleur. Toutefois cette chaleur ne s'accumule pas car elle est très vite rayonnée, et le nuage peut continuer à s'effondrer. Le temps d'effondrement est beaucoup plus rapide au centre. Conséquence : le nuage devient de plus en plus dense des bords vers le centre. D'un point de vue théorique, il est possible de montrer que cette situation peut devenir instable. En fait, dès que le contraste en densité entre les bords et le centre atteint la valeur de 30, le nuage se fragmente en une dizaine de morceaux plus petits, et en moyenne plus denses que le nuage initial. Ensuite chacun des morceaux va avoir tendance à s'effondrer sous l'effet de sa propre gravité, et le raisonnement précédent va à nouveau s'appliquer, les mêmes causes produisant les mêmes effets.

PETITS ET GROS NUAGES

Quelles sont les structures les plus petites qui peuvent ainsi se former par fragmentation ? Les nuages, on l'a vu, sont de plus en plus denses à chaque fragmentation. Au bout d'un moment, la structure formée est si dense qu'elle devient opaque et ne peut donc plus évacuer, par rayonnement, l'énergie liée à l'effondrement gravitationnel. Les plus petits fragments vont se trouver en équilibre relatif entre les forces de pression et de gravitation, sans pouvoir se fragmenter plus avant. Ceci survient pour des tailles de l'ordre de 10 fois la distance Terre-Soleil.

Inversement, des fragments peuvent entrer en collision ; leur masse croît alors par accrétion de matière, ou coalescence. Quelles sont les plus grandes structures qui peuvent se former ainsi ? Ce sont des nuages moléculaires géants, de masse environ égale à un million de masses solaires, et de taille avoisinant une centaine d'années-lumière : au-delà de ce seuil, les forces de gravité de la Galaxie produisent des forces de marée qui tendent à détruire et disperser les nuages.
Changeons maintenant d'échelle d'observation : que se passe-t-il au niveau des galaxies ou des étoiles ? Leur distribution suit-elle aussi un ordre fractal ? Réponse positive pour les galaxies et les étoiles jeunes, qui viennent de se former à partir des nuages, elles conservent leur structure hiérarchique pendant un certain temps avant de diffuser et se diluer dans les galaxies. D'autre part on a montré que, dans les zones où elles se forment, le nombre d'étoiles d'une masse donnée suit une loi de puissance qui paraît universelle, et ce quelle que soit la galaxie ! Qui plus est, cette loi peut se déduire de façon logique de celle des nuages interstellaires

A l'échelle des galaxies et des amas de galaxies, l'ordre fractal est encore présent. Des lois indépendantes d'échelle sont observées comme c'est le cas pour le milieu interstellaire. Ainsi la masse totale M de galaxies comprises dans un rayon R vérifie une loi de puissance avec une dimension fractale D très proche de la valeur déjà observée pour les nuages interstellaires (entre 1.7 et 1.8).

LE NUAGE, STRUCTURE AUTO-ORGANISÉE, DISSIPATIVE ET INSTABLE, INTERFACE DYNAMIQUE ET FRACTALE DES PHASES GLACE, LIQUIDE ET VAPEUR D'EAU DANS L'AIR

« Le type de nuages convectifs connus sous le nom de cumulus sont produits par les vents verticaux qui ont lieu dans des régions d'air chaud et humide, par le principe d'Archimède. Ce soulèvement rapide a comme conséquence l'expansion adiabatique et le refroidissement de l'air, et la formation conséquente de gouttelettes d'eau. Leur distribution irrégulière disperse la lumière du soleil géometriquement dans toutes les directions, produisant l'aspect blanc lumineux typique de la neige, évoluant en nuances de gris de par leur épaisseur optique. Chaque nuage est de vie courte, durant environ 15 minutes en moyenne. » Tiré de : 1. H. R. Pruppacher, J. D. Klett, “Microphysics of clouds and precipitation“, Springer (1997) ; R. A. Houze, “Cloud Dynamics“, Academic Press (1994) 2. Sarah Robinson, Flow Visualization Course, University of Colorado

Le nuage est une structure émergente, dissipative au sens de Prigogine, présentant un ordre fractal interface entre eau et air qui est un ordre loin de l'équilibre, fondé sur sa dynamique et sur l'apport énergétique du soleil.

Si les nuages ont des formes changeantes aussi fascinantes, c'est qu'elles sont loin d'être stables et peuvent sans cesse se transformer. Ce sont les fractales dynamiques les plus faciles à observer. Leur formation répond aux critères de Prigogine de formation de structures à partir du désordre : l'apport permanent d'énergie (soleil), la catalyse (poussières), lois non-linéaires (passage de l'eau solide à liquide et gaz) produisant une thermodynamique loin de l'équilibre, celle de la turbulence.

Ilya Prigogine : "Au cours des dernières décennies, une nouvelle science est née, la physique des processus de non-équilibre. Cette science a conduit à des concepts nouveaux tels que l'auto-organisation et les structures dissipatives qui sont aujourd'hui largement utilisés dans des domaines qui vont de la cosmologie jusqu'à l'écologie et aux sciences sociales, en passant par chimie et la biologie. La physique de non-équilibre étudie les processus dissipatifs, caractérisés par un temps unidirectionnel, et ce faisant elle confère une nouvelle signification à l'irréversibilité. (...) Loin de l'équilibre, la matière acquiert de nouvelles propriétés où les fluctuations, les instabilités jouent un rôle essentiel : la matière devient active. " (extrait de "La fin des certitudes")

Dialectique et chaos déterministe (dynamique non-linéaire)

Robert Paris — 2010-12-27T13:25:56Z

diagramme de Feigenbaum passant du linéaire au chaos par quelques bifurcations
Le physicien Per Bak dans « Quand la nature s'organise » :
« La thèse de Feigenbaum était qu'à proximité de la transition vers le chaos, la dynamique devait être identique pour tous les systèmes passant à travers une séquence infinie de bifurcations avec doublement de période. Bien que la théorie de Feigenbaum reposât sur un modèle très grossièrement simplifié, elle fut magnifiquement confirmée par un grand nombre d'expériences sur des systèmes complexes (liquide soumis à des rouleaux convectifs tournants, oscillateur ou pendule poussé à un rythme régulier, ….). »

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Lire à l'extérieur du site :

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ASPECTS OF DIALECTICS AND NONLINEAR DYNAMICS

Cambridge Journal of Economics, May 2000, vol. 24, no. 3,
pp. 311-324 [figures availableupon request]
J. Barkley Rosser, Jr.
Department of Economics
MSC 0204
James Madison University
Harrisonburg, VA 22807 USA
Tel : 540-568-3212
Fax : 540-568-3010
Email : rosserjb@jmu.edu

April, 1998

Acknowledgment : I wish to thank the following individuals for making research materials or useful comments available to me : Peter M. Allen, William A. Brock, Steven N. Durlauf, Carla M. Feldpausch, Masahisa Fujita, Stephen J. Guastello, Cars H. Hommes, Heikki Isomäki, Andrew Kliman, Blake LeBaron, Hans-Walter Lorenz, Walter G. Park, Tönu Puu, Marina Vcherashnaya Rosser, Chris M. Sciabarra, Mark Setterfield, Ajit Sinha, John D. Sterman, Wolfgang Weidlich, and two anonymous referees. The usual caveat applies.

DIALECTICS AND NONLINEAR DYNAMICS

Abstract
Three principles of dialectical analysis are examined in terms of nonlinear dynamics models. The three principles are the transformation of quantity into quality, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. The first two of these especially are interpreted within the frameworks of catastrophe, chaos, and emergent dynamics complexity theoretic models, with the concept of bifurcation playing a central role. Problems with this viewpoint are also discussed.

I. Introduction
Among the deepest problems in political economy is that of the qualitative transformation of economic systems from one mode to another. A long tradition, based on Marx, argues that this can be explained by a materialist interpretation of the dialectical method of analysis as developed by Hegel. Although Marx can be argued to have been the first clear and rigorous mathematical economist (Mirowski, 1986), this aspect of his analysis generally eschewed mathematics. Indeed some (Georgescu-Roegen, 1971) argue that the dialectical method is in deep conflict with Aarithmomorphism,@ or a precisely quantitative mathematical approach, that its very essence involves the unavoidable invocation of a penumbral fuzziness that defies and defeats using most forms of mathematics in political economy.
However, this paper will argue that nonlinear dynamics offers a way in which a mathematical analogue to certain aspects of the dialectical approach can be modelled, in particular, that of the difficult problem of qualitative transformation alluded to above. This is not the entirety of the dialectical method, which remains extremely controversial and redolent with remaining complications. We shall not attempt to either explicate or defend the entirety of the dialectical approach, much less resolve its various contradictions, although we shall note how some of its aspects relate to this more specific argument.
In particular, we shall discuss certain elements of catastrophe theory, chaos theory, and complex emergent dynamics theory models that allow for a mathematical modelling of Aquantitative change leading to qualitative change,@ one of the widely claimed foundational concepts of the dialectical approach, and a key to its analysis of systemic political economic transformation. These approaches are all special cases of nonlinear dynamics, and their special aspects which allow for this analogue depend on their nonlinearity. We note that there are some linear models that generate discontinuities and various Aexotic dynamics,@ e.g. models of coupled markets linked by incommensurate irrational frequencies. However, we shall not investigate these examples further. In most linear models, continuous changes in inputs do not lead to discontinuous changes in outputs, which will be our mathematical interpretation of the famous Aquantitative change leading to qualitative change@ formulation.
Part II of this paper briefly reviews basic dialectical concepts. Part III discusses how catastrophe theory can imply dialectical results. Part IV considers chaos theory from a dialectical perspective. Part V examines some emergent complexity concepts along similar lines, culminating in a broader synthesis. Part VI will present conclusions.

II. Basic Dialectical Concepts
In a famous formulation, Engels (1940, p. 26) identifies the Alaws@ of dialectics as being reducible to three basic concepts : 1) the transformation of quantity into quality and vice versa, 2) the interpenetration of opposites, and 3) the negation of the negation, although Engels=s approach differs from that of many others on many grounds (Hegel, 1842 ; Georgescu-Roegen, 1971 ; Ilyenkov, 1977 ; Habermas, 1979). Whereas Marx largely used these concepts to analyze historical change, Engels drew on Kant and Hegel to extend this approach to science. Although his discussion in The Dialectics of Nature was reasonably current with regard to science for the time of its writing (the 1870s and early 1880s), much of its content is seen to be scientifically inaccurate by today=s standards, and many of its examples thus hopelessly muddled and wrongheaded. Furthermore, the arguments of this book would later be used to justify the ideological control and deformation of science under Stalin and Khrushchev in the USSR, most notoriously with regard to the Lysenkoist controversy in genetics.1
For both Marx and Engels (1848), the first of these was the central key to the change from one mode of production to another, their historical materialist approach seeing history unfolding in qualitatively distinct stages such as ancient slavery, feudalism, and capitalism. Engels (1954, p. 67) would later identify this with Hegel=s (1842, p. 217) example of the boiling or freezing of water at specific temperatures, qualitative (discontinuous) leaps arising from quantitative (continuous) changes. In modern physics this is a phase transition and can be analyzed using spin glass or other complexity type models (Kac, 1968). In modern evolutionary theory this idea has shown up in the concept of Apunctuated equilibria@ (Eldredge and Gould, 1972), which Mokyr (1990) and Rosser (1991, Chap. 12) link with the Schumpeterian (1934) theory of discontinuous technological change. Such phenomena can arise from catastrophe theoretic, chaos theoretic, and complex emergent dynamics models.
The interpenetration of opposites leads to some of the most controversial and difficult ideas associated with dialectical analysis. Implicit in this idea are several related concepts. One is that of contradiction, and the argument that dynamics reflect the conflict of contradicting opposites that are simultaneously united in their opposition. According to Ilyenkov (1977, p. 153), AWe thought of a dynamic process only as one of the gradual engendering of oppositions, of determinations of one and the same thing, i.e. of nature as a whole, that mutually negated one another.@
Setterfield (1996) notes that contradictions may be logical in nature or between real conflicting forces, with Marx probably favoring the latter view, although it is difficult to distinguish genuine dialectical contradictions from mere differences. For Marx and Engels (1848) these real conflicting forces were the classes in conflict over control of the social surplus and of the means of production, although they also argued, as is laid out more fully in Marx (1977), that a crucial contradiction is between the forces and relations of production, united in the mode of production. This in turn fundamentally arises from the evolution of the contradiction between use-value and exchange value within the commodity itself, yet another union of conflicting opposites.
Another interpretation is that this Aunity of opposites@ implies a negation of the idea of the Aexcluded middle@ in logic. Thus, both AA@ and Anot A@ can simultaneously be true. Georgescu-Roegen (1971) makes much of this aspect in his denigration of Aarithmomorphism,@ and interprets this as meaning that between two opposites there is Apenumbra@ of fuzziness in their boundary in which they coexist and interpenetrate, much as water and ice coexist in slush (Ockenden and Hodgkins, 1974). Such an approach can be dealt with using fuzzy logic (Zimmermann, 1988), which in turn ultimately relies on a probabilistic approach. Georgescu-Roegen (1971, pp. 52-59) further argues that the probabilistic nature of reality itself is evidence of the fuzzily dialectical nature of reality in that truth criteria in a probabilistic world are simply arbitrary. This leads him to argue that there is a deeper contradiction between continuous human consciousness and discontinuous physical reality, discrete at the quantum level. Rosser (1991, Chap. 1) argues that this is a matter of perspective or the level of analysis of the observer.
Engels (1940, pp. 18-19) confronted the contradiction between the apparently simultaneous acceptance of discontinuity arising from the idea of qualitative leaps and of continuity arising from the Afuzziness@ implied by the interpenetration of opposites in the dialectical approach. He dealt with this by following Darwin (1859) in accepting a gradualistic view of organic evolution in which species continuously change from one into another, while arguing that in human history, the role of human consciousness and choice allow for the discontinuous transformation of quantity into quality as modes of production discontinuously evolve.
Finally there is the idea of wholes consisting of related parts implied by this formulation. For Levins and Lewontin (1985) this is the most important aspect of dialectics and they use it to argue against the mindless reductionism they see in much of ecological and evolutionary theory, Levins (1968) in particular identifying holistic dialectics with his Acommunity matrix@ idea. This can be seen as working down from a whole to its interrelated parts, but also working up from the parts to a higher order whole. This latter concept can be identified with more recent complex emergent dynamics ideas of self-organization (Turing, 1952 ; Wiener, 1961), autopoesis (Maturana and Varela, 1975), emergent order (Nicolis and Prigogine, 1977, Kauffman, 1993), anagenesis (Boulding, 1978 ; Jantsch, 1979), and emergent hierarchy (Rosser, Folke, Günther, Isomäki, Perrings, and Puu, 1994 ; Rosser, 1995). It is also consistent with the general social systems approach of the dialectically oriented post-Frankfurt School (Luhmann, 1982, 1996 ; Habermas, 1979, 1987 ; Offe, 1997).
Indeed, even some Austrian economists have emphasized self-organization arguments, with Hayek (1952, 1967) developing an emergent complexity theory based on an early version of neural networks models and eventually (Hayek, 1988, p. 9) explicitly acknowledging his link with Prigogine and with Haken (1983). Lavoie (1989) argues that markets self-organize out of chaos. Sciabarra (1995) argues that Hayek in particular uses a fundamentally dialectical approach.
Finally, the Anegation of the negation@ has also been a very controversial and ideologically charged concept. It represents the combining of the previous two concepts into a dynamic formulation : the dialectical conflict of the contradictory opposites driving the dynamic to experience qualitative transformations. Again, there would appear within Marx and Engels to be at least two incompletely integrated ideas. On the one hand there is the idea of a sequence of Aaffirmation, negation and the negation of the negation@ or Athesis, antithesis, synthesis,@ as described by Marx (1992, p. 79). This implies a historical sequence of alternating stages, with Engels (1954, p. 191) suggesting the alternation of communally owned property in primitive societies, followed by privately owned property later, with a forecasted return to communally owned property under socialism in the future.2 On the other hand, in Marx and Engels (1848) this takes the form of one class being the thesis, the opposed class during the same period and mode of production being the antithesis, and the new mode of production with its new class conflict being the synthesis. We shall not attempt in this paper to resolve this contradiction, nor shall we attempt to model this explicitly in our mathematical approach.
III. Catastrophe Theory and Dialectics
The key idea for analyzing discontinuities in nonlinear dynamical systems is bifurcation, and was discovered by Poincaré (1880-1890) who developed the qualitative theory of differential equations to explain more-than-two-body celestial mechanics. Consider a general family of n differential equations whose behaviour is determined by a k-dimensional control parameter m, such that

dx/dt = fm(x) ; x 0 Rn, m 0 Rk, (1)
with equilibrium solutions given by
fm(x) = 0. (2)
Bifurcations will occur at singularities where the first derivative of fm(x) is zero and the second derivative is also zero, meaning that the function is not at an extremum, but is rather at a degeneracy. At such points structural change can occur as an equilibrium can bifurcate into two stable and one unstable equilibria.
Catastrophe theory involves examining the stable singularities of a potential function of (1), assuming that there is a gradient. Thom (1975A) and Trotman and Zeeman (1976) determined the set of such stable singularities for various dimensionalities of control and state variables. Arnol=d, Gusein-Zade, and Varchenko (1985) generalized this analysis to higher orders of dimensionalities. These singularities can be viewed as points at which equilibria lose their stability with the possibility of a discontinuous change in a state variable(s) arising from a continuous change in a control variable(s).
A catastrophe form that shows most of the phenomena occurring in catastrophe models is that of the three dimensional cusp catastrophe, shown in Figure 1. In this figure J is the state variable and C and F are the control variables. Assuming that the Asplitting factor@ C is sufficiently large, continuous variations in F can lead to discontinuous changes in J. The intermediate sheet in Figure 1 represents an unstable set of equilibria points. Behaviour observable in such a dynamical system can include bimodality, inaccessibility, sudden jumps, hysteresis, and divergence, the latter arising from variations of the splitting factor C.
For René Thom this becomes the mathematical model of morphogenesis, of qualitative transformation from one thing into something else, following the analysis of D=Arcy Thompson (1917) of the emergence of organs and structures in the development of an organism. Furthermore, Thom (1975B, p. 382) explicitly links this to dialectics, albeit of an idealist sort :
ACatastrophe theory...favors a dialectical, Heraclitean view of the universe, of a world which is the continual theatre of the battle of between >logoi,= between archetypes.@
There is a serious criticism which can be joined of this view, although we tend to favor this view in this paper. It is the Aanti-arithmomorphic@ dialectic position as enunciated by Georgescu-Roegen (1971) which would argue that all we are seeing in such models is discontinuous changes in variables or functions and not a true qualitative change. The latter would presumably be something beyond the ability of mathematics to describe. It would not be simply a change in function or values of existing state variables, but the emergence of a completely new variable or even a new function or set of functions and variables. But at a minimum such structural changes imply qualitatively different dynamics, even if the variables themselves are still the same, in some sense.
Another variation on this latter point arises from considering the phenomenon of divergence associated with the change in the value of a splitting factor such as C in Figure 1. One goes from a system with one equilibrium to one with three equilibria, one of them unstable. The new equilibria themselves may actually represent new states or conditions, the qualitative change or emergence of new Avariables@ or Afunctions@ in some sense. This is certainly the interpretation of Thom who identified such structural changes with the emergence of new organs in the development of organisms.
Ironically, in mainstream economics most of the criticism of catastrophe theory has come from the opposite direction, claims that it is too imprecise, too poorly specified, unable to generate forecasting models with solid theoretical foundations, too ad hoc, and so forth. Much of this criticism has probably been overdone as discussions in Rosser (1991, Chap. 2) and Guastello (1995) suggest.
Another possible difficulty is that it is not at all clear that the control versus state variable idea maps meaningfully onto the dialectical taxonomy. After all, it can be argued that it is the control variables themselves that should be undergoing some kind of qualitative change as a result of their quantitative changes, rather than some state variable controlled by them.
Yet another issue that cuts across all nonlinear dynamical interpretations of dialectics is that catastrophe theory analyzes equilibrium states and their destabilization. There is an old view among dialecticians that equilibrium is not a dialectical concept, indeed that dialectics is necessarily an anti-equilibrium concept. However, drawing on the work of Bogdanov (1912-1922), Bukharin (1925) argued that an equilibrium reflects a balance of conflicting dialectical forces and that the destabilization of such an equilibrium and the emergence of a new one is the Aqualitative shift.@ This view was sharply criticized by Lenin (1967) and was viewed by Stalin as constituting part of Bukharin=s unacceptable ideology of allowing market elements to persist as an equilibrating force in socialist society. Stokes (1995) argues that Bogdanov=s views provided the foundation for general systems theory as it developed through cybernetics (Wiener, 1961). These approaches would eventually lead to nonlinear complexity theories, some of them emphasizing disequilibrium or out-of-equilibrium phase transitions as in the Brussels School approach (Nicolis and Prigogine, 1977).
IV. Chaos Theory and Dialectics
The study of chaotic dynamics also originated with Poincaré=s qualitative celestial mechanics. As argued in Rosser (1991, Chaps. 1 and 2) catastrophe theory and chaos theory represent two distinct faces of discontinuity, and hence arguably of dialectical Aquantity leading to quality.@ The common theme is bifurcation of equilibria of nonlinear dynamical systems at critical values.
Although there remain controversies regarding the definition of chaotic dynamics (Rosser, ibid), the most widely accepted sine qua non is that of sensitive dependence on initial conditions (SDIC), the idea that a small change in an initial value of a variable or of a parameter will lead to very large changes in the dynamical path of the system. This is also known as the Abutterfly effect,@ from the idea that a butterfly flapping its wings could cause hurricanes in another part of the world (Lorenz, 1963).
Figure 2 exhibits this divergent behavior from small initial changes that occurs when SDIC holds. This shows the two distinct paths over time for one variable with and without a perturbation to an initial condition equal to 0.0001 for a three equation system of atmospheric circulation due to Edward Lorenz (1963). Lorenz concluded that the butterfly effect implies the futility of long-range weather forecasting. Truly chaotic systems exhibit highly erratic, apparently random, yet deterministic and bounded dynamics.
A sufficient condition for SDIC to hold is for the real parts of the Lyapunov exponents of the system to be positive. Oseledec (1968) showed that these can be estimated for a system such as (1), if ft(y) is the t-th iterate of f starting from an initial point y, D is the derivative, vP is a direction vector. The Lyapunov exponents are solutions to
6
L = lim ln(2Dft(y)v2)/t. (3)
t64

Although there are systems that are everywhere chaotic, many are chaotic for certain parameter values and are not for others. In such cases there may be a Atransition to chaos@ as a parameter value is varied and a system experiences bifurcations of its equilibria. A pattern exhibited by many well known systems is for there to be a zone of a unique and stable equilibrium, then beyond a critical parameter value there emerges a two-period oscillation, then beyond another point emerges a four-period oscillation, an eight-period oscillation, and so forth, a sequence known as a period-doubling cascade of bifurcations (Feigenbaum, 1978). According to a special case of Sharkovsky=s (1964) Theorem, the emergence of an odd-numbered orbit (>1) is a sufficient condition for the existence of chaos. In some systems, as the parameter continues to change, chaos disappears and period-halving bifurcations return the system to its original condition, although in some systems there is simply an explosion or a transition to yet other kinds of complex dynamics.
Probably the most intensively studied simple equation that generates chaotic dynamics in economic models is the difference logistic, given by
xt+1 = axt(k - xt) (4)
with a being the Atuning parameter@ whose variations change the qualitative dynamics of the system. As a increases the period-doubling cascade of bifurcations from an initial unique equilibrium described above occurs, leading to chaotic dynamics, and culminating in explosive behaviour. May (1976) studied this equation in the context of an ecological population dynamics model, in which k has the interpretation of a carrying capacity constraint, but he also first suggested the applicability of chaos theory to economic analysis in this paper. Figure 3 shows the period-doubling transition to chaos pattern for the logistic equation, with a on the horizontal axis and the system=s state variable, x, on the vertical axis.
At least two possible dialectical interpretations can be drawn from (4) and generically similar systems. One is the already mentioned idea that the cascade of bifurcations can be seen as representing qualitative changes arising from quantitative changes. A smoothly varying a, or control parameter, reaches critical points where there is a discontinuous change in the nature of the dynamics. Now, an anti-arithmomorphic dialectician can again deny that this is what is meant by qualitative change in the Hegelian sense. Yes, variables are behaving differently, but they are just the same old variables, this argument runs. But, we note that if chaotic dynamics herald a larger-scale catastrophic discontinuity, then there may be a greater chance for a deeper-level qualitative change to happen. Such instances may be Achaostrophes@ associated with the Ablue-sky@ disappearance of an attractor after a chaotic interlude (Abraham, 1985), or lead to Achaotic hysteresis@ (Rosser, 1991, Chap. 17 ; Rosser and Rosser, 1994). Although not labeled as such, an example of such a chaotic hysteretic model is a modified Hicks-Goodwin nonlinear business cycle model due to Puu (1997) in which chaotic dynamics appear at points of discontinuous jumps in a hysteresis cycle.
The second such interpretation involves the concept of the interpenetration of opposites. This interpretation can be derived from considering the dual role of the x variable in (4). It operates both in a positive way and in a negative way, both tending to push up and to push down. Now, this may seem fairly trivial, as many such equations exist. But indeed, at the heart of most chaotic dynamics is a conflict between factors pushing in opposite directions. In effect, as a increases, the strength of this conflict can be thought of as intensifying.
In the population ecology model of May (1976), a represents the intrinsic growth rate of the population, and the negative aspect represents the effect of the population crashing into the ecological carrying capacity, k. One can view this system dialectically and holistically as a population with its environment. Conflicting forces operate through the same variable, the population, hence the interpenetration of the opposites whose interaction drives the dynamics. As this conflict heightens, bifurcations occur and quantitative changes lead to qualitative changes in dynamics as the system transits to chaos.
V. Emergent Dynamics Complexity and Dialectics
In contrast to the theories of catastrophe and chaos, there is no single criterion or model of complex dynamics, but rather a steadily increasing plethora which we shall not attempt explicate in any detail here (Arthur, Durlauf, and Lane, 1997 ; Rosser, 1998). Indeed Horgan (1997) reports up to 45 different definitions of complexity, including some such as algorithmic complexity in which we are not interested. Almost all involve some degrees of stochasticity in their formulation, yet some are analytical equilibrium models involving such phenomena as the spin glass models that imply phase transitions and hence could be viewed as the modern versions of the Hegel-Engels boiling/freezing water example (Brock, 1993 ; Rosser and Rosser, 1997). Some involve non-chaotic strange attractors, fractal basin boundaries, or other complicated nonlinear phenomena, besides catastrophe and chaos, although some of these can exhibit them as well (Lorenz, 1992 ; Rosser and Rosser, 1996 ; Brock and Hommes, 1997 ; Feldpausch, 1997). Virtually all of these models can be seen to exhibit the sort of dialectical dynamics associated with chaotic dynamics in terms of bifurcation points generating qualitative dynamical changes and conflicts between opposing elements driving the dynamics.
In contrast there are dissipative systems models that imply either fully out-of-equilibrium dynamics, as in the Brussels School models (Nicolis and Prigogine, 1977) mode-locking entrainment models (Sterman and Mosekilde, 1994), the Santa Fe adaptive stock market dynamics models (Arthur, Holland, LeBaron, Palmer, and Taylor, 1997) and Aedge of chaos@ models (Kauffman, 1993), or a temporary equilibrium that differs from a presumed long-run equilibrium as with the self-organized criticality approach (Bak, Chen, Scheinkman, and Woodford, 1993). Many of these models involve large-scale equations systems and simulations with self-organization phenomena emerging from the dynamics of conflicting forces. Such self-organization has long been identified by many observers as constituting exactly the kind of qualitative change that the dialecticians seek, and may represent overcoming the problem of the lack of new variables or functions emerging associated with the catastrophe and chaos models. All of these models can be united under the label emergent dynamics complexity. However, at this point we need to step back a bit and consider how the currents involving complexity and dialectics have developed. A central point that appears is the gulf that exists between the analytic Anglo-American tradition and the Continental tradition. Urban/regional models based on the Brussels School Aorder through fluctuations@ approach (Allen and Sanglier, 1981) exhibited polarizing outcomes and multiple equilibria long before such models became popular at Santa Fe. In a survey of urban/regional modeling, Lung (1988) attributes this to the tradition of Adialectical discourses of French culture@ in contrast with AAnglo-American approaches,@ the dialectical tendency extending beyond the Germanic Hegelian base into Latin Europe as well. Indeed we have already seen this with René Thom=s willingness to put a dialectical interpretation upon catastrophe theory.
Without doubt the dialectical method/approach is in very ill repute in many Anglo-American circles, where the emphasis is upon reductionism, positivism, a narrow version of Aristotelian logic, comparative statics, and forecastibility along Newtonian-Laplacian lines. The dialectical method is viewed as unscientific, fuzzy-minded, and given to ideological mumbo-jumbo. This latter view has increased especially in economics with the increasing tendency for dialecticians in the Anglo-American economics world to be Marxists. Of course, in Continental Europe Marxist analysis tends to be more accepted, but non-Marxist dialectical approaches or interpretations are more widespread, as the discussions by Thom, Prigogine, and even the possibly dialectical element showing up in Hayek indicates. Thus, Europeans in general are more willing to admit the dialectical interpretations of emergent order and self-organization in complex dynamical systems as we have presented them above than are their American counterparts.
As a final frisson to this discussion, let us consider somewhat more closely the Stuttgart School synergetics approach of Haken (1983) that is very closely related to Prigogine=s Brussels School approach. We can see in this approach the integration of several of our kinds of nonlinear dynamics with their related dialectical interpretations. As with Allen and Sanglier (1981) and the Brussels School approach, Weidlich and Haag (1987) use the synergetics approach to model multiple equilibria and polarization in urban/regional models, followed by the analytical results of Fujita (1989) and the more recent simulation modelling at Santa Fe by Krugman (1996). Unsurprisingly, Krugman completely ignores any dialectical interpretation of the self-organization phenomenon, reflecting the Anglo-American bias.
Following Haken (1983, Chap. 12), there is a division between Aslow dynamics,@ given by the vector F, and Afast dynamics,@ given by the vector q, corresponding respectively to the control and state variables in catastrophe theory. F is said to Aslave@ q through a procedure known as Aadiabatic approximation,@ and the variables in F are the Aorder parameters@ whose gradual (Aquantitative change@) leads to structural change in the system.
A general model is given by
dq/dt = Aq + B(F)q + C(F) + 0, (5)
where A, B, and C are matrices and 0 is a stochastic disturbance term. Adiabatic approximation allows this to be transformed into
dq/dt = -(A + B(F))-1C(F), (6)
which implies that the slow variables are determined by A + B(F). Order parameters are those with the least absolute values, and ironically are dynamically unstable in the sense of possessing positive real parts of their eigenvalues in contrast to the fast Aslaved variables.@
This implies a rather curious possibility regarding structural change within the synergetics framework. Haken (ibid) identifies the emergence of chaotic dynamics with the destabilization of a previously stable Aslaved variable@ as the real part of its eigenvalue passes the zero value and goes positive. Such a bifurcation can lead to a complete restructuring of the system, a chaostrophic discontinuity with more substantial qualitative implications in terms of the relations between variables, if not necessarily for their
existence. The former slave can become an order parameter, and Diener and Poston (1984) call this particular phenomenon, Athe revolt of the slaved variables.@ If this is not a dialectical outcome, then there are none in nonlinear dynamics.
VI. Conclusions
We have reviewed the three main Alaws of dialectics@ as presented by Engels in The Dialectics of Nature (1940, p. 26). These are the transformation of quantity into quality and vice versa, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. We have seen how such nonlinear dynamical models, such as those capable of generating catastrophic discontinuities, chaotic dynamics, and a variety of other complex dynamics such as self-organization can be interpreted as manifesting these laws, especially the first two. In particular the role of bifurcation is seen as central to implying the first of these concepts, although we note that we have presented at best a very superficial overview of these various nonlinear dynamical models.
However, we must conclude with a caveat that has floated throughout this paper. Dialecticians who oppose the use of mathematical modelling at all, who identify such modelling with Aarithmomorphism@ and a denial of essential dialectical fuzziness, will remain unconvinced by all of the above. They will see the kinds of discontinuous changes implied by the various bifurcations in these models as simply sudden changes in the values or behaviors of already existing variables, rather than the true qualitative emergence that cannot be captured mathematically. They might have a harder time maintaining such a position with regard to complexity models with self-organizing or emergent hierarchy dynamics, but even with these they can make similar arguments that one is simply seeing different behavior of already existing variables, however new and different that behavior might appear.
Of course, this hard core position is exactly that which is derided by the analytic Anglo-American tradition that sees dialecticians as hopelessly fuzzy and unscientific. The debate between these strongly held positions can itself be viewed as a dialectic that remains unresolved.

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