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En quoi l’ « électron libre » de la Physique est-il libre ?

vendredi 2 octobre 2020, par Robert Paris

Electron dans l’atome

L’électron existe au plusieurs niveaux

L’électron n’est pas un objet indépendant du fond (le vide quantique) La vitesse d’un électron libre dans le vide grandit linéairement puis s’annule Vitesse d’un électron libre dans une structure métallique

En quoi l’ « électron libre » de la Physique est-il libre ?

On peut se demander si cette expression employée par la Physique ne signifierait pas que la matière serait finalement indéterministe, cesserait d’obéir à des lois, l’électron faisant en gros ce qui lui plait ou, au moins, allant là où on ne l’attend pas ou encore étant totalement imprédictible dans ses mouvements…

Certains croient même que c’est la physique quantique qui autoriserait cette « liberté » et cet indéterminisme de l’électron ! Ainsi, les inégalités d’Heisenberg, s’appliquant effectivement à l’électron, lui donneraient, selon cette interprétation hasardeuse, le droit d’agir à sa guise. Non seulement ces propriétés quantiques qui rendent probabiliste cette physique ne donnent nullement « le droit » à l’électron d’aller à sa guise mais la notion d’ « électron libre » date de bien avant la physique quantique et répond à un problème qui a été posé par la physique classique.

Ce que sont réellement les inégalités d’Heisenberg

Est-ce que la physique quantique est indéterministe ?

La physique de la matière : déterminisme ou indéterminisme ?

Liberté et Nécessité

En fait, le terme « libre » employé pour l’électron signifie que dans certains états de la matière, certains électrons (notamment ceux des couches périphériques des atomes car les électrons peuvent être plus ou moins éloignés du noyau de l’atome) peuvent davantage se séparer de l’atome d’où ils proviennent. C’est le cas par exemple des métaux.

Etat libre de l’électron s’oppose ici à état lié. L’électron est souvent lié à des protons et des neutrons qui résident dans les noyaux des atomes.

Les électrons sont une partie (celle d’électricité négative) des particules qui composent les atomes et les ions. Il y a autant d’électrons proches du noyau de l’atome que de protons (ceux d’électricité positive) à l’intérieur. Il est très difficile d’ôter des protons ou des neutrons à un atome mais il est beaucoup plus facile d’en ôter un électron. Il a plusieurs moyens pour cela qui consistent tous à lui apporter de l’énergie : on peut le faire en bombardant l’atome par des photons très énergétiques, par des particules alpha, bêta ou gamma, en apportant de la chaleur, en frottant avec une autre matière, en fixant cet électron peu attaché à un autre atome où il le sera davantage…

Certains électrons sont faiblement attachés au noyau et peuvent davantage se séparer de leur structure d’origine. Cela ne signifie pas qu’ils soient « libres » mais qu’ils peuvent être partagés par deux structures atomiques proches ou passer aisément d’un atome au plus proche, complétant ainsi des couches électroniques externes de l’atome.

Cette « liberté » des électrons de sauter d’un atome au suivant expliquerait le courant électrique des matériaux conducteurs. Cependant, il reste une difficulté : cela l’expliquerait « trop » bien ! En effet, la force électrique qui pousse les électrons étant alors permanente (autant que le champ électrique qui la cause), la vitesse des électrons devrait aller vers l’infini, et aussi leur énergie, ce qui n’est évidemment pas le cas. Le modèle dit de l’ « électron libre » est justement le produit et la tentative de réponse à cette contradiction.

Au passage, une remarque : la vitesse de propagation d’un signal électrique dans un conducteur (appelée aussi vitesse de l’électricité) n’est pas celle de la propagation des électrons dans le métal, qui, elle, dépend de l’intensité du courant. La vitesse de propagation du signal est proche de la vitesse de la lumière alors que les électrons, comme tous les porteurs de masse, ne peuvent pas approcher la vitesse de la lumière. La vitesse à laquelle se déplace le signal électrique, donc l’énergie électrique, correspond en réalité à la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique, et non pas à la vitesse de déplacement des charges électriques.

Le premier à s’être attaqué à ce problème avec un peu de succès est Paul Drude. Il a expliqué que les électrons libres étaient effectivement propulsés par une force électrique proportionnelle au champ électrique permanent et qu’ils ne pouvaient pourtant pas subir un accroissement permanent de leur vitesse (et du coup de leur énergie) car ils étaient freinés par les structures matérielles (atomes et ions) qu’ils rencontraient périodiquement.

En considérant les électrons d’un métal comme des particules classiques ponctuelles confinées à l’intérieur du volume défini par l’ensemble des atomes de l’échantillon, on obtient un gaz qui est entraîné dans un mouvement d’ensemble (lequel se superpose aux mouvements individuels des particules) par des champs électriques et magnétiques et freiné dans ce mouvement par des collisions. Cependant le modèle de Drude ne donne pas d’interprétation réelle au freinage des électrons dus aux collisons avec les structures matérielles de l’environnement.

Les collisions envisagées par Drude sont les collisions sur les cœurs d’atomes. Bien que se basant sur des hypothèses démenties depuis (description purement classique du mouvement des électrons), il permet de rendre compte de plusieurs propriétés des métaux comme la conductivité électrique, la conductivité thermique et l’effet Hall.

Voici comment Paul Langevin exposait le problème en 1923

Et aussi Brillouin

Ou encore Poincaré

Un exposé plus complet du modèle de Drude

La question posée par les insuffisances du modèle de Drude ne concerne pas seulement les électrons libres. Toute action périodique entretenant un apport d’énergie pose le même problème : par exemple, une résonance électromagnétique avec apport périodique d’énergie devrait aussi entraîner une augmentation d’énergie à l’infini ce qui n’est pas le cas. Là aussi, on fait appel à l’idée d’un « freinage » par la matière alentour mais on va voir que, même à l’aide de la physique quantique, on a des difficultés à donner une interprétation de ce freinage périodique…

Drude a développé cette thèse en 1900 et ne disposait pas encore des études de physique quantique. Pourtant, il est évident qu’il s’agit d’un phénomène quantique.

Sommerfeld, qui a poursuivi les travaux de Drude, a développé une interprétation quantique du phénomène. Elle renonce à l’image des électrons comme objets individuels discernables et obéissant à des ois du type de celles des molécules d’un gaz parfait (statistique de Maxwell-Boltzmann).

« Le défaut principal du modèle Boules de billard (ou modèle de Drude) est de considérer l’électron comme une particule classique. Un ensemble de telles particules n’est pas soumis au principe d’exclusion de Pauli. Autrement dit, à température nulle, ils peuvent tous posséder une énergie nulle. Il en résulte, entre autres, que tous les électrons de conduction sont susceptibles d’accroître leur énergie, sous l’effet d’une augmentation de température par exemple. La variation théorique de la résistivité en fonction de la température, établie sur cette base, est erronée. Les estimations de chaleur spécifique ne sont pas meilleures, alors que les processus d’émission thermoélectronique, photoélectrique ou de champ échappent totalement à un tel modèle.

Ces difficultés s’effacent en grande partie avec le modèle de l’électron libre dans un puits de potentiel, imaginé par Sommerfeld en 1928. Dans ce modèle les électrons, soumis au principe de Pauli, suivent la distribution en énergie de Fermi-Dirac, alors que dans le modèle de Drude ils suivaient la loi de Boltzmann. Il en découle deux résultats importants :

• seule une fraction des électrons, voisine de 2%, est susceptible de voir son énergie varier sous l’effet d’une action extérieure, température, champ électromagnétique, etc. ;

• même au zéro absolu, l’énergie cinétique des électrons n’est pas nulle. Une part importante de ceux-ci possèdent des énergies de quelques eV, ce qui est énorme. A titre de comparaison, l’énergie moyenne d’une particule classique, calculée à partir de la distribution de Boltzmann, vaut seulement 0,038 eV, à 20 C.

Malgré les améliorations qu’il apporte, le modèle de Sommerfeld ne donne pas une description satisfaisante des propriétés électroniques des solides dans tous les cas. Ses limitations proviennent du fait qu’il ne tient pas compte de la structure des matériaux. Ce modèle ne permettra donc jamais d’expliquer pourquoi tel cristal est conducteur, et tel autre isolant ou semiconducteur. Son usage doit être limité au cas des métaux. En effet, la valence métallique met les électrons dans une situation très proche de celle qui est admise dans les hypothèses du modèle.

Le modèle de Sommerfeld fournit une base pour l’édification de théorie plus spécifiques. Ce n’est donc pas un modèle achevé traitant d’un problème précis comme la conduction électrique ou l’émission thermoélectronique. Cette base est la distribution en énergie des électrons, obtenue par le produit de deux fonctions : la densité des états et la distribution de Fermi-Dirac. La formule donnant la densité du courant d’émission thermoélectronique émis par une plaque sera établie à titre d’exemple d’application. »

Source du passage précédent sur le modèle Drude-Sommerfeld

Les avantages et insuffisances du modèle de l’électron libre

En physique du solide, le modèle d’électrons libres est un modèle simple du comportement des porteurs de charge dans un solide métallique. Il a été développé en 1927, principalement par Arnold Sommerfeld, qui a combiné le modèle classique de Drude avec les statistiques de la mécanique quantique de Fermi – Dirac et est donc également connu sous le nom de modèle de Drude – Sommerfeld.

Compte tenu de sa simplicité, il réussit étonnamment à expliquer de nombreux phénomènes expérimentaux, en particulier

- la loi de Wiedemann – Franz qui relie la conductivité électrique et la conductivité thermique ;

- la dépendance à la température de la capacité thermique des électrons ;

- la forme de la densité électronique des états ;

- la gamme des valeurs énergétiques de liaison ;

- les conductivités électriques ;

- le coefficient Seebeck de l’effet thermoélectrique ;

- l’émission d’électrons thermiques et émission d’électrons de champ à partir de métaux en vrac. [citation nécessaire]

Le modèle d’électrons libres a résolu de nombreuses incohérences liées au modèle de Drude et a donné un aperçu de plusieurs autres propriétés des métaux. Le modèle d’électrons libres considère que les métaux sont composés d’un gaz d’électrons quantiques où les ions ne jouent presque aucun rôle. Le modèle peut être très prédictif lorsqu’il est appliqué aux métaux alcalins et nobles.

Dans le modèle d’électrons libres, quatre hypothèses principales sont prises en compte :

Approximation des électrons libres : L’interaction entre les ions et les électrons de valence est la plupart du temps négligée, sauf dans des conditions aux limites. Les ions ne conservent la neutralité de charge que dans le métal. Contrairement au modèle Drude, les ions ne sont pas forcément à l’origine de collisions.

Approximation indépendante des électrons : les interactions entre électrons sont ignorées. Les champs électrostatiques dans les métaux sont faibles en raison de l’effet d’écran.

Approximation du temps de relaxation (le temps de relaxation est aussi appelé temps de collision, temps de vol moyen, ou encore temps de libre parcours moyen) : il existe un mécanisme de diffusion inconnu tel que la probabilité de collision des électrons est inversement proportionnelle au temps de relaxation, qui représente le temps moyen entre les collisions. Les collisions ne dépendent pas de la configuration électronique.

Principe d’exclusion de Pauli : Chaque état quantique du système ne peut être occupé que par un seul électron. Cette restriction des états électroniques disponibles est prise en compte par les statistiques de Fermi – Dirac (voir aussi gaz de Fermi). Les principales prédictions du modèle d’électrons libres sont dérivées de l’expansion de Sommerfeld de l’occupation de Fermi – Dirac pour les énergies autour du niveau de Fermi.

Le nom du modèle vient des deux premières hypothèses, car chaque électron peut être traité comme une particule libre avec une relation quadratique respective entre l’énergie et le moment.

Le réseau cristallin n’est pas explicitement pris en compte dans le modèle d’électrons libres, mais une justification mécanique quantique a été donnée un an plus tard (1928) par le théorème de Bloch : un électron non lié se déplace dans un potentiel périodique comme un électron libre dans le vide, sauf pour la masse électronique me devenant une masse effective m qui peut s’écarter considérablement de moi (on peut même utiliser une masse effective négative pour décrire la conduction par trous d’électrons). Les masses efficaces peuvent être dérivées de calculs de structure de bande qui n’étaient pas initialement pris en compte dans le modèle d’électrons libres.

Notez que sans l’approximation du temps de relaxation, il n’y a aucune raison pour que les électrons dévient leur mouvement, car il n’y a pas d’interactions, donc le libre parcours moyen devrait être infini. Le modèle de Drude considérait que le libre parcours moyen des électrons était proche de la distance entre les ions dans le matériau, impliquant la conclusion antérieure que le mouvement diffusif des électrons était dû à des collisions avec les ions.

Le libre parcours moyen n’est alors pas le résultat de collisions électrons-ions mais plutôt des imperfections du matériau, soit dues à des défauts et impuretés dans le métal, soit à des fluctuations thermiques.

Le modèle d’électrons libres présente plusieurs insuffisances qui sont contredites par l’observation expérimentale. Nous listons quelques inexactitudes ci-dessous :

Le modèle d’électrons libres présente plusieurs grandeurs physiques qui ont la mauvaise dépendance de la température, ou aucune dépendance du tout comme la conductivité électrique. La conductivité thermique et la chaleur spécifique sont bien prédites pour les métaux alcalins à basse température, mais ne parvient pas à prédire le comportement à haute température provenant du mouvement ionique et diffusion de phonons.

Le coefficient de Hall a une valeur constante RH = –1 / (ne) dans le modèle de Drude et dans le modèle d’électrons libres. Cette valeur est indépendante de la température et de la force du champ magnétique. Le coefficient de Hall dépend en fait de la structure de la bande et la différence avec le modèle peut être assez dramatique lors de l’étude d’éléments comme le magnésium et l’aluminium qui ont une forte dépendance au champ magnétique. Le modèle d’électrons libres prédit également que la magnétorésistance transversale, la résistance dans la direction du courant, ne dépend pas de la force du champ. Dans presque tous les cas, c’est le cas.

La conductivité de certains métaux peut dépendre de l’orientation de l’échantillon par rapport au champ électrique. Parfois, même le courant électrique n’est pas parallèle au champ. Cette possibilité n’est pas décrite car le modèle n’intègre pas la cristallinité des métaux, c’est-à-dire l’existence d’un réseau périodique d’ions.

Tous les matériaux ne sont pas des conducteurs électriques, certains ne conduisent pas très bien l’électricité (isolants), certains peuvent conduire lorsque des impuretés sont ajoutées comme des semi-conducteurs. Il existe également des semi-métaux à bandes de conduction étroites. Cette diversité n’est pas prédite par le modèle et ne peut être expliquée qu’en analysant les bandes de valence et de conduction. De plus, les électrons ne sont pas les seuls porteurs de charge dans un métal, les lacunes ou les trous d’électrons peuvent être considérés comme des quasiparticules portant une charge électrique positive. La conduction des trous conduit à un signe opposé pour les coefficients de Hall et Seebeck prédits par le modèle.

D’autres insuffisances sont présentes dans la loi de Wiedemann – Franz aux températures intermédiaires et à la dépendance en fréquence des métaux dans le spectre optique.

Des valeurs plus exactes de la conductivité électrique et de la loi de Wiedemann – Franz peuvent être obtenues en adoucissant l’approximation du temps de relaxation en faisant appel aux équations de transport de Boltzmann ou à la formule de Kubo.

Le spin est principalement négligé dans le modèle d’électrons libres et ses conséquences peuvent conduire à des phénomènes magnétiques émergents comme le paramagnétisme de Pauli et le ferromagnétisme.

Une continuation immédiate au modèle d’électrons libres peut être obtenue en supposant l’approximation de réseau vide, qui forme la base du modèle de structure de bande connu sous le nom de modèle d’électrons presque libres.

L’ajout d’interactions répulsives entre électrons ne change pas beaucoup l’image présentée ici. Lev Landau a montré qu’un gaz de Fermi sous interactions répulsives, peut être vu comme un gaz de quasi-particules équivalentes qui modifient légèrement les propriétés du métal. Le modèle de Landau est maintenant connu sous le nom de théorie des liquides de Fermi. Des phénomènes plus exotiques comme la supraconductivité, où les interactions peuvent être attractives, nécessitent une théorie plus raffinée.

Le modèle de Drude, rapporté par Yves Quéré, dans « Physique des matériaux » :

« Les hypothèses de Drude impliquent que chaque électron possède un mouvement rectiligne, perturbé seulement lorsque l’électron vient « rebondir » sur la surface libre… En présence d’un champ électrique, chaque électron se trouve soumis à une force égale à la charge fois le champ électrique, force qui entraîne tous les électrons dans le sens opposé du champ (puique la charge de l’électron est négative). Toutes les charges allant dans la même direction et le même sens, un courant apparaît. La force électrique proportionnelle au champ constant impose une vitesse d’entrainement qui croit linéairement avec le temps. Il semble donc en résulter une intensité électrique croissant avec le temps, ce qui est à la fois manifestement contraire à l’expérience et absurde (l’intensité alectrique tendant vers l’infini).

C’est pour sortir de cette difficulté que Drude introduit une hypothèse supplémentaire. Pour éviter à la vitesse de croitre indéfiniment, il suppose que les électrons sont soumis dans le métal à un mécanisme de « relaxation » : la vitesse d’entrainement croît bien proportionnellement au temps durant des intervalles de temps, dont la valeur moyenne est apelée temps de relaxation, mais elle s’annule brusquement puis se remet à croître. La relaxation et le temps de relaxation sont introduits par Drude ne sont que des concepts ad hoc qui permettent à la vitesse, et donc à l’intensité, de prendre des valeurs constantes. L’idée physique sous-jacente est celle de « collision » : à la fin de chaque période de relaxation, l’électron subit une collision. Ces collisions qui ont vraisemblablement lieu, pense Drude, sur un ion du cristal doivent donner lieu à une distribution exponentielle, elles doivent ramener la vitesse d’entraînement à zéro, elles ne doivent favoriser aucune direction de l’espace, l’électron sortant de la collision avec une vitesse ayant une direction quelconque ; elles doivent se produire avec une probabilité qui ne dépende pas de la position ni de la vitesse de l’électron. C’est dire que le temps de relaxation (dont l’inverse est la probabilité que se produise une collision par unité de temps) doit caractériser le métal (sa nature, sa température, sa structure…), mais non l’état dynamique de l’électron.

Malgré quelques succès remarquables du modèle de Drude, il repose sur un postulat faux. Nous savons maintenant que les électrons obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et non celle de Maxwell-Boltzmann. D’où les incapacités du modèle de Drude concernant la chaleur spécifique de l’électron et son silence concernant les propriétés magnétiques de l’électron. »

Rajoutons, en conclusion, qu’en appliquant la mécanique quantique (notamment la fonction d’onde de Schrödinger) à l’électron, Sommerfeld améliore le modèle de Drude sans trouver davantage d’interprétation physique par des collisions réelles entre l’électron et les noyaux ou ions de la structure métallique par exemple.

Comment comprendre alors qu’une particule quantique comme l’électron puisse passer brutalement d’une vitesse sans cesse croissante à une vitesse nulle de manière aléatoire et possédant une moyenne parfaitement définie ? Eh bien, ce n’est pas l’interaction avec les structures matérielles qui l’explique mais avec le vide quantique du nuage de polarisation de l’électron qui l’explique. L’électron ne s’arrête pas brutalement : sa matérialité, portée par le boson de Higgs, saute brutalement à un autre électron (jusque là virtuel du nuage de polarisation).

Le nuage de polarisation qui entoure l’électron est constitué d’éléments d’un monde inférieur qui est le monde des particules virtuelles caractérisées par deux propriétés liées entre elles : pas de masse et pas d’espace-temps tel que nous le connaissons à notre échelle macroscopique ni tel qu’il existe (localement) dans l’environnement d’une masse. Ces particules sont électrisées positivement ou négativement et s’ordonnent dynamiquement autour de l’électron par couches positives et négatives alternativement, écrantant ainsi le champ de la charge électrique à proximité de l’électron. Cela explique qu’aucune charge électrique ne peut s’approcher au point de toucher l’électron. Il y a toujours des couches de particules virtuelles entre deux particules « réelles ». Rappelons une fois de plus que les particules dites virtuelles sont tout aussi réelles que celles dites réelles mais sont situées à un autre niveau de réalité. Elles ne sont pas les seules puisqu’existent à un niveau encore inférieur le « virtuel de virtuel ». Ainsi deux particules virtuelles sont elles-mêmes entourées, à un niveau hiérarchique inférieur, de particules électrisées. Ces mondes ne sont pas seulement emboités. Les niveaux sont interactifs. Et même plus puisque chaque niveau émerge du niveau inférieur. Les particules « réelles » sont des structures portées par des particules virtuelles qui reçoivent un boson de Higgs. Lorsque la particule virtuelle devient porteuse de masse, elle construit autour d’elle un champ d’espace-temps, elle structure l’espace-temps désordonné du niveau virtuel. Le nuage de polarisation tourne du fait du magnétisme par l’action du mouvement de l’électron. C’est ce que l’on appelle le spin de l’électron. Mais les couches positives et négatives ne tournent pas de la même manière car l’électron est chargé négativement. Cela explique qu’il faille de tour pour revenir à la situation de départ, ce que l’on appelle un spin ½.

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Michel Cassé dans « Du vide et de la création » : « Au centre de la nuée du virtuel est encore un virtuel, d’ordre plus élevé. Et ces électrons et positons doublement virtuels s’entourent eux-mêmes de leur propre nuage de corpuscules virtuels, et cela ad infinitum. (…) L’image quantique qui en résulte est un électron (…) protégé par des rangs successifs de photons virtuels (…) L’électron n’est plus l’être simple qu’il était. (…) Il s’habille de vide fluctuant. De même, chaque proton est dépeint comme un microcosme concentrique où s’étagent les différents niveaux de virtualité. Au centre est la particule réelle, sa garde rapprochée est constituée par des particules et antiparticules les plus massives (énergétiques) et donc les plus éphémères, bosons W et Z, paires proton-antiproton et photons gamma. Le second cercle contient les couples positon-électron et les photons de 1 MeV environ. A la périphérie flottent les photons d’énergie déclinante. Chaque particule virtuelle, comme précédemment, s’entoure de son cosmos virtuel et chacune à son tour fait de même et cela indéfiniment. Le vide est constitué d’un nuage virtuel flottant de manière aléatoire. L’activité frénétique autour du moindre électron, du moindre proton, nous éloigne à jamais de l’image paisible que la plupart des philosophes attribuent au mot « vide ». (…) Aucune particule, même « au repos », ne jouit de la pleine tranquillité. (…) ce que nous appelons communément « force » est, selon la pensée quantique, un phénomène collectif causé par l’échange d’innombrables particules virtuelles. »

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