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Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?

samedi 14 mai 2011, par Robert Paris

Nombres et réalité - la théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?

Quand on voit à quel point il a été difficile d’introduire les nombres négatifs, les nombres irrationnels ou les nombres complexes, on se persuade que les nombres n’ont rien de naturel, qu’ils sont une construction très difficile de l’esprit humain.

Cependant, y a-t-il des nombres qui correspondent mieux que d’autres à la réalité du monde physique ?

Les physiciens utilisent systématiquement les nombres complexes et ramènent leurs résultats à des nombres réels pour tout ce qui doit être mesuré.

Ces nombres dits réels sont infiniment plus nombreux que les nombres décimaux qui sont eux mêmes infiniment plus nombreux que les décimaux avec un nombre fini de chiffres après la virgule alors que les mesures physiques concrètes ne peuvent donner que des nombres décimaux avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Mieux, la théorie elle-même des forces renormalisables nécessite des quantités avec un nombre limité de chiffres après la virgule ce qui correspond à la nécessité de discontinuités (sans laquelle des quantités calculées deviennent infinies).

Les nombres décimaux avec une infinité de chiffres après la virgule supposent des infinis (grand et petit) qui n’ont pas de réalité physique - pas plus que la continuité.

Ce n’est qu’un des aspects du problème.

La négativité, elle aussi, a mis du temps à s’exprimer mathématiquement. (voir ici)

Et elle pose encore plus de problème si l’on comprend le caractère dialectique des lois physiques.

Il serait nécessaire d’obtenir des ombre ayant la capacité de se changer sous certaines conditions en leur contraire... On ne est encore loin.

Les mathématiques sont, au contraire, conçues dans une philosophie non dialectique : celle de la logique formelle que l’on a tenté de faire évoluer progressivement alors qu’elle aurait besoin d’un changement révolutionnaire plutôt que d’un toilettage comme nous allons le montrer...

Le débat "Mathématiques et réalité" est un train ancien débat, déjà largement développé dans la philosophie grecque et dans bien d’autres de l’antiquité et qui a eu des suites fameuses comme les études de Poincaré. Il convient de le poursuivre à la lueur des connaissances modernes, notamment celles des fractales, du chaos déterministe, de la physique quantique et bien d’autres de la biologie notamment.

La question des nombres fait partie de ce débat sur la valeur de vérité des mathématiques.

Existe-t-il une "mathématique naturelle" ?

On sait que certains nombre apparaissent dans la nature comme le nombre pi ou encore la nombre d’or et qui sont des nombres irrationnels. On sait que les entiers permettent de dénombrer des objets réels. on sait que les rationnels apparaissent dans les proportions. On sait que les nombres complexes ont permis de décrire des phénomènes comme l’électromagnétisme.

Mais, en fait, tout cela n’est autre que l’aptitude des nombres à être un outils descriptif ou opératoire. Cela n’en fait pas un produit de la nature.

Pour le grand mathématicien Henri Poincaré, les mathématiques faisaient partie "des images substituées aux objets réels que la nature nous cachera éternellement."

Poincaré écrit : "Ainsi c’est bien entendu, pour démontrer un théorème, il n’est pas nécessaire ni même utile de savoir ce qu’il veut dire. On pourrait remplacer le géomètre par le piano à raisonner imaginé par Stanley Jevons ; ou, si l’on aime mieux, on pourrait imaginer une machine où l’on introduirait les axiomes par un bout pendant qu’on recueillerait les théorèmes à l’autre bout, comme cette machine légendaire de Chicago où les porcs entrent vivants et d’où ils sortent transformés en jambons et en saucisses. Pas plus que ces machines, le mathématicien n’a besoin de comprendre ce qu’il fait."

Henri Poincaré écrit dans "La science et l’hypothèse" :

"Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre objets ; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d’autres, pourvu que les relations ne changent pas. La matière ne leur importe pas, la forme seule les intéresse. (...) Comparons la mécanique avec la géométrie. Les propositions fondamentales de la géométrie, comme par exemple le postulatum d’Euclide, ne sont non plus que des conventions, et il est tout aussi déraisonnable de chercher si elles sont vraies ou fausses que de demander si le système métrique est vrai ou faux. (...) Les expériences qui nous ont conduits à adopter comme plus commodes les conventions fondamentales de la géométrie portent sur des objets qui n’ont rien de commun avec ceux qu’étudie la géométrie (...) je sépare par une barrière la géométrie proprement dite de l’étude des corps solides. (...) En sciences, l’expérience est la source unique de la vérité : elle seule peut nous apprendre quelque chose de nouveau ; elle seule peut nous donne rde la certitude. (...) Mais alors si l’expérience est tout, quelle place restera-t-il pour la physique mathématique ? Qu’est-ce que la physique expérimentale a à faire d’un tel auxiliaire qui semble inutile et peut être même dangereux ? Et pourtant la physique mathématique existe ; elle a rendu des services indéniables ; il y a là un fait qu’il est nécessaire d’expliquer. C’est qu’il ne suffit pas d’observer. Il faut se servir de ces observations. Et pour cela, il faut les généraliser. "

Alors, les mathématiques sont-elles le reflet de la réalité ou un domaine indépendant de la pensée ?

Il y a plusieurs propositions qui se combattent à ce propos :

- Les nombres découleraient directement de l’observation de la réalité comme un mouton plus un mouton égale deux moutons.

- Les nombres seraient des abstractions pures, librement choisies par les mathématiciens, sans tenir compte d’autre chose que de la logique interne de leur création intellectuelle.

- Les nombres seraient des outils intellectuels utiles et même indispensables pour décrire l’activité humaine par rapport à la nature et non une description valable de celle-ci. Ils reflètent autant les limites des conceptions produites par le cerveau que les difficultés inhérentes à l’entendement du fonctionnement naturel en soi.

Nous tenterons de défendre cette dernière proposition...

Faisons tout de suite quelques remarques sur ce que nous savons aujourd’hui du fonctionnement de la matière et qui pose problème à toute représentation par des nombres.

La première remarque à ce propos est la notion d’existence de plusieurs niveaux interactifs de la matière. Cette dernière ne peut pas être décrite à une seule échelle car, pour tout objets matériel, il y a interaction de plusieurs échelles du réel, échelles de temps, d’espace et d’énergie. Et le petit n’est pas intégré au sein du grand. Ce sont des niveaux qui sont interactifs mais pas simplement emboités ni additifs. L’image des nombres, au contraire, est celle de petites variations intégrées au sein des grandes variations.

Par exemple, en ce qui concerne les nombres décimaux, les nombres avec deux chiffres après la virgule se trouvent au sein des nombres avec un chiffre après la virgule. Cela signifie que l’on passe sans cesse de nombres avec un, deux, trois chiffres après la virgule à d’autres ayant un, deux, trois chiffres après la virgule. ce ne sont des pas des mondes à des niveaux hiérarchiques différents.

A l’inverse en physique, quand on change d’échelle, on n’est plus dans le même univers, bien qu’on doive tenir compte des univers proches.

Les nombres fonctionnent en physique quand ces univers peuvent approximativement être momentanément déconnectés intellectuellement pour étudier un phénomène, à condition de ne pas oublier que l’on vient d’opérer une césure intellectuelle qui n’a pas lieu d’être réellement.

Exactement comme on admet très bien qu’un physiologiste, un médecin, un biologiste discute du cerveau comme s’il était déconnecté du corps à condition qu’il n’oublie pas que ce n’est nullement le cas et que les deux sont des niveaux hiérarchiques interactifs.

Un autre point posé est celui de la discontinuité. Un autre va être la fractalité. Un quatrième sera le caractère dynamique et non statique. Un cinquième sera celui de la non-linéarité.

Nous allons voir que ce que les mathématiques appellent des "nombres réels" sont justement des nombres continus, non fractals, statiques et linéaires, l’inverse du monde réel en somme.

Mais alors, me direz-vous, on s’en serait aperçu depuis longtemps puisqu’ils seraient tout à fait inefficaces !

Ce n’est pas si simple : les bâtisseurs de bâtiments peuvent très bien utiliser le fil à plomb qui suppose que les verticales sont toutes parallèles (alors qu’elles se rencontrent au centre de gravité de la Terre) même si c’est totalement faux. Dans le domaine d’étude considéré, cette approximation n’entre pas en contradiction avec la pratique. par contre, c’est une grave erreur si on en fait une description de la Terre puisque cela suppose que la Terre soit plate !

Il en va de même qu’en Géométrie : la géométrie d’Euclide est bien utile mais elle ne reflète pas du tout l’image du réel qui, lui, est fractal alors que les éléments d’Euclide ne le sont jamais.

La mathématique des nombres n’est pas davantage fractale.

Le nombre a une précision infinie, une valeur fixe, pas de niveau hiérarchique, un comportement strictement additif mais rien dans la nature n’obéit à de tels propriétés !

Commençons par cette question de l’additivité des nombres et de la non additivité de la matière.

Pourtant un vase plus un vase est bien égal à deux vases ?

Prenons un électron plus un deuxième électron. Si on les met en présence, c’est qu’ils interagissent. Dès lors, ils ne se contentent plus de s’additionner et forment un ensemble dont les éléments ne sont plus séparables. C’est déjà très différent d’une addition.

Parce que l’électron ne peut pas être considéré isolément. Il est dans un milieu qu’il transforme : le vide. Le vide à proximité d’un électron n’est pas le même qu’à longue distance. Donc l’électron doit être considéré avec son environnement. Et si on additionne deux électrons, la modification de l’environnement due aux premier interagit aussi avec le second. Les transformations de l’environnement à proximité de deux électrons ne sont les additions des transformations de l’environnement dues à chacun d’eux pris séparément. Il n’y a pas une simple addition. Il y a interaction. Et si on examine trois électrons, il y a sensibilité aux conditions initiales, c’est-à-dire que la suite va dépendre du moindre changement. C’est le chaos déterministe.

En termes de nombre un mouton plus un mouton plus un mouton n’entraine pas du chaos déterministe. Donc trois n’est pas la même chose que trois. Dire que un plus un plus un vaut trois ne veut pas du tout dire la même chose pour des moutons et des électrons.

Dans le domaine des particules, il y a d’autres changements déterminants : un "zéro" peut devenir un "un" et un "deux" peut donner un "zéro" !

C’est un peu renversant pour faire de l’arithmétique !

En effet, une particule virtuelle du vide (zéro particule matérielle dite « réelle ») peut devenir une particule matérielle réelle. Inversement deux particules matérielles peuvent se désintégrer par choc. Ou encore, une particule peut apparaitre dans le vide (création dans le vide quantique) ou apparaitre matérielle pour une autre particule détentrice d’une certaine énergie.

Cela signifie que le nombre de particules n’est pas un invariant d’un système quantique pas plus que l’énergie, la position ou la vitesse. Ce n’est qu’au niveau d’un grand nombre de particules – à notre échelle dite macroscopique – que statistiquement on a des valeurs à peu près déterminées. Cette « incertitude quantique » est donnée par les inégalités d’Heisenberg.

Aucun paramètre physique – à part le nombre de quantas – n’a de valeur absolue ni de précision absolue, pas même le temps. Ce n’est pas un défaut lié à une limitation de précision de la mesure mais une propriété inhérente à la matière et à ses interactions – surtout à leur discontinuité. On peut détecter une particule par une interaction à distance avec une autre particule et, si cette distance est suffisamment petite, considérer que les deux particules ont été « comme en contact ». C’est la même chose lorsque l’on détecte une particule par un capteur. On peut dire que la particule a été en ce point ou en un point très proche. On ne peut pas en dire plus. Il n’y a pas de précision absolue de position. Non parce que le dispositif est imprécis mais parce que la position précise de la particule n’a pas de signification physique. Tout se passe comme si la particule avait eu cette position précise. Mais tout se passe aussi comme si elle avait eu une position très proche.

Cela fait appel à la même notion de « densité » que pour les nombres décimaux par rapport aux nombres dits réels. Les premiers sont denses dans l’ensemble des seconds. Cependant, ils sont infiniment moins nombreux. Mais on peut se contenter des décimaux parce qu’ils sont dense dans les nombres réels. Pour tout nombre réel (comme pi racine de deux ou e), il y a un nombre décimal aussi près que l’on veut. Mais les nombres décimaux ne sont pas la seule manière de décrire ce type de situation (s’approcher aussi près que l’on veut). La plus commune est ce que l’on appelle une fractale et cette dernière est bien plus efficace et simple.

Nous sommes en train de dire que les particules doivent être décrites comme des fractales et qu’un grand nombre de particules (un objet à notre échelle) ne fait que sembler pouvoir être représenté par un nombre : c’est aussi une fractale.

Pourquoi la fractale est une situation permettant d’aller aussi près que l’on veut et pourquoi c’est un processus beaucoup moins couteux en efforts pour la matière. Et pourquoi la fractale est plus simple comme processus. Voilà ce que nous allons maintenant développer. Tout d’abord qu’est-ce qu’une fractale. C’est un objet mathématique ou physique qui n’existe pas à une seule échelle et doit être observé à plusieurs échelles. Il peut être identique aux différentes échelles ou bien être différent suivant les échelles d’observation.

Des exemples simples dans la nature : les nuages, les montagnes, les poumons, le système nerveux, le système sanguin, l’arborescence des arbres, le choux fleur, les tas de poussières, les galaxies dans l’espace, les particules virtuelles autour d’une particule de matière, les voies de communication d’une ville, l’interface de plusieurs phases d’une matière, la croissance par accrétion de la matière inerte ou vivante, etc…

Qu’y a-t-il de commun entre tous ces systèmes très différents ? Ils ont une existence imbriquée à plusieurs échelles interactives.

Pourquoi cela signifie-t-il qu’ils ont la propriété de pouvoir « s’approcher aussi près que l’on veut » de la manière la moins couteuse en énergie ? Parce qu’en s’éloignant de la source, ils passent à des niveaux de plus en plus petits. L’arborescence devient de plus en plus ténue et la même quantité d’énergie, par exemple celle du flux sanguin ou de celui d’oxygène, suffit à accéder au plus loin d’une cavité ou d’un muscle.

Et cette manière d’accéder à une plus grande distance ou à une précision plus grande est très différente parce qu’elle correspond à un changement d’échelle – et éventuellement à un changement des lois. En Physique, il n’y pas nécessairement les mêmes lois aux différentes échelles. En fait, ce sont les mêmes lois mais ce n’est pas les mêmes qui sont déterminantes parce que certaines « forces » deviennent prépondérantes par rapport à d’autres à certains seuils. Du coup, un changement d’échelle change le type d’apparition de la matière.

Ainsi, si on change le temps d’observation, on ne voit pas le même monde. Sur des temps d’interaction très très courts, on est tout à fait dans un autre monde… Et cependant cet « autre monde » est interactif avec le notre ! Dans cet « autre monde », des choses sont possibles qui ne le sont pas dans le notre. Par exemple, il est possible d’aller plus vite que la vitesse de la lumière. Il est possible aussi de créer de la matière là où il n’y en avait pas.

Dans ce monde appelé vide quantique, il est possible aussi de se déplacer vers le passé ! Donc le temps ne s’y succède pas comme un nombre réel parcourant la droite des nombres, ni parcourant le cercle du cadran, ce qui est l’image continue la plus classique du temps comme nombre réel.

Le vide quantique n’est pas un monde à part de celui de la matière. Un électron ou un proton ne peuvent pas être considérés isolément du vide qui les entoure et qu’ils modifient. Par cette modification fait partie de leur existence...

Certes, la particule est un objet ponctuel. Il est physiquement impossible de la considérer comme une boule. Elle exploserait immédiatement sous l’action des forces de répulsion ou imploserait sous l’action des forces d’attraction.

Cependant, la particule – qu’il s’agisse d’un électron, d’un proton ou d’une autre particule – occupe toute une zone autour de ce point et peut être, à tout moment, captée dans cette zone. Nul ne peut dire si la particule est en un point ou un autre de cette zone. Le fait qu’elle soit captée à un moment donné quelque part ne signifie pas qu’elle avait une position fixe.

La situation de la particule ne peut pas être décrite par des positions fixes – des points de la géométrie - ni par des nombres – abscisses ou coordonnées de ces points.

Les autres descriptions des états de la particule ne le peuvent pas davantage. C’est renversant mais c’est pourtant le constat auquel la physique quantique s’est rendue malgré elle. Et cela provient de cette existence à plusieurs échelles emboitées. Il n’existe aucune description linéaire à une seule échelle. L’existence de niveaux discontinus est déjà, en elle-même, une discontinuité fondamentale. La droite des nombres décimaux contient des niveaux de description que sont les décimales – entiers, dixièmes, centièmes, millièmes, etc… mais elle place ces nombres linéairement et les uns à la suite des autres. Ce paradigme ne peut décrire un monde qui est sans cesse en transition entre plusieurs phases. Par exemple, la surface de l’eau n’est pas un plan géométrique mais une fractale parce que l’air pénètre l’eau et inversement de manière dynamique. Or le vide quantique et les particules s’interpénètrent sans cesse.

Lorsqu’on étudie un proton, on ne peut pas savoir d’avance s’il est seul ou entouré par un ou plusieurs mésons pi ni où ceux-ci sont exactement situés dans une zone entourant le proton. Le proton est chargé positivement et le méson pî négativement. C’est la présence du proton qui suscite dans le vide quantique le méson ou les mésons pi. Ils sont en fait inséparables de la structure du proton et de ses états entre lesquels il saute sans cesse. Et ces différents états entre lesquels il peut sauter sont eux aussi inséparables de sa propriété de la stabilité globale de la structure dite « proton ». Mais cette couche de méson pi est déjà le début de la construction fractale du proton. L’électron, pour sa part, est entouré de son « nuage de polarisation » constitué de particules virtuelles dont la première couche est positive contrairement à l’électron qui est négatif. On ne peut pas considérer l’électron sans son nuage. Sans lui, l’électron ne pourrait pas subsister un seul instant car le vide produirait sur l’électron un effet infiniment grand (auto-énergie de l’électron) ! Et le virtuel étant lui-même entouré du « virtuel de virtuel », on accède ainsi à la notion de fractale. Chaque niveau est inférieur d’une échelle dite alpha et qui suppose des temps d’existence très inférieurs. Mais ces niveaux sont interactifs et interconstructifs. Cela signifie qu’un niveau produit le niveau supérieur de structure par émergence d’ordre au sein d’un désordre de type « chaos déterministe ».

Les nombres décimaux ou réels ou encore complexes (en fait un couple de deux nombres réels) n’ont pas les propriétés caractéristiques de la matière suivantes :

- Discontinuité et sauts

- Non- linéarité

- Fractalité

- Emergence d’ordre au sein d’une dynamique loin de l’équilibre

- Chaoticité ou sensibilité aux conditions initiales

- Discrétion (c’est-à-dire ponctualité et discontinuité)

- Dialectique des contraires (vide se transformant en matière et inversement par exemple)

Dans ces conditions, cela signifie-t-il qu’il faudrait inventer une nouvelle mathématique et de nouveaux nombres ou une nouvelle géométrie ?

Il est certain que les nombres continus, comme le sont ou prétendent l’être les nombres dits réels, ne peuvent prétendre à donner une description de l’univers. Rien n’est continu : ni la matière, ni l’énergie, ni les interactions, ni l’espace, ni le temps…

Il est certain aussi que les nombres décimaux qui sont linéaires ne peuvent non plus décrire une réalité non linéaire. La fixité du nombre, elle-même, ne peut décrire que la stabilité qui ne caractérise éventuellement qu’un seul niveau de description du réel. En disant cela, nous avons parfaitement conscience de la difficulté de remettre en question la philosophie parfaitement ancrée qui sous-tend les mathématiques et qui en est au point que nombre d’auteurs la confondent avec l’expression de la nature elle-même… Nous ne pouvons que donner un cahier des charges à la mathématique qui prétendrait à être davantage qu’un outil pratique pour agir mais une description du fonctionnement naturel :

- nuage de points discrets sans contact entre eux

- chaque point est lui-même un nuage de points à une autre échelle inférieure et appartient à un nuage de points à l’échelle supérieure

- les lois d’une échelle émergent des lois à l’échelle inférieure

- l’ordre est issu du désordre.

On ne peut pas dire que la solution soit simple et aisée de conceptualisation !

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