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Accueil du site > 02 - Livre Deux : SCIENCES > Atome : lois de la Physique ou rétroaction de la matière/lumière et du vide (...) > Qu’est-ce que la physique du pendule oscillant ?

Qu’est-ce que la physique du pendule oscillant ?

samedi 23 novembre 2019, par Robert Paris

Qu’est-ce que la physique du pendule oscillant ?

Maurice Jacob dans « Au cœur de la matière » :

« Une résonance est un phénomène bien connu en physique. Un objet peut vibrer sur une fréquence particulière. L’exemple le plus connu est le pendule qui, suspendu dans le champ d’attraction terrestre, bat à une fréquence qui ne dépend que de sa longueur. Une masse attachée à un ressort se comporte de la même façon. Elle vibre naturellement à une fréquence qui dépend de la valeur de la constante de rappel du ressort. Il en est de même d’un circuit élémentaire de radio. La fréquence naturelle dépend dans ce cas de la self et de la capacité du condensateur qui le constituent. Soumis à une force extérieure périodique, pour le système masse-ressort, ou à une tension périodique, pour le circuit self-capacité, ces systèmes oscillent selon la variation de la force ou de la tension appliquée mais, si la fréquence s’approche de leur fréquence naturelle d’oscillation, ils s’emballent et les oscillations prennent des amplitudes énormes. Quiconque a utilisé une balançoire a pu expérimenter le phénomène. On dit qu’il y a « résonance. »

« Des rythmes au chaos » de Bergé, Pomeau et Dubois-Gance :

« Qu’est-ce exactement qu’un pendule ?

« Le prototype de l’horloge, au sens général du terme, est la pendule à balancier, dont le mouvement scande de façon très régulière et répétitive la progression du temps et pour laquelle la référence temporelle est donnée par la période de l’oscillation de la partie pendulaire. La pendule est donc une réalisation particulière d’un pendule, au sens que lui donne le physicien.

Examinons d’un peu plus près ce pendule, car son fonctionnement est moins trivial qu’il n’y paraît et, s’il mesure le temps, il est aussi l’archétype du système dynamique de base que l’on nomme « oscillateur ». Le pendule peut être représenté par une masse suspendue au bout d’une tige dont l’autre extrémité est fixée. L’ensemble peut osciller autour du point de fixation, tout en restant dans le même plan si on se limite au mouvement le plus simple. La position de repos est la verticale : vitesse nulle, énergie cinétique (liée au mouvement) nulle, comme lorsque l’enfant fatigué reste assis sans bouger sur sa balançoire. Mais si nous animons le pendule en l’abandonnant à lui-même après l’avoir écarté de la verticale, la masselotte prend de la vitesse, passe à la verticale du point de fixation, puis remonte de l’autre côté jusqu’à une certaine hauteur où sa vitesse s’annule. Elle redescend ensuite, repasse à la verticale pour remonter de l’autre côté, à la même hauteur, où sa vitesse s’annule à nouveau et ainsi de suite, avec une remarquable périodicité, si, de l’extérieur, rien ne vient perturber le mouvement.

Le mouvement du pendule n’existe que par la présence du champ de pesanteur terrestre ; dans les espaces intersidéraux, loin de toute masse pesante attractive telle celle d’un astre, le pendule serait immobile et ne servirait à rien. Sur Terre, le travail fourni contre la pesanteur par déplacement du poids crée une énergie potentielle qui se change en énergie cinétique au cours du mouvement descendant, puis se retransforme de nouveau en énergie potentielle lorsque la masse remonte. La somme de ces deux énergies reste constante et le pendule remonte toujours à la même hauteur, que ce soit à droite ou à gauche. En ces points, l’énergie cinétique est nulle (la vitesse s’y annule) et l’énergie potentielle est maximale. Le temps que met le pendule pour revenir répétitivement au même point de sa course est donc rigoureusement le même : mouvement monotone, mais dont la régularité même en fait tout l’intérêt.

Cette régularité n’est cependant pas présente d’elle-même. En effet, dans notre environnement immédiat, le mouvement perpétuel n’existe pas, du moins pour des objets macroscopiques. Les forces de frottement inhérentes à tout système mécanique consomment une partie de l’énergie emmagasinée et la dissipent le plus souvent sous forme de chaleur : cette perte d’énergie est irréversible et, dans le cas du pendule, conduit inexorablement à l’arrêt de son mouvement. C’est pourquoi les horloges ont besoin d’un apport extérieur d’énergie – descente d’un poids, détente d’un ressort – pour compenser les frottements.

(…)

Dans l’horloge à pendule de Huygens (1654), pour que la référence de temps soit préservée, il fallait que l’entretien, c’est-à-dire l’apport d’énergie, interagisse le moins possible avec le mouvement propre du pendule. La partie mécanique importante, intermédiaire entre le balancier et sa stimulation, est celle de l’échappement… Quelle que soit la nature de l’échappement et du mécanisme qui le stimule, l’ensemble est tel que c’est l’oscillation du pendule elle-même qui détermine le moment où l’impulsion d’entretien intervient ; celle-ci est brève et prend place deux fois par période, juste quand le pendule est au maximum de sa course. Bien sûr, l’impulsion doit être faible et juste suffisante pour compenser le frottement sur une demie-période… Tout cela donne des conditions optimales pour que la fréquence propre du pendule soit le moins possible influencée par l’entretien. Nous verrons comment, à l’opposé, le mouvement du pendule peut être affecté si les impulsions délivrées par l’entretien ne respectent pas strictement la période du pendule et interviennent avec une dynamique propre (on parle alors de « forçage »).

La dissipation – terme consacré pour désigner la dégradation irréversible de l’énergie – a des conséquences très importantes et en particulier exige un apport constant d’énergie pour assurer le maintien de tout mouvement continu (moteurs, déplacements, etc.). Une autre conséquence est que l’état dynamique, de l’horloge par exemple, dépend de la puissance d’entretien qui lui est fournie. Dans le cas des horloges à pendule, celle-ci est constante tant que le poids n’est pas en position basse et que le mouvement du balancier est le même d’une oscillation à l’autre ; de plus, et fort heureusement pour la mesure du temps, celui-ci ne dépend pas de la manière dont il a été lancé initialement. En effet, si le balancier est lâché d’une position plus élevée que celle correspondant à son débattement en régime normal, l’amplitude d’oscillation va diminuer peu à peu jusqu’à reprendre celle de sa dynamique d’équilibre, stable dans le temps. De même, si l’amplitude de départ est trop faible, la stimulation de l’entretien la fera augmenter jusqu’à ce qu’elle atteigne la valeur de stabilité. Cette propriété intéressante du pendule est plus généralement caractéristique de tout système dissipatif entretenu : l’état dynamique, se manifestant par des oscillations régulières, ne dépend pas des conditions de départ (à supposer qu’il n’y ait qu’un seul régime d’équilibre).

Toutes ces dynamiques peuvent être illustrées par des graphiques (soit indiquant l’angle en fonction du temps, soit indiquant la vitesse en fonction du temps, soit des diagrammes dits « de phase » indiquant la vitesse en fonction de l’angle, le temps ne figurant plus).

On peut porter, en fonction du temps, l’angle A que fait à chaque instant le balancier avec la verticale, ou sa vitesse instantanée V. Si l’angle maximal de débattement est faible, ces deux courbes ont la même allure et ce sont des sinusoïdes, signature du comportement périodique le plus pur, défini par la présence d’une seule fréquence dans la dynamique. On peut aussi tracer la courbe qui traduit la relation entre les deux variables, c’est-à-dire la vitesse en fonction de la position du balancier. Cette courbe se referme sur elle-même après une période T et elle est décrite récursivement par le point représentatif de l’état du pendule, d’une période à la suivante, dès lors que l’état d’équilibre est atteint (cette courbe appartient à la grande famille des trajectoires dynamiques). Chaque fois que le balancier est en position basse – l’angle A du balancier avec la verticale est nul – la vitesse est maximale, que le balancier aille de droite à gauche ou de gauche à droite… L’avantage d’une telle représentation est de bien mettre évidence la moindre perturbation qui pourrait intervenir dans le mouvement du balancier (par un décalage de la trajectoire), mais il est surtout de donner très clairement la « phase » du mouvement à chaque instant, dans la « phase temporelle », de même que l’on parle des « phases de la Lune ». L’espace mathématique dans lequel la courbe est tracée s’appelle donc l’espace des phases. Il pourrait aussi se nommer espace des variables, car les grandeurs qui en constituent les coordonnées sont les variables indépendantes du système.

Quelles sont donc les variables indépendantes – on dit aussi « degrés de liberté » - du système constitué par le balancier oscillant ? Quittons un instant notre balancier pour considérer un système d’où la dynamique est absente mais qui va mieux faire sentir cette notion de degré de liberté… A partir du moment où nous fixons, à un instant donné, la position et la vitesse d’un balancier oscillant, la dynamique du système est complètement déterminée. Le pendule oscillant – et plus généralement tout système élémentaire se mouvant de façon périodique dans le temps, comme par exemple, une masse oscillant verticalement au bout d’un ressort – possède deux variables indépendantes (ou deux degrés de liberté), qui sont donc la vitesse et la position dans le cas du pendule. L’espace des phases correspondant est à deux dimensions et la courbe d’équilibre vers laquelle tend le mouvement s’appelle « cycle limite », nom évoquant bien la propriété de convergence du mouvement vers la dynamique cyclique d’équilibre, indépendante des conditions initiales. En effet, dans un tel cycle limite, l’amortissement et les phénomènes non-linéaires dans les amplitudes et l’entretien s’équilibrent de façon unique. Cela veut dire aussi que, pour des paramètres donnés, comme l’apport de puissance et les caractéristiques mécaniques du dispositif oscillant, l’amplitude et la fréquence des oscillations sont complètement déterminées…

Pour utiliser les mathématiques du continu et obtenir des résultats quantitatifs concernant le mouvement pendulaire, nous devons commencer par faire une approximation. Elle consiste à assimiler localement l’arc de la trajectoire de la masse du pendule quand il oscille à un segment de droite tangent à la trajectoire en ce point. Cette approximation n’a de sens que pour des oscillations de très faible amplitude (dites « petites oscillations ») et pour lesquelles les déplacements sur ce segment sont proportionnels à l’angle A du pendule avec la verticale. A cela, nous ajoutons une seconde approximation en négligeant les frottements…

De ces deux approximations, il découle que la période du mouvement du pendule T vaut deux fois pi divisé par la racine du nombre : longueur du pendule divisée par l’ « accélération de la pesanteur » g.

Dans la pratique, la période T du mouvement d’un pendule ne dépend-elle vraiment que de l’accélération g et de la longueur l de la suspension ? La réponse n’est positive que lorsque l’amplitude des oscillations reste faible ; l’on parle alors de l’isochronisme des petites oscillations, découvert par Galilée (l’indépendance de la période avec la masse m du pendule est – quant à elle- toujours vérifiée).

En fait, la force de rappel F, qui n’est autre que la composante active du poids du pendule, n’est pas réellement proportionnelle à l’angle A mais dépend de la valeur du sinus de l’angle A. Or la dépendance en sinus est une fonction non-linéaire qui n’est sensiblement proportionnelle à A que pour les petites valeurs de A…

Si l’on ne fait plus cette approximation, il faut remplacer l’angle A par le sinus de A dans les équations du mouvement qui deviennent alors difficiles à résoudre. Les solutions ne sont plus parfaitement sinusoïdales (elles sont en fait la somme d’une infinité de sinusoïdes) et le mouvement varie de façon plus complexe avec le temps, tout en restant périodique…

La période propre du pendule non-linéaire et entretenu dépend de l’amplitude maximale de ses oscillations. Ce qui peut paraître un inconvénient pour la mesure du temps va cependant permettre à des « pendules » particuliers de s’adapter à des conditions dynamiques différentes, en particulier quand ils seront couplés à d’autres systèmes oscillants…

Si on force le pendule avec une période très voisine de la sienne propre, le phénomène bien connu de résonance entre en jeu, et le pendule oscille à la fréquence imposée avec une amplitude d’autant plus grande que cette fréquence est proche de la sienne…

Mais il est une autre fréquence très efficace, trouvée empiriquement depuis très longtemps… Pour ébranler le pendule et lui donner progressivement une amplitude d’oscillation importante, puis entretenir son mouvement.. il suffit de faire varier la longueur de la corde à laquelle est suspendue la masse du pendule… La variation de longueur de la suspension n’a pas lieu n’importe comment, ni n’importe quand. Elle est raccourcie quand le pendule est en position basse, alors qu’elle est rallongée quand il est au plus haut de sa course…

Pourquoi raccourcir la corde en position basse ? Tout simplement parce qu’à cette position la vitesse, donc la force centrifuge, est à sa valeur maximale. En tirant sur la corde, on produit un travail contre cette force et, de ce fait, on apporte au système de l’énergie qui est transformée en énergie cinétique : la vitesse du pendule augmente.

En revanche, en relâchant la corde en position haute du pendule, aucune énergie n’est perdue par le système car la vitesse – donc la force centrifuge – est alors pratiquement nulle…

Comme le pendule passe deux fois par période en position basse et haute, la fréquence de stimulation la plus appropriée est la fréquence double (ou période moitié) de celle du pendule lui-même…

Lorsqu’un pendule est stimulé avec une fréquence très proche – ou double – de la sienne, cela lui convient parfaitement et il en tire l’énergie nécessaire pour osciller sans faiblir…

Les pendules, ou plus généralement tout système oscillant, sont un peu comme les humaines : si ce qu’on leur propose leur convient du point de vue de leur dynamique, ils s’y associent et peuvent même s’unir totalement au mouvement de stimulation. Mais si la contrainte est trop forte, ce peut être la rébellion et le chaos, à moins qu’ils n’aient pas la puissance nécessaire pour résister, auquel cas ils deviennent esclaves.

Deux situations sont d’ailleurs à considérer. Le cas le plus simple est celui évoqué précédemment : un oscillateur est forcé par un système périodique stable et puissant sur lequel il ne peut rétroagir. Les seules interrogations concernent alors l’oscillateur forcé dont le comportement va dépendre des caractéristiques du forçage (fréquence t amplitude).

L’autre cas est celui de deux oscillateurs qui s’influencent mutuellement (le comportement de chacun réagit sur l’autre), comme par exemple deux pendules différents dont le mouvement des balanciers serait fortement couplé…

Lorsqu’un oscillateur – un pendule – est forcé faiblement, il garde la plus grande part de son individualité, légèrement modifiée cependant par la présence du forçage. Ainsi, sa fréquence est quelque peu différente de celle qu’il aurait sans stimulation extérieure et son amplitude est modulée dans le temps : on dit que le régime est bipériodique, c’est-à-dire que l’on y retrouve la présence « superposée » de la fréquence de l’oscillateur et de celle du forçage…

Deux pendules ayant des mouvements périodiques peuvent se coupler, en particulier dans le cas de deux périodes différentes mais voisines. Il s’agit d’une synchronisation par accrochage de fréquence.

C. Huygens lui-même aurait remarqué que les balanciers de deux horloges placées au voisinage l’une de l’autre, sur une même étagère par exemple, avaient tendance à se synchroniser…

L’accrochage des fréquence peut se réaliser dans le cas d’un rapport 1/1 (égalité des fréquences ou presque), mais aussi dans un rapport d’accrochage 1/2, 2/3 ou 4/5…

Le phénomène de synchronisation ne se restreint pas à deux oscillateurs mais peut aussi se manifester pour un très grand nombre de pendules (ou d’oscillateurs), ce qui conduit parfois à des comportements collectifs étonnants…

Plus le couplage est intense, plus les non-linéarités sont fortes, plus les deux oscillateurs ont tendance à se synchroniser sur le rapport rationnel de leur fréquence (1/2, 2/3 ou 4/5) qui est le plus proche de leur rapport naturel. Mais si les conditions d’accrochage ne sont pas exactement remplies, ils ont aussi une forte probabilité d’être chaotiques…

Les « pendules simples » peuvent alors manifester des capacités à subir des mouvements du type du « chaos déterministe » avec des mouvements erratiques imprédictibles et dépendant de la sensibilité aux conditions initiales…

Un pendule isolé entretenu ne peut devenir chaotique à condition qu’on ne le soumette pas à de trop importantes perturbations…

En fait, la condition pour entrer dans le domaine du chaos déterministe, c’est que l’espace des phases ne soit plus à deux dimensions mais déjà à trois dimensions. Le système correspondant à trois variables devient dès lors chaotique… Il ne suffit plus pour caractériser son état de connaître – à un instant donné – sa position et sa vitesse comme dans le cas du pendule simple. »

La suite

Pendule simple

Période d’un pendule simple

Pendule de Foucault

Pendule balistique

Pendule de torsion

Pendule d’Atwood

Pendule de Newton

Pendule non-linéaire

Pendule ondulant

Résonance des pendules

Pendule de Galilée

Pendule de longueur variable

Pendule accroché à un ressort

Expérience du pendule de Foucault

Le pendule amorti entretenu est chaotique

Résonance des pendules

Principe de Mach et pendule de Foucault

Pendules et frottement

Pendules, rythmologie et résonance

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